Exercices de modélisation mathèmatique – correction 21, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercices de modélisation mathèmatique – correction 21, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices de modélisation mathèmatique – correction 21. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’espacemuni d’un repère orthonormal, l'intersection de C.
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PolynesieSjuin2003.dvi

[ Baccalauréat S Polynésie juin 2003 \

EXERCICE 1 4 points

Partie A

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k

) , on considère les points

A, B, C et D de coordonnées respectives : A(0 ; 0 ; 3), B

( 2 p 2 ; 0 ; −1

) , C

( − p 2 ; −

p 6 ; −1

) , D

( − p 2 ;

p 6 ; −1

) .

1. Démontrer que ABCD est un tétraèdre régulier, c’est-à-dire un tétraèdre dont toutes les arêtes sont de même longueur.

2. On note R, S, T et U les milieux respectifs des arêtes [AC], [AD], [BD] et [BC] ; démontrer que RSTU est un parallélogramme de centre O.

3. Ce parallélogramme a-t-il des propriétés supplémentaires ? Expliquer.

C

A

D B

−→ ı

−→

−→ k

Partie B

On dispose de trois tétraèdres identiques au précédent, parfaitement équilibrés. Chacun d’eux a une face peinte en bleu, une face peinte en jaune et deux faces peintes en rouge. On lance les trois tétraèdres simultanément (on remarquera que, lorsqu’on lance un tel tétraèdre, une seule face est cachée et trois faces sont visibles).

1. Calculer la probabilité pour qu’aumoins trois faces rouges soient visibles sur les trois tétraèdres.

2. Calculer la probabilité pour que la couleur bleue ne soit visible sur aucun tétraèdre.

3. Calculer la probabilité de l’évènement E « les six faces rouges sont visibles ».

4. On répète n fois l’expérience qui consiste à lancer les trois tétraèdres.

Calculer la probabilité pn pour que l’évènement E soit réalisé au moins une fois.

Calculer lim n→+∞

pn .

EXERCICE 2 (Obligatoire) 5 points

Dans tout l’exercice, le planP est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

Les constructions seront faites sur papier millimétré.

1. a. Le point E a pour affixe ZE = 3+ i et le point F a pour affixe ZF = 1+3i. Placer dans P les points E et F.

1

b. Construire le point H tel que EHF soit un triangle rectangle isocèle direct

de sommet H, c’est-à-dire tel que (−−→ HF ;

−−→ HE

) =

π

2 [2π]. [0,5 pt]

c. On désigne par ZH l’affixe de H.

Montrer que

∣∣∣∣ 3+ i−ZH 1+3i−ZH

∣∣∣∣= 1 et que arg ( 3+ i−ZH 1+3i−ZH

) =

π

2 [2π].

En déduire que ZH = 3+3i. 2. A, B, C et D sont quatre points du plan P .

C

A B

D

a. Construire les triangles rectangles isocèles directs BIA, AJD, DKC et CLB d’angles droits respectifs B̂IA, ÂJD, DKC et CLB.

b. Conjecturer la position relative des droites (IK) et (LJ) et le rapport des longueurs des segments [IK] et [LJ].

3. a. On désigne par a, b et z1 les affixes respectives des points A, B et I.

Montrer que

∣∣∣∣ bz1 az1

∣∣∣∣= 1 et arg ( bz1 az1

) =

π

2 [2π].

En déduire que z1 = iab i−1

.

b. Avec les points B, C et L d’affixes respectives b, c et zL, exprimer sans dé- monstration zL en fonction de b et c.

c. Avec les points C, D et K d’affixes respectives c, d et zK, exprimer demême zK en fonction de c et d . Avec les points D, A et J d’affixes respectives d , a et zJ exprimer de même zJ en fonction de a et d .

d. Montrer que zL−zJ = i (zK− zI). En déduire que les droites (JL) et (KI) sont perpendiculaires et que JL = KI.

EXERCICE 2 (Spécialité) 5 points

Le plan complexe est rapporté un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) , d’unité gra-

phique 2 cm.

On donne les points A, C, D etΩ, d’affixes respectives 1 + i, 1, 3 et 2+ 1

2 i.

Partie A

1. Soit C le cercle de centreΩ passant par A.

a. Montrer que C passe par C et D.

b. Montrer que le segment [AD] est un diamètre de C .

c. Sur une feuille de papier millimétré, faire une figure en plaçant les points A, C, D, Ω et tracer C . On note B la seconde intersection de C avec la droite (OA).

2

d. Montrer que le point O est extérieur au segment [AB].

2. Montrer par un raisonnement géométrique simple que les triangles OAD et OCB sont semblables mais non isométriques.

Soit S la similitude qui transforme le triangle OCB en le triangle OAD.

a. Montrer que S est une similitude indirecte différente d’une réflexion.

b. Quel est le centre de S ?

Partie B

1. a. Déduire de la partie A 2 que l’on a OA ×OB = OC ×OD. b. En déduire le module de l’affixe zB du point B. Déterminer un argument

de zB.

2. Déterminer l’écriture complexe de S.

3. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de S ◦ S.

PROBLÈME 11 points

Partie A

On considère la fonction f définie sur R par

f (x)= ex cosx.

On appelle C f la représentation graphique de f dans un repère orthogonal.

1. Montrer que pour tout réel x,

−ex 6 f (x)6 ex .

En déduire que C f admet une asymptote au voisinage de −∞. Quelle est cette asymptote ?

2. Déterminer les abscisses des points d’intersection de C f avec l’axe des abs- cisses.

3. On étudie f sur l’intervalle [ − π

2 ; +

π

2

] .

Démontrer que pour tout réel x ∈ [ − π

2 ; +

π

2

] on a :

cosx− sinx = p 2cos

( x+

π

4

) .

4. Calculer f ′(x), où f ′ désigne la fonction dérivée de f .

Montrer que f est croissante sur [ − π

2 ; +

π

4

] et décroissante sur

[ + π

4 ; +

π

2

] .

Dresser le tableau de variations de f sur [ − π

2 ; +

π

2

] .

Indiquer les valeurs prises par f en − π

2 , π

4 et

π

2 .

5. Tracer C f sur l’intervalle [ − π

2 ; +

π

2

] sur le graphique ci-dessous

3

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

2

1

−1

−2

0 0,25π 0,5π 0,75π−0,25π−0,5π−0,75π

6. Démontrer que, sur l’intervalle [ 0 ;

π

2

] l’équation f (x) =

1

2 admet une solu-

tion unique α.

Trouver, à l’aide de la calculatrice, la valeur approchée décimale de α arron- die au centième.

7. On note f ′′ la fonction dérivée seconde de f . Montrer que f ′′(x)=−2ex sinx.

En déduire que, sur l’intervalle [ − π

2 ; +

π

2

] , le coefficient directeur de la tan-

gente àC f au point d’abscisse x atteint, pour x = 0, une valeur maximale que l’on précisera.

Trouver l’équation de la tangente T C f en 0 et tracer T sur le graphique de la question 5.

Partie B

Pour tout entier naturel n, on pose

In = ∫

π

0 ex cos(nx)dx.

1. Montrer que, pour tout entier naturel n, cos()= (−1)n et que sin()= 0. 2. À l’aide de deux intégrations par parties, montrer que :

In = (−1)neπ−1

1+n2 .

3. Montrer que, pour tout entier naturel n, |In |6 eπ+1 1+n2

.

En déduire lim n→+∞

In .

Partie C

On considère les équations différentielles

(E) y ′−2y −1= 0

4

(E′) y ′−2y = 1−ex sinx

y est une fonction définie et dérivable sur R. Dire, en le justifiant, si les assertions suivantes sont vraies ou fausses :

1. (E) admet une fonction polynôme du premier degré comme solution.

2. Soit g une fonction positive définie sur R ; si g est solution de (E) alors elle est croissante sur D.

3. La fonction x 7→ 3e2x + 1

2 est une solution de (E).

4. La primitive F de f qui s’annule en 0 est une solution de (E′).

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