Exercices de modélisation mathèmatique – correction 19, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercices de modélisation mathèmatique – correction 19, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices de modélisation mathèmatique – correction 19. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la construction du point N′, l’évènement contraire de l’évènement A, les évènements indépendants.
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Nlle-Caledonie S mars 2003.dvi

[ Baccalauréat S Nouvelle–Calédonie mars 2003 \

Exercice 1 5 points

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v

)

. On

considère la transformation ponctuelle f qui, à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par :

z ′ = z2+1.

1. Déterminer les antécédents du point O.

2. Existe-t-il des points invariants par f ? Si oui, préciser leurs affixes respec- tives.

3. Montrer que deux points symétriques par rapport à O ont la même image. Que peut-on dire des images de deux points symétriques par rapport à l’axe des abscisses ?

4. Soit A le point d’affixe zA =

p 2

2 (1+ i). Déterminer l’affixe du point A′ image

de A par f puis prouver que les points O, A et A′ sont alignés.

5. Soit θ un nombre réel appartenant à l’intervalle [0 ; 2π[ et N le point d’affixe eiθ .

a. Montrer que N appartient au cercle (X) de centre O et de rayon 1.

b. Lorsque θ varie, montrer que N ′, image du point N par f reste sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

c. Vérifier que −−−→ ON ′ = 2cosθ

−−→ ON . En déduire que les points O, N et N ′ sont

alignés.

d. Expliquer la construction du point N ′.

Exercice 2 5 points

Une société de maintenance de photocopieurs désire optimiser ses prestations au niveau des entreprises, afin de proposer un abonnement adapté à ses services. Onnote, pour n entier naturel non nul, In l’évènement « La société intervient durant le n-ièmemois qui suit l’installation d’un photocopieur » et pn = p(In ) la probabilité de l’évènement In . Le bureau d’étude a mis en évidence les résultats suivants pour une entreprise dé- terminée : • p(I1)= p1 = 0,75. • Sachant qu’il y a eu une intervention durant le n-ième mois qui suit l’installation d’un photocopieur, la probabilité d’intervention le mois suivant est égale à 0,04. • Sachant qu’iI n’y a pas eu d’intervention durant le n-ième mois qui suit l’instal- lation d’un photocopieur, la probabilité d’intervention le mois suivant est égale à 0,64. On rappelle que A est l’évènement contraire de l’évènement A et que pB(A) est la probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé.

PARTIE 1

1. Préciser pIn (In+1) et pIn (In+1) puis calculer p (In+1∩ In ) et p (

In+1∩ In )

en

fonction de pn (n ∈N∗).

2. En déduire pn+1 =−0,6pn +0,64.

3. On considère la suite (qn) définie surN∗ par : qn = pn −0,4.

a. Démontrer que (qn) est une suite géométrique.

Terminale S A. P. M. E. P.

b. En déduire qn puis pn en fonction de n.

c. Donner une valeur approchée de p6 à 10−3 près par excès.

PARTIE 2

Le même mois, la société de maintenance installe un photocopieur dans 10 entre- prises. Six mois plus tard, elle désire libérer une partie de son personnel afin de pro- poser un stage de mise à niveau. On estime que la probabilité d’intervention du service de maintenance durant ce mois auprès de chacune de ces entreprises est égale à 0,373. Donner, à 10−3 près par excès, la probabilité qu’il y ait au moins un déplacement du service demaintenance durant cemois (on supposera que les interventions dans les différentes entreprises sont des évènements indépendants).

Exercice 3 10 points

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

−0.1

1 2 3 4 5 6 7 8

A

B

C D

C

(T)

PARTIE I

Sur la figure ci-dessus est tracée dans un repère orthogonal la courbe C représenta- tive de la fonction f f est une fonction définie et dérivable sur R∗+. Les points A, B, C et D sont les points de la courbe C d’abscisses respectives 1,

p e, e et e

p e ; de

plus, A appartient à l’axe des abscisses. La droite (T) est la tangente à C au point D.

1. Dans cette question, on ne demande qu’une observation graphique.

Avec la précision permise par ce graphique :

a. Donner une estimation à 5×10−2 près des coefficients directeurs des tan- gentes à la courbe C aux points A, B, C et D.

b. Préciser combien la courbe C admet de tangentes horizontales, de tan- gentes passant par l’origine, de tangentes de coefficient directeur 1. Pour chacune de ces tangentes, donner l’abscisse du point de contact avec la courbe C .

c. Choisir le seul tableau pouvant décrire les variations de la fonction déri- vée de f . Justifier ce choix.

Nouvelle–Calédonie 2 avril 2003

Terminale S A. P. M. E. P.

x 0 +∞ x 0 +∞ x 0 +∞e e p e

2. On rappelle que C est la courbe représentative de la fonction f .

On admet que la fonction dérivée de f est définie sur R∗+ par

g (x)= 1− lnx

x2 .

a. Étudier les variations de g . Cela corrobore-t-il votre choix dans la ques- tion 1. c. ?

b. Déterminer les limites de g en 0, puis en +∞.

c. Calculer g (1), g (

e p e )

; puis démontrer que l’équation g (x)= 1 n’a qu’une seule solution. Quelle observation de la question 1. b. a-t-on démontrée ?

d. Expliquer pourquoi f est définie sur R∗+ par

f (x)= ∫x

1

(

1− ln t

t2

)

dt .

Calculer f (x) à l’aide d’une intégration par parties.

Partie II

On étudie la fonction f définie sur R∗+ par

f (x)= lnx

x .

1. Étudier les variations de f , préciser ses limites en 0 puis en +∞.

2. On cherche à justifier les observations de la question I. 1. concernant les tan- gentes à la courbe C qui sont horizontales, qui ont un coefficient directeur égal à 1 ou qui passent par le point O origine du repère.

Démontrer que, dans chacun de ces cas, une seule tangente vérifie la condi- tion donnée, préciser les abscisses des points de contact correspondants (on pourra utiliser les résultats démontrés dans la partie I. 2. c. et préciser ces points.

3. Étude de la tangente (T) à la courbe C au point D (le point D a pour abscisse e p e).

a. Démontrer qu’une équation de la tangente (T) à C au point D est

y = −x +4e

p e

2e3 .

b. Montrer que le signe de (

2e3 lnx + x2−4ex p e )

détermine la position de la courbe C par rapport à cette tangente.

c. On note ϕ la fonction définie sur R∗+ par

ϕ(x)= 2e3 lnx + x2−4ex p e.

À partir des variations de ϕ, déterminer la position de la courbe C par rapport à la tangente (T).

Nouvelle–Calédonie 3 avril 2003

Terminale S A. P. M. E. P.

Partie III Calcul d’aires

1. Démontrer que les abscisses des points A, B etC sont les trois premiers termes d’une suite géométriquedont onprécisera la raison. Vérifier que l’abscisse de D est le quatrième terme de cette suite.

2. Soit x0 un nombre réel strictement supérieur à 1 et E le point de la courbe C d’abscisse x0. On considère les droites ∆A, ∆B, ∆C, ∆D et ∆E parallèles à l’axe des ordonnées et passant respectivement par A, B, C, D et E .

On note U1 l’aire de la partie du plan limite par l’axe des abscisses, la courbe C et les droites ∆A et ∆C ; U2 l’aire de la partie du plan limitée par l’axe des abscisses, la courbe C et les droites ∆B et ∆D et U3 l’aire de la partie du plan limitée par l’axe des abscisses, la courbe C et les droites ∆C et ∆E

a. Calculer U1, puis U2.

b. Déterminer x0 pour que U1, U2 et U3 soient les trois premiers termes d’une suite arithmétique. Quelle remarque peut-on faire sur l’abscisse du point E ?

Nouvelle–Calédonie 4 avril 2003

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