Exercices de mathématiques sur la modélisation de séries temporelles de données binaires, Exercices de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices de mathématiques sur la modélisation de séries temporelles de données binaires, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématiques sur la modélisation de séries temporelles de données binaires. - exemple : éruptions de geysers. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Chaînes de Markov, Application : éruption du ge...
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TD 4 : Modélisation de séries temporelles de données binaires

Exemple : éruptions de geysers

M2 Statistique et économétrie

Séries temporelles

2010-11

Objectif : L'objectif de ce TP est de découvrir (et de comprendre!) la modélisation des séries

temporelles binaires.

1 Chaînes de Markov

Un outil naturel pour modéliser une série temporelle binaire est la chaîne de Markov. Nous allons

alors commencer par rappeler les propriétés d'une chaîne de Markov.

Soit {St, t ∈ ℕ} une chaîne de Markov d'ordre un dénie sur l'espace {1, ⋅ ⋅ ⋅ ,M} et de proba- bilités initiales {1, ⋅ ⋅ ⋅ , M} et de matrice de transition Γ telle que

ij = P (St = j∣St−1 = i)

On suppose que la chaîne de Markov est homogène (c'est à dire que sa matrice de transition

ne varie pas dans le temps). Ceci implique que {St} est stationnaire et admet une unique loi stationnaire que nous noterons  = (1, ⋅ ⋅ ⋅ , M ).

En notant v = (1, ⋅ ⋅ ⋅ ,M) et V la matrice qui a pour diagonale v et ses autres éléments nuls, montrer que

1. E(St) = v T

2. E(StSt+k) = V Γ kvT

3. Cov(St, St+k) = V Γ kvT − (vT )2

On remarque (ne pas le montrer) que si Γ est inversible, alors Γk = UΩkU−1 et la covariance s'écrit alors aussi sous la forme suivante :

Cov(St, St+k) = Ω kU−1vT − (T )2

= aΩkbT − a1b1

=

M∑ i=1

a1bi! k i

avec a = V U et bT = U−1vT

1 docsity.com

Montrer que si M=2, alors l'autocorrélation de {St} est de la forme k = k1 (c'est à dire de la même forme que pour un processus AR(1) gaussien).

Montrer que l'estimateur du maximum de vraisemblance de la matrice de transition s'écrit, pour

tous i et j dans {1, ⋅ ⋅ ⋅ ,M},

̂ij = Card(t ∈ {2, ⋅ ⋅ ⋅ , T}, st−1 = i et st = j)

Card(t ∈ {2, ⋅ ⋅ ⋅ , T}, st−1 = i) .

2 Application : éruption du geyser "Old Faithful"

Azzilini et Bowman (1990) ont présenté une série temporelle de données d'éruption du geyser

Old Faithful dans le parc du Yellowstone aux Etats-Unis (voir photo). Il s'agit de données de

durées d'éruption et de temps d'attente entre 2 éruptions.

Ici nous allons nous intéresser à la série des durées d'éruption, mais sous une forme discrétisée.

En pratique, on symbolise par 0 les éruptions de courte durée (moins de 3 minutes) et par 1 les

séries de longue durée (plus de 3 minutes).

Pour avoir une idée du type de données, on peut, pour commencer, lancer les commandes ci-

dessous.

library(MASS)

D = faithful

summary(D)

hist(D$eruptions)

d = as.numeric(D$eruptions>=3)

Mais dans la suite, nous utiliserons un jeu de données plus long et déjà discrétisé

(http://www-labsticc.univ-ubs.fr/~monbet/docs/cours/st/faithful.txt)

(Ref: Azzilini et Bowman (1990), Mc Donald et Zucchini (1997)). On peut, par exemple,

représenter la série temporelle de la façon suivante :

xx = t(matrix(1:L,L,2)) ; yy = t(matrix(c(0*(1:L),d+1),L,2)) ;

txt = which(d==1)

matplot(xx[,txt],yy[,txt],col="black",lty=1,type="l")

txt = which(d==0)

matlines(xx[,txt],yy[,txt],col="red",lty=1,type="l")

2 docsity.com

2.1 Chaîne de Markov d'ordre un

L'idée la plus naturelle pour modéliser cette série temporelle est de la caractériser par une chaîne

de Markov d'ordre un.

1. Estimer les paramètres de la chaîne de Markov.

2. En déduire la loi stationnaire et la matrice d'autocorrélation du modèle (jusqu'à k=8).

3. Comparer ces statistiques avec les statistiques empiriques correspondantes.

4. Commenter.

2.2 Chaîne de Markov d'ordre deux

On a observé dans la question précédente, qu'un modèle de chaîne de Markov d'ordre un ne

permet pas de reproduire correctement la fonction d'autocorrélation des données. On propose

alors d'ajuster un modèle de chaîne de Markov d'ordre deux.

1. Estimer les paramètres de la chaîne de Markov. Pour simplier les calculs, on peut se

ramener à une chaîne de Markov d'ordre un en regroupant les données par couples. Par

exemple, regarder les transitions entre l'état (0,0) et l'état (0,1). L'espace d'état est alors

de dimension 4 : {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}. Rq : ici l'état (0, 0) n'est jamais observé.

2. En déduire la loi stationnaire et la matrice d'autocorrelation du modèle.

3. Comparer ces statistiques avec les statistiques empiriques correspondantes.

4. Commenter.

2.3 Modèle à chaîne de Markov cachée

On a observé dans la question précédente que le modèle à chaîne de Markov d'ordre deux permet

d'assez bien reproduire les statistiques observées. Envisageons maintenant un modèle à chaîne

de Markov cachée avec deux régimes. Les probabilités d'émission sont binomiales.

1. Estimer les paramètres du modèle par un algorithme forward-backward. On utilise la fonc-

tion baumWelch du package HMM. Pour y avoir accès, il sut de télécharcger le chier

http://www-labsticc.univ-ubs.fr/~monbet/doc/cours/ST/hmm.r et d'exécuter un "source"

de ce chier.

hmm = initHMM(c(1,2),c(1,2),

transProbs=t(matrix(c(0.01,0.99,.8,.2),2,2)),

emissionProbs=t(matrix(c(0.8,0.2,0.05,95),2,2)))

H = baumWelch(hmm,c(d+1),20,delta=1E-3)

2. En déduire la loi stationnaire et la fonction d'autocorrelation du modèle.

3. Comparer ces statistiques avec les statistiques empiriques correspondantes, ainsi qu'avec

les statistiques du modèle précédent. On pourra tracer sur un même graphique les fonctions

d'autocorrélation des deux modèles avec la fonction d'autocorrélation empirique.

4. Calculer les critères BIC pour les 3 modèles.

5. Commenter l'ensemble des résultats et conclure.

3 docsity.com

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