Exercices de sciences mathématiques 6, Exercices de Méthodes Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S16 May 2014

Exercices de sciences mathématiques 6, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de sciences mathématiques sur les égalités vectorielles. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer les coordonnées des points, Retrouver l'égalité vectorielle, Ranger les méthodes suivant l'or...
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DEVOIR MAISON N°1

M. IBGUI

1 S pour le lundi 2 janvier 2006

DEVOIR MAISON N°6

Problème 1

Soit ABC un triangle.

On définit les points M , N et P par les égalités vectorielles suivantes :

2

5 AM AB  

 2 0NA CN   

  1

2 PC BC  

  .

Le but de cet exercice est de démontrer que les points M , N et P sont alignés à l'aide de trois méthodes qui

utilisent les résultats de la partie A.

Partie A

Exprimer M comme barycentre des points A et B , N comme barycentre des points A et C puis P comme

barycentre des points B et C .

Méthode 1 :

On considère les points 2

1 A

, 1

4 B

et 3

2 C dans le plan P muni d'un repère ; ,

       O i j .

1. Faire une figure. 2. Déterminer les coordonnées des points M , N et P puis placer ces points.

3. Conclure.

Méthode 2 :

4. Exprimer les vecteurs MN 

et MP 

en fonction des vecteurs AB 

et AC 

.

5. Déterminer le réel k tel que MN MPk  

 puis conclure.

Méthode 3 :

6. En utilisant l'associativité du barycentre, montrer que les points M , N et P sont alignés.

7. Retrouver l'égalité vectorielle de la question 5.

Partie B

Ranger les méthodes suivant l'ordre croissant de leur efficacité.

Problème 2 : Centre du cercle inscrit

Soit ABC un triangle. On note BC a , CA b et AB c .

Le but de cet exercice est de démontrer que le centre I du cercle inscrit au triangle ABC est le barycentre des

sommets de ce triangle affectés de coefficients à déterminer.

1. Rappeler la définition du point I et la propriété caractéristique des points d'une bissectrice.

Comme l'indique la figure ci-dessous :

 on note 'A le pied de la bissectrice de l'angle géométrique BAC ;

 on note d la distance du point 'A aux côtés  AC et  AB ;  on note h la longueur de la hauteur issue de A .

2.a. Exprimer de deux façons différentes les aires des triangles 'AA B et 'AA C .

2.b. En déduire que '

'

A B c

A C b

3. Prouver que 'A est le barycentre des points pondérés  ,B b et  ,C c .

4. On note 'B et 'C les pieds des bissectrices de ABC et ACB .

Exprimer 'B comme barycentre de A et C d'une part et 'C comme barycentre de A et B d'autre part.

5. Démontrer que le point I est le barycentre du système       , , , , ,A a B b C c

Rappel :

 Si MP MN  

 alors MP MN

 Réciproquement Soit k un réel strictement positif et M , N et P alignés.

Si MP k MN alors MP k MN  

 si les vecteurs MN 

et MP 

ont le même sens

alors MP k MN  

  si les vecteurs MN 

et MP 

sont de sens contraires

A

B CA'K a

b c

d

h

BC:5.6 AB:3AC:4.8

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