Exercices de modélisation mathèmatique – correction 16, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
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Eusebe_S11 April 2014

Exercices de modélisation mathèmatique – correction 16, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices de modélisation mathèmatique – correction 16. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le plan complexe, la valeur exacte.
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[ Baccalauréat S Métropole septembre 2003 \

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

On considère les points A etΩ d’affixes respectives : a =−1+ p 3+ i et ω=−1+2i.

On appelle r la rotation de centre Ω et d’angle 2π

3 et h l’homothétie de centre Ω et

de rapport − 1

2 .

1. Placer sur une figure les points A et Ω, l’image B du point A par r, l’image C du point B par r et l’image D du point A par h.

2. On note b, c et d les affixes respectives des points B, C et D.

Le tableau ci-dessous contient une suite de 18 affirmations, dont chacune débute dans la première colonne et s’achève sur la même ligne colonne 2, colonne 3 ou colonne 4.

Le candidat doit se prononcer sur chacune de ces affirmations. Pour cela il doit remplir le tableau de la feuille annexe, en faisant figurer dans chacune des cases la mention VRAI ou FAUX (en toutes lettres).

1. |aω| = 2 4 p 3− i

2. arg(a ω)= − 5π

6

47π

6

π

6

3. ( −→ v ,

−−→ ΩC )= arg((ωc)i) (−−→v , −−→CΩ )

2π

3 4. ω =

1

3 (a +b +c) a +b +c b −2i

5. b d a d

=

p 3

2 i

p 3

3 i

p 3

3 i

6. Le point D est l’image deΩ par la translation de

vecteur 1

2

−−→ AΩ .

l’image deΩ par l’homothétie de centre A et de

rapport 3

2

l’image deΩ par la rotation de centre B et d’angle −

π

6

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un commerce possède un rayon « journaux »et un rayon « souvenirs ». À la fin d’une journée, on trie les pièces de monnaie contenues dans les caisses de chaque rayon. On constate que la caisse du rayon « journaux »contient trois fois plus de pièces de 1( que celle du rayon « souvenirs ». Les pièces ont toutes le côté pile identique, mais le côté face diffère et symbolise un des pays utilisant la monnaie unique. Ainsi, 40% des pièces de 1( dans la caisse du rayon « souvenirs »et 8% de celles du rayon « journaux »portent une face symbolisant un pays autre que la France (on dira « face étrangère »).

1. Lepropriétaire dumagasin, collectionneur demonnaies, recherche les pièces portant une face étrangère.

Pour cela il prélève au hasard et avec remise 20 pièces issues de la caisse « souvenirs ». On note X la variable aléatoire qui associe à chaque prélève- ment le nombre de pièces portant une face étrangère.

1

a. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale ; déterminer les paramètres de cette loi.

b. Calculer la probabilité qu’exactement 5 pièces parmi les 20 portent une face étrangère.

c. Calculer la probabilité qu’aumoins 2 pièces parmi les 20 portent une face étrangère.

2. Les pièces de 1( issues des deux caisses sont maintenant rassemblées dans un sac.

On prélève au hasard une pièce du sac.

On note S l’événement : « la pièce provient de la caisse « souvenirs » »et E l’événement « la pièce porte une face étrangère ».

a. Déterminer P(S), PS(E) ; en déduire P(S∩E). b. Démontrer que la probabilité que la pièce porte une face étrangère est

égale à 0,16.

c. Sachant que cette pièce porte une face étrangère, déterminer la probabi- lité qu’elle provienne de la caisse « souvenirs ».

3. Dans la suite, la probabilité qu’une pièce choisie au hasard dans le sac porte une face étrangère est égale à 0,16.

Le collectionneur prélève n pièces (n entier supérieur ou égal à 2) du sac au hasard et avec remise.

Calculer n pour que la probabilité qu’il obtienne aumoins une pièce portant une face étrangère soit supérieure ou égale à 0,9.

PROBLÈME 10 points Commun à tous les candidats

Partie A : Une équation différentielle

On considère l’équation différentielle

(E) y ′−3y = −3e

(1+e−3x )2 .

On donne une fonction ϕ dérivable sur R et la fonction f définie sur R par f (x)= e−3(x).

1. Montrer que f est dérivable sur R et pour tout réel x, exprimer ϕ ′(x)−3ϕ(x) en fonction de f ′(x).

2. Déterminer f de sorte que ϕ soit solution de (E) sur R et vérifie ϕ(0)= e

2 .

Partie B : Étude d’une fonction

Soit f la fonction définie sur R par :

f (x)= e1−3x

1+e−3x .

On désigne par C sa courbe représentative dans le planmuni d’un repère orthonor- mal d’unité graphique 2 cm.

1. Déterminer les limites de f en−∞ et en+∞, puis étudier les variations de f . 2. Tracer C .

3. Pour α réel non nul, on pose Iα = ∫

α

0 f (x)dx.

a. Donner le signe et une interprétation graphique de Iα en fonction de α.

2

b. Exprimer Iα en fonction de α.

c. Déterminer la limite de lorsque α tend vers +∞.

Partie C

On définit sur N∗ la suite (un ) par :

un = ∫

α

0 f (x)e

x n dx f est la fonction définie dans la partie B.

On ne cherchera pas à calculer un .

1. a. Donner, pour tout n deN∗, le signe de un .

b. Donner le sens de variation de la suite (un ).

c. La suite (un ) est-elle convergente ?

2. a. Montrer que pour tout n deN∗ :

I1 6un 6 e 1 n I1

où I1 est l’intégrale de la partie B obtenue pour α égal à 1.

b. En déduire la limite de la suite (un ).

Donner sa valeur exacte.

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