Exercices de sciences mathématiques 5, Exercices de Méthodes Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S16 May 2014

Exercices de sciences mathématiques 5, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de sciences mathématiques sur la fonction de la variable. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'étude d'une fonction rationnelle, l'étude d'une fonction irrationnelle.
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M. IBGUI Pour le 26 novembre 2005 1 S3

Exercice I :

Partie A : étude d'une fonction rationnelle

Soit f la fonction définie par   1

2

x f x

x

  

.

1. Vérifier que pour tout réel 2x   :   3

1 2

f x x

   

.

2. En déduire les variations de f sur chacun des intervalles où f est définie.

Partie B : étude d'une fonction irrationnelle

Soit h la fonction définie par   1 cos

2 cos

x h x

x

  

.

3. Vérifier que h est définie sur et que l'on peut réduire l'intervalle d'étude à  0 ;  . 4. Vérifier que h est la composée de deux fonctions dont l'une est f .

5. En déduire les variations de h sur  0 ;  puis dresser son tableau de variation sur l'intervalle  ;  .

6. Tracer la représentation graphique de h sur  2 ; 2  . Unité graphique : 1 cm .

On pourra faire un tableau de valeurs pour  4x  , 3 , 2 , 2 3 , 3 4 , 5 6 . 7. Résoudre graphiquement puis algébriquement l'équation   1h x  dans l'intervalle  2 ;2  .

Exercice II

Soit f la fonction de la variable  définie sur 0 ; 2

     

par   sin 2f  

Le but de cette partie est de justifier que la fonction f admet un maximum en une valeur 0 de l'intervalle

0 ; 2

     

et de préciser la valeur de ce maximum.

1. Justifier que f est la composée de deux fonctions de référence que l'on précisera.

2. Déterminer les variations de f sur 0 ; 2

     

puis dresser son tableau de variation.

3. En déduire que f admet un maximum en une valeur 0 que l'on précisera.

4. Construire la représentation de f dans un plan rapporté à un repère orthonormal.

Unité graphique : 4 cm .

Application :

Un rectangle ABCD est inscrit dans un demi-cercle de centre O

et de rayon R , de diamètre  IJ comme l'indique la figure ci-contre.

On note  désigne la mesure, en radians, de l'angle BOC et on suppose 

que   0 ; 2

     

.

5. Déterminer, en fonction de  et R , l'aire du rectangle ABCD , notée A   .

6. Déterminer  pour que l'aire du rectangle soit maximale. Que vaut alors cette aire ? 7. En déduire les dimensions du rectangle (en fonction de R ) et faire la figure correspondante.

O JI

C

Z

D

BA

A ne pas donner

x

y

o-6 -4 -2 2 4 6 8

-4

-2

2

4

O I

J

-

4

2

1

1O

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