Exercices de sciences mathématiques 4, Exercices de Méthodes Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S16 May 2014

Exercices de sciences mathématiques 4, Exercices de Méthodes Mathématiques

PDF (203.3 KB)
2 pages
229Numéro de visites
Description
Exercices de sciences mathématiques sur l'intervalle. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les questions sont indépendantes, les coordonnées polaires des points, les angles de vecteurs.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document

M. IBGUI Pour le 3 novembre 2005 1 S3

Exercice 1 : les questions sont indépendantes

1. Montrer que, pour tout réel x différent de 2

k    , k , 2 2 2 2tan sin tan sinx x x x   .

2.a. Montrer que pour tout  de l'intervalle ; 2 2

      

, le réel sin 4 2

    

  est un réel positif (ou nul).

2.b. En déduire 1 sin

2

  sin

4 2

    

  . (Aide : ces deux réels étant positifs, cela revient à comparer leur carré.)

3.a. Démontrer que pour tout réel y , 3cos3 4 cos 3 cosy y y  . (On a exprimé cos3y en fonction de cos y .)

3.b. Exprimer sin3y en fonction de sin y .

3.c. En déduire que pour tout réel y , on a 5 3cos5 16 cos 20 cos 5 cosy y y y   .

Exercice 2

Dans le repère orthonormal ; ,O i j   

   

, unité graphique 2 cm, on donne les points A et B de coordonnées

cartésiennes :  3 ; 1A et  1 ; 3B  . 1. Déterminer les coordonnées polaires des points A et B . Placer alors ces points dans le repère.

2. Déterminer la mesure principale de l'angle ,OA OB       

. En déduire la nature du triangle OAB .

3. Déterminer les coordonnées polaires du point C tel que OACB soit un carré direct.

4. Déterminer les coordonnées cartésiennes du point C . (Aide : le quadrilatère OACB est un parallélogramme.)

5. En déduire les lignes trigonométriques de 5

12

π puis de

12

π .

Tournez la page SVP

Exercice 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct  

 

  jiO ,, . Unité graphique : 4 cm.

1.a. Placer sur le cercle trigonométrique C les points , , ,I A B C et D d'abscisses curvilignes respectives 0 ,

2

5

π ,

4

5

π ,

6

5

π et

8

5

π .

1.b. Vérifier que les angles de vecteurs ,OI OA       

, ,OA OB       

, ,OB OC       

et ,OC OD       

ont tous

pour mesure 2

5

π . Le polygone IABCD ainsi construit est un pentagonerégulier.

2. On pose u

OI OA OB OC OD     

    .

2.a. Déterminer les coordonnées des vecteurs OI 

, OA 

, OB 

, OC 

et OD 

dans la base ,i j       

.

2.b. En déduire que u

est colinéaire à OI 

. (Aide : deux réels opposés ont le même cosinus et des sinus opposés.)

2.c. Dans une autre base orthonormale judicieusement choisie, montrer u

est aussi colinéaire à OA 

.

2.d. En déduire que : 0u  

 puis que 2 4

1 2 cos 2 cos 0 5 5

     .

3.a. A l'aide de la question 2.d , montrer alors que 2

cos 5

 est solution de l’équation 24 2 1 0X X   puis

la résoudre.

3.b. En déduire 2

cos 5

puis

4 cos

5

 .

4. Questions subsidiaires :

4.a. Déterminer les lignes trigonométriques du réel 2

5

 .

4.b. En déduire les lignes trigonométriques des réels suivants : 3

5

 ;

7

5

 ;

10

 ;

9

10

 .

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome