Exercices de modélisation mathèmatique – correction 15, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercices de modélisation mathèmatique – correction 15, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices de modélisation mathèmatique – correction 15. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la nature du triangle ABC, l'équations paramétriques, l'équation cartésienne.
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FranceSjuin2003.dvi

[ Baccalauréat S Métropole juin 2003 \

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v

)

(unité graphique :

2 cm), on considère les points A, B et C d’affixes respectives a = 2, b = 1−i et c = 1+i.

1. a. Placer les points A, B et C sur une figure.

b. Calculer ca

ba . En déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle.

2. a. On appelle r la rotation de centre A telle que r (B) = C.

Déterminer l’angle de r et calculer l’affixe d du point D = r (C).

b. Soit Γ le cercle de diamètre [BC].

Déterminer et construire l’image Γ′ du cercle Γ par la rotation r .

3. SoitM un point de Γ d’affixe z, distinct de C etM ′ d’affixe z ′ son image par r .

a. Montrer qu’il existe un réel θ appartenant à [

0 ; π

2

[

∪ ]π

2 ; 2π

[

tel que z =

1+eiθ.

b. Exprimer z ′ en fonction de θ.

c. Montrer que z ′−c

zc est un réel. En déduire que les points C, M et M ′ sont

alignés.

d. Placer sur la figure le point M d’affixe 1+ei 2π 3 et construire son image M′

par r .

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Soient a un réel strictement po- sitif et OABC un tétraèdre tel que : •OAB, OAC et OBC sont des tri- angles rectangles en O, •OA = OB = OC = a. On appelle I le pied de la hau- teur issue de C du triangle ABC, H le pied de la hauteur issue de O du triangle OIC, et D le point de l’espace défini par −−→ HO =

−−→ OD .

A

I

B

C

O

D

H

1. Quelle est la nature du triangle ABC?

2. Démontrer que les droites (OH) et (AB) sont orthogonales, puis que H est l’orthocentre du triangle ABC.

3. Calcul de OH

a. Calculer le volume V du tétraèdre OABC puis l’aire S du triangle ABC.

1

b. Exprimer OH en fonction de V et de S, en déduire que OH = a

p 3

3 .

4. Étude du tétraèdre ABCD.

L’espace est rapporté au repère orthonormal

(

O ; 1

a

−−→ OA ,

1

a

−−→ OB ,

1

a

−−→ OC

)

.

a. Démontrer que le point H a pour coordonnées : (a

3 , a

3 , a

3

)

.

b. Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier (c’est-à-dire que toutes ses arêtes ont même longueur).

c. Soit Ω le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD. Démontrer queΩ est un point de la droite (OH) puis calculer ses coordonnées.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les questions 3. et 4. sont indépendantes des questions 1. et 2. seule l’équation de Γ donnée en 1. c. intervient à la question 4..

1. L’espace est rapporté au repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k

)

.

a. Montrer que les plans P et Q d’équations respectives x + y p 3−2z = 0 et

2xz = 0 ne sont pas parallèles.

b. Donner un systèmed’équations paramétriques de la droite∆ intersection des plans P et Q.

c. On considère le cône de révolution Γ d’axe (Ox) contenant la droite ∆ comme génératrice.

Montrer que Γ pour équation cartésienne y2+ z2 = 7x2.

2. On a représenté sur les deux figures ci-dessous les intersections de Γ avec des plans parallèles aux axes de coordonnées.

Déterminer dans chaque cas une équation des plans possibles, en justifiant avec soin votre réponse.

Figure 1 Figure 2

3. a. Montrer que l’équation x2 ≡ 3 [7] , dont l’inconnue x est un entier reIa- tif, n’a pas de solution,

b. Montrer la propriété suivante :

pour tous entiers relatifs a et b, si 7 divise a2+b2 alors 7 divise a et 7 divise b.

2

4. a. Soient a,b et c des entiers relatifs nonnuls.Montrer la propriété suivante :

si le point A de coordonnées (a, b, c) est un point du cône Γ alors a, b et c sont divisibles par 7.

b. En déduire que le seul point de Γ dont les coordonnées sont des entiers relatifs est le sommet de ce cône.

PROBLÈME 11 points Commun à tous les candidats

Soit N0 le nombre de bactéries introduites dans unmilieu de culture à l’instant t = 0 (N0 étant un réel strictement positif, exprimé en millions d’individus). Ce problème a pour objet l’étude de deux modèles d’évolution de cette population de bactéries :

• un premier modèle pour les instants qui suivent l’ensemencement (partie A) • un second modèle pouvant s’appliquer sur une longue période (partie B).

Partie A

Dans les instants qui suivent l’ensemencement du milieu de culture, on considère que la vitesse d’accroissement des bactéries est proportionnelle au nombre de bac- téries en présence. Dans ce premier modèle, on note f (t) le nombre de bactéries à l’instant t (exprimé enmillions d’individus). La fonction f est donc solution de l’équation différentielle : y ′ = ay . (où a est un réel strictement positif dépendant des conditions expérimen- tales).

1. Résoudre cette équation différentielle, sachant que f (0)=N0.

2. On note T le temps de doublement de la population bactérienne.

Démontrer que, pour tout réel t positif : f (t)=N02 t T .

Partie B

Le milieu étant limité (en volume, en éléments nutritifs, ...), le nombre de bactéries ne peut pas croître indéfiniment de façon exponentielle. Le modèle précédent ne peut donc s’appliquer sur une longue période. Pour tenir compte de ces observa- tions, on représente l’évolution de la population de bactéries de la façon suivante : Soit g (t) est le nombre de bactéries à l’instant t (exprimé enmillions d’individus) ; la fonction g est une fonction strictement positive et dérivable sur [0 ; +∞[ qui vérifie pour tout t de [0 ; +∞[ la relation :

(E) g ′(t)= ag (t)

[

1− g (t)

M

]

.

où M est une constante strictement positive dépendant des conditions expérimen- tales et a le réel défini dans la partie A.

1. a. Démontrer que si g est une fonction strictement positive vérifiant la rela-

tion (E), alors la fonction 1

g est solution de l’équation différentielle

(E′) y ′+ay = a

M .

b. Résoudre (E′).

c. Démontrer que si h est une solution strictement positive de (E′), alors 1

h vérifie (E).

3

2. On suppose désormais que, pour tout réel positif t , g (t)= M

1+Ce−at C est

une constante strictement supérieure à 1 dépendant des conditions expéri- mentales.

a. Déterminer la limite de g en +∞ et démontrer, pour tout réel t positif ou nul, la double inégalité : 0< g (t)<M.

b. Étudier le sens de variation de g (on pourra utiliser la relation (E)).

Démontrer qu’il existe un réel unique t0 positif tel que g (t0)= M

2 .

c. Démontrer que g ′′ = a

(

1− 2g

M

)

g ′. Étudier le signe de g ′′. En déduire que

la vitesse d’accroissement du nombre de bactéries est décroissante à par- tir de l’instant t0 défini ci-dessus.

Exprimer t0 en fonction de a et C .

d. Sachant que le nombredebactéries à l’instant t est g (t), calculer le nombre moyen de bactéries entre les instants 0 et t0, en fonction deM etC .

Partie C

1. Le tableau présenté en Annexe I a permis d’établir que la courbe représenta- tive de f passait par les points de coordonnées respectives (0 ; 1) et (0,5 ; 2). En déduire les valeurs de N0, T et a.

2. Sachant que g (0)=N0 et que M = 100 N0, démontrer, pour tout réel t positif ou nul, l’égalité suivante :

g (t)= 100

1+99×4−t .

3. Tracer, sur la feuille donnée en Annexe II, la courbe Γ représentative de g , l’asymptote à Γ ainsi que le point de Γ d’abscisse t0.

4. Dans quelles conditions le premier modèle vous semble-t-il adapté aux ob- servations faites ?

4

Document à rendre avec la copie

Annexe I

|m3.5cm|*9>X| t (en h) 0 0,51 1,5 2 3 4 5 6

Nombre de bactéries (en millions)1,02,03,97,914,537,970,490,1 98

Les points obtenus à partir de ce tableau, ainsi que le graphe de la fonction f , sont représentés dans le graphique ci-dessous.

Annexe II

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0

20

40

60

80

100

+ + + +

+

+

+

+ +

t

y

5

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