Exercices de mathématiques élémentaires 10, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématiques élémentaires 10 sur la construction des tangentes issues d’un point donné à une parabole donnée. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les deux théorèmes de Poncelet, les variations ...
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[ Baccalauréat mathématiques élémentaires \ Liban 1 septembre 1964

EXERCICE 1

1er sujet. - Construire les tangentes issues d’un point donné à une parabole donnée. Discuter. (On supposera connues l’existence et les propriétés d’une tangente à une parabole en un point de celle-ci.) Énoncer et établir les deux théorèmes de Poncelet relatifs à la parabole.

2e sujet. - Vecteur vitesse, à un instant donné, d’un mobile animé sur une courbe quelconque d’unmouvement défini par l’expression, s = f (t) de son abscisse curvi- ligne, s, en fonction du temps.

3e sujet. - Rotation d’un point, d’une droite, autour d’un axe vertical, en géométrie descriptive. Application :Rendre frontale, par rotation autour d’un axe vertical donné, une droite de profil définie par ses traces.

EXERCICE 2

1. Étudier les variations de la fonction

y = x −3

x2− x −2

et construire la courbe représentative, (C ).

2. a. On considère l’équation (E) en x suivante :

hx2− (h+1)x +3−2h = 0,

h est un paramètre.

Étudier graphiquement suivant les valeurs de h l’existence des racines de (E) et leur position par rapport aux nombres −1, 0, 1, 2, 3, 5.

b. On considère maintenant l’équation (L) en t suivante :

h cos2t +2(h−1)cos t +4−3h = 0

avec 0< t <π.

Montrer que l’équation (L) pourra se ramener à (E) en posant cos t = x − 1.

Étudier, suivant les valeurs de h et en se basant sur les résultats de a, le nombre de solutions de l’équation (L).

Résoudre (L) pour h = 1.

3. Soit (D) la droite d’équation y = h. En supposant que (D) rencontre (C ) en deux points, M′et M′′, on désignera par m′ et m′′ les projections respectives de ces points sur l’axe des x.

a. Montrer qu’il existe un point A sur cet axe tel que le produit Am′ ·Am′′

soit constant quel que soit h.

Établir que tout cercle passant par m′ et m′′ reste orthogonal à un cercle fixe, dont on précisera le centre et le rayon.

1. Le programme et la nature des épreuves ne sont pas exactement les mêmes que celles du bacca- lauréat français.

Baccalauréat mathématiques élémentaires A. P. M. E. P.

b. P étant le point de rencontre de (D) avec l’axe des y , on désigne par Q le conjugué harmonique de P par rapport à M ′ et M ′′. Déterminer en fonction de h les coordonnées de Q.

Trouver et construire le lieu de Q lorsque h varie. On délimitera ce lieu avec soin.

4. On considère la fraction

y = x −3

(x −2)(x +1) ,

x est maintenant un nombre entier positif.

Pour quelles valeurs de x cette fraction est-elle réductible ; égale à un nombre entier ?

N. B. - Les questions 2, 3, 4 du problème sont indépendantes.

Liban 2 septembre 1964

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