Exercices de modélisation mathèmatique – correction 17, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercices de modélisation mathèmatique – correction 17, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices de modélisation mathèmatique – correction 17. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’orthocentre du triangle BDM. l’équation différentielle.
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[ Baccalauréat La Réunion série S juin 2003 \

EXERCICE 1 6 points Commun tous les candidats

Cet exercice comporte 3 questions indépendantes.

Une question comporte 4 affirmations repérées par les lettres a, b, c et d.

Aucune justification n’est demandée pour cet exercice.

Vous devez indiquer pour chacune d’elles si elle est vraie ou fausse.

Vous inscrirez en toutes lettres « VRAI » ou « FAUX » dans la case correspondante du

tableau donné en annexe à rendre avec la copie.

1. Une urne contient 75 boules blanches et 25 boules noires. L’expérience élé- mentaire consiste à tirer une boule. Les boules ont toutes la même proba-

bilité d’être tirées. On effectue n tirages indépendants et avec remise, n dé-

signant un entier supérieur à 10. Soit X la variable aléatoire prenant pour

valeur le nombre de boules blanches tirées.

a. X suit une loi binomiale de paramètres n et 1

4 .

b. P(X = 0)= 1

22n

c. P(X < 5)= 1−P(X > 5)

d. E(X )= 0,75n

2. Une maladie atteint 1% d’une population donnée.

Un test de dépistage de cette maladie a les caractéristiques suivantes :

• Chez les individus malades, 99% des tests sont positifs et 1% sont négatifs.

•Chez les individusnonmalades, 98%des tests sont négatifs (les autres étant positifs).

Un individu est choisi au hasard dans cette population et on lui applique le

test.

On note M l’évènement : l’individu est malade et T l’évènement : le test pra- tiqué est positif.

a. PM(T) + PM(T)= 1,01.

b. PM(T) + PM(T) = P(T)

c. P(T) = 2,97.10−2

d. Sachant que le test est positif, il y a deux chances sur trois pour que l’in- dividu testé ne soit pas malade.

3. La durée d’attente en seconde de la caisse d’un supermarché est une variable aléatoire Y qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,01. Alors :

a. La densité de probabilité de Y est la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par : f (t)= e−0,01t

b. Pour tout réel t positif, P(Y 6 t)= 1−e−0,01t .

c. La probabilité d’attendre moins de 3 minutes à cette caisse est, à 0,01 près, égale à 0,16.

d. Il y a plus d’une chance sur deux que l’attente à cette caisse soit supé- rieure à une minute.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère un cube ABCDEFGH d’arête 1.

Le nombre a désigne un réel strictement positif.

On considère le point M de la demi-droite [AE) défini par −−→ AM =

1

a

−→ AE .

1. Déterminer le volume du tétraèdre ABDM en fonction de a.

2. Soit K le barycentre du système de points pondérés :

{(

M ; a2 )

, (B; 1), (D; 1) }

.

a. Exprimer −−→ BK en fonction de

−−→ BM et de

−−→ BD .

b. Calculer −−→ BK ·

−−→ AM et

−−→ BK ·

−−→ AD puis en déduire l’égalité

−−→ BK ·

−−−→ MD = 0.

c. Démontrer l’égalité −−→ DK ·

−−→ MB = 0.

d. Démontrer que K est l’orthocentre du triangle BDM .

3. Démontrer les égalités −−→ AK ·

−−→ MB = 0 et

−−→ AK ·

−−−→ MD = 0. Qu’en déduit-on pour

la droite (AK ) ?

4. a. Montrer que le triangle BDM est isocèle et que son aire est égale à

p a2+2

2a unité d’aire.

b. Déterminer le réel a tel que l’aire du triangle BM soit égale à 1 unité d’aire. Déterminer la distance AK dans ce cas.

D

A B

C

H

E F

G

M

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

. On prendra 1 cm,

pour unité graphique.

On considère l’application f du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z

associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ =− (p

3+ i )

z−1+ i (

1+ p 3 )

.

1. Montrer que f est une similitude directe dont le centre Ω a pour affixe i. En déterminer le rapport et l’angle.

2. Soit M0 le point d’affixe z0 =

p 3

4 + 3

4 i.

CalculerΩM0 et donner une mesure en radians de l’angle (−→ u ;

−−−→ ΩM0

)

.

3. On considère la suite de points (Mn)n>0, définie pour tout entier naturel n par Mn+1 = f (Mn). On note zn l’affixe du poini Mn .

a. Placer les pointsΩ, M0, M1, M2, M3 et M4.

2

b. Monter par récurrence, pour tout entier naturel n, l’égalité :

zn − i= 2 nei

76 (z0− i) .

c. Pour tout entier naturel n, calculer ΩMn , puis déterminer le plus petit entier n tel queΩMn > 10

2.

4. a. On considère l’équation (E) : 7x −12y = 1 où x et y sont deux entiers re- latifs. Après avoir vérifié que le couple (−5 ; −3) est solution, résoudre l’équation (E).

b. Soit ∆ l’ensemble des points M du plan d’affixe z telle que Im(z) = 1 et Re(z)> 0.

Caractériser géométriquement ∆ et le représenter.

Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que Mn appartienne à la demi-

droite d’origineΩ dirigée par le vecteur −→ u . Préciser son plus petit élément.

PROBLÈME 9 points Commun à tous les candidats.

On considère l’équation différentielle (E) : y y ′ = ex

x2 et on cherche l’ensemble des

solutions de cette équation définies sur ]0 ; +∞[.

1. a. Démontrer que la fonction u définie sur ]0 ; +∞[ par u(x) = ex

x est solu-

tion de (E).

b. Démontrer qu’une fonction v définie sur ]0 ; +∞[ est solution de (E) si et seulement si la fonction vu, définie sur ]0 ; +∞[, est solution de l’équa- tion différentielle y y ′ = 0.

c. En déduire toutes les solutions définies sur ]0 ; +∞[ de l’équation (E).

2. Pour tout réel k négatif ounul, on considère la fonction fk définie sur ]0 ; +∞[ par :

fk (x)= kx+1

x ex .

a. Déterminer les limites de fk en 0 et en +∞.

b. Calculer f k (x) pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[ et déterminer le

nombre de solutions sur ]0 ; +∞[ de l’équation f k (x)= 0.

3. On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un repère ortho-

normal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

On a tracé sur le graphique ci-joint les courbes C−1, C−0,25, C−0,15 et C0.

En utilisant la deuxième question, reconnaître chaque courbe (les réponses

doivent être justifiées).

4. Pour tout réel a strictement positif, on pose A (a)= ∫a+1

a

ex

x dx.

a. Interpréter géométriquement A (a).

b. On désigne par F une primitive de la fonction x 7→ ex

x sur ]0 ; +∞[.

En remarquant que A (a)= F (a+1)−F (a) étudier le sens de variation de la fonction qui à tout réel a élément de ]0 ; +∞[ associe le réel A (a)

c. On veut découper dans le plan une bande verticale de largeur une unité de telle sorte que l’aire située dans cette bande entre les courbes C0 et

(Ox) soit minimale. Comment doit-on procéder ?

3

Annexe du problème

x

y

(3) (4)

(2)

(1)

4

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