Exercices de mathématiques élémentaires 2, Exercices de Méthodes Mathématiques

Exercices de mathématiques élémentaires 2, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématiques élémentaires 2 sur le module. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les symétries, les coordonnées, les vecteurs vitesse, l’enveloppe de la droite.
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[ Baccalauréat mathématiques élémentaires \ Antilles–Guyane septembre 1964

EXERCICE 1

Déterminer le module et l’argument de

z = 1+ i

1− i .

Calculer u = z32.

EXERCICE 2

Soit G l’ensemble formé par les rotations planes de centre O et les symétries par rapport aux droites passant par O. Montrer que la loi (notée ◦) « produit de deux de ces transformations » détermine, sur G, une structure de groupe.

EXERCICE 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormé, X ′OX , Y ′OY . Sur le cercle orienté de centre O et de rayon R on considère les deux points, M1 et M2, définis par

(

−−→

OX , −−−→

OM1 )

= θ1 (mod.2π) et (

−−→

OX , −−−→

OM2 )

= θ2 (mod.2π).

Soient −→

t1 et −→

t2 les vecteurs unitaires des tangentes au cercle en M1 et M2 définis respectivement par

(

−−−→

OM1 , −→

t1

)

=+

π

2 (mod.2π),

(

−−−→

OM2 , −→

t2

)

=+

π

2 (mod.2π).

Partie A

1. Écrire les coordonnées des points M1 et M2 et les composantes des vecteurs −→

t1 et −→

t2 ·

2. Déterminer l’équation de la droite M1M2.

3. Déterminer les composantes du vecteur −−−−−→

M1M2 et de la somme (

−→

t1 + −→

t2

)

.

4. Montrer que ces deux vecteurs sont colinéaires. (On pourra introduire les arcs θ1+θ2

2 et

θ1−θ2

2 et montrer que les composantes de ces deux vecteurs sont

proportionnelles, ou donner une démonstration géométrique.)

Partie B

On suppose maintenant M1 et M2 variables sur le cercle (C) de telle façon que

θ1 =ω1t +ϕ1 et θ2 =ω2t +ϕ2.

(ω1,ω2,ϕ1,ϕ2 sont des constantes, t représente le temps).

1. Déterminer les vecteurs vitesse, −→

V1 et −→

V2 , des points M1 et M2.

Exprimer ces deux vecteurs en fonction de R,ω1,ω2, −→

t1 , −→

t2 .

2. Soit G le barycentre des points M1 et M2 affectés respectivement des coeffi- cients ω2 etω1 (on notera l’inversion des indices).

Déterminer les composantes du vecteur −−→

OG et les coordonnées du point G.

Le baccalauréat de 1964 A. P. M. E. P.

3. Déterminer le vecteur vitesse de G ; l’exprimer en fonction deω1,ω2, R et de la

somme −→

t1 + −→

t2 .

4. Montrer, en tenant compte de la partie A, que le vecteur vitesse de G et −−−−−→

M1M2 ont même direction.

Partie C

On suppose maintenant

ω2 =−3ω1, ϕ1 = 0, ϕ2 =π, R= a

2 .

1. Déterminer l’expression de cos3 t et sin3 t en fonction linéaire des lignes tri- gonométriques de t et 3t .

2. Écrire, avec les valeurs particulières données, les coordonnées du point G. Montrer qu’elles s’expriment sous la formede puissances de cosω1t et sinω1t .

3. Étudier en fonction de t les variations des coordonnées, x et y , de G (on ne tracera pas la courbe représentative).

4. Quelle conséquence implique la conclusion de la deuxième partie pour la dé- termination de l’enveloppe de la droite M1M2 ?

Antilles–Guyane 2 septembre 1964

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