Exercices de mathématiques élémentaires 1, Exercices de Méthodes Mathématiques. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Exercices de mathématiques élémentaires 1 sur l’équation du cercle. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les coordonnées du point P, la transformation, l’équation de la courbe transformée
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[ Baccalauréat mathématiques élémentaires \ Amérique latine octobre 1964

EXERCICE 1

On considère, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, un cercle (C) ayant pour centre le point A de coordonnées (a ; 0) et pour rayon a (a > 0). On appellera B le point de coordonnées (2a ; 0).

1. Écrire l’équation du cercle (C).

Si P est un point de ce cercle, tel que

(

−−→

AB , −→

AP )

= θ+2,

exprimer, en fonction de θ, les coordonnées du point P et écrire l’équation de la tangente en P au cercle (C).

2. Soit M un point du plan, distinct de O, de coordonnées x, y , et soit P le point, autre que O, où la droite OM recoupe le cercle (C).

Calculer, en fonction de x et y , les coordonnées, x1, y1 du point P, ainsi que les coordonnées, X ,Y , du point M ′ symétrique de M par rapport à P.

On appellera T la transformation qui, à un point M du plan, fait correspondre le point ′Mdéfini ci-dessus.

Quels sont les points qui se transforment en O?

Soit (Γ) leur ensemble. Pour tout point n’appartenant pas à (Γ), la transforma- tion T est-elle réciproque ?

Onconsidérera désormais que le pointO est transformé, par la transformation T , en un point quelconque de (Γ).

3. Quels sont les points invariants dans la transformation T ?

Comment se transforme un point de l’axe Oy (distinct de O) ?

Comment se transforme une droite passant par O ?

Comment se transforme un cercle de centre B ?

4. Comment se transforme un cercle passant par O et B ?

Comment se transforme un cercle passant par O ?

5. Quelle est l’équation de la courbe transformée de la droite x = 4a ?

Résoudre cette équation par rapport à y2 ; étudier les variations de z = y2 ; en déduire celles de y et construire la courbe.

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