Exercices de sciences mathématiques 11, Exercices de Méthodes Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S16 May 2014

Exercices de sciences mathématiques 11, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de sciences mathématiques sur la conjecture "raisonnable". Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Nombres triangulaires, La représentation graphique.
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M. IBGUI Pour le 9 mars 2006 1 S3

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0 1

1

x

y

Exercice I : Une conjecture "raisonnable"

On considère la suite  nv définie par 0 1v  et la relation de récurrence 1 2 1

n n

n

v v

v  

 .

1. Calculer les valeurs exactes 1v , 2v et 3v .

2. Conjecturer une expression de nv en fonction de n puis démontrer votre conjecture.

3. Donner alors la représentation graphique  de la suite  nv en plaçant les six premiers termes dans un repère orthogonal. Unités graphiques : 0,5 cm en abscisse et 10 cm en ordonnée.

4. Déterminer la monotonie de cette suite. On pourra travailler par encadrement successifs. 5. En déduire qu'elle est bornée.

6. Quel est le comportement de cette suite pour de grandes valeurs de n ?

Exercice II : Nombres triangulaires (Pythagore, Gourou des nombres)

On considère la suite   1n n

u

nu est le nombre de points d'un réseau triangulaire à n étages, comme

sur la figure ci-dessous.

1 1u  2 3u  3 6u  4 10u

1. Calculer 5u , 6u . Exprimer 1nu  en fonction de nu puis donner

2.a. Donner, à l'aide d'Excel par exemple, la représentation graphique de la suite  nu , notée  . 2.b. On peut alors constater que les points  1 1 ;1A ,  2 2 ;3A ,  3 3 ;6A ,  4 4 ;10A etc... sont des points d'une

parabole P . Tracer P puis montrer qu'il existe une fonction f définie sur  0 ;  par

  2f x a x b x c   dont la représentation graphique P passe par lestrois premiers points de  .

2.c. Vérifier alors que les points1A , 2A , .... , 6A sont des points deP puis conjecturer le nombre de points d'un

réseau triangulaire à 7 et 8 étages.

3.a. Le but de cette question est de montrer que tous les points de  sont des points de P .

Pour ce faire, montrer que pour tout 1n  ,  nu f n . Aide : on pourra démontrer que la suite    1nf n

ou encore   1n n

f

a le même premier terme et la même relation de récurrence que la suite   1n n

u

.

3.b. Vérifier votre conjecture à la question 2.b. et donner le nombre de points d'un réseau triangulaire à cent étages.

Pour les curieux : A l'aide d'un moteur de recherche, tapez : nombres polygonaux.

A 0

A 1

A 3

A 4

A 5

A 6

2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

44

-2

-4

0 1

2

x

y

u1

u2

u3

u4

u5

u6

u7

u8

u9

Corrigé :

Question 2.a et 2.b.

La représentation graphique  de la suite   1n n

u

est l'ensemble des points  ;n nA n u , i.e. ce sont les

points  1 1 ;1A ,  2 2 ;3A ,  3 3 ;6A ,  4 4 ;10A ,  3 5 ;15A ,  6 6 ;21A etc...

Le "etc..." étant pour l'instant que des conjectures !

A cette question, on peut aussi conjecturer que les points  7 7 ;28A ,  8 8 ;36A sont des points de 

i.e. le nombre de points d'un réseau triangulaire à 7 étages est 28 et à 8 étages est 36 ! Intéressant, non !!!

P

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29-1-2-3-4-5 0 1

1

x

y

u0

u1

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u3 u4 u5 u6u7u8u9u10u11u12u13u14

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