Exercices de modélisation mathèmatique – correction 1, Exercices de Modélisation mathématique et simulation. Université Bordeaux I
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Eusebe_S11 April 2014

Exercices de modélisation mathèmatique – correction 1, Exercices de Modélisation mathématique et simulation. Université Bordeaux I

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Exercices de modélisation mathèmatique – correction 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le plan complexe rapporté à un repère orthonormé, le rapport, l’angle et l’affixe ω du centre ­ de la similitude S. ...
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AmeriqueNordSjuin2003.dvi

Baccalauréat série S Amérique du Nord juin 2003

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Cet exercice est unquestionnaire à choixmultiples constitué de six questions : chacune

comporte trois réponses, une et une seule étant exacte.

Les réponses à cet exercice sont à inscrire dans la feuille jointe en annexe, page 5, en

cochant pour chaque question la case correspondante à la réponse proposée.

Toute réponse ambigüe sera considérée comme une absence de réponse. Toute réponse

exacte entraîne une bonification, toute erreur est pénalisée.

On s’intéresse à la durée de vie, exprimée en années, d’un appareil ménager avant la première panne. On peut modéliser cette situation par une loi de probabilité p de durée de vie sans vieillissement, définie sur l’intervalle [0 ; +∞[. Ainsi, la probabilité d’un intervalle [0, t [, notée p([0 ; t [), est la probabilité que l’appareil ménager tombe en panne avant l’instant t .

Cette loi est telle que p([0, t [)= ∫t

0 λe−λx dx, où t est un nombre réel positif repré-

sentant le nombre d’années (loi exponentielle de paramètre λ, avec λ > 0).

1. Pour t > 0, la valeur exacte de p([t , +∞[) est : a. 1−e−λt b. e−λt c. 1+e−λt

2. La valeur de t pour laquelle on a p([0, t [)= p([t , +∞[) est :

a. ln2

λ b.

λ

ln2 c.

λ

2 3. D’après une étude statistique, la probabilité que l’appareil tombe en panne

avant la fin de la première année est 0,18. La valeur exacte de λ est alors :

a. ln

(

50

41

)

b. ln

(

41

50

)

c. ln(82)

ln(100) 4. Sachant que cet appareil n’a connu aucune panne au cours des deux pre-

mières années après sa mise en service, la probabilité qu’il ne connaisse au- cune panne l’année suivante est :

a. p([1, +∞[) b. p([3,+∞[) c. p([2 ; 3[ Dans la suite de l’exercice on prendra λ= 0,2.

5. La probabilité que l’appareil n’ait pas eu de panne au cours des trois pre- mières années, arrondie à 10−4 près, est :

a. 0,5523 b. 0,5488 c. 0,4512

6. Dix appareils neufs de ce type ont été mis en service en même temps. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre d’appareils qui n’ont pas de panne au cours des trois premières années.

La valeur la plus proche de la probabilité de l’évènement « X = 4 » est : a. 0,5555 b. 0,8022 c. 0,1607

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v

)

, d’unité gra-

phique 1 cm, on considère les points A0, A1, A2 d’affixes respectives z0 = 5−4i, z1 =−1−4i, z2 =−4− i.

1. a. Justifier l’existence d’une unique similitude directe S telle que S(A0) = A1 et S(A1)= A2.

b. Établir que l’écriture complexe de S est z ′ = 1− i 2

z+ −3+ i 2

.

c. En déduire le rapport, l’angle et l’affixe ω du centreΩ de la similitude S.

d. On considère un point M , d’affixe z avec z 6= 0, et son image M ′, d’affixe z ′.

Vérifier la relation : ωz ′ = i(z z ′) ; en déduire la nature du triangle ΩMM ′.

2. Pour tout entier naturel n, le point An+1, est défini par An+1 = S(An) et on pose un =AnAn+1. a. Placer les points A0, A1, A2 et construire géométriquement les points

A3, A4, A5, A6.

b. Démontrer que la suite (un ) est géométrique.

3. La suite (vn) est définie sur N par vn =u0+u1+·· ·+un = n

k=0 uk .

a. Exprimer vn en fonction de n.

b. La suite (vn) est-elle convergente ?

4. a. Calculer en fonction de n le rayon rn du cercle circonscrit au triangle ΩAnAn+1.

b. Déterminer le plus petit entier naturel p tel que, pour tout entier naturel n : si n > p alors rn < 10−2.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est rapporté au repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v

)

(unité graphique : 2 cm).

On considère les points A, B et C d’affixes respectives zA =−1+ i p 3,

zB =−1− i p 3 et zC = 2.

1. Placer ces points sur un dessin.

2. a. Vérifier que : zB− zC zA− zC

= ei π 3 .

b. En déduire la nature du triangle ABC.

c. Déterminer le centre et le rayon du cercle Γ1 circonscrit au triangle ABC.

Tracer le cercle Γ1.

3. a. Établir que l’ensemble Γ2 des points M d’affixe z qui vérifient

2(z+z) + zz = 0 est un cercle de centreΩ d’affixe−2. Préciser son rayon. Construire Γ2.

b. Vérifier que les points A et B sont éléments de Γ2.

4. On appelle r1 la rotation de centre A et d’angle π

3 .

a. Quelles sont les images des points A et B par la rotation r1 ? Construire l’image C1 du point C par la rotation r1 puis calculer son affixe.

b. Déterminer l’image du cercle Γ2 par la rotation r1.

5. Soit r une rotation. Pour tout pointM d’affixe z, on noteM ′ l’image deM par r et z ′ l’affixe deM ′.

On posera : z ′ = az+b, avec a et b des nombres complexes vérifiant |a| = 1 et a 6= 1. On suppose que r transforme le cercle Γ2 en le cercle Γ1.

a. Quelle est l’image du point Ω par r ? En déduire une relation entre a et b.

b. Déterminer en fonction de a l’affixe du point r (C), image du point C par la rotation r ; en déduire que le point r (C) appartient un cercle fixe que l’on définira. Vérifier que ce cercle passe par C1.

2

PROBLÈME 10 points Commun à tous les candidats

Partie A : étude d’une fonction f et construction de sa courbe

On considère la fonction f définie sur R par f (x)= e−x ln(1+ex ). On note C sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthogonal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

L’unité graphique est 1 cm sur l’axe des abscisses et 10 cm sur l’axe des ordonnées.

1. a. On rappelle que : lim h→0

ln(1+h) h

= 1. Déterminer la limite de f en −∞.

b. Vérifier que pour tout réel x : f (x)= x

ex +e−x ln(1+e−x ).

Déterminer la limite de f en +∞. c. En déduire que la courbe admet deux asymptotes que l’on précisera.

2. On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]−1 ; +∞[ par :

g (t)= t

1+ t − ln(1+ t).

a. Démontrer que la fonction g est strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; +∞[.

b. En déduire le signe de g (t) lorsque t > 0.

3. a. Calculer f ′(x) et l’exprimer en fonction de g (ex ) , f ′ désignant la fonction dérivée de f .

b. En déduire le sens de variation de la fonction f puis dresser son tableau de variations.

4. Tracer les asymptotes à la courbe C et la courbe C .

Partie B : comportements asymptotiques d’une primitive F de f sur R

Soit F la fonction définie sur R par F (x)= ∫x

0 f (t)dt .

1. Étudier le sens de variations de la fonction F .

2. a. Vérifier que, pour tout nombre réel t , 1

1+et = 1−

et

1+et et calculer

x

0

1

1+et dt .

b. En déduire, à l’aide d’une intégration par parties, le calcul de F (x).

c. Vérifier que F (x) peut s’écrire sous les formes suivantes :

(1) F (x) = x− ln(1+ex )− f (x)+2ln2.

(2) F (x) = ln (

ex

1+ex

)

f (x)+2ln2.

3. Déterminer lim x→+∞

F (x).

4. Déterminer lim x→−∞

[F (x)− x]. Donner une interprétation graphique de ce ré- sultat.

Partie C : étude d’une suite

Soit (un ) la suite définie sur N∗ par :

un = f (1)+ f (2)+·· ·+ f (n)= n

k=1 e−k ln(1+ek ).

1. Hachurer sur la représentation graphique un domaine dont l’aire, en unités d’aire, est un .

3

2. Déterminer le sens de variation de la suite (un ).

3. a. Justifier que, pour tout entier k tel que 16 k 6 n, on a :

f (k)6 ∫k

k−1 f (t)dt .

b. Comparer un et F (n).

4. La suite (un ) est-elle convergente ?

Annexe à rendre avec la copie

Réponses à l’exercice 1 (mettre une croix dans la case correspondant à la réponse choisie)

(a) (b) (c)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

4

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