Exercices de mathématiques sur la théorie algébrique des nombres, Exercices de Mathématiques Appliquées

Télécharge Exercices de mathématiques sur la théorie algébrique des nombres et plus Exercices au format PDF de Mathématiques Appliquées sur Docsity uniquement! Université de Rennes 1 Master M1 de mathématiques Année 2006-2007 H04. Théorie algébrique des nombres Feuille de TD 3 Exercice 1 1. Soit K un corps, m > 1 et n > 1 des entiers et Mm,n(K) l'ensemble des matrices à m lignes et n colonnes à coecients dans K. Deux matrices M et N de Mm,n(K) sont dites L-équivalentes si on peut passer de M à N par des opérations élémentaires sur les lignes. Vérier que la L-équivalence est une relation d'équivalence sur Mm,n(K), et que deux matrices L-équivalentes ont le même rang. 2. Soit M ∈ Mm,n(K). On dit que M est sous forme normale échelonnée selon les lignes s'il existe un entier r tel que 0 6 r 6 m et les propriétés suivantes sont vériées : (a) les r premières lignes de M sont non nulles et les m− r dernières lignes de M sont nulles ; pour tout i vériant 1 6 i 6 r, on note p(i) le plus petit indice tel que mi,p(i) soit non nul ; (b) la suite (p(i))16i6r est strictement croissante (la suite (p(i))16i6r est appelée suite des pivots de la matrice M) ; (c) pour tout 1 6 i 6 r on a mi,p(i) = 1 ; (d) pour tout 1 6 i 6 r et tout j < i, le coecient mj,p(i) est nul. Vérier que pour une telle matrice M , r est le rang de M . Montrer que toute matrice de Mm,n(K) est L-équivalente à une matrice sous forme normale échelonnée selon les lignes. Montrer que toute matrice de GLm(K) est L-équivalente à la matrice identité ; en déduire que deux matrices M et N de Mm,n(K) sont L-équivalentes si et seulement s'il existe un élément U de GLm(K) tel que M = U N . 3. Soit M une matrice de Mm,n(K). Par des opérations élémentaires sur les lignes de M , on transforme M en une matrice sous forme normale échelonnée selon les lignes. On eectue les mêmes opérations élémen- taires sur les lignes de la matrice identité de taille m. Qu'obtient-on ? 4. Soit E et F desK-espace vectoriels de dimension nie m et n respective- ment. Soit B = (ej)16j6n une base de E. Pour 0 6 j 6 n, soit Ej le sous- espace de E engendré par les (ek)16k6j. Soit u une application linéaire de E vers F . Pour 0 6 j 6 n, on pose dBj (u) = dim(Ker(u) ∩ Ej). Les 1 docsity.com B-paliers de u sont les entiers j vériant 1 6 j 6 n et dBj (u) = d B j−1(u). Vérier que le nombre de B-paliers de u est égal au rang de u. Soit B′ une base de F et M = Mat(u, B, B′). On suppose que M est sous forme normale échelonnée selon les lignes. Montrer que la suite des B-paliers de u est la suite des pivots de M . 5. Soit M et N deux matrices de Mm,n(K) qui sont sous forme normale échelonnée selon les lignes et L-équivalentes. Déduire du 4. que M = N . Ainsi toute matrice M de Mn,m(K) est L-équivalente à une unique matrice sous forme normale échelonnée selon les lignes. On appelle cette matrice la forme normale échelonnée selon les lignes de M . 6. Énoncer les versions tranposées des résultats précédents (C-équivalence, forme normale échelonnée selon les colonnes. . .) Exercice 2 1. Soient m > 1 et n > 1 des entiers et Mm,n(Z) l'ensemble des matrices à m lignes et n colonnes. Deux matrices M et N de Mm,n(Z) sont dites dites Z-L-équivalentes si on peut passer de M à N par des Z- opérations élémentaires sur les lignes. Montrer que la Z-L-équivalence est une relation d'équivalence sur Mm,n(Z). 2. Soit M ∈ Mm,n(Z). On dit que M est sous forme normale de Hermite selon les lignes s'il existe un entier r tel que 0 6 r 6 m et les propriétés suivantes sont vériées : (a) les r premières lignes de M sont non nulles et les m− r dernières lignes de M sont nulles ; (b) pour tout i vériant 1 6 i 6 r, soit p(i) le plus petit indice tel que mi,p(i) soit non nul ; la suite (p(i))16i6r est strictement croissante et pour tout 1 6 i 6 r on a mi,p(i) > 0 ; (c) pour tout 1 6 i 6 r et tout j < i, on a 0 6 mj,p(i) < mi,p(i). Montrer que toute matrice de Mm,n(Z) est Z-L-équivalente à une ma- trice sous forme normale de Hermite selon les lignes. Montrer que toute matrice de GLm(Z) est Z-L-équivalente à la matrice identité ; en dé- duire que deux matrices M et N de Mm,n(Z) sont L-équivalentes si et seulement s'il existe un élément U de GLm(Z) tel que M = U N . 3. Comment s'obtient la forme normale échelonnée selon les lignes d'une matrice sous forme normale de Hermite selon les lignes ? 4. Soit M une matrice de Mm,n(Z). Par des Z-opérations élémentaires sur les lignes de M , on transforme M en une matrice sous forme normale 2 docsity.com