Exercices de sciences mathématiques 7, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de sciences mathématiques 7 sur le corps des complexes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les nombres complexes non nuls, le système.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C & E Antilles juin 1969 \

EXERCICE 1

Soit, dans le corps des complexes,

j=− 1

2 + i

p 3

2 , k =−

1

2 − i

p 3

2 .

1. Placer leurs images dans le plan complexe et démontrer que :

a. les racines de l’équation x3−1= 0 sont 1, j, k.

b. k = j2 et j= k2.

2. Montrer que l’ensemble E = {1, , k} est un sous-groupe du groupemultiplicatif des nombres complexes non nuls.

EXERCICE 2

Résoudre, dans le corps des réels, l’équation

4x −3×2x+2−26 = 0.

EXERCICE 3

Partie A

Le plan est rapporté au système d’axes quelconques xOx et y O y . On étudie la transformation plane T définie par le système

M(x ; y) 7−→ M ′(X ; Y ),

{

X = x y, Y = 2x y.

3.1 Montrer que T est une bijection et admet un point invariant.

2. S étant la symétrie de centre 0, I la transformation identique et ’G-I la trans- formation réciproque de T , montrer que

T −1 =T ◦S = S ◦T .

Montrer que T ,T 2 =T ◦T ,T 3 =T ◦T ◦T et T 4 =T ◦T ◦T ◦T forment un groupe commutatif pour la loi de composition des transformations planes ; établir la table de cette loi.

3. Étudier la transformée par T d’une droite (D) d’équation ax +by +c = 0. Vérifier qu’il n’existe aucune droite parallèle à sa transformée.

Quelles sont les transformées de droites parallèles aux axes de coordonnées ?

4. On pose :

X = tgβ et y

x = tgα.

Calculer Y

X en fonction de α. Étudier et représenter les variations de la fonc-

tion f :

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

α∈ ]

π

2 ; +

π

2

[

, f (α)= Y

X .

Représenter les variations de la fonction dans un repère à axes perpendicu- laires.

5. Soit l’ensemble (H) des points M(x ; y), d’équation

(x −2)(y −1)= 1.

Construire (H). Trouver l’équation du transformé de (H).

Par un changement de repère, ramener cette équation à XY1 = 1 et construire le transformé.

Partie B

Le plan est maintenant rapporté à un système d’axes orthonormé.

1. La transformationT est-elle une isométrie ? Trouver l’ensemble des points M du plan tels que OM = OM ′.

Trouver l’ensemble des points M du plan tels que les directions OM et OM

soient perpendiculaires.

2. Étudier la courbe transformée du cercle de centre O et de rayon R = p 5.

(On pourra considérer une équation explicite

Y = A [

X ± √

B X 2 ]

).

N. B. - Les questions sont indépendantes les unes des autres.

Antilles 2 juin 1969

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