Exercices de sciences mathématiques 2, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de sciences mathématiques 2 sur la transformation T du plan complexe. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction f définie, l’aire de la partie du plan, l'équation cartésienne.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Aix-Marseille juin 1969 \

EXERCICE 1 5 points

On considère la transformation T du plan complexe qui, au point M d’affixe z, fait correspondre le point M ′ d’affixe z ′ déterminée par

z ′ = (

1− i p 3 )

z −2 p 3.

Montrer que T est une similitude directe, dont on précisera le centre, ω, l’angle, θ, et le rapport k. Caractériser le triangle formé par le centre, ω, et deux points homo- logues, M et M ′.

EXERCICE 2 5 points

Étudier et représenter graphiquement en axes orthonormés la fonction f définie, pour x réel strictement positif, par

f (x)= lnx

x +

1

x .

Calculer l’aire de la partie du plan comprise entre la courbe représentative de f , l’axe

Ox et les droites x = 1

e et x = 1.

PROBLÈME 10 points

1. Le plan étant rapporté à un repère orthonormé, Ox, Oy , les coordonnées, x, y , d’un point mobile M sont données, à chaque instant t , par

{

x = 1+2cos2 t , y = 2sin t cos t .

Montrer que la trajectoire de M est un cercle, (Γ), décrit d’unmouvement uni- forme.

Écrire, en fonction de t , l’équation de la tangente en M à (Γ).

2. On appelle transformé du point M(x ; y) appartenant à (Γ) le point M ′(X ; Y ) défini par les deux conditions suivantes :

a. OM ′ est perpendiculaire à la tangente en M à (Γ) ;

b. le produit scalaire −−−→ OM ·

−−−→ OM ′ est égal à 3.

Soit (C ) l’ensemble des points M ′. Établir que les coordonnées, X , Y , de M

vérifient le système suivant :

{

X (2+cos2t)+Y sin2t = 3, X sin2t Y cos2t = 0.

Former une équation cartésienne de (C ). Montrer que (C ) est une hyperbole.

3. Exprimer les coordonnées, X et Y , de M ′ en fonction de t . Déterminer un système de paramètres directeurs de la tangente en M ′ à (C ). Montrer que cette tangente est perpendiculaire à la droite OM en un point m ; vérifier que ce point m appartient au cercle (Γ).

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

4. On donne à t deux valeurs, t1 et t2, qui diffèrent de π

2 . Montrer que les points

correspondants, M1 et M2, sont diamétralement opposés sur (Γ) et que leurs transformés, M ′1 et M

′ 2, sont alignés avec O.

Soit P conjugué harmonique deO par rapport à M ′1 et M ′ 2, S l’intersection des

tangentes à (C ) en ces points.

Établir que, lorsque t1 et t2 varient, leur différence restant égale à π

2 , P et S se

déplacent sur la même droite fixe, (∆), qui est une droite remarquable pour la courbe (C ).

(On pourra utiliser la résultat établi à la question 3.

Aix-Marseille 2 juin 1969

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