Exercices de sciences mathématiques 9, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de sciences mathématiques 9 sur le plan complexe muni d’un repère. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: lamesure de l’angle, la fonction réciproque, la relation algébrique.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Besançon juin 1969 \

EXERCICE 1

On considère, dans le plan complexe muni d’un repère (

O, −→ u ,

−→ v

)

orthonormé, le

pointM image du nombre z. Soit M ′ le symétrique deM par rapport à la bissectrice

de l’angle (−−→ Ou ,

−−→ Ov

)

et M ′′ le symétrique deM ′ par rapport au support de −−→ Ov .

Posant z = a+ ib, calculer en fonction de a et b les affixes, z ′ et z ′′, des points M ′ et

M ′′, puis le rapport z ′′

z ′ .

En déduire la mesure de l’angle (−−−→ OM ′ ,

−−−−→ OM ′′

)

et la valeur du rapport OM ′′

OM ′ .

Pouvait-on prévoir géométriquement ces résultats ?

EXERCICE 2

1. Étudier le sens de variation de la fonction, f , de la variable réelle x définie par

x 7−→ f (x)= y = 1

p 1− x2

.

sur l’intervalle 0 6 x 6

p 3

2 . Tracer la courbe représentative dans un repère

orthonormé.

2. Démontrer que la fonction f admet une fonction réciproque, x = g (y). Posant X = y et Y = x, tracer sur la même figure qu’au 1. la courbe représen- tative de la fonction

X 7−→ g (X )= Y .

PROBLÈME

Partie A

1. Par rapport à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, d’axes −−−→ x′Ox et

−−−→ y ′Oy , ondonne

le cercle (C ) d’équation

x2+ y2− x = 0

et la droite (D) d’équation

x = 1,

qui coupe Ox en A.

M désignant un point de (C), distinct de O, la droite OM coupe (D) en I . On appelle P le symétrique deM par rapport à I et l’on pose

(−−→ Ox ,

−−−→ OM

)

= θ (mod2π).

Calculer OP en fonction de θ et les coordonnées, x et y , de P en fonction de tgθ = t . Former une relation algébrique entre x et y , indépendante de t .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. Étudier le sens de variation de la fonction, f , de la variable réelle x définie par la relation

x 7−→ f (x)= y = x

1− x x−2

pour 16 x < 2.

Tracer sa courbe représentative dans le repère Ox, Oy . Préciser la tangente au point d’abscisse x = 1. En déduire l’ensemble des points P lorsque M varie sur (C ).

3. Une inversion de pôle O et de puissance 1 transforme M enM ′ et P en P ′.

Démontrer que M ′ et P ′ sont conjugués par rapport au cercle (C ) et que les droites AP ′ (lorsque P ′ et A sont distincts) et OI sont des droites conjuguées par rapport au cercle (C ).

Établir que le produit des coefficients directeurs des droitesOI et AP ′ est constant lorsque M varie sur (C ). En déduire l’équation de l’ensemble des points P ′ et construire cet ensemble. Reconnaître que cet ensemble appartient à une el- lipse, dont on donnera les coordonnées des sommets et des foyers.

Partie B

1. On donne, par rapport au repère de la partie A, la droite (∆) d’équation

y =mx+p, avec p 6= 0.

À tout point variable, M , de (∆), d’abscisse x telle que x(x−2) 6= 0, on associe le point P aligné avec O et M de façon que le milieu, I , du segment MP ait pour abscisse 1.

Former l’équation de la courbe (Γ), support des points P associés aux points M de (∆).

2. Trouver l’équation de cette courbe dans le repère (

ω, −→ ı1 ,

−→ 1

)

, ω étant le point

de coordonnées (2 ; 2mp ), −→ ı1 et

−→ 1 étant les vecteurs

−→ ı1 =

−→ ı +m

−→ ,

−→ 1 =

−→ .

Reconnaître alors la courbe (Γ).

Besançon 2 juin 1969

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