Exercices de modélisation mathèmatique – correction 7, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercices de modélisation mathèmatique – correction 7, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

PDF (56.2 KB)
4 pages
187Numéro de visites
Description
Exercices de modélisation mathèmatique – correction 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Éléments de symétrie de la surface T, Intersections de la surface T avec des plans parallèles aux axes, Intersection...
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 4
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
CentresetrangersSjuin2003.dvi

[ Baccalauréat série S Centres étrangers juin 2003 \

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

On définit, pour tout entier naturel n > 0, la suite (un) de nombres réels strictement

positifs par un = n2

2n .

1. Pour tout entier naturel n > 0, on pose vn = un+1

un

a. Montrer que lim n→+∞

vn = 1

2 .

b. Montrer que pour tout entier naturel n > 0, vn > 1

2 .

c. Trouver le plus petit entier N tel que si n>N , vn < 3

4 .

d. En déduire que si n>N , alors un+1 < 3

4 un .

On pose pour tout entier naturel n> 5, Sn =u5+u6+·· ·+un .

2. On se propose de montrer que la suite (Sn)n>5 est convergente.

a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n> 5,

un 6

(

3

4

)n−5

u5.

b. Montrer que pour tout entier naturel n> 5,

Sn 6

[

1+ 3

4 +

(

3

4

)2

+·+

(

3

4

)n−5]

u5.

c. En déduire que pour tout entier naturel n> 5, Sn 6 4u5 .

3. Montrer que la suite (Sn)n>5 est croissante et en déduire qu’elle converge.

EXERCICE 2 6 points Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Une entreprise d’autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhi- cules peuvent être bloqués par des incidents extérieurs commedes chutes depierres, la présence de troupeaux sur la route, etc. Un autocar part de son entrepôt. On note D la variable alatoire qui mesure la dis- tance en kilomètres que l’autocar va parcourir jusqu’à ce qu’il survienne un inci-

dent. On admet queD suit une loi exponentielle de paramètre λ= 1

82 , appelée aussi

loi de durée de vie sans vieillissement. On rappelle que la loi de probabilité est alors définie par :

p(D6 A)= ∫A

0

1

82 e−

x 82 dx.

Dans tout l’exercice, les résultats numériques seront arrondis aumillime.

1. Calculer la probabilité que la distance parcourue sans incident soit :

a. comprise entre 50 et 100 km ;

b. supérieure à 300 km.

2. Sachant que l’autocar a déjà parcouru 350 kilomètres sans incident, quelle est la probabilité qu’il n’en subisse pas non plus au cours des 25 prochains kilomètres ?

3. Détermination de la distance moyenne parcourue sans incident.

a. Aumoyen d’une intégration par parties, calculer I(A)= ∫A

0

1

82 xe−

x 82 dx

A est un nombre réel positif.

b. Calculer la limite de I(A) lorsque A tend vers+∞. (Cette limite représente la distance moyenne cherchée).

4. L’entreprise possède N0 autocars. Les distances parcourues par chacun des autocars entre l’entrepôt et le lieu où survient un incident sont des variables aléatoires deux deux indépendantes et de même loi exponentielle de para-

mètre λ= 1

82 .

d étant un réel positif, on note Xd la variable aléatoire égale au nombre d’au- tocars n’ayant subi aucun incident après avoir parcouru d kilomètres.

a. Montrer que Xd suit une loi binomiale de paramètres N0 et e −λd .

b. Donner le nombre moyen d’autocars n’ayant subi aucun incident après avoir parcouru d kilomètres.

EXERCICE 2 6 points Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

L’espace (E) est muni d’un repère

orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→

k )

.

On considère la surface T d’équa- tion : x2y = z avec −1 6 x 6 1 et −16 y 6 1. La figure ci-contre est une repré- sentation de la surface T, dans le cube de centre O et de côté 2.

x y

z

1. Éléments de symétrie de la surface T.

a. Montrer que si le pointM(x, y, z) appartient àT, alors le pointM ′(−x, y, z) appartient aussi à T. En déduire un plan de symétrie de T.

b. Montrer que l’origine O du repère est centre de symétrie de T.

2. Intersections de la surface T avec des plans parallèles aux axes.

a. Déterminer la nature des courbes d’intersection de T avec les plans pa- rallèles au plan (xOz).

b. Déterminer la nature des courbes d’intersection de T avec les plans pa- rallèles au plan (yOz).

3. Intersections de la surface T avec les plans parallèles au plan (xOy) d’équa- tions z = k, avec k ∈ [0 ; 1].

a. Déterminer l’intersection de la surface T et du plan d’équation z = 0.

b. Pour k > 0 on note K le point de coordonnées (0, 0, k). Déterminer, dans

le repère (

K ; −→ ı ,

−→

)

, l’équation de la courbe d’intersection de T et du

plan d’équation z = k.

c. Tracer l’allure de cette courbe dans le repère (

K ; −→ ı ,

−→

)

. On précisera en

particulier les coordonnées des extrémités de l’arc.

2

4. On note (D) le domaine formé des points du cube unité situés sous la surface T.

(D)=M(x, y, z) ∈ (E ) avec 06 x 6 1 ; 06 y 6 1 ; 06 z6 x2y .

a. Pour 0 < k 6 1, le plan d’équation z = k coupe le domaine (D) selon une surface qu’on peut visualiser sur le graphique de la question 3 c.

C’est l’ensemble des points M du cube unité, de coordonnées (x, y, z)

tels que y > k

x2 et z = k.

Calculer en fonction de k l’aire S(k) exprimée en unités d’aire, de cette surface.

b. On pose S(0)= 1 ; calculer en unités de volume, le volume V du domaine (D).

On rappelle que V = ∫1

0 S(k)dk.

PROBLÈME 9 points

On appelle f la fonction définie sur l’intervalle I =]−2 ; +∞[ par

f (x)= 1+ x ln(x+2).

On note (

C f

)

la courbe représentative de f dans le repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

(unité graphique 4 cm).

I. Étude de la fonction f

1. Étude des variations de la dérivée f ′.

a. f ′ désigne la fonction dérivée première de f et f ′′ la fonction dérivée se- conde. Calculer f ′(x) puis f ′′(x) pour x appartenant à l’intervalle

]−2 ; +∞[.

b. Étudier les variations de f ′ sur l’intervalle ]−2 ; +∞[.

c. Déterminer les limites de f ′ en −2 et en +∞.

2. Étude du signe de f ′(x).

a. Montrer que sur l’intervalle ]− 2 ; +∞[ l’équation f ′(x) = 0 admet une solution unique α appartenant à l’intervalle [−0,6 ; −0,5].

b. En déduire le signe de f ′(x) selon les valeurs de x.

3. Étude des variations de f

a. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle ]−2 ; +∞[.

b. Déterminer les limites de f en −2 et en +∞.

c. Dresser le tableau de variation de f .

II. Position de la courbe(C f ) par rapport à ses tangentes

Soit x0 un réel appartenant l’intervalle ]−2 ; +∞[ , on appelle Tx0 la tangente (

C f

)

au point d’abscisse x0. On note, pour x appartenant à l’intervalle ]−2 ; +∞[,

d(x)= f (x)− [

f ′(x0)(xx0)+ f (x0) ]

.

1. Étude des variations de d .

a. Vérifier que, pour tout x appartenant à l’intervalle ]−2 ; +∞[,

d ′(x)= f ′(x)− f ′ (x0) .

3

b. En utilisant la croissance de la fonction f ′, donner le signe de d ′(x) selon les valeurs de x. En déduire les variations de d sur l’intervalle ]−2 ; +∞[.

2. Déterminer la position relative de (

C f

)

et de Tx0 .

III. Tracés dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

1. Déterminer une équation de la droite T0, tangente (

C f

)

au point d’abscisse 0 ; tracer T0.

2. Trouver les réels x0 pour lesquels les tangentes Tx0 passent par l’origine du repère puis tracer ces droites.

3. Tracer la courbe (

C f

)

pour les valeurs de x comprises entre−1 et 2. On pren- dra pour α la valeur −0,54 et pour f (α) la valeur 0,8.

4

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome