Exercices de mathématiques élémentaires 8, Exercices de Méthodes Mathématiques

Exercices de mathématiques élémentaires 8, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématiques élémentaires 8 sur la transformé du point m. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la formule, le repère orthonormé.
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[ Baccalauréat mathématiques élémentaires \ La Réunion juin 1964

EXERCICE 1

Trouver deux entiers naturels, connaissant leur P. G. C. D., 17, et la différence de leurs

carrés, 1 445.

EXERCICE 2

Dans un plan, on donne deux points fixes, O et A (OA= a 6= 0).

Au point quelconque m du plan on fait correspondre le point M situé sur la demi-

droite symétrique de la demi-droite OA par rapport à la droite Om, à la distance OM

du point O définie par la formule

a ×OM =Om2.

M est dit transformé du point m.

1. a. La transformation a-t-elle des points doubles ?

b. De combien de points m un point M choisi quelconque dans le plan est-

il le transformé ?

c. On considère un repère orthonormé xOy . O est l’origine des coordon-

nées, −−→ Ox l’axe porté par OA et de même sens que

−−→ OA , Oy l’axe directe-

ment perpendiculaire.

On pose Om = r et (

−−→ OA ,

−−→ Om

)

= θ (mod.π).

Exprimer les coordonnées (x ; y) du point m en fonction de r et θ.

Exprimer les coordonnées (X ; Y ) de M , transformé de m, en fonction

de r et de θ.

d. Soit z = x + iy le nombre complexe dont l’image est m et Z = X + iY le

nombre complexe dont l’image est M .

Trouver la relation entre Z et z.

2. On désigne par I le centre du cercle inscrit au triangle OAM, par J, K, L les

centres des cercles exinscrits à ce triangle, intérieurs à ses angles respectifs de

sommets O, A, M.

a. Montrer que la puissance du point O par rapport au cercle de diamètre

KL est égale à −Om2.

b. En conclure quem et son symétriquem′ par rapport àO sont sur le cercle

de diamètre KL.

c. Montrer que les points I et J sont conjugués par rapport à ce cercle.

3. On suppose que le point m décrit l’hyperbole équilatère de centre O dont A

est un foyer.

Quelle est l’équation de cette hyperbole par rapport aux axes Ox et Oy ?

Quelle relation doivent vérifier r et θ pour que m décrive cette hyperbole ? En

déduire que l’ensemble des points M est la directrice associée au foyer A.

4. Retrouver géométriquement le résultat précédent. (On montrera d’abord que

le point I est à l’intersection de mm′ et de la directrice associée au foyer A).

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