Exercices de modélisation mathèmatique – correction 22, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercices de modélisation mathèmatique – correction 22, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

PDF (36.6 KB)
2 pages
431Numéro de visites
Description
Exercices de modélisation mathèmatique – correction 22. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le système d’équations paramétriques, les entiers naturels.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Polynesiespesept2003.dvi

[ Baccalauréat S Polynésie spécialité \ septembre 2003

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

L’espace est rapporté à un repère (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→

k )

orthonormé. Soit s un nombre réel.

On donne les points A (8 ; 0 ; 8), B (10 ; 3 ; 10) ainsi que la droite D d’équations para- métriques :

x = −5+3s y = 1+2s z = −2s

1. a. Donner un système d’équations paramétriques de la droite ∆ définie par A et B.

b. Démontrer que D et ∆ sont non coplanaires.

Déterminer une équation cartésienne de P .

c. Montrer que la distance d’un point quelconque M deD à P est indépen- dante deM .

d. Donner un système d’équations paramétriques de la droite définie par l’intersection de P avec le plan (xOy).

2. La sphère S est tangente à P au point C(10 ; 1 ; 6). Le centre Ω de S se trouve à la distance d = 6 de P , du même côté que O.

Donner l’équation cartésienne de S .

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On désigne par p un nombre entier premier supérieur ou égal à 7. Le but de l’exercice est de démontrer que l’entier naturel n = p4−1 est divisible par 240, puis d’appliquer ce résultat.

1. Montrer que p est congru à−1 ou à 1modulo 3. En déduire que n est divisible par 3.

2. En remarquant que p est impair, prouver qu’il existe un entier naturel k tel que p2−1= 4k(k+1), puis que n est divisible par 16.

3. En considérant tous les restes possibles de la division euclidienne de p par 5, démontrer que 5 divise n.

4. a. Soient a, b et c trois entiers naturels.

Démontrer que si a divise c et b divise c, avec a et b premiers entre eux, alors ab divise c.

b. Déduire de ce qui précède que 240 divise n.

5. Existe-t-il quinze nombres premiers p1, p2, . . . , p15 supérieurs ou égaux à 7 tels que l’entier A = p41+p

4 2+ . . .+p

4 15 soit un nombre premier ?

PROBLÈME 10 points Commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :

{

f (0) = 1

f (x) = 1

2 x2(3−2lnx)+1 si x > 0

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Partie A

1. a. Calculer lim x→0

f (x). Que peut-on en déduire pour la fonction f ?

b. Déterminer la limite de f en +∞.

2. a. Étudier la dérivabilité de f en 0.

b. Montrer que f est dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ et calculer f ′(x) pour x > 0, f ′ désignant la fonction dérivée de f .

3. Étudier le sens de variations de f sur [0 ; +∞[, puis dresser son tableau de variations.

4. Montrer que l’équation f (x) = 0 possède une solution unique α sur l’inter- valle [0 ; +∞[. Déterminer une valeur approchée décimale de α à 10−2 près.

Partie B

1. Calculer une équation de la tangente D à la courbe C au point d’abscisse x = 1.

2. On considère la fonction g : x 7→ f (x)−2x− 1

2 définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

a. Calculer g ′(x), puis g ′′(x) où g ′ et g ′′ désignent respectivement les fonc- tions dérivées première et seconde de g . Étudier le sens de variations de g ′. En déduire le signe de g ′(x) sur ]0 ; +∞[

b. Étudier le sens de variations de g .

En déduire la position de la courbe C par rapport à la tangente D.

3. Construire la courbe C et la tangente D (unité graphique : 2 cm).

Partie C

1. n est un entier naturel non nul.

Exprimer en fonction de n le réel In = ∫1

1 n

x2 lnx dx (on pourra utiliser une

intégration par parties).

2. En déduire en fonction de l’entier n, l’aire An exprimée en cm2 du domaine plan délimité par la courbe C , la tangente D et les deux droites d’équation

x = 1

n et x = 1.

3. Calculer lim n→+∞

An et interpréter le résultat obtenu.

Polynésie 2 septembre 2003

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome