Exercices de modélisation mathèmatique – correction 18, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercices de modélisation mathèmatique – correction 18, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices de modélisation mathèmatique – correction 18. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plan rapporté à un repère orthonormé, Les suites d’entiers naturels.
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[ Baccalauréat série S Liban mai 2003 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Une urne contient quatre boules noires et deux boules blanches. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On répète n fois l’épreuve qui consiste à tirer une boule puis la remettre dans l’urne ; on suppose que toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées et que les tirages sont indépendants. On note pn , la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors des n−1 pre- miers tirages et une boule blanche lors du n-ième tirage.

1. Calculer les probabilités p2, p3 et p4.

2. On considère les évènements suivants :

Bn : « On tire une boule blanche lors du n-ième tirage »,

Un : « On tire une boule blanche et une seule lors des n−1 premiers tirages ».

a. Calculer la probabilité de l’évènement Bn .

b. Exprimer la probabilité de l’évènementUn en fonction de n.

c. En déduire l’expression de pn en fonction de n et vérifier l’égalité :

pn = n−1

4 ×

(

2

3

)n

.

3. On pose : Sn = p2+p3+·· ·+pn .

a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a :

Sn = 1− (n

2 +1

)

×

(

2

3

)n

.

b. Déterminer la limite de la suite (Sn).

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

1. Résoudre dans C l’équation :

4z2−12z+153 = 0.

2. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v

)

, d’unité graphique

1 cm on considère les points A, B, C, P d’affixes respectives : zA = 3

2 +6i,

zB = 3

2 −6i ; zC =−3−

1

4 i, zP = 3+2i et le vecteur

−→ w d’affixe z−→

w =−1+

5

2 i.

a. Déterminer l’affixe zQ du point Q, image du point B dans la translation t

de vecteur −→ w .

b. Déterminer l’affixe zR du point R, image du point P par l’homothétie h de

centre C et de rapport − 1

3 .

c. Déterminer l’affixe zS du point S, image du point P par la rotation r de

centre A et d’angle − π

2 .

Placer les points P, Q, R et S.

3. a. Démontrer que le quadrilatère PQRS est un parallélogramme.

b. Calculer zR− zQ

zP− zQ .

En déduire la nature précise du parallélogramme PQRS.

c. Justifier que les points P, Q, R et S appartiennent à un même cercle, noté C . On calculera l’affixe de son centreΩ et son rayon ρ.

4. La droite (AP) est-elle tangente au cercle C ?

Exercice 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les suites d’entiers naturels (xn ) et (yn ) sont définies sur N par :

x0 = 3 et xn+1 = 2xn −1 y0 = 1 et yn+1 = 2yn +3.

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, xn = 2n+1+1.

2. a. Calculer le pgcd de x8 et x9, puis celui de x2002 et x2003. Que peut-on en déduire pour x8 et x9 d’une part, pour x2002 et x2003 d’autre part ?

b. xn et xn+1 sont-ils premiers entre eux pour tout entier naturel n ?

3. a. Démontrer que pour tout entier naturel n, 2xn yn = 5.

b. Exprimer yn en fonction de n.

c. En utilisant les congruencesmodulo 5, étudier suivant les valeurs de l’en- tier naturel p le reste de la division euclidienne de 2p par 5.

d. On note dn le pgcd de xn et yn pour tout entier naturel n.

Démontrer que l’on a dn = 1 ou dn = 5 ; en déduire l’ensemble des entiers naturels n tels que xn et yn soient premiers entre eux.

PROBLÈME 11 points Commun à tous les candidats

Partie A Étude d’une fonction auxiliaire g

La fonction g est définie sur R par g (x)= 2ex +2x−7.

1. Étudier les limites de g en −∞ et en +∞.

2. Étudier le sens de variation de la fonction g sur R et dresser son tableau de variations.

3. Justifier que l’équation g (x) = 0 admet dans R une solution unique α telle que :

0,94<α< 0,941.

4. Étudier le signe de g sur R.

Partie B Étude d’une fonction

La fonction f est définie sur R par

f (x)= (2x−5) (

1−e−x )

.

On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Étudier le signe de f sur R.

2

2. Étudier les limites de f en −∞ et +∞.

3. Calculer f ′(x), ou f ′ désigne la fonction dérivée de f et vérifier que f ′(x) et g (x) ont le même signe.

Dresser le tableau de variations de f .

4. a. Démontrer l’égalité : f (α)= (2α−5)2

2α−7 .

b. Étudier le sens de variations de la fonction h : x 7→ (2x−5)2

2x−7 sur l’inter-

valle

]

−∞ ; 5

2

[

.

En déduire, à partir de l’encadrement de α obtenu dans la partie A, un encadrement d’amplitude 10−2 de f (α).

5. Démontrer que la droite D, d’équation y = 2x−5, est asymptote à C en +∞.

Préciser la position de C par rapport à D.

6. Tracer la droite D et la courbe C dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité graphique

2 cm).

Partie C - Calcul d’aires

À l’aide d’une intégration par parties, calculer en cm2 l’aire A de la portion de plan délimitée par la courbeC , l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équa-

tion x = 5

2 .

Partie D - Étude d’une suite de rapports de distances

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, on considère les points An , Bn , et Cn d’abscisse n, appartenant respectivement à l’axe des abscisses, la droite D et la courbe C ; soit un le réel défini par :

un = CnBn

AnBn .

1. Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, on a :

un = 2n−5− f (n)

2n−5 .

2. a. Quelle est la nature de la suite (un )

b. Calculer la limite de la suite (un ). Pouvait-on prévoir ce résultat ?

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