Exercices de modélisation mathèmatique – correction 2, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercices de modélisation mathèmatique – correction 2, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices de modélisation mathèmatique – correction 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le graphique, le repère orthonormal direct.
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AmeriqueSudSnov2003.dvi

[ Baccalauréat Amérique du Sud série S \ novembre 2003

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Un sac contient 4 jetons numérotés respectivement −1, 0, 0, 1 et indiscernables au toucher. On tire un jeton du sac, on note son numéro x et on le remet dans le sac ; on tire un second jeton, on note son numéro y et on le remet dans le sac ; puis on tire un troisième jeton, on note son numéro z et on le remet dans le sac. Tous les jetons ont la même probabilité d’être tirés. À chaque tirage de trois jetons, on associe, dans l’espace muni d’un repère ortho-

normal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→

k )

le point M de coordonnées (x, y, z).

Sur le graphique joint en annexe page 6, sont placés les 27 points correspondant aux différentes positions possibles du point M . Les coordonnées du point A sont

(1 ; −1 ; −1) dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→

k )

.

On note C le cube ABCDEFGH.

1. Démontrer que la probabilité que le point M soit en A est égale à 1

64 .

2. On note E1 l’évènement : «M appartient à l’axe des abscisses ».

Démontrer que la probabilité de E1 est égale à 1

4 .

3. Soit P le plan passant par O et orthogonal au vecteur −→ n (1 ; 1 ; 1).

a. Déterminer une équation cartésienne du plan P .

b. Tracer en couleur sur le graphique de la page 5, la section du planP et du cube C . (On ne demande pas de justification).

c. On note E2 l’évènement : «M appartient à P ».

Quelle est la probabilité de l’évènement E2 ?

4. Ondésigne parB la boule de centreO et de rayon 1,5 (c’est-à-dire l’ensemble des points M de l’espace tels que OM 6 1,5).

On note E3 l’évènement : «M appartient à la boule B ».

Déterminer la probabilité de l’évènement E3.

EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

(unité gra-

phique 4 cm). Soit I le point d’affixe 1. OnnoteC le cercle de diamètre [OI] et on nomme son centre Ω.

Partie I

On pose a0 = 1

2 +

1

2 i et on note A0 son image.

1. Montrer que le point A0 appartient au cercle C .

2. Soit B le point d’affixe b, avec b = −1+2i, et B′ le point d’affixe b′ telle que b′ = a0b.

a. Calculer b′.

b. Démontrer que le triangle OBB′ est rectangle en B′.

Partie II

Soit a un nombre complexe non nul et différent de 1, et A son image dans le plan complexe. À tout pointM d’affixe z non nulle, on associe le pointM ′ d’affixe z ′ telle que z ′ = az.

1. On se propose de déterminer l’ensemble des points A tels que le triangle OMM ′ soit rectangle enM ′.

a. Interpréter géométriquement arg

(

a−1

a

)

.

b. Montrer que (

−−−→

M ′O , −−−−→

M M )

= arg

(

a−1

a

)

+2(où k ∈Z).

c. En déduire que le triangle OMM ′ est rectangle en M ′ si et seulement si A appartient au cercle C privé de O et de I.

2. Dans cette question, M est un point de l’axe des abscisses, différent de O.

On note x son affixe.

On choisit a demanière que A soit un point de C différent de I et de O.

Montrer que le point M ′ appartient à la droite (OA).

En déduire que M ′ est le projeté orthogonal deM sur cette droite.

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité gra-

phique : 1 cm).

On note r1 la rotation de centre O et d’angle π

3 et r2 la rotation de centre O et d’angle

π

5 .

Partie A

1. Résoudre dans Z×Z l’équation ( E) : 3y = 5(15− x).

2. Soit I le point d’affixe 1.

On considère un point A mobile sur le cercle trigonométriqueC de centre O.

Sa position initiale est en I.

On appelle d la distance, exprimée en centimètres, qu’a parcourue le point A sur le cercleC après avoir subi p rotations r1 et q rotations r2 (p et q étant des entiers naturels).

On convient que lorsque A subit la rotation r1 (respectivement r2), il parcourt

une distance de π

3 cm (respectivement

π

5 cm).

Déterminer toutes les valeurs possibles de p et q pour lesquelles le point A a parcouru exactement deux fois et demie la circonférence du cercleC à partir de I.

Partie B

On note h1 l’homothétie de centre O et de rapport 4 et h2 l’homothétie de centre O et de rapport −6. On pose s1 = r1 ◦h1 et s2 = r2 ◦h2.

1. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de s1 et s2.

2. On pose :

Sm = s1◦s1 · · ·◦s1 (composée dem fois s1, m étant un entier naturel non nul),

S n = s2 ◦ s2 · · · ◦ s2 (composée de n fois s2, n étant un entier naturel non nul), et f = S n Sm .

2

a. Justifier que f est la similitude directe de centre O, de rapport 22m+n × 3n

et d’anglem π

3 +n

6π

5 .

b. f peut-elle être une homothétie de rapport 144 ?

c. On appelle M le point d’affixe 6 et M′ son image par f .

Peut-on avoir OM′ = 240 ?

Démontrer qu’il existe un couple d’entiers naturels unique (m, n) tel que OM′ = 576.

Calculer alors la mesure principale de l’angle orienté (

−→ u ,

−−−→

OM′ )

.

PROBLÈME 11 points

On considère la fonction f définie sur R par :

f (x)= 1

ex +e−x

et on désigne par Γ sa courbe représentative dans un repère orthogonal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Partie A

1. Étudier la parité de f . Que peut-on en déduire pour la courbe Γ ?

2. Démontrer que, pour tout réel x positif ou nul, e−x 6 ex .

3. a. Déterminer la limite de f en +∞.

b. Étudier les variations de f sur [0 ; +∞[.

4. On considère les fonctions g et h définies sur [0 ; +∞[ par g (x)= 1

ex et h(x)=

1

2ex .

Sur l’annexe sont tracées, dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

les courbes représenta-

tives de g et h, notées respectivement Γ1 et Γ2.

a. Démontrer que, pour tout réel x positif ou nul, h(x)6 f (x)6 g (x).

b. Que peut-on en déduire pour les courbes Γ, Γ1, et Γ2 ?

Tracer Γ sur l’annexe, en précisant sa tangente au point d’abscisse 0.

Partie B

Soit (In ) la suite définie sur N par : In = ∫n+1

n f (x)dx.

1. Justifier l’existence de (In ), et donner une interprétation géométrique de (In ).

2. a. Démontrer, que pour tout entier naturel n, f (n+1)6 In 6 f (n).

b. En déduire que la suite (In ) est décroissante.

c. Démontrer que la suite (In ) est convergente et determiner sa limite.

Partie C

Soit (Jn) la suite définie sur N par : Jn = ∫n

0 f (x)dx.

1. En utilisant l’encadrement obtenu dans la question A. 4. a., démontrer que, pour tout entier naturel n :

1

2

(

1−e−n )

6 Jn 6 1−e −n

6 1.

3

2. Démontrer que la suite (Jn) est croissante.

En déduire qu’elle converge.

3. On note L la limite de la suite (Jn) et on admet le théorème suivant :

« Si un , vn et wn sont trois suites convergentes de limites respectives a, b et c et si, à partir d’un certain rang on a pour tout n, un 6 vn 6wn , alors

a6 b6 c ».

Donner un encadrement de L.

4. Soit u la fonction définie sur R par

u(x)= 1

1+ x2 .

On note v la primitive de u sur R telle que v(1)= π

4 .

On admet que la courbe représentative de v admet en +∞ une asymptote

d’équation y = π

2 .

a. Démontrer que, pour tout réel x, f (x)= ex

(ex )2+1 .

b. Démontrer que, pour tout réel x, f est la dérivée de la fonction

x 7→ v (ex ).

c. En déduire la valeur exacte de L.

4

Annexe de l’exercice 1

Cette page sera complétée et remise avec la copie

O

A

B

C

D

E

F

G

H

−→ ı

−→

−→

k

5

Annexe du problème

Cette page sera complétée et remise avec la copie

0 1 2 3 4 5 6

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

6

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