Exercices de mathématiques élémentaires 4, Exercices de Méthodes Mathématiques

Exercices de mathématiques élémentaires 4, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématiques élémentaires 4 sur la courbe représentative. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la droite d’équation, l’équation du second degré.
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[ Baccalauréat mathématiques élémentaires \ Cambodge juin 1964

EXERCICE 1

1. Un comité comprend 11 membres : de combien de façons peut-on choisir parmi ces 11 membres un président, un vice-président et un secrétaire ?

De combien de façons peut-on choisir 3membres parmi les 11 sans distinguer les fonctions qu’auront ces 3 membres ?

2. On désigne par a, b, c, les longueurs des côtés BC, CA, AB d’un triangle ABC. Quel est le barycentre des trois points A, B, C affectés respectivement des co- efficients a, b, c ?

EXERCICE 2

1. Étudier les variations de la fonction

y = √

2x(4− x).

Tracer la courbe représentative dans un repère orthonormé.

On précisera la nature de cette courbe, d’abord en effectuant une translation d’axes, puis en utilisant une transformation ponctuelle.

Quelle est l’aire de la surface limitée par cette courbe et l’axe des abscisses ?

2. On considère la droite d’équation

mx y −5m +2 p 2= 0.

Démontrer que cette droite passe par un point fixe quand on fait varier le pa- ramètre m. Utiliser la courbe obtenue à la question 1. pour discuter l’équation

2x(4− x)= mx −5m +2 p 2.

3. Montrer que la réunion de la courbe obtenue à la question 1. et de sa symé- trique par rapport à l’axe des abscisses est l’ensemble des points dont les co- ordonnées vérifient la relation

2x2+ y2−8x = 0.

On considère l’équation du second degré

(x −4)t2−2y t −2x = 0,

t est l’inconnue et (x ; y) les coordonnées d’un point M du plan.

À chaque point M est ainsi attachée une équation du second degré en t . Quel est l’ensemble des points M pour lesquels l’équation a deux racines réelles distinctes ?

Quel est l’ensemble des points M pour lesquels l’équation aune racine double ?

Quel est l’ensemble des points M pour lesquels l’équation a deux racines com- plexes conjuguées ?

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