Exercices de sciences mathématiques 1 , Exercices de Méthodes Mathématiques. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Exercices de sciences mathématiques 1 sur les intégrales indéfinies. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les variations de la fonction, l’application, les constantes.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Abidjan septembre 1969 \

EXERCICE 1

Calculer les intégrales indéfinies dx f·

I =

3x (

x2+1 )3

dx et K = ∫

cosx sin3x dx.

EXERCICE 2

Étudier les variations de la fonction

X −→◦ Y = X +

X 2−1 ∣

et tracer dans un repère orthonormé, sa représentation graphique. On précisera, si nécessaire, les asymptotes de cette courbe et l’on tracera ses tangentes aux points A, B et C d’abscisses respectives −1,0 et +1.

EXERCICE 3

On considère l’application qui à tout nombre complexe z associe le nombre

Z = z2+5z+6

z+1 .

Déterminer les constantes a et b telles que b

Z = z+a+ b

z+1 .

1. On suppose que z décrit le corps des réels (sauf −1).

a. Étudier les variations de la fonction qui à z fait correspondre Z .

Représenter le graphe (H) de cette fonction dans un repère orthonormé

Oz, OZ de vecteurs unitaires −→

ı , −→

.

Montrer que ce graphe possède un centre de symétrie (on le désignera par C).

b. Soit les points A(0 ; +4) et B(−1 ; +4). On pose

−→

I = −−→

CA , −→

J = −−→

CB .

Déterminer l’équation de la courbe (H) dans le repère (

C, −→

I , −→

J )

.

c. Déterminer une valeur approcheée de Z pour

z = 1,002

2. On suppose que z décrit le corps des complexes (sauf −1) et l’on pose

z = x+ iy, Z = X + iY .

a. Déterminer X et Y en fonction de x et y .

b. Quel est l’ensemble des points P (x ; y) image de z lorsque Z est réel ?

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. Au point P (x ; y) image de z, on associe le pointQ(X ; Y ) image de Z tel que

{

X = −2y +4, Y = 2x−3.

Quelle est la transformation ponctuelle ainsi définie ?

Abidjan 2 septembre 1969

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