Exercices de modélisation mathèmatique – correction 6, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercices de modélisation mathèmatique – correction 6, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices de modélisation mathèmatique – correction 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Recherche d’une similitude directe transformant ABC en A1B1C1, contrôle de la première conjecture, contrôle de la de...
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[ Baccalauréat S 2003\

L’intégrale demars à novembre 2003

Pour un accès direct cliquez sur les liensbleus

Nouvelle-Calédoniemars 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

Pondichéry avril 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Centres étrangers juin 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Amérique du Nord juin 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Antilles-Guyane juin 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

Asie juin 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Métropole juin 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

La Réunion juin 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

Liban juin 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Polynésie juin 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

Antilles-Guyane septembre 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Métropole septembre 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Polynésie septembre 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

Amérique du Sud novembre 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

Nouvelle-Calédonie 16 novembre 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Baccalauréat S année 2003 A. P. M. E. P.

2

[ Baccalauréat S Nouvelle–Calédonie mars 2003\

Exercice 1 5 points

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v ) . On

considère la transformation ponctuelle f qui, à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par :

z ′ = z2+1.

1. Déterminer les antécédents du point O.

2. Existe-t-il des points invariants par f ? Si oui, préciser leurs affixes respec- tives.

3. Montrer que deux points symétriques par rapport à O ont la même image. Que peut-on dire des images de deux points symétriques par rapport à l’axe des abscisses ?

4. Soit A le point d’affixe zA = p 2

2 (1+ i). Déterminer l’affixe du point A′ image

de A par f puis prouver que les points O, A et A′ sont alignés.

5. Soit θ un nombre réel appartenant à l’intervalle [0 ; 2π[ et N le point d’affixe eiθ .

a. Montrer que N appartient au cercle (X) de centre O et de rayon 1.

b. Lorsque θ varie, montrer que N ′, image du point N par f reste sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

c. Vérifier que −−−→ ON ′ = 2cosθ−−→ON . En déduire que les points O, N et N ′ sont

alignés.

d. Expliquer la construction du point N ′.

Exercice 2 5 points

Une société de maintenance de photocopieurs désire optimiser ses prestations au niveau des entreprises, afin de proposer un abonnement adapté à ses services. Onnote, pour n entier naturel non nul, In l’évènement « La société intervient durant le n-ièmemois qui suit l’installation d’un photocopieur » et pn = p(In ) la probabilité de l’évènement In . Le bureau d’étude a mis en évidence les résultats suivants pour une entreprise dé- terminée : • p(I1)= p1 = 0,75. • Sachant qu’il y a eu une intervention durant le n-ième mois qui suit l’installation d’un photocopieur, la probabilité d’intervention le mois suivant est égale à 0,04. • Sachant qu’iI n’y a pas eu d’intervention durant le n-ième mois qui suit l’instal- lation d’un photocopieur, la probabilité d’intervention le mois suivant est égale à 0,64. On rappelle que A est l’évènement contraire de l’évènement A et que pB(A) est la probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé.

PARTIE 1

1. Préciser pIn (In+1) et pIn (In+1) puis calculer p (In+1∩ In ) et p ( In+1∩ In

) en

fonction de pn (n ∈N∗). 2. En déduire pn+1 =−0,6pn +0,64. 3. On considère la suite (qn) définie surN∗ par : qn = pn −0,4.

a. Démontrer que (qn) est une suite géométrique.

Terminale S A. P. M. E. P.

b. En déduire qn puis pn en fonction de n.

c. Donner une valeur approchée de p6 à 10−3 près par excès.

PARTIE 2

Le même mois, la société de maintenance installe un photocopieur dans 10 entre- prises. Six mois plus tard, elle désire libérer une partie de son personnel afin de pro- poser un stage de mise à niveau. On estime que la probabilité d’intervention du service de maintenance durant ce mois auprès de chacune de ces entreprises est égale à 0,373. Donner, à 10−3 près par excès, la probabilité qu’il y ait au moins un déplacement du service demaintenance durant cemois (on supposera que les interventions dans les différentes entreprises sont des évènements indépendants).

Exercice 3 10 points

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

−0.1

1 2 3 4 5 6 7 8

A

B

C D

C

(T)

PARTIE I

Sur la figure ci-dessus est tracée dans un repère orthogonal la courbe C représenta- tive de la fonction f f est une fonction définie et dérivable sur R∗+. Les points A, B, C et D sont les points de la courbe C d’abscisses respectives 1,

p e, e et e

p e ; de

plus, A appartient à l’axe des abscisses. La droite (T) est la tangente à C au point D.

1. Dans cette question, on ne demande qu’une observation graphique.

Avec la précision permise par ce graphique :

a. Donner une estimation à 5×10−2 près des coefficients directeurs des tan- gentes à la courbe C aux points A, B, C et D.

b. Préciser combien la courbe C admet de tangentes horizontales, de tan- gentes passant par l’origine, de tangentes de coefficient directeur 1. Pour chacune de ces tangentes, donner l’abscisse du point de contact avec la courbe C .

c. Choisir le seul tableau pouvant décrire les variations de la fonction déri- vée de f . Justifier ce choix.

Nouvelle–Calédonie 4 avril 2003

Terminale S A. P. M. E. P.

x 0 +∞ x 0 +∞ x 0 +∞e e p e

2. On rappelle que C est la courbe représentative de la fonction f .

On admet que la fonction dérivée de f est définie sur R∗+ par

g (x)= 1− lnx

x2 .

a. Étudier les variations de g . Cela corrobore-t-il votre choix dans la ques- tion 1. c. ?

b. Déterminer les limites de g en 0, puis en +∞. c. Calculer g (1), g

( e p e ) ; puis démontrer que l’équation g (x)= 1 n’a qu’une

seule solution. Quelle observation de la question 1. b. a-t-on démontrée ?

d. Expliquer pourquoi f est définie sur R∗+ par

f (x)= ∫x

1

( 1− ln t

t2

) dt .

Calculer f (x) à l’aide d’une intégration par parties.

Partie II

On étudie la fonction f définie sur R∗+ par

f (x)= lnx

x .

1. Étudier les variations de f , préciser ses limites en 0 puis en +∞. 2. On cherche à justifier les observations de la question I. 1. concernant les tan-

gentes à la courbe C qui sont horizontales, qui ont un coefficient directeur égal à 1 ou qui passent par le point O origine du repère.

Démontrer que, dans chacun de ces cas, une seule tangente vérifie la condi- tion donnée, préciser les abscisses des points de contact correspondants (on pourra utiliser les résultats démontrés dans la partie I. 2. c. et préciser ces points.

3. Étude de la tangente (T) à la courbe C au point D (le point D a pour abscisse e p e).

a. Démontrer qu’une équation de la tangente (T) à C au point D est

y = −x+4e

p e

2e3 .

b. Montrer que le signe de ( 2e3 lnx+ x2−4ex

p e ) détermine la position de

la courbe C par rapport à cette tangente.

c. On note ϕ la fonction définie sur R∗+ par

ϕ(x)= 2e3 lnx+ x2−4ex p e.

À partir des variations de ϕ, déterminer la position de la courbe C par rapport à la tangente (T).

Nouvelle–Calédonie 5 avril 2003

Terminale S A. P. M. E. P.

Partie III Calcul d’aires

1. Démontrer que les abscisses des points A, B etC sont les trois premiers termes d’une suite géométriquedont onprécisera la raison. Vérifier que l’abscisse de D est le quatrième terme de cette suite.

2. Soit x0 un nombre réel strictement supérieur à 1 et E le point de la courbe C d’abscisse x0. On considère les droites ∆A, ∆B, ∆C, ∆D et ∆E parallèles à l’axe des ordonnées et passant respectivement par A, B, C, D et E .

On note U1 l’aire de la partie du plan limite par l’axe des abscisses, la courbe C et les droites ∆A et ∆C ; U2 l’aire de la partie du plan limitée par l’axe des abscisses, la courbe C et les droites ∆B et ∆D et U3 l’aire de la partie du plan limitée par l’axe des abscisses, la courbe C et les droites ∆C et ∆E

a. Calculer U1, puis U2.

b. Déterminer x0 pour que U1, U2 et U3 soient les trois premiers termes d’une suite arithmétique. Quelle remarque peut-on faire sur l’abscisse du point E ?

Nouvelle–Calédonie 6 avril 2003

[ Baccalauréat S Pondichéry avril 2003\

EXERCICE 1 4 points

On considère la suite numérique (un ) définie sur N par :

u0 = a, et, pour tout entiern, un+1 =un (2−un )

a est un réel donné tel que 0< a < 1.

1. On suppose dans cette question que a = 1

8 a. Calculer u1 et u2.

b. Dans un repère orthonormal (unité graphique 8 cm), tracer, sur l’inter- valle [0 ; 2], la droite (d) d’équation y = x et la courbe (Γ) représentative de la fonction : f : x 7→ x(2− x).

c. Utiliser (d) et (Γ) pour construire sur l’axe des abscisses les points A1 , A2, A3 d’abscisses respectives u1, u2, u3.

2. On suppose dans cette question que a est un réel quelconque de l’intervalle ]0 ; 1[.

a. Montrer par récurrence que, pour tout entier n, 0<un < 1. b. Montrer que la suite (un ) est croissante.

c. Que peut-on en déduire ?

3. On suppose à nouveau dans cette question que a = 1

8 . On considère la suite

numérique (vn) définie sur N par :

vn = 1−un .

a. Exprimer, pour tout entier n, vn+1 en fonction de vn .

b. En déduire l’expression de vn en fonction de n.

c. Déterminer la limite de la suite (vn), puis celle de la suite (un ).

EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire

Première partie

On considère dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation suivante :

(E) z3+2z2−16= 0.

1. Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E) peut s’écrire sous la forme : (z−2)

( az2+bz+c

) = 0, où a, b et c sont trois réels que l’on déterminera.

2. En déduire les solutions de l’équation (E) sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.

Deuxième partie

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

1. Placer les points A, B et D d’affixes respectives

zA =−2−2i, zB = 2 et zD =−2+2i.

2. Calculer l’affixe zC du point C tel que ABCD soit un parallélogramme. Placer C.

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

3. Soit E l’image de C par la rotation de centre B et d’angle − π

2 et F l’image de C

par la rotation de centre D et d’angle π

2 .

a. Calculer les affixes des points E et F, notées zE et zF.

b. Placer les points E et F.

4. a. Vérifier que : zF− zA zE− zA

= i.

b. En déduire la nature du triangle AEF.

5. Soit I le milieu de [EF]. Déterminer l’image du triangle EBA par la rotation de

centre I et d’angle − π

2 .

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante

Première partie ABC est un triangle direct du plan orienté. On désigne respectivement par I, J et K les milieux de [AB], [BC] et [CA]. Soit α un réel qui conduit à la réalisation de la figure jointe sur laquelle on raison- nera. Cette figure sera jointe à la copie. d1 est l’image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d’angle α. d2 est l’image de la droite (BC) par la rotation de centre J et d’angle α. d3 est l’image de la droite (CA) par la rotation de centre K et d’angle α. A1 est le point d’intersection de d1 et d3, B1 celui de d1 et d2 et C1 celui de d2 et d3.

1. On appelle H le point d’intersection de (BC) et d1. Montrer que les triangles HIB et HB1J sont semblables.

2. En déduire que les triangles ABC et A1B1C1 sont semblables.

Deuxième partie

Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

A - Construction de la figure

1. Placer les points A(−4−6i), B(14), C(−4+6i), A1(3−7i), B1(9+5i) et C1(−3−i). 2. Calculer les affixes desmilieux I, J et K des segments [AB], [BC] et [CA]. Placer

ces points sur la figure.

3. Montrer que A1, I, B1 sont alignés.

On admettra que B1, J, C1 d’une part et C1, K, A1 d’autre part sont alignés.

4. Déterminer une mesure en radians de l’angle (−→ IB ,

−−→ IB1

) .

On admettra que (−−→ KA ,

−−→ KA1

) =

π

4 et que

(−→ JC ,

−−→ JC1

) =

π

4 .

5. Quelle est l’image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d’angle π

4 ?

B - Recherche d’une similitude directe transformant ABC en A1B1C1

On admet qu’il existe une similitude directe s transformant les points A, B et C en A1, B1 et C1.

1. Montrer que l’écriture complexe de s est z ′ = ( 1

2 + 1

2 i

) z + 2− 2i, où z et z

désignent respectivement les affixes d’un point et de son image par s.

2. a. Déterminer le rapport et l’angle de s.

Pondichéry 8 mars 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

b. Déterminer l’affixe du centreΩ de s.

3. Que représente le pointΩ pour ABC?

Le candidat joindra cette figure à sa copie

A B

C

A1

B1

C1

I

JK d1

d2

d3

α

α

α

PROBLÈME 11 points

On considère la fonction numérique f définie sur R par :

f (x)= x2ex−1− x2

2 .

Le graphique ci-dessous est la courbe représentative de cette fonction telle que l’af- fiche une calculatrice dans un repère orthonormal. Conjectures À l’observation de cette courbe, quelles conjectures pensez-vous pouvoir faire concernant a. le sens de variations de f sur [−3 ; 2] ? b. la position de la courbe par rapport à l’axe (xx) ? Dans la suite de ce problème, on se propose de valider ou non ces conjectures et de les complèter.

Partie A : contrôle de la première conjecture

1. Calculer f ′(x) pour tout réel x, et l’exprimer à l’aide de l’expression g (x) où g est la fonction définie sur R par g (x)= (x+2)ex−1−1.

Pondichéry 9 mars 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

2. Étude du signe de g (x) pour x réel.

a. Calculer les limites de g (x) quans x tend vers +∞, puis quand x tend vers −∞.

b. Calculer g ′(x) et étudier son signe suivant les valeurs de x.

c. En déduire le sens de variations de la fonction g , puis dresser son tableau de variations.

d. Montrer que l’équation g (x)= 0 possède une unique solution dans R. On note α cette solution. Montrer que 0,20<α< 0,21.

e. Déterminer le signe de g (x) suivant les valeurs de x.

3. Sens de variations de la fonction f sur R.

a. Étudier, suivant les valeurs de x, le signe de f ′(x).

b. En déduire le sens de variations de la fonction f .

c. Que pensez-vous de votre première conjoncture ?

Partie B : contrôle de la deuxième conjoncture

On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal( O,

−→ ı ,

−→ ) .

On se propose de contrôler la position de la courbe par rapport à l’axe (xx).

1. Montrer que f (α)= −α3

2(α+2) .

2. On considère la fonction h définie sur l’intervalle [0 ; 1] par h(x)= −x3

2(x+2) .

a. Calculer h′(x) pour x élément de [0 ; 1], puis déterminer le sens de varia- tions de h sur [0 ; 1].

b. En déduire un encadrement de f (α).

3. a. Déterminer les abscisses des points d’intersection de la courbe C avec l’axe (xx).

b. Préciser alors la position de la courbeC par rapport à l’axe des abscisses.

c. Que pensez-vous de votre deuxième conjecture ?

Partie C : tracé de la courbe

Compte tenu des résultats précédents, on se propose de tracer la partie Γ de C cor-

respondant à l’intervalle [−0,2 ; 0,4], dans le repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ) avec les

unités suivantes : — sur l’axe des abscisses 1 cm représentera 0,05. — sur l’axe des ordonnées 1 cm représentera 0,001.

1. Recopier le tableau suivant et complèter celui-ci à l’aide de la calculatrice en indiquant les valeurs approchées sous la forme n×10−4 (n entier relatif).

x −0,2 −0,15 −0,1 −0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 f (x)

2. Tracer alors Γ dans le repère choisi.

Partie D : calcul d’aire

On désire maintenant calculer l’aire du domaine D délimité par la courbe Γ, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1− ln2.

Pondichéry 10 mars 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

1. À l’aide d’une double intégration par parties, déterminer une primitive sur R de la fonction :

x 7→ x2ex .

2. En déduire une primitive F sur R de la fonction f .

3. Calculer alors, en unités d’aire, l’aire du domaine D puis en donner une va- leur approchée en cm2.

Pondichéry 11 mars 2003

[ Baccalauréat série S Centres étrangers juin 2003\

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

On définit, pour tout entier naturel n > 0, la suite (un) de nombres réels strictement

positifs par un = n2

2n .

1. Pour tout entier naturel n > 0, on pose vn = un+1 un

a. Montrer que lim n→+∞

vn = 1

2 .

b. Montrer que pour tout entier naturel n > 0, vn > 1

2 .

c. Trouver le plus petit entier N tel que si n>N , vn < 3

4 .

d. En déduire que si n>N , alors un+1 < 3

4 un .

On pose pour tout entier naturel n> 5, Sn =u5+u6+·· ·+un . 2. On se propose de montrer que la suite (Sn)n>5 est convergente.

a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n> 5,

un 6

( 3

4

)n−5 u5.

b. Montrer que pour tout entier naturel n> 5,

Sn 6

[ 1+

3

4 + ( 3

4

)2 +·+

( 3

4

)n−5] u5.

c. En déduire que pour tout entier naturel n> 5, Sn 6 4u5 .

3. Montrer que la suite (Sn)n>5 est croissante et en déduire qu’elle converge.

EXERCICE 2 6 points Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Une entreprise d’autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhi- cules peuvent être bloqués par des incidents extérieurs commedes chutes depierres, la présence de troupeaux sur la route, etc. Un autocar part de son entrepôt. On note D la variable alatoire qui mesure la dis- tance en kilomètres que l’autocar va parcourir jusqu’à ce qu’il survienne un inci-

dent. On admet queD suit une loi exponentielle de paramètre λ= 1

82 , appelée aussi

loi de durée de vie sans vieillissement. On rappelle que la loi de probabilité est alors définie par :

p(D6 A)= ∫A

0

1

82 e−

x 82 dx.

Dans tout l’exercice, les résultats numériques seront arrondis aumillime.

1. Calculer la probabilité que la distance parcourue sans incident soit :

a. comprise entre 50 et 100 km ;

b. supérieure à 300 km.

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

2. Sachant que l’autocar a déjà parcouru 350 kilomètres sans incident, quelle est la probabilité qu’il n’en subisse pas non plus au cours des 25 prochains kilomètres ?

3. Détermination de la distance moyenne parcourue sans incident.

a. Aumoyen d’une intégration par parties, calculer I(A)= ∫A

0

1

82 xe−

x 82 dx

A est un nombre réel positif.

b. Calculer la limite de I(A) lorsque A tend vers+∞. (Cette limite représente la distance moyenne cherchée).

4. L’entreprise possède N0 autocars. Les distances parcourues par chacun des autocars entre l’entrepôt et le lieu où survient un incident sont des variables aléatoires deux deux indépendantes et de même loi exponentielle de para-

mètre λ= 1

82 .

d étant un réel positif, on note Xd la variable aléatoire égale au nombre d’au- tocars n’ayant subi aucun incident après avoir parcouru d kilomètres.

a. Montrer que Xd suit une loi binomiale de paramètres N0 et e −λd .

b. Donner le nombre moyen d’autocars n’ayant subi aucun incident après avoir parcouru d kilomètres.

EXERCICE 2 6 points Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

L’espace (E) est muni d’un repère

orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère la surface T d’équa- tion : x2y = z avec −1 6 x 6 1 et −16 y 6 1. La figure ci-contre est une repré- sentation de la surface T, dans le cube de centre O et de côté 2.

(1,1,-1)(-2,0,0)(0,-2,0)(0,0,2) [linecolor=blue,drawStyle=xLines](-1,1)(-1,1)x

1. Éléments de symétrie de la surface T.

a. Montrer que si le pointM(x, y, z) appartient àT, alors le pointM ′(−x, y, z) appartient aussi à T. En déduire un plan de symétrie de T.

b. Montrer que l’origine O du repère est centre de symétrie de T.

2. Intersections de la surface T avec des plans parallèles aux axes.

a. Déterminer la nature des courbes d’intersection de T avec les plans pa- rallèles au plan (xOz).

b. Déterminer la nature des courbes d’intersection de T avec les plans pa- rallèles au plan (yOz).

3. Intersections de la surface T avec les plans parallèles au plan (xOy) d’équa- tions z = k, avec k ∈ [0 ; 1]. a. Déterminer l’intersection de la surface T et du plan d’équation z = 0. b. Pour k > 0 on note K le point de coordonnées (0, 0, k). Déterminer, dans

le repère ( K ;

−→ ı ,

−→ ) , l’équation de la courbe d’intersection de T et du

plan d’équation z = k.

Centres étrangers juin 2003 13 juin 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

c. Tracer l’allure de cette courbe dans le repère ( K ;

−→ ı ,

−→ ) . On précisera en

particulier les coordonnées des extrémités de l’arc.

4. On note (D) le domaine formé des points du cube unité situés sous la surface T.

(D)=M(x, y, z) ∈ (E ) avec 06 x 6 1 ; 06 y 6 1 ; 06 z6 x2y .

a. Pour 0 < k 6 1, le plan d’équation z = k coupe le domaine (D) selon une surface qu’on peut visualiser sur le graphique de la question 3 c.

C’est l’ensemble des points M du cube unité, de coordonnées (x, y, z)

tels que y > k

x2 et z = k.

Calculer en fonction de k l’aire S(k) exprimée en unités d’aire, de cette surface.

b. On pose S(0)= 1 ; calculer en unités de volume, le volume V du domaine (D).

On rappelle que V = ∫1

0 S(k)dk.

PROBLÈME 9 points

On appelle f la fonction définie sur l’intervalle I =]−2 ; +∞[ par

f (x)= 1+ x ln(x+2).

On note ( C f

) la courbe représentative de f dans le repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ) .

(unité graphique 4 cm).

I. Étude de la fonction f

1. Étude des variations de la dérivée f ′.

a. f ′ désigne la fonction dérivée première de f et f ′′ la fonction dérivée se- conde. Calculer f ′(x) puis f ′′(x) pour x appartenant à l’intervalle

]−2 ; +∞[. b. Étudier les variations de f ′ sur l’intervalle ]−2 ; +∞[. c. Déterminer les limites de f ′ en −2 et en +∞.

2. Étude du signe de f ′(x).

a. Montrer que sur l’intervalle ]− 2 ; +∞[ l’équation f ′(x) = 0 admet une solution unique α appartenant à l’intervalle [−0,6 ; −0,5].

b. En déduire le signe de f ′(x) selon les valeurs de x.

3. Étude des variations de f

a. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle ]−2 ; +∞[. b. Déterminer les limites de f en −2 et en +∞. c. Dresser le tableau de variation de f .

II. Position de la courbe(C f ) par rapport à ses tangentes

Soit x0 un réel appartenant l’intervalle ]−2 ; +∞[ , on appelle Tx0 la tangente ( C f

)

au point d’abscisse x0. On note, pour x appartenant à l’intervalle ]−2 ; +∞[,

d(x)= f (x)− [ f ′(x0)(xx0)+ f (x0)

] .

1. Étude des variations de d .

Centres étrangers juin 2003 14 juin 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

a. Vérifier que, pour tout x appartenant à l’intervalle ]−2 ; +∞[,

d ′(x)= f ′(x)− f ′ (x0) .

b. En utilisant la croissance de la fonction f ′, donner le signe de d ′(x) selon les valeurs de x. En déduire les variations de d sur l’intervalle ]−2 ; +∞[.

2. Déterminer la position relative de ( C f

) et de Tx0 .

III. Tracés dans le repère ( O,

−→ ı ,

−→

)

1. Déterminer une équation de la droite T0, tangente ( C f

) au point d’abscisse

0 ; tracer T0.

2. Trouver les réels x0 pour lesquels les tangentes Tx0 passent par l’origine du repère puis tracer ces droites.

3. Tracer la courbe ( C f

) pour les valeurs de x comprises entre−1 et 2. On pren-

dra pour α la valeur −0,54 et pour f (α) la valeur 0,8.

Centres étrangers juin 2003 15 juin 2003

Baccalauréat série S Amérique du Nord juin 2003

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Cet exercice est unquestionnaire à choixmultiples constitué de six questions : chacune

comporte trois réponses, une et une seule étant exacte.

Les réponses à cet exercice sont à inscrire dans la feuille jointe en annexe, page 5, en

cochant pour chaque question la case correspondante à la réponse proposée.

Toute réponse ambigüe sera considérée comme une absence de réponse. Toute réponse

exacte entraîne une bonification, toute erreur est pénalisée.

On s’intéresse à la durée de vie, exprimée en années, d’un appareil ménager avant la première panne. On peut modéliser cette situation par une loi de probabilité p de durée de vie sans vieillissement, définie sur l’intervalle [0 ; +∞[. Ainsi, la probabilité d’un intervalle [0, t [, notée p([0 ; t [), est la probabilité que l’appareil ménager tombe en panne avant l’instant t .

Cette loi est telle que p([0, t [)= ∫t

0 λe−λx dx, où t est un nombre réel positif repré-

sentant le nombre d’années (loi exponentielle de paramètre λ, avec λ > 0).

1. Pour t > 0, la valeur exacte de p([t , +∞[) est : a. 1−e−λt b. e−λt c. 1+e−λt

2. La valeur de t pour laquelle on a p([0, t [)= p([t , +∞[) est :

a. ln2

λ b.

λ

ln2 c.

λ

2 3. D’après une étude statistique, la probabilité que l’appareil tombe en panne

avant la fin de la première année est 0,18. La valeur exacte de λ est alors :

a. ln

( 50

41

) b. ln

( 41

50

) c.

ln(82)

ln(100) 4. Sachant que cet appareil n’a connu aucune panne au cours des deux pre-

mières années après sa mise en service, la probabilité qu’il ne connaisse au- cune panne l’année suivante est :

a. p([1, +∞[) b. p([3,+∞[) c. p([2 ; 3[ Dans la suite de l’exercice on prendra λ= 0,2.

5. La probabilité que l’appareil n’ait pas eu de panne au cours des trois pre- mières années, arrondie à 10−4 près, est :

a. 0,5523 b. 0,5488 c. 0,4512

6. Dix appareils neufs de ce type ont été mis en service en même temps. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre d’appareils qui n’ont pas de panne au cours des trois premières années.

La valeur la plus proche de la probabilité de l’évènement « X = 4 » est : a. 0,5555 b. 0,8022 c. 0,1607

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( O,

−→ u ,

−→ v ) , d’unité gra-

phique 1 cm, on considère les points A0, A1, A2 d’affixes respectives z0 = 5−4i, z1 =−1−4i, z2 =−4− i.

1. a. Justifier l’existence d’une unique similitude directe S telle que S(A0) = A1 et S(A1)= A2.

b. Établir que l’écriture complexe de S est z ′ = 1− i 2

z+ −3+ i 2

.

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

c. En déduire le rapport, l’angle et l’affixe ω du centreΩ de la similitude S.

d. On considère un point M , d’affixe z avec z 6= 0, et son image M ′, d’affixe z ′.

Vérifier la relation : ωz ′ = i(z z ′) ; en déduire la nature du triangle ΩMM ′.

2. Pour tout entier naturel n, le point An+1, est défini par An+1 = S(An) et on pose un =AnAn+1. a. Placer les points A0, A1, A2 et construire géométriquement les points

A3, A4, A5, A6.

b. Démontrer que la suite (un ) est géométrique.

3. La suite (vn) est définie sur N par vn =u0+u1+·· ·+un = n

k=0 uk .

a. Exprimer vn en fonction de n.

b. La suite (vn) est-elle convergente ?

4. a. Calculer en fonction de n le rayon rn du cercle circonscrit au triangle ΩAnAn+1.

b. Déterminer le plus petit entier naturel p tel que, pour tout entier naturel n : si n > p alors rn < 10−2.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est rapporté au repère orthonormé ( O,

−→ u ,

−→ v ) (unité graphique : 2 cm).

On considère les points A, B et C d’affixes respectives zA =−1+ i p 3,

zB =−1− i p 3 et zC = 2.

1. Placer ces points sur un dessin.

2. a. Vérifier que : zB− zC zA− zC

= ei π 3 .

b. En déduire la nature du triangle ABC.

c. Déterminer le centre et le rayon du cercle Γ1 circonscrit au triangle ABC.

Tracer le cercle Γ1.

3. a. Établir que l’ensemble Γ2 des points M d’affixe z qui vérifient

2(z+z) + zz = 0 est un cercle de centreΩ d’affixe−2. Préciser son rayon. Construire Γ2.

b. Vérifier que les points A et B sont éléments de Γ2.

4. On appelle r1 la rotation de centre A et d’angle π

3 .

a. Quelles sont les images des points A et B par la rotation r1 ? Construire l’image C1 du point C par la rotation r1 puis calculer son affixe.

b. Déterminer l’image du cercle Γ2 par la rotation r1.

5. Soit r une rotation. Pour tout pointM d’affixe z, on noteM ′ l’image deM par r et z ′ l’affixe deM ′.

On posera : z ′ = az+b, avec a et b des nombres complexes vérifiant |a| = 1 et a 6= 1. On suppose que r transforme le cercle Γ2 en le cercle Γ1.

a. Quelle est l’image du point Ω par r ? En déduire une relation entre a et b.

b. Déterminer en fonction de a l’affixe du point r (C), image du point C par la rotation r ; en déduire que le point r (C) appartient un cercle fixe que l’on définira. Vérifier que ce cercle passe par C1.

Amérique du Nord 17 juin 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

PROBLÈME 10 points Commun à tous les candidats

Partie A : étude d’une fonction f et construction de sa courbe

On considère la fonction f définie sur R par f (x)= e−x ln(1+ex ). On note C sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthogonal( O,

−→ ı ,

−→ ) .

L’unité graphique est 1 cm sur l’axe des abscisses et 10 cm sur l’axe des ordonnées.

1. a. On rappelle que : lim h→0

ln(1+h) h

= 1. Déterminer la limite de f en −∞.

b. Vérifier que pour tout réel x : f (x)= x

ex +e−x ln(1+e−x ).

Déterminer la limite de f en +∞. c. En déduire que la courbe admet deux asymptotes que l’on précisera.

2. On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]−1 ; +∞[ par :

g (t)= t

1+ t − ln(1+ t).

a. Démontrer que la fonction g est strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; +∞[.

b. En déduire le signe de g (t) lorsque t > 0.

3. a. Calculer f ′(x) et l’exprimer en fonction de g (ex ) , f ′ désignant la fonction dérivée de f .

b. En déduire le sens de variation de la fonction f puis dresser son tableau de variations.

4. Tracer les asymptotes à la courbe C et la courbe C .

Partie B : comportements asymptotiques d’une primitive F de f sur R

Soit F la fonction définie sur R par F (x)= ∫x

0 f (t)dt .

1. Étudier le sens de variations de la fonction F .

2. a. Vérifier que, pour tout nombre réel t , 1

1+et = 1−

et

1+et et calculer

x

0

1

1+et dt .

b. En déduire, à l’aide d’une intégration par parties, le calcul de F (x).

c. Vérifier que F (x) peut s’écrire sous les formes suivantes :

(1) F (x) = x− ln(1+ex )− f (x)+2ln2.

(2) F (x) = ln (

ex

1+ex

) − f (x)+2ln2.

3. Déterminer lim x→+∞

F (x).

4. Déterminer lim x→−∞

[F (x)− x]. Donner une interprétation graphique de ce ré- sultat.

Partie C : étude d’une suite

Soit (un ) la suite définie sur N∗ par :

un = f (1)+ f (2)+·· ·+ f (n)= n

k=1 e−k ln(1+ek ).

Amérique du Nord 18 juin 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

1. Hachurer sur la représentation graphique un domaine dont l’aire, en unités d’aire, est un .

2. Déterminer le sens de variation de la suite (un ).

3. a. Justifier que, pour tout entier k tel que 16 k 6 n, on a :

f (k)6 ∫k

k−1 f (t)dt .

b. Comparer un et F (n).

4. La suite (un ) est-elle convergente ?

Annexe à rendre avec la copie

Réponses à l’exercice 1 (mettre une croix dans la case correspondant à la réponse choisie)

(a) (b) (c)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Amérique du Nord 19 juin 2003

[ Baccalauréat série S Antilles-Guyane juin 2003\

EXERCICE 1 4 points Commun tous les candidats

Le plan est rapporté au repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v ) (unité graphique : 2 cm). On

considère les points A et B d’affixes respectives A(3+2i) et B(−1+4i). Extérieurement au triangle OAB, on construit les deux carrés OA1A2A et OBB1B2.

1. a. En remarquant que A2 est l’image de O par une rotation de centre A, dé- terminer l’affixe de A2. En déduire l’affixe du centre I du carré OA1A2A.

b. En remarquant que B1 est l’image de O par une rotation de centre B, dé- terminer l’affixe de B1. En déduire l’affixe du centre J du carré OBB1B2.

2. Calculer l’affixe du milieu K du segment [AB]. À l’aide des affixes des diffé- rents points, calculer les longueurs KI et KJ, ainsi qu’une mesure de l’angle(−→ KI ,

−→ KJ

) . Que peut-on en déduire ?

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Une entreprise A est spécialisée dans la fabrication en série d’un article ; un contrôle de qualité a montré que chaque article produit par l’entreprise A pouvait présenter deux types de défaut : un défaut de soudure avec une probabilité égale à 0,03 et un défaut sur un composant électronique avec une probabilité égale à 0,02. Le contrôle amontré aussi que les deux défauts étaient indépendants. Un article est dit défectueux s’il présente aumoins l’un des deux défauts.

1. Montrer que la probabilité qu’un article fabriqué par l’entreprise A soit dé- fectueux est égale à 0,0494.

2. Une grande surface reçoit 800 articles de l’entreprise A. Soit X la variable aléatoire qui à cet ensemble de 800 articles associe le nombre d’articles dé- fectueux.

a. Définir la loi de X .

b. Calculer l’espérance mathématique de X . Quel est le sens de ce nombre ?

3. a. Un petit commerçant passe une commande de 25 articles à l’entreprise A.

Calculer, à 10−3 près, la probabilité qu’il y ait plus de 2 articles défectueux dans sa commande.

b. Il veut que sur sa commande la probabilité d’avoir aumoins un article dé- fectueux reste inférieure à 50%.Déterminer la valeurmaximale dunombre n d’articles qu’il peut commander.

4. La variable aléatoire, qui à tout article fabriqué par l’entreprise associe sa durée de vie en jours, suit une loi exponentielle de paramètre 0,0007, c’est- à-dire de densité de probabilité la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :

f (x)= 0,0007e−0,0007x .

Calculer la probabilité, à 10−3 près, qu’un tel article ait une durée de vie com- prise entre 700 et 1000 jours.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. a. Calculer : ( 1+

p 6 )2 , ( 1+

p 6 )4 , ( 1+

p 6 )6 .

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

b. Appliquer l’algorithme d’Euclide à 847 et 342. Que peut-on en déduire ?

2. Soit n un entier naturel non nul. On note a et b les entiers naturels tels que :

( 1+

p 6 )n

= an +bn p 6.

Que valent a1 et b1 ?

D’après les calculs de la question 1. a., donner d’autres valeurs de an et bn .

a. Calculer an+1 et bn+1 en fonction de an et bn .

b. Démontrer que, si 5 ne divise pas an +bn , alors 5 ne divise pas non plus an+1+bn+1. En déduire que, quel que soit n entier naturel non nul, 5 ne divise pas an +bn .

c. Démontrer que, si an et bn sont premiers entre eux, alors an+1 et bn+1 sont premiers entre eux.

En déduire que, quel que soit n entier naturel non nul, an et bn sont pre- miers entre eux.

PROBLÈME 11 points

A. On se propose de résoudre sur R l’équation différentielle (E) :

y ′−2y = 2 ( e2x 1

) .

1. Montrer que la fonction h définie sur R par :

h(x)= 2xe2x +1

est solution de l’équation différentielle (E).

2. On pose : y = z +h. Montrer que y est solution de (E) si et seulement si z est solution de l’équation différentielle : z ′−2z = 0. Résoudre cette dernière équation différentielle et en déduire les solutions de (E).

3. Démontrer qu’il existe une solution et une seule de (E) s’annulant en 0. Elle sera appelée g et étudiée dans la partie B.

B. On considère la fonction g définie sur R par :

g (x)= (2x−1)e2x +1.

1. Déterminer le sens de variation de g . Présenter son tableau de variations. En déduire le signe de g sur R.

2. a. Résoudre dans R l’inéquation : 1− g (x)> 0.

b. Calculer l’intégrale : I = ∫ 1

2

0 [1− g (x)]dx.

c. Interpréter graphiquement les résultats des questions a. et b..

C. On considère la fonction numérique f définie pour x réel non nul par :

f (x)= e2x −1

x .

1. Calculer les limites de f en −∞, en 0 et en +∞. 2. En déduire que la courbe représentative de f admet une asymptote que l’on

précisera.

3. Déterminer le sens de variation de f et donner son tableau de variations (on pourra utiliser la partie B).

Antilles-Guyane 21 juin 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

4. Soit C la courbe représentative de f dans le repère orthogonal ( O,

−→ ı ,

−→ ) ,

avec pour unités : 4 cm sur ( O ;

−→ ı ) et 2 cm sur

( O ;

−→ ) . Après avoir recopié et

complété le tableau ci-dessous avec des valeurs approchées arrondies à 10−2

près, construire la courbe C pour des valeurs de x comprises entre −2 et 1.

x −2 −1,5 −1 −0,5 −0,2 −0,1 −0,05 0,05 0,1 0,2 0,5 1 f (x)

5. Soit f1 la fonction définie par

{ f1(x) = f (x), x 6= 0 f1(0) = 0

Cette fonction est définie et continue surR. En supposant que f1 est dérivable en 0, expliquer comment on peut déterminer graphiquement une valeur ap- prochée du nombre dérivé f ′(0) ; faire cette lecture graphique.

Quel résultat de limite cela permet-il de conjecturer ?

D. On se propose de trouver un encadrement de l’intégrale :

J= ∫−1

−2

e2x −1 x

dx.

Montrer que pour tout x de [−2 ; −1] on a : − 0,86

x 6

e2x −1 x

6− 0,99

x .

En déduire un encadrement de J d’amplitude 0,1.

Antilles-Guyane 22 juin 2003

[ Baccalauréat S Asie juin 2003\

EXERCICE 1 5 points Commun tous les candidats

L’espace E est rapporté au repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives :

A(3 ; −2 ; 2) ; B(6 ; 1 ; 5) ; C(6 ; −2 ; −1).

A

B

D

C

O−→ ı −→

−→ k

Partie A

1. Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.

2. Soit P le plan d’équation cartésienne x+ y + z−3= 0. Montrer que P est orthogonal à la droite (AB) et passe par le point A.

3. Soit P′ le plan orthogonal la droite (AC) et passant par le point A.

Déterminer une équation cartésienne de P′.

4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆, droite d’inter- section des plans P et P′.

Partie B

1. Soit D le point de coordonnées (0 ; 4 ; −1). Montrer que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC).

2. Calculer le volume du tétraèdre ABDC.

3. Montrer que l’angle géométrique BDC a pour mesure π

4 radian.

4. a. Calculer l’aire du triangle BDC.

b. En déduire la distance du point A au plan (BDC).

EXERCICE 2 4 points Enseignement obligatoire

Γ est le cercle de centre O et de rayon 2 p 2.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

1. À tout point M d’affixe z, on associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = z2−2(1+ i)z.

On pose z = x+ iy et z ′ = x′+ iy ′, où x, y, x′ et y ′ sont des nombres réels.

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

a. Exprimer x′ et y ′ en fonction de x et y .

b. Soit H l’ensemble des points M tels que z ′ soit un nombre réel. Montrer que H est la représentation graphique d’une fonction h que l’on déter- minera (l’étude de la ronction h n’est pas demandée). H est tracée sur ie graphique ci-dessous.

2. Montrer que le point A d’affixe a = 2(1+ i) appartient à Γ et H .

3. Soit R la rotation de centre O et d’angle 2π

3 . On note B et C les points tels que

R(A) = B et R(C) = A.

a. Montrer que R(B) = C et que les triangles OAB, OBC et OCA sont isomé- triques.

b. Quelle est la nature du triangle ABC?

c. Montrer que B et C appartiennent à Γ et H .

d. Tracer Γ et placer A, B et C sur le graphique ci-dessous.

−→ u

−→ v

O

EXERCICE 2 4 points Enseignement de spécialité

1. a. Montrer que, pour tout entier naturel n, 3n3 −11n +48 est divisible par n+3.

b. Montrer que, pour tout entier naturel n, 3n2−9n+16 est un entier naturel non nul.

2. Montrer que, pour tous les entiers naturels non nuls a, b et c, l’égalité sui- vante est vraie :

PGCD(a ; b)= PGCD(bca ; b).

3. Montrer que, pour tout entier naturel n, supérieur ou égal à 2, l’égalité sui- vante est vraie :

PGCD ( 3n3−11n ; n+3

) = PGCD(48 ; n+3).

4. a. Déterminer l’ensemble des diviseurs entiers naturels de 48.

b. En déduire l’ensemble des entiers naturels n tels que 3n3−11n

n+3 soit un

entier naturel.

Asie 24 juin 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

PROBLÈME 11 points

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

Partie A

Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par

f (x)= 1+2lnx

x2 .

Soit (C ) la courbe représentative de f et soit (C ′) celle de la fonction h définie sur

]0 ; +∞[ par h(x)= 1

x .

1. Déterminer les limites de f en 0 et en+∞. En déduire que (C ) a deux asymp- totes que l’on déterminera.

2. Calculer la dérivée f ′ de f et étudier les variations de f .

3. Soit I le point d’intersection de (C ) avec l’axe des abscisses. Déterminer les coordonnées de I.

4. Pour tout x de ]0 ; +∞[, on pose g (x)= 1− x+2ln x. a. Étudier les variations de la fonction g .

b. Montrer que l’équation g (x)= 0 admet une solution unique dans chacun des intervalles ]0 ; 2[ et ]2 ; 4[. Soitα la solution appartenant ]2 ; 4[. Donner un encadrement de α d’amplitude 10−2.

5. a. Montrer que f (x)− 1

x =

g (x)

x2 et en déduire que (C ) et (C ′) se coupent en

deux points.

b. Montrer que, pour tout réel x supérieur ou égal à 4, la double inégalité suivante est vraie :

0< f (x)6 1

x .

6. Tracer (C ) et (C ′).

Partie B

1. Soit D la partie du plan définie par les inégalités suivantes :

{ 16 x 6α (α est le réel défini dans la partie A) 06 y 6 f (x)

a. Déterminer l’aire de D, notée A (α), en unités d’aire (on utilisera une in- tégration par parties).

b. Montrer que A (α)= 2− 2

α et donner une valeur approchée deA (α) 10−2

prs.

2. Soit la suite (In ) définie pour n supérieur ou égal à 1 par :

In = ∫n+1

n f (x)dx.

a. Montrer que, pour tout n supérieur ou égal à 4, la double inégalité sui- vante est vraie :

06 In 6 ln

( n+1 n

) .

b. En déduire que la suite (In ) converge et déterminer sa limite.

Asie 25 juin 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

c. Soit Sn = I1+ I2+ I3+·· ·+ In . Calculer Sn puis la limite de la suite (Sn).

Partie C

On considère, pour tout n supérieur ou égal à 1, la fonction fn , définie sur ]0 ; +∞[ par

fn(x)= 1+2ln x

x2n .

1. Calculer la dérivée f n de la fonction fn .

2. Résoudre l’équation f n (x)= 0. Soit xn la solution de cette équation. 3. Déterminer la limite de la suite (xn ).

Asie 26 juin 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

[ Baccalauréat SMétropole juin 2003\

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v ) (unité graphique :

2 cm), on considère les points A, B et C d’affixes respectives a = 2, b = 1−i et c = 1+i.

1. a. Placer les points A, B et C sur une figure.

b. Calculer ca ba

. En déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle.

2. a. On appelle r la rotation de centre A telle que r (B) = C.

Déterminer l’angle de r et calculer l’affixe d du point D = r (C).

b. Soit Γ le cercle de diamètre [BC].

Déterminer et construire l’image Γ′ du cercle Γ par la rotation r .

3. SoitM un point de Γ d’affixe z, distinct de C etM ′ d’affixe z ′ son image par r .

a. Montrer qu’il existe un réel θ appartenant à [ 0 ;

π

2

[ ∪ ]π 2 ; 2π

[ tel que z =

1+eiθ. b. Exprimer z ′ en fonction de θ.

c. Montrer que z ′−c zc

est un réel. En déduire que les points C, M et M ′ sont

alignés.

d. Placer sur la figure le point M d’affixe 1+ei 2π 3 et construire son image M′

par r .

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Soient a un réel strictement po- sitif et OABC un tétraèdre tel que : •OAB, OAC et OBC sont des tri- angles rectangles en O, •OA = OB = OC = a. On appelle I le pied de la hau- teur issue de C du triangle ABC, H le pied de la hauteur issue de O du triangle OIC, et D le point de l’espace défini par −−→ HO =−−→OD .

A

I

B

C

O

D

H

1. Quelle est la nature du triangle ABC?

2. Démontrer que les droites (OH) et (AB) sont orthogonales, puis que H est l’orthocentre du triangle ABC.

3. Calcul de OH

a. Calculer le volume V du tétraèdre OABC puis l’aire S du triangle ABC.

Métropole 27 juin 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

b. Exprimer OH en fonction de V et de S, en déduire que OH = a

p 3

3 .

4. Étude du tétraèdre ABCD.

L’espace est rapporté au repère orthonormal

( O ;

1

a

−−→ OA ,

1

a

−−→ OB ,

1

a

−−→ OC

) .

a. Démontrer que le point H a pour coordonnées : (a 3 , a

3 , a

3

) .

b. Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier (c’est-à-dire que toutes ses arêtes ont même longueur).

c. Soit Ω le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD. Démontrer queΩ est un point de la droite (OH) puis calculer ses coordonnées.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les questions 3. et 4. sont indépendantes des questions 1. et 2. seule l’équation de Γ donnée en 1. c. intervient à la question 4..

1. L’espace est rapporté au repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

a. Montrer que les plans P et Q d’équations respectives x + y p 3−2z = 0 et

2xz = 0 ne sont pas parallèles. b. Donner un systèmed’équations paramétriques de la droite∆ intersection

des plans P et Q.

c. On considère le cône de révolution Γ d’axe (Ox) contenant la droite ∆ comme génératrice.

Montrer que Γ pour équation cartésienne y2+ z2 = 7x2. 2. On a représenté sur les deux figures ci-dessous les intersections de Γ avec des

plans parallèles aux axes de coordonnées.

Déterminer dans chaque cas une équation des plans possibles, en justifiant avec soin votre réponse.

Figure 1 Figure 2

3. a. Montrer que l’équation x2 ≡ 3 [7] , dont l’inconnue x est un entier reIa- tif, n’a pas de solution,

b. Montrer la propriété suivante :

pour tous entiers relatifs a et b, si 7 divise a2+b2 alors 7 divise a et 7 divise b.

Métropole 28 juin 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

4. a. Soient a,b et c des entiers relatifs nonnuls.Montrer la propriété suivante :

si le point A de coordonnées (a, b, c) est un point du cône Γ alors a, b et c sont divisibles par 7.

b. En déduire que le seul point de Γ dont les coordonnées sont des entiers relatifs est le sommet de ce cône.

PROBLÈME 11 points Commun à tous les candidats

Soit N0 le nombre de bactéries introduites dans unmilieu de culture à l’instant t = 0 (N0 étant un réel strictement positif, exprimé en millions d’individus). Ce problème a pour objet l’étude de deuxmodèles d’évolution de cette population de bactéries :

• un premier modèle pour les instants qui suivent l’ensemencement (partie A) • un second modèle pouvant s’appliquer sur une longue période (partie B).

Partie A

Dans les instants qui suivent l’ensemencement du milieu de culture, on considère que la vitesse d’accroissement des bactéries est proportionnelle au nombre de bac- téries en présence. Dans ce premier modèle, on note f (t) le nombre de bactéries à l’instant t (exprimé enmillions d’individus). La fonction f est donc solution de l’équation différentielle : y ′ = ay . (où a est un réel strictement positif dépendant des conditions expérimen- tales).

1. Résoudre cette équation différentielle, sachant que f (0)=N0. 2. On note T le temps de doublement de la population bactérienne.

Démontrer que, pour tout réel t positif : f (t)=N02 t T .

Partie B

Le milieu étant limité (en volume, en éléments nutritifs, ...), le nombre de bactéries ne peut pas croître indéfiniment de façon exponentielle. Le modèle précédent ne peut donc s’appliquer sur une longue période. Pour tenir compte de ces observa- tions, on représente l’évolution de la population de bactéries de la façon suivante : Soit g (t) est le nombre de bactéries à l’instant t (exprimé enmillions d’individus) ; la fonction g est une fonction strictement positive et dérivable sur [0 ; +∞[ qui vérifie pour tout t de [0 ; +∞[ la relation :

(E) g ′(t)= ag (t) [ 1−

g (t)

M

] .

où M est une constante strictement positive dépendant des conditions expérimen- tales et a le réel défini dans la partie A.

1. a. Démontrer que si g est une fonction strictement positive vérifiant la rela-

tion (E), alors la fonction 1

g est solution de l’équation différentielle

(E′) y ′+ay = a

M .

b. Résoudre (E′).

c. Démontrer que si h est une solution strictement positive de (E′), alors 1

h vérifie (E).

Métropole 29 juin 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

2. On suppose désormais que, pour tout réel positif t , g (t)= M

1+Ce−at C est

une constante strictement supérieure à 1 dépendant des conditions expéri- mentales.

a. Déterminer la limite de g en +∞ et démontrer, pour tout réel t positif ou nul, la double inégalité : 0< g (t)<M.

b. Étudier le sens de variation de g (on pourra utiliser la relation (E)).

Démontrer qu’il existe un réel unique t0 positif tel que g (t0)= M

2 .

c. Démontrer que g ′′ = a ( 1−

2g

M

) g ′. Étudier le signe de g ′′. En déduire que

la vitesse d’accroissement du nombre de bactéries est décroissante à par- tir de l’instant t0 défini ci-dessus.

Exprimer t0 en fonction de a et C .

d. Sachant que le nombredebactéries à l’instant t est g (t), calculer le nombre moyen de bactéries entre les instants 0 et t0, en fonction deM etC .

Partie C

1. Le tableau présenté en Annexe I a permis d’établir que la courbe représenta- tive de f passait par les points de coordonnées respectives (0 ; 1) et (0,5 ; 2). En déduire les valeurs de N0, T et a.

2. Sachant que g (0)=N0 et que M = 100 N0, démontrer, pour tout réel t positif ou nul, l’égalité suivante :

g (t)= 100

1+99×4−t .

3. Tracer, sur la feuille donnée en Annexe II, la courbe Γ représentative de g , l’asymptote à Γ ainsi que le point de Γ d’abscisse t0.

4. Dans quelles conditions le premier modèle vous semble-t-il adapté aux ob- servations faites ?

Métropole 30 juin 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Document à rendre avec la copie

Annexe I

t (en h) 0 0,5 1 1,5 2 3 4 5 6 Nombre de bactéries (en millions)

1,0 2,0 3,9 7,9 14,5 37,9 70,4 90,1 98

Les points obtenus à partir de ce tableau, ainsi que le graphe de la fonction f , sont représentés dans le graphique ci-dessous.

Annexe II

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0

20

40

60

80

100

+ + + +

+

+

+

+ +

t

y

Métropole 31 juin 2003

[ Baccalauréat La Réunion série S juin 2003\

EXERCICE 1 6 points Commun tous les candidats

Cet exercice comporte 3 questions indépendantes. Une question comporte 4 affirmations repérées par les lettres a, b, c et d. Aucune justification n’est demandée pour cet exercice. Vous devez indiquer pour chacune d’elles si elle est vraie ou fausse. Vous inscrirez en toutes lettres « VRAI » ou « FAUX » dans la case correspondante du tableau donné en annexe à rendre avec la copie.

1. Une urne contient 75 boules blanches et 25 boules noires. L’expérience élé- mentaire consiste à tirer une boule. Les boules ont toutes la même proba- bilité d’être tirées. On effectue n tirages indépendants et avec remise, n dé- signant un entier supérieur à 10. Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de boules blanches tirées.

a. X suit une loi binomiale de paramètres n et 1

4 .

b. P(X = 0)= 1

22n c. P(X < 5)= 1−P(X > 5) d. E(X )= 0,75n

2. Une maladie atteint 1% d’une population donnée.

Un test de dépistage de cette maladie a les caractéristiques suivantes :

• Chez les individus malades, 99% des tests sont positifs et 1% sont négatifs. •Chez les individusnonmalades, 98%des tests sont négatifs (les autres étant positifs).

Un individu est choisi au hasard dans cette population et on lui applique le test.

On note M l’évènement : l’individu estmalade et T l’évènement : le test pra- tiqué est positif.

a. PM(T) + PM(T)= 1,01. b. PM(T) + PM(T) = P(T)

c. P(T) = 2,97.10−2

d. Sachant que le test est positif, il y a deux chances sur trois pour que l’in- dividu testé ne soit pas malade.

3. La durée d’attente en seconde de la caisse d’un supermarché est une variable aléatoire Y qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,01. Alors :

a. La densité de probabilité de Y est la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par : f (t)= e−0,01t

b. Pour tout réel t positif, P(Y 6 t)= 1−e−0,01t . c. La probabilité d’attendre moins de 3 minutes à cette caisse est, à 0,01

près, égale à 0,16.

d. Il y a plus d’une chance sur deux que l’attente à cette caisse soit supé- rieure à une minute.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère un cube ABCDEFGH d’arête 1. Le nombre a désigne un réel strictement positif.

On considère le point M de la demi-droite [AE) défini par −−→ AM =

1

a

−→ AE .

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

1. Déterminer le volume du tétraèdre ABDM en fonction de a.

2. Soit K le barycentre du système de points pondérés :

{( M ; a2

) , (B; 1), (D; 1)

} .

a. Exprimer −−→ BK en fonction de

−−→ BM et de

−−→ BD .

b. Calculer −−→ BK ·

−−→ AM et

−−→ BK ·

−−→ AD puis en déduire l’égalité

−−→ BK ·

−−−→ MD = 0.

c. Démontrer l’égalité −−→ DK ·

−−→ MB = 0.

d. Démontrer que K est l’orthocentre du triangle BDM .

3. Démontrer les égalités −−→ AK ·

−−→ MB = 0 et

−−→ AK ·

−−−→ MD = 0. Qu’en déduit-on pour

la droite (AK ) ?

4. a. Montrer que le triangle BDM est isocèle et que son aire est égale à

p a2+2 2a

unité d’aire.

b. Déterminer le réel a tel que l’aire du triangle BM soit égale à 1 unité d’aire. Déterminer la distance AK dans ce cas.

D

A B

C

H

E F

G

M

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) . On prendra 1 cm,

pour unité graphique. On considère l’application f du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ =− (p

3+ i ) z−1+ i

( 1+

p 3 ) .

1. Montrer que f est une similitude directe dont le centre Ω a pour affixe i. En déterminer le rapport et l’angle.

2. Soit M0 le point d’affixe z0 = p 3

4 + 3

4 i.

CalculerΩM0 et donner une mesure en radians de l’angle (−→ u ;

−−−→ ΩM0

) .

3. On considère la suite de points (Mn)n>0, définie pour tout entier naturel n par Mn+1 = f (Mn). On note zn l’affixe du poini Mn . a. Placer les pointsΩ, M0, M1, M2, M3 et M4.

La Réunion 33 juin 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

b. Monter par récurrence, pour tout entier naturel n, l’égalité :

zn − i= 2nei 76 (z0− i) .

c. Pour tout entier naturel n, calculer ΩMn , puis déterminer le plus petit entier n tel queΩMn > 102.

4. a. On considère l’équation (E) : 7x −12y = 1 où x et y sont deux entiers re- latifs. Après avoir vérifié que le couple (−5 ; −3) est solution, résoudre l’équation (E).

b. Soit ∆ l’ensemble des points M du plan d’affixe z telle que Im(z) = 1 et Re(z)> 0.

Caractériser géométriquement ∆ et le représenter.

Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que Mn appartienne à la demi-

droite d’origineΩ dirigée par le vecteur −→ u . Préciser son plus petit élément.

PROBLÈME 9 points Commun à tous les candidats.

On considère l’équation différentielle (E) : y y ′ = ex

x2 et on cherche l’ensemble des

solutions de cette équation définies sur ]0 ; +∞[.

1. a. Démontrer que la fonction u définie sur ]0 ; +∞[ par u(x) = ex

x est solu-

tion de (E).

b. Démontrer qu’une fonction v définie sur ]0 ; +∞[ est solution de (E) si et seulement si la fonction vu, définie sur ]0 ; +∞[, est solution de l’équa- tion différentielle y y ′ = 0.

c. En déduire toutes les solutions définies sur ]0 ; +∞[ de l’équation (E). 2. Pour tout réel k négatif ounul, on considère la fonction fk définie sur ]0 ; +∞[

par :

fk (x)= kx+1

x ex .

a. Déterminer les limites de fk en 0 et en +∞. b. Calculer f

k (x) pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[ et déterminer le

nombre de solutions sur ]0 ; +∞[ de l’équation f k (x)= 0.

3. On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un repère ortho-

normal ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

On a tracé sur le graphique ci-joint les courbes C−1, C−0,25, C−0,15 et C0.

En utilisant la deuxième question, reconnaître chaque courbe (les réponses doivent être justifiées).

4. Pour tout réel a strictement positif, on pose A (a)= ∫a+1

a

ex

x dx.

a. Interpréter géométriquement A (a).

b. On désigne par F une primitive de la fonction x 7→ ex

x sur ]0 ; +∞[.

En remarquant que A (a)= F (a+1)−F (a) étudier le sens de variation de la fonction qui à tout réel a élément de ]0 ; +∞[ associe le réel A (a)

c. On veut découper dans le plan une bande verticale de largeur une unité de telle sorte que l’aire située dans cette bande entre les courbes C0 et (Ox) soit minimale. Comment doit-on procéder ?

La Réunion 34 juin 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Annexe du problème

x

y

(3) (4)

(2)

(1)

La Réunion 35 juin 2003

[ Baccalauréat série S Libanmai 2003\

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Une urne contient quatre boules noires et deux boules blanches. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On répète n fois l’épreuve qui consiste à tirer une boule puis la remettre dans l’urne ; on suppose que toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées et que les tirages sont indépendants. On note pn , la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors des n−1 pre- miers tirages et une boule blanche lors du n-ième tirage.

1. Calculer les probabilités p2, p3 et p4.

2. On considère les évènements suivants :

Bn : « On tire une boule blanche lors du n-ième tirage »,

Un : « On tire une boule blanche et une seule lors des n−1 premiers tirages ». a. Calculer la probabilité de l’évènement Bn .

b. Exprimer la probabilité de l’évènementUn en fonction de n.

c. En déduire l’expression de pn en fonction de n et vérifier l’égalité :

pn = n−1 4

× ( 2

3

)n .

3. On pose : Sn = p2+p3+·· ·+pn . a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou

égal à 2, on a :

Sn = 1− (n 2 +1

) × ( 2

3

)n .

b. Déterminer la limite de la suite (Sn).

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

1. Résoudre dans C l’équation :

4z2−12z+153 = 0.

2. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( O,

−→ u ,

−→ v ) , d’unité graphique

1 cm on considère les points A, B, C, P d’affixes respectives : zA = 3

2 +6i,

zB = 3

2 −6i ; zC =−3−

1

4 i, zP = 3+2i et le vecteur

−→ w d’affixe z−→

w =−1+

5

2 i.

a. Déterminer l’affixe zQ du point Q, image du point B dans la translation t

de vecteur −→ w .

b. Déterminer l’affixe zR du point R, image du point P par l’homothétie h de

centre C et de rapport − 1

3 .

c. Déterminer l’affixe zS du point S, image du point P par la rotation r de

centre A et d’angle − π

2 .

Placer les points P, Q, R et S.

3. a. Démontrer que le quadrilatère PQRS est un parallélogramme.

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

b. Calculer zR− zQ zP− zQ

.

En déduire la nature précise du parallélogramme PQRS.

c. Justifier que les points P, Q, R et S appartiennent à un même cercle, noté C . On calculera l’affixe de son centreΩ et son rayon ρ.

4. La droite (AP) est-elle tangente au cercle C ?

Exercice 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les suites d’entiers naturels (xn ) et (yn ) sont définies sur N par :

x0 = 3 et xn+1 = 2xn −1 y0 = 1 et yn+1 = 2yn +3.

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, xn = 2n+1+1. 2. a. Calculer le pgcd de x8 et x9, puis celui de x2002 et x2003. Que peut-on en

déduire pour x8 et x9 d’une part, pour x2002 et x2003 d’autre part ?

b. xn et xn+1 sont-ils premiers entre eux pour tout entier naturel n ?

3. a. Démontrer que pour tout entier naturel n, 2xn yn = 5. b. Exprimer yn en fonction de n.

c. En utilisant les congruencesmodulo 5, étudier suivant les valeurs de l’en- tier naturel p le reste de la division euclidienne de 2p par 5.

d. On note dn le pgcd de xn et yn pour tout entier naturel n.

Démontrer que l’on a dn = 1 ou dn = 5 ; en déduire l’ensemble des entiers naturels n tels que xn et yn soient premiers entre eux.

PROBLÈME 11 points Commun à tous les candidats

Partie A Étude d’une fonction auxiliaire g

La fonction g est définie sur R par g (x)= 2ex +2x−7.

1. Étudier les limites de g en −∞ et en +∞. 2. Étudier le sens de variation de la fonction g sur R et dresser son tableau de

variations.

3. Justifier que l’équation g (x) = 0 admet dans R une solution unique α telle que :

0,94<α< 0,941.

4. Étudier le signe de g sur R.

Partie B Étude d’une fonction

La fonction f est définie sur R par

f (x)= (2x−5) ( 1−e−x

) .

On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal( O,

−→ ı ,

−→ ) .

1. Étudier le signe de f sur R.

Liban 37 mai 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

2. Étudier les limites de f en −∞ et +∞. 3. Calculer f ′(x), ou f ′ désigne la fonction dérivée de f et vérifier que f ′(x) et

g (x) ont le même signe.

Dresser le tableau de variations de f .

4. a. Démontrer l’égalité : f (α)= (2α−5)2

2α−7 .

b. Étudier le sens de variations de la fonction h : x 7→ (2x−5)2

2x−7 sur l’inter-

valle

] −∞ ;

5

2

[ .

En déduire, à partir de l’encadrement de α obtenu dans la partie A, un encadrement d’amplitude 10−2 de f (α).

5. Démontrer que la droite D, d’équation y = 2x−5, est asymptote à C en +∞. Préciser la position de C par rapport à D.

6. Tracer la droite D et la courbe C dans le repère ( O,

−→ ı ,

−→ ) (unité graphique

2 cm).

Partie C - Calcul d’aires

À l’aide d’une intégration par parties, calculer en cm2 l’aire A de la portion de plan délimitée par la courbeC , l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équa-

tion x = 5

2 .

Partie D - Étude d’une suite de rapports de distances

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, on considère les points An , Bn , et Cn d’abscisse n, appartenant respectivement à l’axe des abscisses, la droite D et la courbe C ; soit un le réel défini par :

un = CnBn

AnBn .

1. Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, on a :

un = 2n−5− f (n)

2n−5 .

2. a. Quelle est la nature de la suite (un )

b. Calculer la limite de la suite (un ). Pouvait-on prévoir ce résultat ?

Liban 38 mai 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

[ Baccalauréat S Polynésie juin 2003\

EXERCICE 1 4 points

Partie A

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère les points

A, B, C et D de coordonnées respectives : A(0 ; 0 ; 3), B

( 2 p 2 ; 0 ; −1

) , C

( − p 2 ; −

p 6 ; −1

) , D

( − p 2 ;

p 6 ; −1

) .

1. Démontrer que ABCD est un tétraèdre régulier, c’est-à-dire un tétraèdre dont toutes les arêtes sont de même longueur.

2. On note R, S, T et U les milieux respectifs des arêtes [AC], [AD], [BD] et [BC] ; démontrer que RSTU est un parallélogramme de centre O.

3. Ce parallélogramme a-t-il des propriétés supplémentaires ? Expliquer.

C

A

D B

−→ ı

−→

−→ k

Partie B

On dispose de trois tétraèdres identiques au précédent, parfaitement équilibrés. Chacun d’eux a une face peinte en bleu, une face peinte en jaune et deux faces peintes en rouge. On lance les trois tétraèdres simultanément (on remarquera que, lorsqu’on lance un tel tétraèdre, une seule face est cachée et trois faces sont visibles).

1. Calculer la probabilité pour qu’aumoins trois faces rouges soient visibles sur les trois tétraèdres.

2. Calculer la probabilité pour que la couleur bleue ne soit visible sur aucun tétraèdre.

3. Calculer la probabilité de l’évènement E « les six faces rouges sont visibles ».

4. On répète n fois l’expérience qui consiste à lancer les trois tétraèdres.

Calculer la probabilité pn pour que l’évènement E soit réalisé au moins une fois.

Calculer lim n→+∞

pn .

EXERCICE 2 (Obligatoire) 5 points

Dans tout l’exercice, le planP est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Les constructions seront faites sur papier millimétré.

1. a. Le point E a pour affixe ZE = 3+ i et le point F a pour affixe ZF = 1+3i. Placer dans P les points E et F.

Polynésie 39 juin 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

b. Construire le point H tel que EHF soit un triangle rectangle isocèle direct

de sommet H, c’est-à-dire tel que (−−→ HF ;

−−→ HE

) =

π

2 [2π]. [0,5 pt]

c. On désigne par ZH l’affixe de H.

Montrer que

∣∣∣∣ 3+ i−ZH 1+3i−ZH

∣∣∣∣= 1 et que arg ( 3+ i−ZH 1+3i−ZH

) =

π

2 [2π].

En déduire que ZH = 3+3i. 2. A, B, C et D sont quatre points du plan P .

C

A B

D

a. Construire les triangles rectangles isocèles directs BIA, AJD, DKC et CLB d’angles droits respectifs B̂IA, ÂJD, DKC etCLB.

b. Conjecturer la position relative des droites (IK) et (LJ) et le rapport des longueurs des segments [IK] et [LJ].

3. a. On désigne par a, b et z1 les affixes respectives des points A, B et I.

Montrer que

∣∣∣∣ bz1 az1

∣∣∣∣= 1 et arg ( bz1 az1

) =

π

2 [2π].

En déduire que z1 = iab i−1

.

b. Avec les points B, C et L d’affixes respectives b, c et zL, exprimer sans dé- monstration zL en fonction de b et c.

c. Avec les points C, D et K d’affixes respectives c, d et zK, exprimer demême zK en fonction de c et d . Avec les points D, A et J d’affixes respectives d , a et zJ exprimer de même zJ en fonction de a et d .

d. Montrer que zL−zJ = i (zK− zI). En déduire que les droites (JL) et (KI) sont perpendicu[aires et que JL = KI.

EXERCICE 2 (Spécialité) 5 points

Le plan complexe est rapporté un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) , d’unité gra-

phique 2 cm.

On donne les points A, C, D etΩ, d’affixes respectives 1 + i, 1, 3 et 2+ 1

2 i.

Partie A

1. Soit C le cercle de centreΩ passant par A.

a. Montrer que C passe par C et D.

b. Montrer que le segment [AD] est un diamètre de C .

c. Sur une feuille de papier millimétré, faire une figure en plaçant les points A, C, D, Ω et tracer C . On note B la seconde intersection de C avec la droite (OA).

Polynésie 40 juin 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

d. Montrer que le point O est extérieur au segment [AB].

2. Montrer par un raisonnement géométrique simple que les triangles OAD et OCB sont semblables mais non isométriques.

Soit S la similitude qui transforme le triangle OCB en le triangle OAD.

a. Montrer que S est une similitude indirecte différente d’une réflexion.

b. Quel est le centre de S ?

Partie B

1. a. Déduire de la partie A 2 que l’on a OA ×OB = OC ×OD. b. En déduire le module de l’affixe zB du point B. Déterminer un argument

de zB.

2. Déterminer l’écriture complexe de S.

3. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de S ◦ S.

PROBLÈME 11 points

Partie A

On considère la fonction f définie sur R par f (x)= ex cosx. On appelle C f la repré- sentation graphique de f dans un repère orthogonal.

1. Montrer que pour tout réel x,

−ex 6 f (x)6 ex .

En déduire que C f admet une asymptote au voisinage de −∞. Quelle est cette asymptote ?

2. Déterminer les abscisses des points d’intersection de C f avec l’axe des abs- cisses.

3. On étudie f sur l’intervalle [ − π

2 ; +

π

2

] .

Démontrer que pour tout rel x ∈ [ − π

2 ; +

π

2

] on a :

cosx− sinx = p 2cos

( x+

π

4

) .

4. Calculer f ′(x), où f ′ dsigne la fonction dérivée de f . Montrer que f est crois-

sante sur [ − π

2 ; +

π

4

] et décroissante sur

[ + π

4 ; +

π

2

] . Dresser le tableau de

variations de f sur [ − π

2 ; +

π

2

] . Indiquer les valeurs prises par f en −

π

2 , π

4 et

π

2 .

5. Tracer C f sur l’intervalle [ − π

2 ; +

π

2

] sur le graphique ci-dessous

Polynésie 41 juin 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

2

1

−1

−2

0 0,25π 0,5π 0,75π−0,25π−0,5π−0,75π

6. Démontrer que, sur l’intervalle [ 0 ;

π

2

] l’équation f (x)=

1

2 admet une solu-

tion unique α. Trouver, à l’aide de la calculatrice, la valeur approchée déci- male de α arrondie au centième.

7. On note f ′′ la fonction dérivée seconde de f . Montrer que f ′′(x)=−2ex sinx.

En déduire que, sur l’intervalle [ − π

2 ; +

π

2

] , le coefficient directeur de la tan-

gente C f au point d’abscisse x atteint, pour x = 0, une valeur maximale que l’on précisera.

Trouver l’équation de la tangente T C f en 0 et tracer T sur le graphique de la question 5.

Partie B

Pour tout entier naturel n, on pose In = ∫π

0 ex cos(nx)dx.

1. Montrer que, pour tout entier naturel n, cos()= (−1)n et que sin()= 0. 2. À l’aide de deux intégrations par parties, montrer que :

In = (−1)neπ−1

1+n2 .

3. Montrer que, pour tout entier naturel |In |6 eπ+1 1+n2

. En déduire lim n→+∞

In .

Partie C

On considère les équations différentielles

(E) y ′−2y −1= 0

(E′) y ′−2y = 1−ex sinx

y est une fonction définie et dérivable sur R. Dire, en le justifiant, si les assertions suivantes sont vraies ou fausses :

1. (E) admet une fonction polynôme du premier degré comme solution.

Polynésie 42 juin 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

2. Soit g une fonction positive définie sur R ; si g est solution de (E) alors elle est croissante sur D.

3. La fonction x 7→ 3e2x + 1

2 est une solution de (E).

4. La primitive F de f qui s’annule en 0 est une solution de (E′).

Polynésie 43 juin 2003

[ Baccalauréat S Antilles–Guyane septembre 2003\

EXERCICE 1 5 points

Une association organise des promenades en montagne. Douze guides emmènent chacun, pour la journée, un groupe de personnes dès le lever du Soleil. L’été il y a plus de demandes que de guides et chaque groupe doit s’inscrire la veille de la promenade. Mais l’expérience des dernières années prouve que la probabilité que chacun des

groupes inscrits ne se présente pas au départ de la promenade est égale à 1

8 . On

admettra que les groupes inscrits se présentent indépendamment les uns des autres. Les probabilités demandées seront arrondies au 100e le plus proche.

1. a. Montrer que la probabilité qu’un jour donné les 12 groupes inscrits soient tous présents est comprise entre 0,20 et 0,21.

b. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de jours où les 12 groupes inscrits se sont tous présentés au départ lors d’un mois de 30 jours. Montrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les para- mètres.

Donner la signification des évènements X = 30 puis X = 0 et calculer la probabilité de ces évènements.

Préciser l’espérance mathématique E(X )

Quelle signification peut-on donner à ce résultat ?

c. Une sommede 1Crédit (lamonnaie locale) est demandée à chaque groupe pour la journée. Cette somme est réglée au départ de la promenade.

Dans le cas où un groupe ne se présente pas au départ, l’association ne gagne évidemment pas le Crédit que ce groupe aurait versé pour la jour- née.

On nomme S la variable aléatoire égale à la somme, en Crédits, perçue par l’association un jour donné.

Calculer la probabilité de l’évènement [S = 11]. Préciser l’espérance mathématique de S.

2. a. Agacé par le nombre de guides inemployés, le dirigeant de l’association décide de prendre chaque jour une réservation supplémentaire. évidem- ment si les 13 groupes inscrits se présentent, le 13e groupe sera dirigé vers une activité de substitution. Toutefois, cette activité de remplacement en- traîne une dépense de 2 Crédits à l’association.

Quelle est la probabilité P13 qu’un jour donné il n’y ait pas dedésistement, c’est-à-dire que les 13 groupes inscrits la veille se présentent au départ de la promenade ?

b. Soit R la variable aléatoire égale au coût de l’activité de substitution.

Préciser la loi de la variable aléatoire R et calculer son espérance mathé- matique.

c. Montrer que le gain moyen obtenu pour chaque jour est :

( 13∑

k=0 k ·

( k

13

)( 7

8

)k (1 8

)13−k) −2P13.

Calculer ce gain.

d. La décision du dirigeant est-elle rentable pour l’association ?

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

EXERCICE 2 4 points Enseignement de spécialité

Soit l’équation (1) d’inconnue rationnelle x :

78x3+ux2+ vx−14= 0.

u et v sont des entiers relatifs.

1. On suppose dans cette question que 14

39 est solution de l’équation (1)

a. Prouver que les entiers relatifs u et v sont liés par la relation

14u+39v = 1129. b. Utiliser l’algorithme d’Euclide, en détaillant les diverses étapes du calcul,

pour trouver un couple (x ; y) d’entiers relatifs vérifiant l’équation 14x+ 39y = 1. Vérifier que le couple (−25 ; 9) est solution de cette équation.

c. En déduire un couple (u0 ; v0) solution particulière de l’équation

14u+39v = 1129. Donner la solution générale de cette équation c’est-à-dire l’ensemble des couples (u ; v) d’entiers relatifs qui la vérifient.

d. Déterminer, parmi les couples (u ; v) précédents, celui pour lequel le nombre u est l’entier naturel le plus petit possible.

2. a. Décomposer 78 et 14 en facteurs premiers.

En déduire, dansN, l’ensemble des diviseurs de 78 et l’ensemble des divi- seurs de 14.

b. Soit P

Q une solution rationnelle de l’équation (1) d’inconnue x :

78x3+ux2+ vx−14= 0 où u et v sont des entiers relatifs.

Montrer que si P etQ sont des entiers relatifs premiers entre eux, alors P divise 14 etQ divise 78.

c. En déduire le nombre de rationnels, non entiers, pouvant être solutions de l’équation (1) et écrire, parmi ces rationnels, l’ensemble de ceux qui sont positifs.

PROBLÈME 10 points

PartieA - étude préliminaired’une fonction f définie surRparϕ(x)= (2x)ex1

1. Déterminer les limites de la fonction ϕ en −∞ et +∞. 2. Montrer que la fonction ϕ est continue et dérivable sur R et étudier le signe

de sa dérivée.

Endéduire les variations de la fonctionϕ et préciser les valeurs deϕ(−2),ϕ(0), ϕ(1) et ϕ(2).

3. Prouver que la fonction ϕ s’annule uniquement en deux valeurs que l’on nommera α et β. On prendra α < β. étudier alors le signe de la fonction ϕ sur l’ensemble des réels et récapituler cette étude dans un tableau.

4. À l’aide de la calculatrice, fournir un encadrement d’amplitude 10−2 des va- leurs α et β.

5. Montrer que eα = 1

2−α .

Antilles–Guyane 45 septembre 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Partie B - Étude d’une fonction f définie par f (x)= ex 1 ex x

et calcul intégral

1. Montrer que ex x ne s’annule pas sur R . En déduire que f est définie sur R. 2. Déterminer les limites de la fonction f en −∞ et +∞. 3. Calculer la dérivée f ′ de la fonction f puis, à l’aide des résultats de la partie

A, construire le tableau des variations de f .

4. Montrer que f (α) = 1

α−1 , le nombre α étant la plus petite des deux valeurs

pour lesquelles la fonction ϕ de la partie A s’annule.

5. Déterminer une primitive de la fonction f sur R. Donner une valeur exacte puis une valeur décimale approchée à 0,01 près de l’intégrale :

∫1

0

ex −1 ex x

dx.

Partie C - étude de deux suites

1. Préciser l’ensemble de définitionDg de la fonction g définie sur cet ensemble

par g (x)= ln (

1

2− x

) où ln désigne la fonction logarithme népérien.

Prouver que la fonction g est croissante sur son ensemble de définition et que l’image par g de l’intervalle I = [−2 ; 0] est incluse dans cet intervalle.

2. a. Soit la suite (un ) définie pour tout entier naturel n par :

{ u0 = −2 un+1 = g (un )

Montrer que u1 appartient à l’intervalle I = [−2 ; 0]. Prouver par récur- rence, à l’aide des variations de la fonction g , que la suite (un ) a tous ses termes dans l’intervalle I et est croissante.

b. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par :

{ v0 = 0 vn+1 = g (vn)

Calculer le terme v1 et montrer que −26u1 6 v1 6 v0 6 0. Établir par récurrence, à l’aide de la croissance de la fonction g sur l’in- tervalle [−2 ; 0], que pour tout entier naturel n strictement positif, on a :

−26 un 6 vn 6 vn−16 0.

Préciser le sens de variation de la suite (vn).

3. a. Soitm la fonction définie sur [0 ;+∞[ par :

m(x)= x− ln(1+ x).

Montrer quem est croissante et calculerm(0) . En déduire que, pour tout x positif, on a ln(1+ x)6 x.

b. Vérifier que, pour tout entier n, vn+1−un+1 = ln ( 1+

vn un 2− vn

) .

En déduire que vn+1−un+1 6 vn un 2− vn

.

Sachant que, pour tout entier n, les termes de la suite (vn) appartiennent

à l’intervalle [−2 ; 0], donner un encadrement de 1

2− vn et établir que :

Antilles–Guyane 46 septembre 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

vn+1−un+1 6 1

2 (vn un ) .

Prouver alors que, pour tout entier naturel n,

vn un 6 1

2n (v0−u0) .

Que peut-on en déduire pour la suite de terme général vnun et pour les suites (un ) et (vn) ?

4. Donner, à l’aide de la calculatrice, un encadrement d’amplitude 10−4 de u10 et v10.

Antilles–Guyane 47 septembre 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

[ Baccalauréat SMétropole septembre 2003\

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On considère les points A etΩ d’affixes respectives : a =−1+ p 3+ i et ω=−1+2i.

On appelle r la rotation de centre Ω et d’angle 2π

3 et h l’homothétie de centre Ω et

de rapport − 1

2 .

1. Placer sur une figure les points A et Ω, l’image B du point A par r, l’image C du point B par r et l’image D du point A par h.

2. On note b, c et d les affixes respectives des points B, C et D.

Le tableau ci-dessous contient une suite de 18 affirmations, dont chacune débute dans la première colonne et s’achève sur la même ligne colonne 2, colonne 3 ou colonne 4.

Le candidat doit se prononcer sur chacune de ces affirmations. Pour cela il doit remplir le tableau de la feuille annexe, en faisant figurer dans chacune des cases la mention VRAI ou FAUX (en toutes lettres).

1. |aω| = 2 4 p 3− i

2. arg(aω)= − 5π

6

47π

6

π

6

3. ( −→ v ,

−−→ ΩC )= arg((ωc)i) (−−→v , −−→CΩ )

2π

3 4. ω =

1

3 (a+b+c) a+b+c b−2i

5. bd ad

=

p 3

2 i

p 3

3 i

p 3

3 i

6. Le point D est l’image deΩ par la translation de

vecteur 1

2

−−→ AΩ .

l’image deΩ par l’homothétie de centre A et de

rapport 3

2

l’image deΩ par la rotation de centre B et d’angle −

π

6

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un commerce possède un rayon « journaux »et un rayon « souvenirs ». À la fin d’une journée, on trie les pièces de monnaie contenues dans les caisses de chaque rayon. On constate que la caisse du rayon « journaux »contient trois fois plus de pièces de 1( que celle du rayon « souvenirs ». Les pièces ont toutes le côté pile identique, mais le côté face diffère et symbolise un des pays utilisant la monnaie unique. Ainsi, 40% des pièces de 1( dans la caisse du rayon « souvenirs »et 8% de celles du rayon « journaux »portent une face symbolisant un pays autre que la France (on dira « face étrangère »).

1. Lepropriétaire dumagasin, collectionneur demonnaies, recherche les pièces portant une face étrangère.

Métropole 48 septembre 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Pour cela il prélève au hasard et avec remise 20 pièces issues de la caisse « souvenirs ». On note X la variable aléatoire qui associe à chaque prélève- ment le nombre de pièces portant une face étrangère.

a. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale ; déterminer les paramètres de cette loi.

b. Calculer la probabilité qu’exactement 5 pièces parmi les 20 portent une face étrangère.

c. Calculer la probabilité qu’aumoins 2 pièces parmi les 20 portent une face étrangère.

2. Les pièces de 1( issues des deux caisses sont maintenant rassemblées dans un sac.

On prélève au hasard une pièce du sac.

On note S l’événement : « la pièce provient de la caisse « souvenirs » »et E l’événement « la pièce porte une face étrangère ».

a. Déterminer P(S), PS(E) ; en déduire P(S∩E). b. Démontrer que la probabilité que la pièce porte une face étrangère est

égale à 0,16.

c. Sachant que cette pièce porte une face étrangère, déterminer la probabi- lité qu’elle provienne de la caisse « souvenirs ».

3. Dans la suite, la probabilité qu’une pièce choisie au hasard dans le sac porte une face étrangère est égale à 0,16.

Le collectionneur prélève n pièces (n entier supérieur ou égal à 2) du sac au hasard et avec remise.

Calculer n pour que la probabilité qu’il obtienne aumoins une pièce portant une face étrangère soit supérieure ou égale à 0,9.

PROBLÈME 10 points Commun à tous les candidats

Partie A : Une équation différentielle

On considère l’équation différentielle

(E) y ′−3y = −3e

(1+e−3x )2 .

On donne une fonction ϕ dérivable sur R et la fonction f définie sur R par f (x)= e−3(x).

1. Montrer que f est dérivable sur R et pour tout réel x, exprimer ϕ ′(x)−3ϕ(x) en fonction de f ′(x).

2. Déterminer f de sorte que ϕ soit solution de (E) sur R et vérifie ϕ(0)= e

2 .

Partie B : Étude d’une fonction

Soit f la fonction définie sur R par :

f (x)= e1−3x

1+e−3x .

On désigne par C sa courbe représentative dans le planmuni d’un repère orthonor- mal d’unité graphique 2 cm.

1. Déterminer les limites de f en−∞ et en+∞, puis étudier les variations de f .

Métropole 49 septembre 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

2. Tracer C .

3. Pour α réel non nul, on pose Iα = ∫α

0 f (x)dx.

a. Donner le signe et une interprétation graphique de Iα en fonction de α.

b. Exprimer Iα en fonction de α.

c. Déterminer la limite de lorsque α tend vers +∞.

Partie C

On définit sur N∗ la suite (un ) par :

un = ∫α

0 f (x)e

x n dx f est la fonction définie dans la partie B.

On ne cherchera pas à calculer un .

1. a. Donner, pour tout n deN∗, le signe de un .

b. Donner le sens de variation de la suite (un ).

c. La suite (un ) est-elle convergente ?

2. a. Montrer que pour tout n deN∗ :

I1 6un 6 e 1 n I1

où I1 est l’intégrale de la partie B obtenue pour α égal à 1.

b. En déduire la limite de la suite (un ).

Donner sa valeur exacte.

Métropole 50 septembre 2003

[ Baccalauréat S Polynésie spécialité\ septembre 2003

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

L’espace est rapporté à un repère ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) orthonormé. Soit s un nombre réel.

On donne les points A (8 ; 0 ; 8), B (10 ; 3 ; 10) ainsi que la droite D d’équations para- métriques :

  

x = −5+3s y = 1+2s z = −2s

1. a. Donner un système d’équations paramétriques de la droite ∆ définie par A et B.

b. Démontrer que D et ∆ sont non coplanaires.

Déterminer une équation cartésienne de P .

c. Montrer que la distance d’un point quelconque M deD à P est indépen- dante deM .

d. Donner un système d’équations paramétriques de la droite définie par l’intersection de P avec le plan (xOy).

2. La sphère S est tangente à P au point C(10 ; 1 ; 6). Le centre Ω de S se trouve à la distance d = 6 de P , du même côté que O. Donner l’équation cartésienne de S .

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On désigne par p un nombre entier premier supérieur ou égal à 7. Le but de l’exercice est de démontrer que l’entier naturel n = p4−1 est divisible par 240, puis d’appliquer ce résultat.

1. Montrer que p est congru à−1 ou à 1modulo 3. En déduire que n est divisible par 3.

2. En remarquant que p est impair, prouver qu’il existe un entier naturel k tel que p2−1= 4k(k+1), puis que n est divisible par 16.

3. En considérant tous les restes possibles de la division euclidienne de p par 5, démontrer que 5 divise n.

4. a. Soient a, b et c trois entiers naturels.

Démontrer que si a divise c et b divise c, avec a et b premiers entre eux, alors ab divise c.

b. Déduire de ce qui précède que 240 divise n.

5. Existe-t-il quinze nombres premiers p1, p2, . . . , p15 supérieurs ou égaux à 7 tels que l’entier A = p41+p

4 2+ . . .+p

4 15 soit un nombre premier ?

PROBLÈME 10 points Commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : {

f (0) = 1

f (x) = 1

2 x2(3−2lnx)+1 si x > 0

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

Partie A

1. a. Calculer lim x→0

f (x). Que peut-on en déduire pour la fonction f ?

b. Déterminer la limite de f en +∞. 2. a. Étudier la dérivabilité de f en 0.

b. Montrer que f est dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ et calculer f ′(x) pour x > 0, f ′ désignant la fonction dérivée de f .

3. Étudier le sens de variations de f sur [0 ; +∞[, puis dresser son tableau de variations.

4. Montrer que l’équation f (x) = 0 possède une solution unique α sur l’inter- valle [0 ; +∞[. Déterminer une valeur approchée décimale de α à 10−2 près.

Partie B

1. Calculer une équation de la tangente D à la courbe C au point d’abscisse x = 1.

2. On considère la fonction g : x 7→ f (x)−2x− 1

2 définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

a. Calculer g ′(x), puis g ′′(x) où g ′ et g ′′ désignent respectivement les fonc- tions dérivées première et seconde de g . Étudier le sens de variations de g ′. En déduire le signe de g ′(x) sur ]0 ; +∞[

b. Étudier le sens de variations de g .

En déduire la position de la courbe C par rapport à la tangente D.

3. Construire la courbe C et la tangente D (unité graphique : 2 cm).

Partie C

1. n est un entier naturel non nul.

Exprimer en fonction de n le réel In = ∫1

1 n

x2 lnx dx (on pourra utiliser une

intégration par parties).

2. En déduire en fonction de l’entier n, l’aire An exprimée en cm2 du domaine plan délimité par la courbe C , la tangente D et les deux droites d’équation

x = 1

n et x = 1.

3. Calculer lim n→+∞

An et interpréter le résultat obtenu.

Polynésie 52 septembre 2003

[ Baccalauréat Amérique du Sud série S\ novembre 2003

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Un sac contient 4 jetons numérotés respectivement −1, 0, 0, 1 et indiscernables au toucher. On tire un jeton du sac, on note son numéro x et on le remet dans le sac ; on tire un second jeton, on note son numéro y et on le remet dans le sac ; puis on tire un troisième jeton, on note son numéro z et on le remet dans le sac. Tous les jetons ont la même probabilité d’être tirés. À chaque tirage de trois jetons, on associe, dans l’espace muni d’un repère ortho-

normal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) le point M de coordonnées (x, y, z).

Sur le graphique joint en annexe page 6, sont placés les 27 points correspondant aux différentes positions possibles du point M . Les coordonnées du point A sont

(1 ; −1 ; −1) dans le repère ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On note C le cube ABCDEFGH.

1. Démontrer que la probabilité que le point M soit en A est égale à 1

64 .

2. On note E1 l’évènement : «M appartient à l’axe des abscisses ».

Démontrer que la probabilité de E1 est égale à 1

4 .

3. Soit P le plan passant par O et orthogonal au vecteur −→ n (1 ; 1 ; 1).

a. Déterminer une équation cartésienne du plan P .

b. Tracer en couleur sur le graphique de la page 5, la section du planP et du cube C . (On ne demande pas de justification).

c. On note E2 l’évènement : «M appartient à P ».

Quelle est la probabilité de l’évènement E2 ?

4. Ondésigne parB la boule de centreO et de rayon 1,5 (c’est-à-dire l’ensemble des points M de l’espace tels que OM 6 1,5).

On note E3 l’évènement : «M appartient à la boule B ».

Déterminer la probabilité de l’évènement E3.

EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) (unité gra-

phique 4 cm). Soit I le point d’affixe 1. OnnoteC le cercle de diamètre [OI] et on nomme son centre Ω.

Partie I

On pose a0 = 1

2 + 1

2 i et on note A0 son image.

1. Montrer que le point A0 appartient au cercle C .

2. Soit B le point d’affixe b, avec b = −1+2i, et B′ le point d’affixe b′ telle que b′ = a0b. a. Calculer b′.

b. Démontrer que le triangle OBB′ est rectangle en B′.

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Partie II

Soit a un nombre complexe non nul et différent de 1, et A son image dans le plan complexe. À tout pointM d’affixe z non nulle, on associe le pointM ′ d’affixe z ′ telle que z ′ = az.

1. On se propose de déterminer l’ensemble des points A tels que le triangle OMM ′ soit rectangle enM ′.

a. Interpréter géométriquement arg

( a−1 a

) .

b. Montrer que (−−−→ M ′O ,

−−−−→ M M

) = arg

( a−1 a

) +2(où k ∈Z).

c. En déduire que le triangle OMM ′ est rectangle en M ′ si et seulement si A appartient au cercle C privé de O et de I.

2. Dans cette question, M est un point de l’axe des abscisses, différent de O.

On note x son affixe.

On choisit a demanière que A soit un point de C différent de I et de O.

Montrer que le point M ′ appartient à la droite (OA).

En déduire que M ′ est le projeté orthogonal deM sur cette droite.

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ ı ,

−→ ) (unité gra-

phique : 1 cm).

On note r1 la rotation de centre O et d’angle π

3 et r2 la rotation de centre O et d’angle

π

5 .

Partie A

1. Résoudre dans Z×Z l’équation ( E) : 3y = 5(15− x). 2. Soit I le point d’affixe 1.

On considère un point A mobile sur le cercle trigonométriqueC de centre O.

Sa position initiale est en I.

On appelle d la distance, exprimée en centimètres, qu’a parcourue le point A sur le cercleC après avoir subi p rotations r1 et q rotations r2 (p et q étant des entiers naturels).

On convient que lorsque A subit la rotation r1 (respectivement r2), il parcourt

une distance de π

3 cm (respectivement

π

5 cm).

Déterminer toutes les valeurs possibles de p et q pour lesquelles le point A a parcouru exactement deux fois et demie la circonférence du cercleC à partir de I.

Partie B

On note h1 l’homothétie de centre O et de rapport 4 et h2 l’homothétie de centre O et de rapport −6. On pose s1 = r1 ◦h1 et s2 = r2 ◦h2.

1. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de s1 et s2.

2. On pose :

Sm = s1◦s1 · · ·◦s1 (composée dem fois s1, m étant un entier naturel non nul), S n = s2 ◦ s2 · · · ◦ s2 (composée de n fois s2, n étant un entier naturel non nul), et f = S n Sm .

Amérique du Sud 54 novembre 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

a. Justifier que f est la similitude directe de centre O, de rapport 22m+n × 3n

et d’anglem π

3 +n

6π

5 .

b. f peut-elle être une homothétie de rapport 144 ?

c. On appelle M le point d’affixe 6 et M′ son image par f .

Peut-on avoir OM′ = 240 ? Démontrer qu’il existe un couple d’entiers naturels unique (m, n) tel que OM′ = 576. Calculer alors la mesure principale de l’angle orienté

(−→ u ,

−−−→ OM′

) .

PROBLÈME 11 points

On considère la fonction f définie sur R par :

f (x)= 1

ex +e−x

et on désigne par Γ sa courbe représentative dans un repère orthogonal ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

Partie A

1. Étudier la parité de f . Que peut-on en déduire pour la courbe Γ ?

2. Démontrer que, pour tout réel x positif ou nul, e−x 6 ex .

3. a. Déterminer la limite de f en +∞. b. Étudier les variations de f sur [0 ; +∞[.

4. On considère les fonctions g et h définies sur [0 ; +∞[ par g (x)= 1

ex et h(x)=

1

2ex .

Sur l’annexe sont tracées, dans le repère ( O,

−→ ı ,

−→ ) les courbes représenta-

tives de g et h, notées respectivement Γ1 et Γ2.

a. Démontrer que, pour tout réel x positif ou nul, h(x)6 f (x)6 g (x).

b. Que peut-on en déduire pour les courbes Γ, Γ1, et Γ2 ?

Tracer Γ sur l’annexe, en précisant sa tangente au point d’abscisse 0.

Partie B

Soit (In ) la suite définie sur N par : In = ∫n+1

n f (x)dx.

1. Justifier l’existence de (In ), et donner une interprétation géométrique de (In ).

2. a. Démontrer, que pour tout entier naturel n, f (n+1)6 In 6 f (n). b. En déduire que la suite (In ) est décroissante.

c. Démontrer que la suite (In ) est convergente et determiner sa limite.

Partie C

Soit (Jn) la suite définie sur N par : Jn = ∫n

0 f (x)dx.

1. En utilisant l’encadrement obtenu dans la question A. 4. a., démontrer que, pour tout entier naturel n :

1

2

( 1−e−n

) 6 Jn 6 1−e−n 6 1.

Amérique du Sud 55 novembre 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

2. Démontrer que la suite (Jn) est croissante.

En déduire qu’elle converge.

3. On note L la limite de la suite (Jn) et on admet le théorème suivant :

« Si un , vn et wn sont trois suites convergentes de limites respectives a, b et c et si, à partir d’un certain rang on a pour tout n, un 6 vn 6wn , alors

a6 b6 c ».

Donner un encadrement de L.

4. Soit u la fonction définie sur R par

u(x)= 1

1+ x2 .

On note v la primitive de u sur R telle que v(1)= π

4 .

On admet que la courbe représentative de v admet en +∞ une asymptote d’équation y =

π

2 .

a. Démontrer que, pour tout réel x, f (x)= ex

(ex )2+1 .

b. Démontrer que, pour tout réel x, f est la dérivée de la fonction

x 7→ v (ex ). c. En déduire la valeur exacte de L.

Amérique du Sud 56 novembre 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Annexe de l’exercice 1

Cette page sera complétée et remise avec la copie

O

A

B

C

D

E

F

G

H

−→ ı

−→

−→ k

Amérique du Sud 57 novembre 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Annexe du problème

Cette page sera complétée et remise avec la copie

0 1 2 3 4 5 6

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

Amérique du Sud 58 novembre 2003

[ Baccalauréat Nouvelle-Calédonie série S\ novembre 2003

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

On observe sur une longue période le nombre d’accidents de scooters à un carre- four. Il est alors possible de proposer la modélisation suivante : pour n scooters franchissant le carrefour durant une année (n est un grand nombre inconnu), on admet que la variable aléatoire Sn qui totalise le nombre d’accidents de scooters à ce carrefour durant cette année suit une loi binomiale ; on estime que l’espérance mathématique de Sn notée E(Sn ) est égale à 10. Soit p la probabilité pour un scooter d’être accidenté à ce carrefour pendant l’année considérée.

1. Calculer p, puis justifier l’égalité P(Sn = k) = (n k

)(10 n

)k ( 1−

10

n

)nk k est

un entier naturel tel que 06 k 6 n.

2. a. Établir l’égalité ln[P(Sn = 0)]=−10× ln

( 1−

10

n

)

−10 n

où ln désigne la fonction

logarithme népérien ; en déduire que lim n→+∞

P(Sn = 0)= e−10.

b. Démontrer que P(Sn = k+1)= P(Sn = knk n−10

× 10

k+1 , où k est un en-

tier naturel tel que 06 k 6n−1.

c. Démontrer que si lim n→+∞

P(Sn = k) = e−10 10k

k! pour 0 6 k 6 n, alors on a

également lim n→+∞

P(Sn = k+1)= e−10 10k+1

(k+1)! pour 06 k+16 n.

d. Démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence sur l’entier na-

turel k que lim n→+∞

P(Sn = k) = e−10 10k

k! où k est un entier naturel tel que

06 k 6 n.

3. On suppose que le nombre n est suffisamment grand pour que l’on puisse

admettre que e−10 10k

k! est une approximation acceptable de P(Sn = k). Utili-

ser cette approximation pour calculer à 10−4 près la probabilité pour qu’au cours de cette année il y ait au moins trois accidents de scooters à ce carre- four.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) ; on considère les points

A(3 ; 0 ; 10), B(0 ; 0 ; 15) et C(0 ; 20 ; 0).

1. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

b. Montrer que la droite (AB) coupe l’axe des abscisses au point E(9 ; 0 ; 0).

c. Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OBC

a. Justifier que la droite (BC) est perpendiculaire au plan (OEH). En déduire que (EH) est la hauteur issue de E dans le triangle EBC.

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (OEH).

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

c. Vérifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne

20x+9y +12z−180 = 0.

d. Montrer que le système

  

x = 0 4y −3z = 0 20x+9y +12z−180 = 0

a une solution

unique. Que représente cette solution ?

e. Calculer la distance OH, en déduire que EH = 15 et l’aire du triangle EBC.

3. En exprimant de deux façons le volume du tétraèdre OEBC, déterminer la distance du point O au plan (ABC). Pouvait-on prévoir le résultat à partir de l’équation obtenue en 2. c. ?

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. a. Soit p un entier naturel. Montrer que l’un des trois nombres p, p +10 et p+20, et l’un seulement est divisible par 3.

b. Les entiers naturels a, b et c sont dans cet ordre les trois premiers terme d’une suite arithmétique de raison 10. Déterminer ces trois nombres sa- chant qu’ils sont premiers.

2. Soit E l’ensemble des triplets d’entiers relatifs (u, v, w) tels que

3u+13v +23w = 0.

a. Montrer que pour un tel triplet v w (mod 3) b. On pose v = 3k + r et w = 3k ′+ r k, k ′ et r sont des entiers relatifs et

06 r 6 2.

Montrer que les éléments de E sont de la forme :

(−13k−23k ′ −12r, 3k+ r, 3k ′+ r ).

c. L’espace est rapporté à un repère orthonormal d’origine O et soit P le plan d’équation 3x+13y +23z = 0. Déterminer l’ensemble des points M à coordonnées (x, y, z) entières re- latives appartenant au plan P et situés à l’intérieur du cube de centre O, de côté 5 et dont les arêtes sont parallèles aux axes.

PROBLÈME 11 points

Les trois parties sont dans une large mesure indépendantes.

Pour tout entier naturel n, on définit sur R la fonction numérique fn par :

f0(x)= 1

1+ x2 et pour n entier naturel non nul fn (x)=

xn

1+ x2 .

On note Γn , la courbe représentative de fn , dans le plan rapporté à un repère ortho-

normal ( O,

−→ ı ,

−→ ) , unité graphique : 4 cm.

On désigne par In l’intégrale In = ∫1

0 fn(t)dt .

Partie A

1. a. Étudier les limites de f1 en +∞ et en −∞. Quelle est la conséquence gra- phique de ces résultats ?

Nouvelle-Calédonie 60 novembre 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

b. Étudier les variations de f1.

c. Tracer la courbe Γ1.

d. Calculer I1.

2. a. Étudier les limites de f3 en +∞. b. Étudier les variations de f3.

c. Tracer la courbe Γ3 sur le même dessin qu’au 1. c..

3. Calculer I1+ I3. En déduire la valeur de I3. 4. Calculer, en unités d’aire, l’aire du domaine limité par les courbes Γ1, Γ3 et

les droites d’équation x = 0 et x = 1.

Partie B

Pour cette partie, on dessinera la figure demandée dans un nouveau repère ortho-

normal ( O,

−→ ı ,

−→ ) , unité graphique : 4 cm.

1. a. Étudier les limites de f0 en +∞ et en −∞. b. Étudier les variations de f0.

2. Soit (an ) la suite définie, pour n entier naturel non nul, par an = ∫n

0

1

1+ t2 dt .

a. Interpréter graphiquement an .

b. Montrer que la suite (an ) est croissante.

c. Montrer que pour tout réel t : 1

1+ t2 6 1 et en déduire que a1 6 1.

d. Montrer que pour tout réel t non nul : 1

1+ t2 6

1

t2 et en déduire que pour

tout entier naturel non nul, ∫n

1

1

1+ t2 dt 6 1−

1

n .

e. Montrer, en utilisant les questions précédentes, que pour tout entier na- turel n non nul, an 6 2. Que peut-on en déduire pour la convergence de la suite (an) ?

Partie C

Soit F la fonction telle que :

F (0)= 0, F dérivable sur R etF ′(x)= 1

1+ x2 .

1. On pose, pour tout x de ] − π

2 ; π

2

[ , H(x)= F [tan(x)].

a. Calculer H(0).

b. Montrer que H est dérivable sur ] − π

2 ; π

2

[ et calculer H ′(x).

c. En déduire que, pour tout x de ] − π

2 ; π

2

[ , H(x)= x.

d. Montrer que F (1)= π

4 .

2. On pose, pour tout x réel positif ou nul, k(x)= F (

1

x+1

) +F

( x x+2

) .

a. Montrer que la fonction k est dérivable sur R+ et déterminer k ′(x).

b. En déduire la valeur de F

( 1

2

) +F

( 1

3

) .

Nouvelle-Calédonie 61 novembre 2003

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