Exercices de physique mathématiques 1, Exercices de Physique Mathématiques
Eleonore_sa
Eleonore_sa12 May 2014

Exercices de physique mathématiques 1, Exercices de Physique Mathématiques

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Exercices de physique mathématiques sur le condensateur dans tous ses états. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la charge portée par une armature du condensateur exprimée en coulombs, La courbe représentati...
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II ) Le condensateur dans tous ses états :

09/2003 Polynésie Le condensateur dans tous ses états 5,5 points calculatrice autorisée

Cet exercice se propose d'étudier le comportement d'un condensateur.

1ère partie

On réalise le circuit ci-contre (schéma n°1) constitué d'un générateur de

courant, d'un condensateur, d'un ampèremètre, et d'un interrupteur. Le

condensateur est préalablement déchargé, et à la date t = 0 s, on ferme

l'interrupteur K. L'ampèremètre indique alors une valeur constante pour

l'intensité I = 12 A.

Un ordinateur muni d'une interface (non représenté) relève, à intervalles de

temps réguliers, la tension uAB aux bornes du condensateur. Les résultats

sont les suivants :

t (s) 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

uAB (V) 0,00 1,32 2,64 4,00 5,35 6,70 7,98 9,20 10,6

Questions

1.1. Rappeler la relation permettant de calculer la charge q du condensateur en fonction de I.

Calculer q à la date t = 3,0 s.

1.2. On a représenté (graphe n°1) la courbe donnant la charge q du condensateur en fonction de uAB

Déterminer à partir de cette dernière, par une méthode que l'on explicitera, la valeur de la capacité

C du condensateur.

1.3. La valeur indiquée par le constructeur est C = 4,7 F à 10 % près. La valeur obtenue est-elle en

accord avec la tolérance du constructeur ?

Schéma n°1

graphe n°1

2ème partie

On étudie maintenant la charge et la décharge d'un condensateur à travers un conducteur ohmique. Pour

cela, on réalise le montage suivant (schéma n°2).

Le condensateur est initialement déchargé, et à la date t = 0 s, on bascule l'interrupteur en position 1.

Données : R = 2,2 k ; C = 4,7 F ; R' = 10 k

Questions

2.1. Établir l'équation différentielle E = RC dt

duC + uC vérifiée par la tension uC aux bornes du

condensateur pendant la phase de charge.

2.2. La solution analytique de cette équation est de la forme : uC = A(1 – e – .t ), compte tenu de la

condition initiale relative à la charge du condensateur.

En vérifiant que cette expression est solution de l'équation différentielle, identifier A et  en

fonction de E, R, C.

2.3. À partir graphe n°2, déterminer la valeur E.

2.4. La méthode d'Euler permet de calculer, pas à pas, les valeurs de uC et de  

  

dt

duC à intervalles de

temps réguliers choisis t. Si t est considéré comme suffisamment petit dans le cadre de

l'expérience, on peut écrire :

uC(t + t) = uC(t) + t

C

dt

du  

  

 ×t . On choisit t = 1 ms.

a) A l'aide de l'équation différentielle établie à la question 2.1., déterminer la valeur initiale de la

dérivée notée : 0

 

  

dt

duC .

b) En appliquant la méthode d'Euler, compléter le tableau suivant (à refaire sur la copie) :

t ( ms ) 0 1 2 3

uC (t) (…….) 0

dt

duC (………)

2.5. Sur le graphe 2, on a représenté trois courbes :

 Courbe n°1 : courbe obtenue par la méthode d'Euler avec un pas t = 5 ms,

 Courbe n°2 : courbe obtenue par la méthode d'Euler avec un pas t = 2 ms,

 Courbe n°3 : représentation de la solution analytique de l'équation différentielle.

a) Quelle est l'influence du pas t, utilisé dans la méthode d'Euler ?

b) Quels sont les avantages et les inconvénients d'avoir un t très grand ou très petit ?

c) Qu'entend-on à la question 2.4. , par "Si t est considéré comme suffisamment petit dans le cadre

de l'expérience" ?

2.6. Définir la constante de temps du circuit. Déterminer sa valeur à partir du graphe n°2 par une méthode

que l'on explicitera. En déduire une nouvelle valeur expérimentale de C et la comparer à la valeur

nominale.

2.7. On bascule alors l'inverseur en position 2. En justifiant, répondre par vrai ou faux aux affirmations

suivantes :

a) La durée de la décharge du condensateur est supérieure à celle de la charge.

b) La constante de temps du circuit lors de la décharge est égale à (R + R').C.

graphe n°2

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