Exercices de sciences mathématiques 8, Exercices de Méthodes Mathématiques

Exercices de sciences mathématiques 8, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de sciences mathématiques 8 sur le graphe de la fonction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le centre et les axes de la conique d'équation, les constantes.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat Khmer 1 juin 1969 \

EXERCICE 1

1er sujet

Construire, dans un repère orthonormé, le graphe de la fonction

y = 2sin2 x−2sin x−1.

2e sujet

Déterminer, dans un repère orthonormé, les foyers, le centre et les axes de la conique d’équation

9x2−4y2−18x−16y −43 = 0.

3e sujet

Déterminer les progressions géométriques de sept termes (à termes réels) telles que la somme des trois premiers termes est égale à 2 et la somme des trois derniers termes est égale à 1250.

EXERCICE 2

On considère l’application qui, à tout nombre complexe z différent de−1, associe le nombre Z défini par

Z = z2+5z 6

z+1 (z 6= −1).

1. Déterminer les constantes a et b telles que

Z = z+a+ b

z+1 .

2. On suppose que z décrit le corps des réels (sauf la valeur −1).

a. Étudier les variations de la fonction qui, à tout z, fait correspondre Z . Représenter le graphe, (H), de cette fonction par rapport à un repère or- thonormé (Oz, OZ ).

b. Soit C le point de rencontre des asymptotes de (H), −→ ı le vecteur uni-

taire de Oz, −→ I le vecteur unitaire de OZ ,

−→ le vecteur unitaire défini par

(

−→ ı ,

−→ ı

)

=+2dans le plan zOZ .

Exprimer le vecteur −→ ı en fonction de

−→ et

−→ I .

SiM est un point de (H), exprimer le vecteur −−→ CM sous la forme

−−→ CM =u

−→ +

−→ ı ,

u et v sont des fonctions de z, que l’on demande de déterminer.

En déduire que (H) est une hyperbole, dont on demande de calculer la distance focale.

1. Le programme de ce baccalauréat et la nature des épreuves ne sont pas les mêmes que ceux du baccalauréat français.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. On suppose que z décrit le corps des complexes (sauf la valeur−1) et l’on pose

z = x+ iy,Z = X + iY .

a. Déterminer X et Y en fonction de x et y .

b. Au nombre complexe z on associe son image, P (x ; y), dans le plan com- plexe. Quel est l’ensemble des points P tels que Z soit réel ?

Donner alors, suivant les cas trouvés, l’expression de Z en fonction de la seule abscisse, x, du point P .

4. On suppose que z décrit le corps des rationnels sauf la valeur −1.

a. Démontrer que, si Z est entier, z est nécessairement entier (on prendra z sous forme d’une fraction irréductible).

b. Déterminer tous les entiers z tels que Z soit entier. (Il s’agit, dans les deux dernières questions, d’entiers relatifs.)

Poitiers 2 juin 1969

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