Exercices de sciences mathématiques 13, Exercices de Méthodes Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S16 May 2014

Exercices de sciences mathématiques 13, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de sciences mathématiques sur les cubes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Quelques exemples, De façon générale.
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1

3 m

1

2 m

En empilant des cubes

On se demande si en empilant des cubes d'arêtes 1 m , 1

2 m ,

1

3 m , etc.,

on peut former une pile plus grande que la tour Eiffel (324 m antenne comprise) 1 m

Soit nh la hauteur de la pile obtenue avec les n premiers cubes,

i.e. 1 1 1

1 ........... 2 3

nh n

     pour 1n  .

1.a. Montrer que pour tout 1n  , 1 1

1 n nh h

n   

 .

1.b. En tabulant cette suite sur une calculatrice ou à l'aide d'un tableur,

donner une valeur approchée de 1000h , 10000h , 100000h .

Peut-on apporter une réponse à la question de départ ?

2. Quelques exemples

2.a. Écrire sous forme de sommes 2h , 4h et 8h puis 4 2h h , 8 4h h (ne pas effectuer les calculs).

2.b. Vérifier que 2 1 1

2 h h  ; 4 2

1

2 h h  ; 8 4

1

2 h h  .

2.c. En déduire que 8 1 3

2 h h 

3. De façon générale

3.a. Pour *n , on peut écrire de même 2n nh h comme somme de termes.

Combien de termes composent cette somme ? Quel est le plus petit d'entre eux ?

3.b. En déduire que pour tout 1p  , 2 1

2 p ph h  puis que pour tout 1n  , 12

1

2 nh h n  

4. Quelle est la limite de la suite  nh ?

Finira-t-on par dépasser les 324 m de la Tour Eiffel ?

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