Exercices de mathématiques sur les principes de algèbre commutative et de géométrie algébrique, Exercices de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices de mathématiques sur les principes de algèbre commutative et de géométrie algébrique, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématiques sur les principes de algèbre commutative et de géométrie algébrique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: A designe un anneau et k designe un corps., exercices, corrections.
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ACGA 2012-2013

Algèbre commutative et géométrie algébrique

TD Chapitre 4

Dans tous les exercices, A désigne un anneau et k désigne un corps.

Exercice 1. (a) Montrer que la topologie de Zariski sur SpecA est en général non séparée.

(b) Montrer que SpecA est un espace T0: pour deux points distincts quelconques, l’un des deux points admet un voisinage qui ne contient pas l’autre point.

Exercice 2. Soit F un préfaisceau sur un espace topologique X. Vérifier que la construction suivante donne un faisceau F+ sur X: pour U ⊂ X un ouvert, on l’associe F+(U) le sous-ensemble des (sx) ∈

∏ x∈U Fx tels que pour tout x ∈ U il existe un ouvert V ⊂ U contenant x et s′ ∈ F(V )

tel que sy = s ′ y pour tout y ∈ V .

Exercice 3. Supposons A une k-algèbre de type fini.

a) Montrer que A est un anneau de Jacobson, c’est-à-dire, pour tout p ∈ SpecA, on a

p = ⋂

p⊂m∈MaxA m.

b) Montrer que les points fermés sont denses dans SpecA.

c) Soit f : A→ B un morphisme entre deux k-algèbres de type fini. Montrer que f ] : SpecB → SpecA induit une application MaxB → MaxA.

Exercice 4. Notons A1Z = SpecZ[T ].

a) Soit f ] : A1Z → SpecZ le morphisme induit par le morphisme naturel f : Z → Z[T ]. Déterminer (f ])−1({p}) pour p ∈ SpecZ.

b) Soit m un idéal maximal de A1Z et U = A1Z\{m}. Déterminer O(U).

Exercice 5. Soit A = k[X,Y ] et m = 〈X,Y 〉 ∈ SpecA. Notons U := SpecA\{m} l’ouvert de SpecA. Montrer que le schéma (U,O|U ) n’est pas affine.

Exercice 6. Soit X = {p, q1, q2} l’espace topologique avec 3 points, dont la topologie est engendrée par les ouverts:

X1 := {p, q1}, X2 := {p, q2}

Définissons un préfaisceau OX sur X comme suite:

OX(X) = OX(X1) = OX(X2) = k[T ](T ), OX({p}) = k(T )

avec les applications OX(X)→ OX(Xi) et OX(Xi)→ OX({p}) les inclusions évidentes.

a) Vérifier que OX est un faisceau sur X.

b) Montrer que (X,OX) est un schéma non affine.

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TD Chapitre 4 Corrigé

Exercice 1. (a) Nous allons un exemple que SpecA ne soit pas séparée. Soit A un anneau intègre non corps et soit x0 = (0) l’idéal premier nul. Nous allons montrer que tout ouvert non vide U de SpecA contient toujours x0: écrivons U = V (I)

c, avec I un idéal non nul de A (car U non vide). Alors x0 /∈ V (I), d’où x0 ∈ U .

Soit x1 un autre point de SpecA. Alors tout voisinage ouvert de x1 contient x0 par ce qu’on a montré, donc la topologie n’est pas séparée.

(b) Soient p1, p2 ∈ SpecA avec p1 6= p2. En prenant le complémentaire, il est équivalent à montrer l’existence d’un fermé V qui ne contient que l’un des deux points. Or, on vérifie facilement que soit V (p1) soit V (p2) satisfait la condition (car p1 6= p2).

Exercice 3. (c) Soit m un idéal maximal de B. Par le théorème des zéros de Hilbert, le quotient B/m, qui est un corps contenant k, est une extension finie sur k. En particulier B/m est entier sur k. L’injection A/f−1(m) ↪→ B/m implique que A/f−1(m) est aussi entier sur k, donc A/f−1(m) est un anneau de dimension 0. D’ailleurs, A/f−1(m) est intègre, l’idéal (0) est premier, donc maximal. Donc A/f−1(m) est un corps et f−1(m) est maximal.

(a) Montrons d’abord l’énoncé pour A = k[X1, ..., Xn]. En fait nous allons montrons l’énoncé plus général que: pour tout I idéal propre, on a

√ I =

⋂ I⊂m∈Max(A)

m.

Soit P /∈ √ I, nous allons construire un idéal maximal m ∈ Max(A) qui contient I mais pas P . Par

conséquent on a P /∈ ⋂

I⊂mm. Cela étant vrai pour tout P /∈ √ I, on déduit que

⋂ I⊂mm ⊆

√ I.

L’autre inclusion étant évidente, on obtient l’égalité. Pour construire m, rappelons le résultat suivant (voir TD2, Exo 19):

Lemme: Soit P ∈ k[X1, ..., Xn] et I idéal propre de k[X1, ..., Xn]. Alors P ∈ √ I si et seulement

si 1 ∈ J := 〈I, Y P − 1〉 dans k[X1, ..., Xn, Y ].

Comme P /∈ √ I, l’idéal J est propre, donc est contenu dans un idéal maximal n de k[X1, ..., Xn, Y ].

Posons m = n ∩ k[X1, ..., Xn]. Alors m satisfait les conditions demandées:

– m ⊃ I, car I ⊂ J ⊂ n

– P /∈ m, car sinon P ∈ n puis 1 ∈ n, absurde.

Pour déduire l’énoncé pour A général, il suffit d’écrire A comme quotient d’un anneau de polynômes:

φ : k[X1, ..., Xn]  A

et appliquer le résultat à φ−1(I).

(b) On doit montrer que tout ouvert non vide U contient au moins un point fermé, i.e. un idéal maximal. On écrit U = V (I)c, où I est un idéal de A. Si U ne contient aucun point fermé, alors Max(A) ⊂ V (I), donc I ⊂ m pour tout m ∈ Max(A). Or, par (a) on a

√ (0) =

⋂ mm, d’où

I ⊂ √

(0), puis V (I) = SpecA et U est vide. Le résultat s’en déduit.

Exercice 5. On va montrer que O(U) = k[X,Y ]. En fait, on a U = D(X) ∪ D(Y ) et comme D(X), D(Y ) sont des ouverts standards et D(X) ∩D(Y ) = D(XY ), on a

O(D(X)) = k[X,Y ]X , O(D(Y )) = k[X,Y ]Y , O(D(XY )) = k[X,Y ]XY .

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De plus, O(U) s’identifie aux éléments (a, b) ∈ k[X,Y ]X × k[X,Y ]Y tel que a = b dans k[X,Y ]XY . On peut écrire a = fXm avec f ∈ k[X,Y ] premier à X, et b =

g Y n avec g ∈ k[X,Y ] premier à Y . La

condition f

Xm =

g

Y n dans k[X,Y ]XY

implique que m = n = 0 et f = g dans k[X,Y ]. D’où O(U) = k[X,Y ]. Si U était affine, on aurait U ∼= SpecO(U) = Speck[X,Y ], c’est absurde car U = Speck[X,Y ]\{m}.

Exercice 6. (b) On voit que pour i = 1, 2, (Xi,OX |Xi) est un schéma affine, isomorphe à Speck[T ](T ), donc (X,OX) est un schéma. Il n’est pas affine, car sinon on aurait X ∼= SpecOX(X) = Speck[T ](T ). Or, l’espace dernier consiste en deux points, (0) et l’unique idéal maximal, donc une contradiction.

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