Exercices de mathématiques sur l'intégration et les probabilités, Exercices de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices de mathématiques sur l'intégration et les probabilités, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématiques sur l'intégration et les probabilités. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices et démonstrations.
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UFR Mathématiques Université Rennes 1 Licence 3ème année Année 2006/2007

Intégration et probabilités - TD 4

Exercice 1. Intégrabilité et comportement à l’infini Construire une application f : R+ → R+ telle que (i) f est continue sur R+,

(ii) ∫ f dλ < +∞,

(iii) ∀a ∈ R+, sup {f(t), t ≥ a} = +∞.

Exercice 2. Intégrabilité et convergence uniforme Sur R muni de la tribu borélienne, donner un exemple de suite (fn)n∈N de fonctions mesurables positives convergeant uniformément vers 0 et vérifiant l’une des propriétés suivantes :

(i) pour tout n ∈ N, fn n’est pas intégrable,

(ii) pour tout n ∈ N, ∫ fn dλ = 1,

(iii) pour tout n ∈ N, fn est intégrable et lim n→∞

∫ fn dλ = +∞.

Exercice 3. Dans chacun des exemples suivants, déterminer la limite de la suite (un)n≥1 :

(i) un = n∑

k=1

n

k2 + nk + 1 ; (ii) un =

2n∑ k=1

n2

kn2 + k2 ; (iii) un =

n2∑ k=1

sin k k2

( k

k + 1

)n .

Exercice 4. ♣ Intervertion de limite et d’intégrale Dans chacun des exemples suivants, déterminer la limite de la suite (un)n∈N∗ définie par

(i) un = ∫ 1 0

n

1 + x2 sin(x/n) dx ; (ii) un =

∫ ∞ 0

n exp(−x) nx+ 1

dx ; (iii) un = ∫ 1 0

(sinx)n√ x

dx ;

(iv) un = ∫ ]0,∞[

(sin t)n

t(1 + t) λ(dt) ; (v) un =

∫ ]0,∞[

sin(tn) tn(1 + t)

λ(dt) ; (vi) un = ∫

R

dt

π(1 + |t|2+1/n) .

Exercice 5. ♣ On munit l’espace [0, 1] de sa tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue. Si n ≥ 2, on pose fn =

n

(lnn)2 1[0,1/n].

Montrer que

(i) pour tout n ≥ 2, la fonction fn est intégrable,

(ii) (fn)n∈N tend presque partout vers 0 et limn→∞

∫ fn dλ = 0.

Déterminer la fonction supn fn. Les conditions d’application du théorème de convergence dominée sont-elles satisfaites ? En modifiant l’exemple précédent, montrer que l’on peut trouver une suite (fn)n∈N de fonctions continues qui ne satisfont pas les conditions du théorème de convergence dominée mais vérifient les propriétés (i) et (ii) ci-dessus.

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Exercice 6. Soit (E,A, µ) un espace mesuré, (An)n∈N une suite d’éléments de E qui forme une partition de E et f : E → R+ une fonction mesurable. Montrer que ∫

E f dµ =

∞∑ n=0

∫ An

f dµ.

On note [x] la partie entière de x. Calculer l’intégrale de f par rapport à la mesure de Lebesgue sur R+ pour f : x 7→ ea[x], avec a ∈ R. Même question pour f : x 7→ 1

[x]! 1{x≥0}.

Exercice 7. Soit f une fonction intégrable de E dans C telle que

∫ A f dµ = 0 pour tout A ∈ A. Montrer que f est nulle

presque partout.

Exercice 8. Pour tout entier n ≥ 1 et tout réel x, on pose fn(x) = e−nx − 2e−2nx. (i) Montrer que

∑ n fn(x) est une série convergente pour tout x > 0 et calculer sa somme f(x).

(ii) Comparer ∫

R+ f(x) dx et

∞∑ n=1

∫ R+

fn(x) dx. Expliquer.

Exercice 9. Un peu de liminf et limsup On munit l’espace [0, 1] de sa tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue. (i) Soit (fn)n∈N une suite de fonctions définies sur R+ par

fn(x) =

 n2x si 0 ≤ x ≤ 1/n, −n2(x− 2/n) si 1/n ≤ x ≤ 2/n, 0 si x ≥ 2/n.

Calculer lim inf ∫ fn dλ,

∫ lim inf fn dλ, lim sup

∫ fn dλ et

∫ lim sup fn dλ.

(ii) Même question avec la suite (gn)n∈N : g2p = 1[0,1/(2p)] et g2p+1 = 1[1/(2p+1),1]. (iii) Commenter les résultats en pensant au lemme de Fatou.

Exercice 10. Révisons les critères d’intégrabilité Soit c un réel positif. (i) Montrer que x 7→ exp(−c

√ x) est Lebesgue intégrable (L.I.) sur [0,+∞[.

(ii) Déterminer l’ensemble des réels α tels que x 7→ xα exp(−c √ x) soit L.I. sur [0,+∞[. Même question sur

[1,+∞[. (iii) Déterminer l’ensemble de couples réels (α, β) tels que u 7→ uα(lnu)β est L.I. sur ]0, 1]. Même question sur

[1,+∞[.

Exercice 11. ♣ Mesures exponentielle et géométrique Soit α > 0 et µ la mesure de densité fα(x) = αe−αx1{x>0} par rapport à la mesure de Lebesgue. (i) Montrer que µ est une mesure de probabilité. (ii) Calculer In =

∫ xn µ(dx) pour n ∈ N.

(iii) Comparer les quantités∫ R x2fα(x) dx−

(∫ R xfα(x) dx

)2 et

∫ R

( x−

∫ R xfα(x) dx

)2 fα(x) dx.

Proposer une interprétation de cette quantité. (iv) Montrer que la mesure image (voir exercice 4 feuille 3) ν de µ par l’application x 7→ [x]+1 (où [x] désigne

la partie entière de x) est une mesure géométrique de paramètre p à calculer. Indication : Montrer que la mesure image est portée par N∗ et que, pour k ∈ N∗, ν({k}) =

∫ [k−1,k[fα(x)µ(dx).

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