Exercices de mathématiques sur les principes de statistique et économétrie, Exercices de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices de mathématiques sur les principes de statistique et économétrie, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématiques sur les principes de statistique et econométrie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la durée d’une connection, le nombre de cas graves traités, exercices.
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Statistiques Master Statistique et econométrie

TD - Feuille no 3

V. Monbet

Master 1 - 2012-2013

Exercice 1

On peut modéliser la durée d’une connection sur le site ”www.Cpascher.com” par une loi gamma γ(2, 1/θ) de densité

f(x; θ) = θ−2x exp(−x/θ)IR+(x).

Pour fixer vos tarifs publicitaires, vous voulez estimer le paramètre θ à partir d’un échantillon X1, ...,Xn de n durées de connexion.

1. Vérifiez que f est bien une densité de probabilité.

2. Vous décidez d’estimer θ par l’estimateur du maximum de vraisemblance θ̂n. Déterminer θ̂n.

3. Sachant que Eθ[X1] = 2θ, l’estimateur θ̂n est-il biaisé?

4. Vous vous interrogez sur la performance de votre estimateur. On vous donne V arθ(X1) = 2θ2. Comparez la variance de θ̂n à la borne de Cramer-Rao. Con- clusion ?

Exercice 2

On observe le nombre de cas graves traités chaque jour par un vétérinaire sur une période de 200 jours.

X : Nbre de cas graves (i) 0 1 2 3 4 5 et plus Nbre de jours (ni) 50 74 50 21 4 1

Notons X la variable aléatoire observée. On modélise la loi de X par une loi de Poisson de paramètre λ.

Partie 1 - Considérons l’estimation de λ.

1

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1. Donner l’estimateur du maximum de vraisemblance de λ. En déduire l’estimation correspondant aux observations ci-dessus. Puis calculer la probabilité d’avoir plus de 3 cas graves un jour donné.

2. L’estimateur du maximum de vraisemblance est-il efficace? Justifier votre réponse.

Partie 2 - Considérons maintenant l’estimation de g(λ) = λ2 par l’estimateur

Tn = (X̄n)2 − 1 n

X̄n

1. Montrer que Tn est un estimateur sans biais de g(θ).

2. Montrer que Tn est un estimateur de variance minimale pour g(θ). Indication : montrer que X̄n est exhaustive complète pour λ puis utiliser le théorème de Lehman-Scheffé.

3. Calculer la borne de Cramér-Rao pour Tn.

4. Prouver que X1 + · · ·+Xn suit une loi de Poisson de paramètre nθ. Et montrer que

V ar(Tn) = 4θ3

n +

2θ2

n2

5. En déduire que Tn n’est pas efficace pour g(θ).

Exercice 3

On dispose d’un n-échantillon (X1, · · · ,Xn) d’une loi de densité

(1 − θ)I]−0.5,0](x) + (1 + θ)I]0,0.5](x)

où θ est un paramètre réel inconnu.

1. Quelles conditions doit vérifier θ?

2. Déterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance de θ.

3. Donner la forme du test de rapport de vraisemblance pour H0 : θ = θ0 contre H1 : θ = θ1

Exercice 4

Soit p > 1 un paramètre fixé et soient X1, · · · ,Xn n variables aléatoires indépendantes ayant la même loi, de densité

fp(x) = p − 1 xp

I[1,+∞[(x).

2

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1. Montrer qu’il existe deux constantes a et b > 0 telles que la suite

1 b √

n

n∑

j=1

(ln Xj − a)

converge en loi vers une variable gaussienne standard.

2. On désire tester l’hypothèse p = 2 contre l’alternative p = 3. Quelle est la forme des tests de Neyman-Pearson?

3. Déduire de ce qui précède une région critique de niveau asymptotique 5% pour le test envisagé.

Exercice 5

Dans le contexte de l’évaluation du nombre X d’accidents cérébraux consécutifs au vaccin anticoqueluche (sur 500000 vaccins), on veut déterminer si ce nombre est inférieur ou égal à 5 ou supérieur à 10. On modélise la distribution de X par une loi de Poisson de paramètre λ de sorte qu’on peut poser les hypothèses de test suivantes :

H0 : λ ≤ 5 contre H1 : λ ≥ 10

1. Calculer le risque α et le manque de puissance β associés à la règle de décision suivante : on choisit H0 si x ≤ 7 et H1 si x ≥ 8 avec x le nombre d’accidents observé.

2. Chaque année 500000 enfants de moins de un an sont vaccinés en France. Une année, on observe 6 accidents. Que concluez-vous? Donner le degré de signification réel du test.

3. Même question pour 12 accidents.

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