Exercices de modélisation mathèmatique – correction 4, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercices de modélisation mathèmatique – correction 4, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices de modélisation mathèmatique – correction 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation d’inconnue rationnelle x, la solution rationnelle de l’équation.
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AntillesSsept2003.dvi

[ Baccalauréat S Antilles–Guyane septembre 2003\

EXERCICE 1 5 points

Une association organise des promenades en montagne. Douze guides emmènent chacun, pour la journée, un groupe de personnes dès le lever du Soleil. L’été il y a plus de demandes que de guides et chaque groupe doit s’inscrire la veille de la promenade. Mais l’expérience des dernières années prouve que la probabilité que chacun des

groupes inscrits ne se présente pas au départ de la promenade est égale à 1

8 . On

admettra que les groupes inscrits se présentent indépendamment les uns des autres. Les probabilités demandées seront arrondies au 100e le plus proche.

1. a. Montrer que la probabilité qu’un jour donné les 12 groupes inscrits soient tous présents est comprise entre 0,20 et 0,21.

b. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de jours où les 12 groupes inscrits se sont tous présentés au départ lors d’un mois de 30 jours. Montrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les para- mètres.

Donner la signification des évènements X = 30 puis X = 0 et calculer la probabilité de ces évènements.

Préciser l’espérance mathématique E(X )

Quelle signification peut-on donner à ce résultat ?

c. Une sommede 1Crédit (lamonnaie locale) est demandée à chaque groupe pour la journée. Cette somme est réglée au départ de la promenade.

Dans le cas où un groupe ne se présente pas au départ, l’association ne gagne évidemment pas le Crédit que ce groupe aurait versé pour la jour- née.

On nomme S la variable aléatoire égale à la somme, en Crédits, perçue par l’association un jour donné.

Calculer la probabilité de l’évènement [S = 11].

Préciser l’espérance mathématique de S.

2. a. Agacé par le nombre de guides inemployés, le dirigeant de l’association décide de prendre chaque jour une réservation supplémentaire. évidem- ment si les 13 groupes inscrits se présentent, le 13e groupe sera dirigé vers une activité de substitution. Toutefois, cette activité de remplacement en- traîne une dépense de 2 Crédits à l’association.

Quelle est la probabilité P13 qu’un jour donné il n’y ait pas dedésistement, c’est-à-dire que les 13 groupes inscrits la veille se présentent au départ de la promenade ?

b. Soit R la variable aléatoire égale au coût de l’activité de substitution.

Préciser la loi de la variable aléatoire R et calculer son espérance mathé- matique.

c. Montrer que le gain moyen obtenu pour chaque jour est :

(

13 ∑

k=0 k ·

(

k

13

)

(

7

8

)k (1

8

)13−k )

−2P13.

Calculer ce gain.

d. La décision du dirigeant est-elle rentable pour l’association ?

EXERCICE 2 4 points

A. P. M. E. P. Baccalauréat S juin 2003

Enseignement de spécialité

Soit l’équation (1) d’inconnue rationnelle x :

78x3+ux2+ v x −14= 0.

u et v sont des entiers relatifs.

1. On suppose dans cette question que 14

39 est solution de l’équation (1)

a. Prouver que les entiers relatifs u et v sont liés par la relation

14u+39v = 1129.

b. Utiliser l’algorithme d’Euclide, en détaillant les diverses étapes du calcul, pour trouver un couple (x ; y) d’entiers relatifs vérifiant l’équation 14x + 39y = 1.

Vérifier que le couple (−25 ; 9) est solution de cette équation.

c. En déduire un couple (u0 ; v0) solution particulière de l’équation

14u+39v = 1129.

Donner la solution générale de cette équation c’est-à-dire l’ensemble des couples (u ; v) d’entiers relatifs qui la vérifient.

d. Déterminer, parmi les couples (u ; v) précédents, celui pour lequel le nombre u est l’entier naturel le plus petit possible.

2. a. Décomposer 78 et 14 en facteurs premiers.

En déduire, dansN, l’ensemble des diviseurs de 78 et l’ensemble des divi- seurs de 14.

b. Soit P

Q une solution rationnelle de l’équation (1) d’inconnue x :

78x3+ux2+ v x −14= 0 où u et v sont des entiers relatifs.

Montrer que si P et Q sont des entiers relatifs premiers entre eux, alors P divise 14 et Q divise 78.

c. En déduire le nombre de rationnels, non entiers, pouvant être solutions de l’équation (1) et écrire, parmi ces rationnels, l’ensemble de ceux qui sont positifs.

PROBLÈME 10 points

PartieA - étude préliminaired’une fonction f définie surRparϕ(x)= (2x)ex 1

1. Déterminer les limites de la fonction ϕ en −∞ et +∞.

2. Montrer que la fonction ϕ est continue et dérivable sur R et étudier le signe de sa dérivée.

Endéduire les variations de la fonctionϕ et préciser les valeurs deϕ(−2),ϕ(0),

ϕ(1) et ϕ(2).

3. Prouver que la fonction ϕ s’annule uniquement en deux valeurs que l’on nommera α et β. On prendra α < β. étudier alors le signe de la fonction ϕ sur l’ensemble des réels et récapituler cette étude dans un tableau.

4. À l’aide de la calculatrice, fournir un encadrement d’amplitude 10−2 des va- leurs α et β.

5. Montrer que eα = 1

2−α .

Antilles–Guyane 2 septembre 2003

A. P. M. E. P. Baccalauréat S juin 2003

Partie B - Étude d’une fonction f définie par f (x)= ex 1

ex x et calcul intégral

1. Montrer que ex x ne s’annule pas sur R . En déduire que f est définie sur R.

2. Déterminer les limites de la fonction f en −∞ et +∞.

3. Calculer la dérivée f ′ de la fonction f puis, à l’aide des résultats de la partie A, construire le tableau des variations de f .

4. Montrer que f (α) = 1

α−1 , le nombre α étant la plus petite des deux valeurs

pour lesquelles la fonction ϕ de la partie A s’annule.

5. Déterminer une primitive de la fonction f sur R. Donner une valeur exacte puis une valeur décimale approchée à 0,01 près de l’intégrale :

∫1

0

ex −1

ex x dx.

Partie C - étude de deux suites

1. Préciser l’ensemble de définitionDg de la fonction g définie sur cet ensemble

par g (x)= ln

(

1

2− x

)

où ln désigne la fonction logarithme népérien.

Prouver que la fonction g est croissante sur son ensemble de définition et que l’image par g de l’intervalle I = [−2 ; 0] est incluse dans cet intervalle.

2. a. Soit la suite (un ) définie pour tout entier naturel n par :

{

u0 = −2 un+1 = g (un )

Montrer que u1 appartient à l’intervalle I = [−2 ; 0]. Prouver par récur- rence, à l’aide des variations de la fonction g , que la suite (un ) a tous ses termes dans l’intervalle I et est croissante.

b. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par :

{

v0 = 0 vn+1 = g (vn)

Calculer le terme v1 et montrer que −26u1 6 v1 6 v0 6 0.

Établir par récurrence, à l’aide de la croissance de la fonction g sur l’in- tervalle [−2 ; 0], que pour tout entier naturel n strictement positif, on a :

−26 un 6 vn 6 vn−16 0.

Préciser le sens de variation de la suite (vn).

3. a. Soit m la fonction définie sur [0 ;+∞[ par :

m(x)= x − ln(1+ x).

Montrer que m est croissante et calculer m(0) . En déduire que, pour tout x positif, on a ln(1+ x)6 x.

b. Vérifier que, pour tout entier n, vn+1−un+1 = ln

(

1+ vn un

2− vn

)

.

En déduire que vn+1−un+1 6 vn un

2− vn .

Sachant que, pour tout entier n, les termes de la suite (vn) appartiennent

à l’intervalle [−2 ; 0], donner un encadrement de 1

2− vn et établir que :

Antilles–Guyane 3 septembre 2003

A. P. M. E. P. Baccalauréat S juin 2003

vn+1−un+1 6 1

2 (vn un ) .

Prouver alors que, pour tout entier naturel n,

vn un 6 1

2n (v0−u0) .

Que peut-on en déduire pour la suite de terme général vn un et pour les suites (un ) et (vn) ?

4. Donner, à l’aide de la calculatrice, un encadrement d’amplitude 10−4 de u10 et v10.

Antilles–Guyane 4 septembre 2003

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