Exercices de mathématiques et géométrie affine, Exercices de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices de mathématiques et géométrie affine, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématiques sur la mathématiques et la géométrie affine. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plan affine arguésien, exercice,
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TD 1 : le plan affine arguésien [10], [11], [15]

L’objet de ce TD inspiré de [15] est de montrer que le plan affine axiomatisé par Euclide et Desargues est naturellement muni d’une structure de plan vectoriel sur un corps K dès qu’on a marqué une origine.

Soit P un ensemble non vide et D un ensemble non vide de parties non vides et distinctes de P. On suppose que si p 6= q P il existe un unique élément de D noté pq tel que p,q pq (*). On suppose aussi que si p P, δ ∈ D et p /∈ δ il existe un unique δ′ ∈ D tel que p ∈ δ′ et δ∩δ′ est vide (**). Ce sont les axiomes d’incidence d’Euclide.

Les éléments de P sont appelés points, ceux de D sont appelés droites et P est appelé plan. On dit qu’une droite δ passe par un point p si p ∈ δ. Des points sont dits alignés s’il existe une droite qui passe par ces points. Des droites sont dites concourantes si elles ont un point commun. Deux droites sont dites parallèles si leur intersection est vide ou si elles sont égales.

Vérifiez les affirmations suivantes.

1 Deux droites distinctes ont au plus un point commun.

2 Le parallélisme est une relation d’équivalence.

3 Il existe au moins trois points non alignés.

4 Soit p,q,r trois points non alignés. Il existe un et un seul point s tel que pq et sr sont parallèles ainsi que ps et qr. On dit que (p,q,r,s) forment un parallélogramme.

5 Soit δ et δ′ deux droites concourantes en p et q hors de δ et δ′. Montrer qu’il existe un unique couple (u,u′) ∈ δ×δ′ tels que (p,u,q,u′) forme un parallélogramme.

6 Les droites ont toutes le même cardinal et il est supérieur ou égal à 2.

7 Si une droite contient exactement deux points alors P contient exactement quatre points et il existe six droites exactement.

On suppose dorénavant que les droites ont au moins trois éléments et on choisit un point noté O et un autre noté i et on note K la droite Oi.

On suppose de plus (axiome de Desargues). Si δ1,δ2,δ3 sont trois droites distinctes, concourantes ou parallèles, ai,bi ∈ δi, i = 1,2,3 sont des points distincts de l’éventuel point commun aux trois droites et si a1a2 et b1b2 sont parallèles ainsi que a2a3 et b2b3 alors a1a3 et b1b3 sont parallèles.

Vérifiez les affirmations suivantes.

8 Il existe une unique loi interne notée + telle que : - (P,+) est un groupe commutatif dont le neutre est O - si u et v sont deux points tels que O,u et v sont non alignés alors u+ v est l’unique point tel que

(O,u,u+ v,v) forme un parallélogramme.

9 Si δ est une droite et u un point alors u+δ = {u+ v : v ∈ δ} est une droite parallèle à δ.

10 La loi + induit sur K une structure de sous-groupe commutatif.

11 Si x K et x 6= O il existe une unique bijection hx de P dans P telle que hx(O) = O,hx(i) = x et qui envoie toute droite sur une droite parallèle. On pose xx(u) = x ·u si u P.

12 L’ensemble H des hx,x K\{O} est stable par composition et (H,◦) est un groupe dont le neutre est hi.

13 Si x,y K\{O} il existe un unique élément noté xy de K\{O} tel que hx hy = hxy.

14 L’ensemble K\{O} muni de ∗ est un groupe dont le neutre est i et (K,+,∗) est un corps.

15 (P,+, ·) est un plan vectoriel sur K et les droites de P sont les droites affines.

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