Exercices de mathématiques sur les statistiques, Exercices de Méthodes Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez29 January 2014

Exercices de mathématiques sur les statistiques, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématiques concernant les statistiques. corrigé de la 1ère séance - Les tableaux de fréquences, les représentations graphiques et les paramètres de position. Les principaux thèmes abordés sont les suivant...
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tp10203

1

Année académique 2002-2003 : Statistiques : Corrigé de la 1ère séance

Les tableaux de fréquences, les représentations graphiques et les paramètres de position

Exercice 1.2 c) et d) Rappel des règles d’action : i. Le résultat ne peut-être plus précis que les données originales. ii. Pour les additions et les soustractions : Le résultat final ne peut avoir plus de chiffres significatifs (après la virgule) que n’en a le nombre qui, dans l’opération, possède le moins de chiffres significatifs (après la virgule). iii. Pour les multiplications, divisions, extractions de racines, etc : Le résultat final ne peut posséder plus de chiffres significatifs au total que le nombre qui, dans l’opération, a le moins de chiffres significatifs. iv. Arrondir vers le haut pour les chiffres de 5 à 9 et vers le bas pour les chiffres de 1 à 4. c) 1) 423,12 + 125,318 = 548,44 (on arrondit à la réponse finale ! ! !)

2) 15,55 / 3,8 = 4,1 d) 1) 4 chiffres significatifs

2) 4 ou 5 chiffres significatifs 3) 3 ou 4 chiffres significatifs 4) 4 chiffres significatifs 5) 1 chiffre significatif 6) 1 chiffre significatif 7) 5 ou 6 chiffres significatifs

Exercice 1.8

a) Le caractère étudié est le nombre d’enfants par famille Tableau de fréquences

x = nombre d’enfants par famille

Fi fi C(xi) c(xi)

xo =0 5 0,0357 5 0,0357 x1 =1 8 0,0571 13 0,0928 x2 =2 12 0,0857 25 0,1785 x3 =3 18 0,1286 43 0,3071 x4 =4 28 0,2000 71 0,5071 x5 =5 36 0,2571 107 0,7642 x6 =6 25 0,1786 132 0.9428 x7 =7 8 0,0572 140 1 Total 140 1

N.B. : les fréquences peuvent bien sûr être exprimées en pourcentage.

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2

b) Histogramme de la distribution de fréquences

Histogramme des fréquences

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 1 2 3 4 5 6 7

Nombre d'enfants par famille

F ré

q u

en ce

s

Fréquences

On constate une asymétrie à droite (médiane<mode ; on parle aussi d’assymétrie négative) ; la grande majorité des familles adhérant à la Ligue des Familles ont entre 3 et 6 enfants. Les familles qui ont un petit nombre d’enfants (0 ou 1) ou qui ont un très grand nombre d’enfants (7) constituent des cas extrêmes. c) Diagramme des fréquences cumulées

Diagramme des fréquences cumulées

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7

Nombre d'enfants par famille

fr éq

u en

ce s

cu m

u lé

es

fréquences

Nombre de familles qui ont au plus 5 enfants : C(x5)=107 Nombre de familles qui ont au moins 4 enfants : N-C(x3)=140-43=97

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3

d) Perte de recettes fiscales : 1. Nombre de personnes qui bénéficient de la réduction de 10000 (familles qui ont 3, 4 ou 5 enfants) = C(x5)-C(x2)=107-25=82 2. Nombre de personnes qui bénéficient de la réduction de 20000 (familles qui ont 6 et 7 enfants) = N-C(x5)=140-107=33 3. Perte de recettes fiscales : (10.000*82)+(20.000*33)= 1.480.000 francs.

Exercice 1.12 La variable traitée est une variable quantitative discrète. L’échelle de mesure est proportionnelle

a) Polygone de fréquences

Polygone des fréquences

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Nbre d'opérations financières

F ré

q u

en ce

s

b) L’allure du polygone de fréquences est assez « tourmentée ». Cette allure pourrait être

atténuée en répartissant les données en classes. Avantage : La répartition en classes permet de régulariser les courbes en compensant les irrégularités locales. Le phénomène étudié peut alors être mieux visualisé. L’information est peut-être moins détaillée mais l’analyse en est certainement plus aisée.

c) Il existe deux façons de procéder pour regrouper les observations en classes. Nous

présenterons ici l’approche anglo-saxonne. A. Les observations sont déjà triées par ordre croissant B. Etendue E = xmax - xmin = 20-0 = 20 C. Nombre de classes k

Par exemple k=5 (choix arbitraire)

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4

D. Amplitude : a= E/k = 20/5 = 4 (au cas où l’amplitude ne serait pas un entier, on arrondit à l’unité supérieure afin de faciliter la lecture graphique. Attention ! ne jamais arrondir vers le bas ce qui créerait une nouvelle étendue trop petite! ! !)

E. On fixe les bornes des intervalles de classe F. On détermine les centres de classes Remarques sur l’approche anglo-saxonne : xj → (ej-1, ej ) si ej-1< xj ≤ ej Attention : Malgré la convention anglo-saxonne, la modalité 0 est incluse dans la première classe. Si elle n’était pas incluse, nous aurions dû faire une classe supplémentaire –4 < x ≤ 0, ce qui n’a ici aucun sens ( pas de nombre d’opérations financières négative !).

Classes Centres de classes (cj)

Fj C(xj)

0 ≤ x ≤ 4 2 42 42 4 < x ≤ 8 6 26 68

8 < x ≤ 12 10 15 83 12 < x ≤ 16 14 13 96 16 < x ≤ 20 18 4 100

Total 100 Représentation graphique On utilise ici les effectifs rectifiés : Fj/aj (on pourrait également travailler avec les fréquences rectifiées). NB : Dans cet exercice, nous ne sommes pas « obligés » d’utiliser les effectifs rectifiés car toutes les classes ont même amplitude. Dans le cas où nous aurions une ou plusieurs classes d’amplitudes différentes des autres classes, la représentation graphique doit obligatoirement se faire avec les effectifs rectifiés !!!

Diagramme différentiel

0

2

4

6

8

10

12

2 6 10 14 18

Nbre d'opérations financières

E ff

ec ti

fs r

ec ti

fi ée

s

Si on calcule l’aire de nos différents bâtonnets, on retrouve bien nos effectifs (exemple pour le 1er bâtonnet : base × hauteur : 10.5× 4 = 42 !)

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5

Exercice 1.21 La variable traité est une variable quantitative continue. L’échelle de mesure est proportionnelle. a) Tableau des fréquences

Classe cj Fj xj Fj cj - x (cj – x ) Fj 50≤ x<60 55 8 440 -24,7692 -198,1538 60≤ x<70 65 10 650 -14,7692 -147,6923 70≤ x<80 75 16 1200 -4,7692 -76,3077 80≤ x<90 85 14 1190 5,2308 73,2308 90≤ x<100 95 10 950 15,2308 152,3077

100≤ x<110 105 5 525 25,2308 126,1538 110≤ x<120 115 2 230 35,2308 70,4615

Total 65 5185 0 Moyenne arithmétique :

7692,79 65

51851

1

=== ∑ = j

F j

x N

x k

j

80 en respectant la précision des données (seulement au final !). Le salaire journalier brut moyen dans cette société s’élève donc à 80 unités monétaires. La somme des écarts par rapport à la moyenne vaut 0 (voir 6èmecolonne). Pour démontrer cette affirmation, il suffit de calculer les écarts entre les centres de classes et la moyenne (voir colonne 5), de multiplier ces écarts par Fj (afin de pondérer nos écarts !) (voir colonne 6) et enfin, de faire la somme des résultats. Retenons : les écarts en plus ou en moins observés entre les valeurs de la série et la moyenne se compensent exactement. b) Mode :

La variable étant quantitative continue : 1. on détermine la classe modale ⇒ 70 ≤ x < 80 (car Fj maximum) 2. on calcule le mode par interpolation linéaire ⇒ xmo= emo-1 + (∆1 / ∆1 + ∆2) amo où emo-1= borne inférieure de la classe modale

∆1 = différence entre l’effectif rectifié de la classe modale et l’effectif rectifié de la classe précédant la classe modale (ici=1.6-1) ∆2 = différence entre l’effectif rectifié de la classe modale et l’effectif rectifié de la classe suivant la classe modale (ici=1.6-1.4) amo= amplitude de la classe modale

xmo= 70 + (0.6/0.6+0.2).10 = 77,5000 (78 en respectant la précision des données). Le salaire journalier brut le plus fréquemment observé dans cette société s’élève à 78 unités monétaires.

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6

Médiane :

La variable étant quantitative continue : 1. on détermine la classe dans laquelle se trouve la médiane ⇒ 70 ≤ x < 80 (car c’est

dans cette classe que se trouve la 33ème observation) ; 2. on calcule la médiane par interpolation linéaire ⇒

où eme-1 = borne inférieure de la médiane C(xme-1)= effectif cumulé de la classe précédant la classe médiane Fme = effectif de la classe médiane ame = amplitude de la classe médiane xme = 70+((32,5-18)/16).10= 79,0625 (79 en respectant la précision des données). 50% des employés de la société ont un salaire inférieur ou égal à 79 unités monétaires. Pour montrer clairement où se situe le mode sur un graphique : diagramme différentiel

me me

1-mé

1-meme a F

)C(x- ex ⋅= + 2

N

Répartition en classes ex.1.21.

0

0.5

1

1.5

2

Centres de classe

E ff

ec ti

fs r

ec ti

fi és

Effectifs classe 1

Effectifs classe 2

Effectifs classe 3

Effectifs classe 4

Effectifs classe 5

Effectifs classe 6

Effectifs classe 7Xmo

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7

Pour la médiane : diagramme intégral

Diagramme intégral

0 10

20 30 40

50 60 70 80

90 100

50 60 70 80 90 100 110 120

Salaire (Limites de classe)

F ré

q u

en ce

s cu

m u

lé es

c) Les paramètres de position centrale ne sont pas identiques. La fonction est donc

légèrement asymétrique (asymétrie à gauche). d) Asymétrie à gauche car mode<médiane<moyenne en effet :77,5000<79,0625<79,7692 La médiane est toujours comprise entre le mode et la moyenne. Si le mode est inférieur à la médiane, on parle d’asymétrie à gauche. Si c’est la moyenne qui est inférieure à la médiane, on parle d’asymétrie à droite.

Exercice 1.26 La variable traitée est une variable quantitative discrète. L’échelle de mesure est proportionnelle. a) Tableau des fréquences

Taux de rendement (xi)

Fj xi Fj Log (xi) Fj Log (xi) C(xj)

4 1 4 0.6021 0.6021 1 6 2 12 0.7782 1.5564 3 7 1 7 0.8451 0.8451 4 8 1 8 0.9031 0.9031 5 9 1 9 0.9542 0.9542 6

10 1 10 1.0000 1.0000 7 12 1 12 1.0792 1.0792 8 14 1 14 1.1461 1.1461 9 15 1 15 1.1761 1.1761 10

Total 10 91 9.2623

xmé mé

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8

a) Mode :

xm0 = 6%  Le taux de rendement le plus fréquemment observé parmi les 10 firmes s’élève à 6%. Médiane :

Nous avons un nombre pair d’observations donc on prend la moyenne des deux valeurs centrales de la distribution (dans le cas d’un nombre impair d’observations, il suffit de prendre la valeur centrale de la distribution). xme = 8.5% arrondit à 9%  50% des firmes ont un rendement inférieur ou égal à 9 % Moyenne arithmétique :

%1,9 100

911

1

=== ∑ = j

F j

x N

x k

j

soit 9%

 Le niveau moyen de rendement des 10 firmes est égal à 9 %. Moyenne géométrique

Log (G) = ( ) ( )j k

j jj

k

j j xFN

xf log. 1

log. 11 ∑∑

==

=

Log (G)=0.1*9.2623=0.92623 G=8.4% soit 8 % b) Si on note G11 la moyenne géométrique du taux de rendement des actions des 11 firmes côtées en bourse, on a :

Log (G11) = ( )j k

j j xFN

log. 1

1 ∑

=

Donc log(8.7759)= ( ))log(2623.9 11

1 11x+ où x11 est le taux de rendement des actions émises

par la firme K.

Donc 0.9433=0.8420+)log( 11

1 11x

)log( 11x =1.1143 d’où x11=13.0047% soit 13%

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9

DEMARCHE A RETENIR DE CE TP ! ! !

 Identifier la (les) variable(s) étudiée(s) et les différentes valeurs qu’elle peu(ven)t prendre ;

 Identifier le TYPE de chaque variable (qualitative ?quantitative ?discrète ou continue ?) et leur échelle de mesure (nominale, ordinale,…) ;

 Identifier l’unité de mesure des données ainsi que le degré de précision ;  Réaliser un tableau de fréquence pour plus de clarté ( ! Pour les regroupements en

classes : approche anglo-saxonne !) ;  Pour les représentations graphiques, être attentif au type de variable ( ! aux effectifs ou

fréquences rectifiées si variable quantitative continue !) + ne pas oublier de nommer les axes ;

 Pour le calcul des paramètres de valeur centrale, être attentif au type de variable ( ! pour le mode : effectifs rectifiés !) ;

 Interprétation ! !

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