Exercices de mathématiques élémentaires 6, Exercices de Méthodes Mathématiques

Exercices de mathématiques élémentaires 6, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématiques élémentaires 6 sur le repère orthonormé. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la courbe d’équation, le centre de gravité.
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[ Baccalauréat mathématiques élémentaires \ Groupe I 1 septembre 1964

EXERCICE 1

On donne un repère orthonormé xOy ; l’unité de longueur est 2 cm.

1. Reconnaître géométriquement et construire la courbe d’équation

y = √

x.|x −1|,

où |x −1| représente la valeur absolue du nombre x −1.

2. Soit m un nombre positif donné ; discuter, suivant les valeurs de m, le nombre des racines réelles de l’équation

x.|x −1| −m = 0.

Résoudre cette équation pour

m = 1

2 .

EXERCICE 2

On donne un cercle Γ, de centre O et de rayon R, ainsi qu’un point fixe, G, tel que

OG= kR, k donné, 0< k < 1

3 .

1. On appelle T tout triangle ABC inscrit dans Γ et ayant G pour centre de gravité.

a. Construire le triangle T lorsqu’on en donne un sommet A.

b. Préciser, lorsque A décrit Γ, le lieu γ dumilieu A′ de BC et sa position par rapport à Γ.

c. Montrer que tous les triangles T ont le même orthocentre H et qu’ils ont leurs angles tous aigus.

2. On appelle t tout triangle ABC inscrit dans Γ ; son centre de gravité, g , peut varier alors avec t et n’est plus, d’ordinaire, G.

a. Établir les relations

3Og 2+ gA2+ gB2+ gC2 = 3R2,

BC2+CA2+AB2 = 9 (

R2−Og 2 )

.

b. On désigne, dans la suite, par A, B, C les mesures des angles du triangle ABC. Déduire des relations précédentes quelle condition nécessaire et suffisante doit remplir

sin2A+ sin2B+ sin2C

pour que le triangle t soit égal à un triangle T.

3. Dans un triangle t , on donne l’angle A (

0< A < π2 )

et l’on suppose B6 C.

1. Algérie, Tunisie, Cameroun, Togo, Gabon, Tchad, Congo, Athènes, Rome, Espagne, Portugal, Tel- Aviv, Beyrouth, etc.

Le baccalauréat de 1964 A. P. M. E. P.

a. B peut alors varier sur un intervalle J , dont on précisera les bornes en fonction de A.

Montrer que le triangle t est égal à un triangle T si, et seulement si, l’angle B appartient à l’intervalle J et satisfait à la condition

1+ sin2A−cosAcos(2B+A)= 9

4

(

1−k2 )

.

b. Étudier la variation de la fonction y de la variable x définie par

y = 1+ sin2A−cosAcos(2x +A),

lorsque x appartient à l’intervalle J .

En déduire que les triangles T ont leurs trois angles compris entre deux valeurs, dont on déterminera les cosinus en fonction de k.

À quels triangles T correspondent les valeurs extrémales ?

Métropole 2 septembre 1964

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