Exercices de mathématiques sur les principes de statistique et econométrie, Exercices de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices de mathématiques sur les principes de statistique et econométrie, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématiques sur les principes de statistique et econométrie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices de 1 à 5, considérations.
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Statistiques

Master Statistique et econométrie

TD - Feuille no 4

V. Monbet

Master 1 - 2012-2013

Exercice 1 (CT 2011-2012)

On suppose que le nombre de clients N attendant à la caisse d’un grand magasin à 11h00 du matin peut être modélisé par une loi de Poisson de paramètre θ > 0. On sait que pour les clients la limite du supportable en attente est de voir au maximum 5 clients devant une caisse. La question se pose de savoir si l’on doit augmenter ou non le nombre de personnes travaillant aux caisses : ceci conduit à un probleme de test sur l’opportunité d’embaucher.

Pour la direction, peu désireuse d’embaucher, le problème se pose de la manière suivante : H0 : θ ≤ 5 contre H1 : θ > 5 à tester avec le niveau 5%; ainsi, la direction veut que la probabilité d’embaucher alors qu’il n’y en a pas besoin est contrôlée (moins de 5%) sans s’interésser à l’autre erreur possible (qui est de ne pas embaucher alors qu’il le fallait).

1. Déterminer les résultats des tests du rapport de vraisemblance sachant que l’on dispose

(a) d’une seule observation de valeur 6;

(b) de 100 observations de moyenne 5.4.

2. Quelles sont les propriétés du test de rapport de vraisemblance (a)? Justifier la réponse.

Exercice 2

Voici les chiffres (fictifs) du suivi d’une population de 100 personnes (50 fumeurs, 50 non fumeurs) pendant 20 ans.

fumeur non fumeur cancer diagnosiqué 11 5 pas de cancer 39 45

On s’intéroge : la différence du nombre de cancers entre fumeurs et non fumeurs est-elle statistiquement significative? On note Xi la variable qui vaut 1 si le fumeur i a été atteint

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d’un cancer et 0 sinon. De même, on note Yi la variable qui vaut 1 si le non fumeur i a été atteint d’un cancer et 0 sinon. On suppose les Xi de loi Bernouilli de paramètre θf et les Yi de loi Bernouilli de paramètre θnf .

1. Si θf 6= θnf , quelle est la limite de √ n|X̄n − Ȳn|?

2. On suppose que θf = θnf = θ et on note θ̂ = (X̄n + Ȳn)/2. Montrer que√ n

2θ̂(1− θ̂) (X̄n − Ȳn)

converge en loi vers une variable de loi de Gauss centrée et réduite.

3. Proposez un test de niveau asyptotique 5% de H0 : ”le taus de cancer n’est pas différent” contre H1 : ”le taux de cancer est différent”.

4. Supposons maintenant qu’une étude supplémentaire permet d’avoir le suivi de 300 personnes et que les proportions sont les mêmes :

fumeur non fumeur cancer diagnosiqué 33 15 pas de cancer 117 135

Quelle est la conclusion avec ces données?

5. Revenons aux chiffres de la première étude : proposez un test de niveau asympto- tique 5% de H0 : ” fumer n’a pas d’impact sur le taux de cancer” contre ”fumer augmente le taux de cancer”. Quelle est sa conclusion? Quelle est al p-valeur associée aux données?

6. Que retenir?

Exercice 3

Considérons n variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées de densité

f(x; θ) = θxθ−1 pour 0 ≤ x ≤ 1

avec θ un paramètre réel positif.

1. Montrer que le test uniformément plus puissant pour tester

H0 : θ ≤ 1 contre H1 : θ > 1

au niveau α rejette H0 si

T (x1, · · · , xn) = n∑ i=1

ln(xi) ≥ k

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2. Quelle est la distribution de T (X1, · · · , Xn) sous H0?

3. Supposons que α = 0.05 et que n = 50. Trouver une valeur exacte ou approchée pour k.

Exercice 4

Le taux normal de glycémie est de 1,0 g/L. On dose la glycémie chez 17 sujets diabétiques à jeun depuis 4 heures. La moyenne estimée est de 1,2 g/L avec un écart-type de 0,10 g/L.

Peut-on dire, au risque de 5%, que ces sujets sont hyperglycémiques en supposant que le taux de glycémie est distribué selon une loi normale?

Exercice 5

Le pourcentage de grossesses multiples en France en 1950, donc avant l’introduction des contraceptifs était de 1.25%. En 1991, dans un échantillon de 1000 grossesses de femmes ayant utilisé par le passé des contraceptifs oraux, 21 ont été multiples.

1. La proportion observée dans cet échantillon est-elle significativement supérieure à celle de 1950? On fera un test au niveau de signification nominal 5% et on donnera le niveau de signification réel du test.

2. Peut-on en déduire que l’emploi de contraceptifs oraux augmente le risque de grossesses multiples?

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