Exercices de modélisation mathèmatique – correction 3, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
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Eusebe_S11 April 2014

Exercices de modélisation mathèmatique – correction 3, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices de modélisation mathèmatique – correction 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’espérance mathématique de X, La variable aléatoire, l’algorithme d’Euclide.
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[ Baccalauréat série S Antilles-Guyane juin 2003\

EXERCICE 1 4 points Commun tous les candidats

Le plan est rapporté au repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v

)

(unité graphique : 2 cm). On

considère les points A et B d’affixes respectives A(3+2i) et B(−1+4i). Extérieurement au triangle OAB, on construit les deux carrés OA1A2A et OBB1B2.

1. a. En remarquant que A2 est l’image de O par une rotation de centre A, dé- terminer l’affixe de A2. En déduire l’affixe du centre I du carré OA1A2A.

b. En remarquant que B1 est l’image de O par une rotation de centre B, dé- terminer l’affixe de B1. En déduire l’affixe du centre J du carré OBB1B2.

2. Calculer l’affixe du milieu K du segment [AB]. À l’aide des affixes des diffé- rents points, calculer les longueurs KI et KJ, ainsi qu’une mesure de l’angle (−→ KI ,

−→ KJ

)

. Que peut-on en déduire ?

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Une entreprise A est spécialisée dans la fabrication en série d’un article ; un contrôle de qualité a montré que chaque article produit par l’entreprise A pouvait présenter deux types de défaut : un défaut de soudure avec une probabilité égale à 0,03 et un défaut sur un composant électronique avec une probabilité égale à 0,02. Le contrôle amontré aussi que les deux défauts étaient indépendants. Un article est dit défectueux s’il présente aumoins l’un des deux défauts.

1. Montrer que la probabilité qu’un article fabriqué par l’entreprise A soit dé- fectueux est égale à 0,0494.

2. Une grande surface reçoit 800 articles de l’entreprise A. Soit X la variable aléatoire qui à cet ensemble de 800 articles associe le nombre d’articles dé- fectueux.

a. Définir la loi de X .

b. Calculer l’espérance mathématique de X . Quel est le sens de ce nombre ?

3. a. Un petit commerçant passe une commande de 25 articles à l’entreprise A.

Calculer, à 10−3 près, la probabilité qu’il y ait plus de 2 articles défectueux dans sa commande.

b. Il veut que sur sa commande la probabilité d’avoir aumoins un article dé- fectueux reste inférieure à 50%.Déterminer la valeurmaximale dunombre n d’articles qu’il peut commander.

4. La variable aléatoire, qui à tout article fabriqué par l’entreprise associe sa durée de vie en jours, suit une loi exponentielle de paramètre 0,0007, c’est- à-dire de densité de probabilité la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :

f (x)= 0,0007e−0,0007x .

Calculer la probabilité, à 10−3 près, qu’un tel article ait une durée de vie com- prise entre 700 et 1000 jours.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. a. Calculer : (

1+ p 6 )2 , (

1+ p 6 )4 , (

1+ p 6 )6 .

b. Appliquer l’algorithme d’Euclide à 847 et 342. Que peut-on en déduire ?

2. Soit n un entier naturel non nul. On note a et b les entiers naturels tels que :

(

1+ p 6 )n

= an +bn p 6.

Que valent a1 et b1 ?

D’après les calculs de la question 1. a., donner d’autres valeurs de an et bn .

a. Calculer an+1 et bn+1 en fonction de an et bn .

b. Démontrer que, si 5 ne divise pas an +bn , alors 5 ne divise pas non plus an+1+bn+1. En déduire que, quel que soit n entier naturel non nul, 5 ne divise pas an +bn .

c. Démontrer que, si an et bn sont premiers entre eux, alors an+1 et bn+1 sont premiers entre eux.

En déduire que, quel que soit n entier naturel non nul, an et bn sont pre- miers entre eux.

PROBLÈME 11 points

A. On se propose de résoudre sur R l’équation différentielle (E) :

y ′−2y = 2 (

e2x 1 )

.

1. Montrer que la fonction h définie sur R par :

h(x)= 2xe2x +1

est solution de l’équation différentielle (E).

2. On pose : y = z +h. Montrer que y est solution de (E) si et seulement si z est solution de l’équation différentielle : z ′−2z = 0. Résoudre cette dernière équation différentielle et en déduire les solutions de (E).

3. Démontrer qu’il existe une solution et une seule de (E) s’annulant en 0. Elle sera appelée g et étudiée dans la partie B.

B. On considère la fonction g définie sur R par :

g (x)= (2x−1)e2x +1.

1. Déterminer le sens de variation de g . Présenter son tableau de variations. En déduire le signe de g sur R.

2. a. Résoudre dans R l’inéquation : 1− g (x)> 0.

b. Calculer l’intégrale : I = ∫ 1

2

0 [1− g (x)]dx.

c. Interpréter graphiquement les résultats des questions a. et b..

C. On considère la fonction numérique f définie pour x réel non nul par :

f (x)= e2x −1

x .

1. Calculer les limites de f en −∞, en 0 et en +∞. 2. En déduire que la courbe représentative de f admet une asymptote que l’on

précisera.

3. Déterminer le sens de variation de f et donner son tableau de variations (on pourra utiliser la partie B).

2

4. Soit C la courbe représentative de f dans le repère orthogonal (

O, −→ ı ,

−→

)

,

avec pour unités : 4 cm sur (

O ; −→ ı

)

et 2 cm sur (

O ; −→

)

. Après avoir recopié et

complété le tableau ci-dessous avec des valeurs approchées arrondies à 10−2

près, construire la courbe C pour des valeurs de x comprises entre −2 et 1.

x −2 −1,5 −1 −0,5 −0,2 −0,1 −0,05 0,05 0,1 0,2 0,5 1 f (x)

5. Soit f1 la fonction définie par

{

f1(x) = f (x), x 6= 0 f1(0) = 0

Cette fonction est définie et continue surR. En supposant que f1 est dérivable en 0, expliquer comment on peut déterminer graphiquement une valeur ap- prochée du nombre dérivé f ′(0) ; faire cette lecture graphique.

Quel résultat de limite cela permet-il de conjecturer ?

D. On se propose de trouver un encadrement de l’intégrale :

J= ∫−1

−2

e2x −1 x

dx.

Montrer que pour tout x de [−2 ; −1] on a : − 0,86

x 6

e2x −1 x

6− 0,99

x .

En déduire un encadrement de J d’amplitude 0,1.

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