Exercices de sciences mathématiques 4, Exercices de Méthodes Mathématiques

Exercices de sciences mathématiques 4, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de sciences mathématiques 4 sur les entiers relatifs. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les racines carrées du nombre complexe, la droite d’équation.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Montréal et New-York juin 1969 \

Déterminer les entiers relatifs n tels que l’entier

5N = n2−3n+6

soit divisible par 5.

EXERCICE 2

Calculer les racines carrées du nombre complexe

z = 1+4i p 5.

Préciser le module de ces racines et donner des valeurs approchées de leurs argu- ments.

EXERCICE 3

Le plan (P) est rapporté à un repère orthonormé xOy . On désigne par E l’ensemble des points de (P) n’appartenant pas à la droite Ox. Au point M de E, de coordonnées x et y , on fait correspondre le point M ′ de (P), de coordonnées x′ et y ′, obtenu de la manière suivante. M ′ est le point d’intersection de la droite perpendiculaire en O à OM et de la droite parallèle à Oy menée par M . Cette correspondance est une transformation ponc- tuelle, qu’on désigne par T .

1. Montrer que la restriction de T à l’ensemble des points de E d’abscisse non nulle est involutive et que

x′ = x2 et y ′ = −x2

y

2. Soit (∆) une droite parallèle à Oy . Quel est l’ensemble de points décrit par M

quand M décrit l’intersection de E et de T ?

Soit M ′′ le symétrique de M ′ par rapport à la droiteOx. Montrer que les cercles de diamètre M M ′′ restent orthogonaux à un cercle fixe et appartiennent à un faisceau, que l’on précisera.

3. Soit (D) une droite strictement parallèle à Ox.

Quelle est la transformée de (D) ?

Soit M un point de (D). On désigne par L le point défini par

−−−→ OM +

−−−→ OM ′ =

−−→ OL .

Montrer que L décrit une parabole, (P1), dont on précisera le foyer et la tan- gente au sommet. Écrire l’équationde la tangente en L à (P1) etmontrer qu’elle passe par M .

4. Soit m un paramètre réel et (κm ) la droite d’équation

y =−(mx +m +2).

Montrer que les droites (κm) passent par un point fixe.

Utiliser ce résultat et la transformation T pour montrer que les courbes (Γm) d’équation cartésienne

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

y = x2

mx +m +2

passent par deux points fixes, que l’on déterminera.

Dans le cas où m = 1, étudier les variations de y et tracer la courbe, (Γ1).

N. B. - Les questions 3 et 4 sont indépendantes.

Montréal et New-York 2 juin 1969

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