Exercices de mathématiques élémentaires 3, Exercices de Méthodes Mathématiques

Exercices de mathématiques élémentaires 3, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématiques élémentaires 3 sur les variations de la fonction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les nombres réels, la courbe, la translation, le parallélogramme.
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[ Baccalauréat mathématiques élémentaires \ Antilles–Guyane juin 1964

EXERCICE 1

1. Étudier les variations de la fonction

y = x2+3

x −1

dans le sous-ensemble des nombres réels où elle est définie.

2. Tracer la courbe représentative avec un repère orthonormé dont l’unité est 1 cm.

3. Établir que cette courbe a un centre de symétrie, que l’on déterminera.

4. Calculer l’aire comprise entre l’axe des x, les droites d’équation x = 2 et

x = 1+e et la courbe (e désigne la base des logarithmes népériens).

EXERCICE 1

Partie A

À quelles conditions la transformée d’une droite (∆) est-elle la droite (∆) :

1. dans une translation donnée de vecteur −→

V ?

2. dans une rotation donnée de centre O et d’angle ϕ non nul ?

Partie B

Soit dans un plan orienté un parallélogramme ABCD, dont les droites AB, BC, CD et DA sont appelées respectivement (D1), (D2), (D3) et (D4).

1. Préciser la nature du produit D des symétries par rapport à (D1), (D2), (D3) et (D4) utilisées dans cet ordre.

Établir queD est inchangé lorsque le parallélogramme ABCDest remplacé par un autre ayant les mêmes sommets B et D et les mêmes angles orientés en B et D.

Lorsque D est une rotation de centreω et que le parallélogramme ABCD varie de façon que B et D restent fixes, trouver l’ensemble des points ω.

2. Comment doit-on choisir le parallélogramme ABCD pour que D soit :

a. une translation (déterminer alors son vecteur directeur) ;

b. une symétrie par rapport à un point (indiquer quel est alors ce point) ?

Partie C

Construire, dans chacun des cas où le choix du parallélogramme ABCD le permet, un quadrilatère M1M2M3M4 qui ait pour bissectrices intérieures ou extérieures de ses angles les droites (D1), (D2), (D3), (D4). On conseille de prendreM1 sur (D1), M4 sur (D4), d’appeler (∆) la droiteM1M4 et de se servir des résultats des parties A et B.

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