Exercices de mathématiques élémentaires 9, Exercices de Méthodes Mathématiques

Exercices de mathématiques élémentaires 9, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématiques élémentaires 9 sur l'équation de la parabole rapportée à son axe focal et à sa tangente au sommet. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le nombre premier, la méthode employée.
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[ Baccalauréat mathématiques élémentaires \ Liban 1 juin 1964

EXERCICE 1

1er sujet

Équation de la parabole rapportée à son axe focal et à sa tangente au sommet. Application : à l’aide d’une translation convenable des axes, montrer que la courbe d’équation

y2−8x +6= 0

est une parabole, dont on situera les éléments remarquables par rapport aux axes primitifs.

2e sujet

1. Définir un nombre premier.

2. Montrer que tout nombre non premier admet au moins un diviseur premier et que la suite des nombres premiers est illimitée.

3. Reconnaître si le nombre 373 est premier ou non. On exposera et l’on justifiera la méthode employée.

3e sujet

Figure inverse d’un cercle, le pôle d’inversion étant dans le plan du cercle (on étu- diera les deux cas, suivant que le pôle d’inversion appartient ou non au cercle ; la réciproque n’est pas demandée). Préciser dans chaque cas la position de l’inverse du centre du cercle par rapport à la figure inverse.

EXERCICE 2

On donne dans un plan un axe fixe x′Ox et un point fixe F tel que (

−−→ Ox ,

−−→ OF

)

= α+

2, avec 0<α<π. On pose OF = d (longueur donnée). Soit F ′ un point qui décrit l’axe x′Ox, sauf le point O, tel que OF ′ = x. On appelle (H) les hyperboles passant par O et admettant F et F ′ pour foyers.

1. Calculer en fonction de x,d et α le carré 4a2 de l’axe focal, le carré 4c2 de la distance focale et le carré e2 de l’excentricité des hyperboles (H). (On aura deux expressions de 4a2 et deux expressions de e2 suivant que x est positif ou négatif.)

Étudier dans le cas oùα= π

2 les variations de la fonction y = e2, quand x varie

de 0 à+∞, et construire la courbe représentative. On trouvera une valeur de x qui rend y discontinue.

Interpréter géométriquement le résultat et dire à quoi se réduit l’hyperbole (H) correspondant à cette valeur de x.

1. Le programme et la nature des épreuves ne sont pas exactement les mêmes que celles du bacca- lauréat français.

Baccalauréat mathématiques élémentaires A. P. M. E. P.

2. Montrer que les hyperboles (H) peuvent se partager en deux familles, dont deux quelconques d’une même famille sont tangentes à une même droite en O et deux hyperboles de familles différentes sont orthogonales en O. Que peut-on dire des cercles directeurs associés aux foyers F ′ des hyperboles d’une même famille ?

Soient F ′1 et F

2 les seconds foyers de deux hyperboles (H1) et (H2) de familles différentes. Dire, suivant la position des cercles directeurs associés à F ′1 et F

2, combien les hyperboles (H1) et (H2) ont de tangentes communes.

3. a. Montrer que les directrices associées à F des hyperboles de l’une des fa- milles passent par un point fixe, I, et que les directrices associées à F de la seconde famille passent par un second point fixe, I′.

b. Construire les directrices (D), puis les deuxièmes foyers F ′ des hyper- boles d’une même famille, d’excentricité donnée e > 1.

Montrer que le problème admet toujours deux solutions. Montrer aussi que les seconds foyers trouvés sont conjugués harmoniques par rapport à deux points fixes, indépendants de e, que l’on précisera.

4. On suppose que le déplacement de F ′ sur x′Ox est régi par la loi

x = 1+4cos2 2t .

Montrer que c’est un mouvement vibratoire simple, dont on déterminera le centre d’oscillation, l’amplitude, la période, la vitesse v et l’accélération γ.

Chercher une relation entre x et v indépendante du temps t .

N. B. La partie 4 du problème est indépendante des autres.

Liban 2 juin 1964

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