Exercices de mathématiques sur la théorie algébrique des nombres, Exercices de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices de mathématiques sur la théorie algébrique des nombres, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématiques sur la théorie algébrique des nombres. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices de 1 à 6.
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Université de Rennes 1 Master M1 de mathématiques Année 2006-2007 H04. Théorie algébrique des nombres

Feuille de TD 3

Exercice 1

1. Soit K un corps, m > 1 et n > 1 des entiers et Mm,n(K) l'ensemble des matrices à m lignes et n colonnes à coecients dans K. Deux matrices M et N de Mm,n(K) sont dites L-équivalentes si on peut passer de M à N par des opérations élémentaires sur les lignes. Vérier que la L-équivalence est une relation d'équivalence sur Mm,n(K), et que deux matrices L-équivalentes ont le même rang.

2. Soit M ∈ Mm,n(K). On dit que M est sous forme normale échelonnée selon les lignes s'il existe un entier r tel que 0 6 r 6 m et les propriétés suivantes sont vériées :

(a) les r premières lignes de M sont non nulles et les m− r dernières lignes de M sont nulles ; pour tout i vériant 1 6 i 6 r, on note p(i) le plus petit indice tel que mi,p(i) soit non nul ;

(b) la suite (p(i))16i6r est strictement croissante (la suite (p(i))16i6r est appelée suite des pivots de la matrice M) ;

(c) pour tout 1 6 i 6 r on a mi,p(i) = 1 ;

(d) pour tout 1 6 i 6 r et tout j < i, le coecient mj,p(i) est nul.

Vérier que pour une telle matrice M , r est le rang de M . Montrer que toute matrice de Mm,n(K) est L-équivalente à une matrice sous forme normale échelonnée selon les lignes. Montrer que toute matrice de GLm(K) est L-équivalente à la matrice identité ; en déduire que deux matrices M et N de Mm,n(K) sont L-équivalentes si et seulement s'il existe un élément U de GLm(K) tel que M = U N .

3. Soit M une matrice de Mm,n(K). Par des opérations élémentaires sur les lignes de M , on transforme M en une matrice sous forme normale échelonnée selon les lignes. On eectue les mêmes opérations élémen- taires sur les lignes de la matrice identité de taille m. Qu'obtient-on ?

4. Soit E et F desK-espace vectoriels de dimension nie m et n respective- ment. Soit B = (ej)16j6n une base de E. Pour 0 6 j 6 n, soit Ej le sous- espace de E engendré par les (ek)16k6j. Soit u une application linéaire de E vers F . Pour 0 6 j 6 n, on pose dBj (u) = dim(Ker(u) ∩ Ej). Les

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B-paliers de u sont les entiers j vériant 1 6 j 6 n et dBj (u) = d B j−1(u).

Vérier que le nombre de B-paliers de u est égal au rang de u. Soit B′

une base de F et M = Mat(u, B, B′). On suppose que M est sous forme normale échelonnée selon les lignes. Montrer que la suite des B-paliers de u est la suite des pivots de M .

5. Soit M et N deux matrices de Mm,n(K) qui sont sous forme normale échelonnée selon les lignes et L-équivalentes. Déduire du 4. que M = N . Ainsi toute matrice M de Mn,m(K) est L-équivalente à une unique matrice sous forme normale échelonnée selon les lignes. On appelle cette matrice la forme normale échelonnée selon les lignes de M .

6. Énoncer les versions tranposées des résultats précédents (C-équivalence, forme normale échelonnée selon les colonnes. . .)

Exercice 2

1. Soient m > 1 et n > 1 des entiers et Mm,n(Z) l'ensemble des matrices à m lignes et n colonnes. Deux matrices M et N de Mm,n(Z) sont dites dites Z-L-équivalentes si on peut passer de M à N par des Z- opérations élémentaires sur les lignes. Montrer que la Z-L-équivalence est une relation d'équivalence sur Mm,n(Z).

2. Soit M ∈ Mm,n(Z). On dit que M est sous forme normale de Hermite selon les lignes s'il existe un entier r tel que 0 6 r 6 m et les propriétés suivantes sont vériées :

(a) les r premières lignes de M sont non nulles et les m− r dernières lignes de M sont nulles ;

(b) pour tout i vériant 1 6 i 6 r, soit p(i) le plus petit indice tel que mi,p(i) soit non nul ; la suite (p(i))16i6r est strictement croissante et pour tout 1 6 i 6 r on a mi,p(i) > 0 ;

(c) pour tout 1 6 i 6 r et tout j < i, on a 0 6 mj,p(i) < mi,p(i).

Montrer que toute matrice de Mm,n(Z) est Z-L-équivalente à une ma- trice sous forme normale de Hermite selon les lignes. Montrer que toute matrice de GLm(Z) est Z-L-équivalente à la matrice identité ; en dé- duire que deux matrices M et N de Mm,n(Z) sont L-équivalentes si et seulement s'il existe un élément U de GLm(Z) tel que M = U N .

3. Comment s'obtient la forme normale échelonnée selon les lignes d'une matrice sous forme normale de Hermite selon les lignes ?

4. Soit M une matrice de Mm,n(Z). Par des Z-opérations élémentaires sur les lignes de M , on transforme M en une matrice sous forme normale

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de Hermite selon les lignes. On eectue les mêmes Z-opérations élémen- taires sur les lignes de la matrice identité de taille m. Qu'obtient-on ?

5. Soit M et N deux matrices de Mm,n(Z) qui sont sous forme normale de Hermite selon les lignes et Z-L-équivalentes. Montrer que M = N . Ainsi toute matrice M de Mn,m(Z) est Z-L-équivalente à une unique matrice sous forme normale de Hermite selon les lignes. On appelle cette matrice la forme normale de Hermite selon les lignes de M .

6. Énoncer les résultats transposés des résultats précédents.

Exercice 3

1. Deux matrices M et N de Mm,n(Z) sont dites Z-équivalentes s'il existe des éléments U de GLm(Z) et V de GLn(Z) tels que M = U N V . Vérier que la Z-équivalence est une relation d'équivalence sur Mm,n(Z) (ouf. . .) et que deux matrices de Mm,n(Z) sont Z-équivalentes si et seulement si l'une se déduit de l'autre par des Z-opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes.

2. Soit M ∈ Mm,n(Z). On dit que M est sous forme normale de Smith si elle est diagonale à coecients diagonaux positifs et pour tout i vériant 1 6 i 6 Min(m, n)− 1, mi,i divise mi+1,i+1. Montrer que toute matrice M de Mm,n(Z) est Z-équivalente à une matrice sous forme normale de Smith.

3. Soit M ∈ Mm,n(Z). Pour tout i vériant 1 6 i 6 Min(m, n), soit ∆i(M) le pgcd des mineurs d'ordre i de la matrice M . Montrer que si N s'obtient à partir de M par des Z-opérations élementaires sur les lignes, on a ∆i(N) = ∆i(M) pour tout i. Calculer les ∆i(M) si M est sous forme normale de Smith.

4. Déduire de la question précédente que toute matrice M ∈ Mm,n(Z) est Z-équivalente à une unique matrice sous forme de Smith ; on appelle cette matrice la forme normale de Smith de M .

5. Soit M une matrice de Mm,n(Z). Par des Z-opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes de M , on transforme M en une matrice sous forme normale de Smith. On eectue les mêmes Z-opérations élé- mentaires sur les lignes (respectivement sur les colonnes) de la matrice identité de taille m (respectivement de taille n). Qu'obtient-on ?

6. (Théorème de la base adaptée) Soit E un Z-module libre de rang ni m, f1, . . . , fn des éléments de E et F le sous-module de E engendré par les fi. Soit B une base de E et M la matrice à m lignes et n colonnes dont la i-ème colonne est le vecteur des coordonnées de fi dans la base B.

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Montrer en utilisant la forme normale de Smith de M qu'il existe un unique entier 0 6 r 6 m et une unique suite d1, . . . , dr d'entiers stric- tement positifs vériant les propriétés suivantes : (a) pour tout 1 6 i 6 r − 1, di divise di+1 ; (b) il existe une base (e1, . . . , em) de E telle que (d1 e1, . . . , dr er) est

une base de F .

Exercice 4

1. Soit A le vecteur colonne

 615 10

 et H la forme normale de Hermite selon les lignes de A. Calculer H et une matrice U ∈ GL3(Z) telle que

U A = H. En déduire que l'on peut compléter le vecteur

 615 10

 en une base de Z3, et donner une telle base. Quelle est la forme normale de Hermite selon les colonnes de A ?

2. À quelle condition nécessaire et susante peut-on compléter une famille de vecteurs de Zn en une base de Zn ?

Exercice 5

1. Soit A la matrice

( 2 4 4 11

) . Soit S la forme de Smith de M . Calculer

S et deux matrices U et V de GL2(Z) telles que S = U A V .

2. Soit M le sous Z-module de Z2 engendré par (2, 4) et (4, 11). Déduire du calcul précédent une base de Z2 adaptée à M .

Exercice 6

1. Soit A la matrice

( 2 4 3 4 5 7

) et B la matrice

( 3 2

) .

2. Soit H1 la forme normale de Hermite selon les lignes de la matrice A Déterminer H1 ainsi qu'une matrice U ∈ GL2(Z) telle que U A = H1.

3. Soit H2 la forme normale de Hermite selon les colonnes de la matrice A. Déterminer H2 ainsi qu'une matrice V ∈ GL3(Z) telle que A V = H2.

4. Résoudre le système d'équations diophantiennes linéaires

A X = B, X ∈ Z3.

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Exercice 7

Résoudre l'équation

2x+ 3 y + 5 z = 1, (x, y, z) ∈ Z3.

Exercice 8

Résoudre dans Q4 puis dans Z4 4x1 − 17x2 − 22x3 − 9x4 = a

− 30x2 + 45x3 − 18x4 = b 20x1 − 75x2 + 95x3 − 39x4 = c 7x1 − 25x2 + 33x3 − 14x4 = d

(discuter suivant les valeurs de a, b, c et d).

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