Exercices de sciences mathématiques 3, Exercices de Méthodes Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S16 May 2014

Exercices de sciences mathématiques 3, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de sciences mathématiques sur les réel x de l'intervalle. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Formule de duplication du cosinus, Première application, Deuxième application.
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DEVOIR MAISON N°1

M. IBGUI Pour le 17 octobre 2005 1 S

O

A

B

R

O

A

B

DEVOIR MAISON N°3

Exercice 1

Déterminer trois réels a , b et c tels que, pour tout réel x de l'intervalle  0 ;  :

    2 2

1

11 1

a b c

x xx x x   

 

Exercice 2 : Formule de duplication du cosinus (méthode due au mathématicien grec Hipparque, IIe avant J-C.)

Dans la figure ci-dessous, le demi-cercle C de centre O et de diamètre  AB a pour rayon 1.

La mesure de l'angle COM est donnée en radian par le réel β dans l'intervalle 0 ; 2

     

.

1. Montrer que β = 2α puis que 0 ; 4

     

  .

2. Justifier les égalités suivantes :

cos AC

AM   ; cos

AM

AB   et 1 cos2AC    C

3.a. En déduire que 2 1 cos2

cos 2

    pour 0;

4

     

 .  

3.b. Exprimer 2sin  en fonction de cos2 .

4. Application :

Montrer que 2 2

cos 8 2

  ;

2 2 sin

8 2

  puis que * tan 2 1

8

   .

Exercice 3 aire A Question préliminaire :

Sachant que l'aire A d'un secteur circulaire est proportionnelle à l'angle 

au centre qui l'intercepte, monter que A 2 1

2 R  ,  en radians.

Première application :

1. On note L la longueur de l'arc AB et A l'aire du secteur circulaire .

Exprimer  en fonction de L et A .

2. On donne 3,6L cm et A 28,1 cm , calculer  puis convertir  en degrés à 0,1 degré près.

3. Déterminer le rayon du cercle.

Deuxième application : l'angle de mesure 2 rad possède quelques propriétés curieuses dont en voici une.

Le problème est le suivant : "parmi les secteurs circulaires de périmètre p donné, déterminer celui dont l'aire est

maximale ".

1. Avec les données de la figure ci-contre, la longueur de l'arc AB est 2L p x  .

En déduire que 0 ; 2

p x       

. 

2. Montrer que l'aire A  x du secteur circulaire est A     1

2 2

x x p x  . x

3. En déduire l'aire maximale et la valeur de  correspondante.

OA B

M

C

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