Exercices de mathématiques, Exercices de Méthodes Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez29 January 2014

Exercices de mathématiques, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématiques Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la formule qui donne le volume d’une pyramide, exercice avec 3 pyramides.
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Licence SFNE, UE Maths LG310

Corrigé du TD 7

Exercice 1 Appliquons d’abord la formule qui donne le volume d’une pyramide ou même d’un cône plus général : aire de la base × hauteur, divisé par 3. On trouve V = a3/6. On peut retrouver ce résultat ainsi : on considère un cube de côté a, donc de volume a3. Si on trace toutes ses diagonales on voit qu’on le découpe en exactement 6 pyramides (une par face) qui sont isométriques à la pyramide de l’exercice. Donc le volume d’une pyramide est le sixième du volume du cube, soit encore a3/6.

Exercice 2 En découpant le cube comme indiqué, on obtient 3 pyramides que l’on peut qualifier de "rectangles" au sens où le sommet est situé sur la droite orthogonale à la base et passant par un sommet. (Ainsi les faces triangulaires de la pyramide sont des triangles rectangles.) Les faces de la pyramide sont :

• la face carrée de côté a,

• deux faces triangles rectangles isocèles de côtés a, a et a √

2,

• deux faces triangles rectangles non isocèles de côtés a, a √

2 et a √

3 (le côté a √

3 est une diagonale "intérieure" du cube).

Le volume de chacune des trois pyramides ("base × hauteur divisé par 3") est a3/3. On retrouve cela en disant que le volume du cube est a3 et que le volume de chaque pyramide en vaut un tiers.

Exercice 3 Le volume du cornet est donné par "aire de la base × hauteur, divisé par 3" et celui de la demi-boule est donné par 12 ×

4 3πr

3. On trouve 13πr 2h+ 23πr

3 = 13πr 2(h+ 2r).

Exercice 4 Il y a sans doute beaucoup de façons de faire. Je vous propose de considérer le plan horizontal qui coupe le cube en deux moitiés égales, on constate qu’il découpe le polyèdre qui nous intéresse en deux pyramides symétriques l’une de l’autre. Les bases de ces pyramides sont carrées de côté a

√ 2

2 , et la hauteur est a/2. Donc le volume de chaque pyramide est

1 3 × a

2

2 × a

2 = a3

12 ⇒ le volume du polyèdre est donc a3/6.

Exercice 4 a) les conditions sont que A′′B = A′′′B, A′′′C = A′C et A′D = A′′D. b) On obtient un quadrilatère si... ? c) Soit EFGH un carré de côté 2a, on souhaite placer deux points I sur le côté [FG] et J sur le côté [HG], tels que lorsqu’on replie on obtienne un tétraèdre. On sait qu’on doit avoir FI = IG et HJ = JG donc I doit étre le milieu de [FG] et J le milieu de [HG]. On obtient ainsi le seul patron possible. Soit O le sommet obtenu après pliage, en collant F , G et H. Soit H le pied de la hauteur du tétraèdre issue de O et K le milieu de [IJ ].

Pour calculer le volume du tétraèdre on prend le triangle EIJ pour base et on calcule la hauteur OH. Pour calculer l’aire de EIJ on retranche trois petits triangles au carré EFGH d’aire 4a2. On trouve A(EIJ) = 3a2/2. Maintenant faisons un dessin dans le plan médiateur de [IJ ], c-à-d le plan (OEH), qui coupe le tétraèdre en une section triangulaire dont on peut calculer les côtés par Pythagore. On trouve que c’est un triangle rectangle de côtés 2a, a

√ 2/2 et 3a

√ 2/2. La hauteur OH dessine dans ce

triangle deux petits triangles rectangles. Soit α = ÔEH = ĤOK. En calculant cos(α) de deux manières différentes on trouve OH = 2a/3. On en déduit le volume du tétraèdre :

V = 1 3 × 3a

2

2 × 2a

3 = a3

3 Remarque : dans le TD 6 on a vu la formule de Héron qui permet de calculer l’aire d’un triangle en fonction seulement des longueurs des côtés a, b, c. En dimension 3 il existe une généralisation de cette formule, appelée formule du déterminant de Cayley-Menger, qui permet de calculer le volume d’un tétraèdre en fonction des longueurs des côtés a, b, c, d, e, f . Mais bien sûr elle n’est pas aussi simple que la formule de Héron !

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