Exercices de spécialité en algorithmique, Exercices de Algorithme fondamentaux. Université Bordeaux I
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Exercices de spécialité en algorithmique, Exercices de Algorithme fondamentaux. Université Bordeaux I

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Exercices de spécialité en algorithmique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Justifier l’inégalité, Prouver que la suite (un) est convergente.
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[ Baccalauréat S Algorithmes \ Index des exercices contenant un algorithme de juin 2012

Tapuscrit : DENIS VERGÈS

No Lieu et date

1 Polynésie juin 2012

2 Métropole juin 2012

3 Centres étrangers juin 2012

4 Asie juin 2012

5 Antilles–Guyane 2012

6 Antilles–Guyane (spécialité) 2012

7 Libanmai 2012

8 Amérique du Nord mai 2012

9 Pondichéry avril 2012

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1 Polynésie juin 2012

Partie A

On considère l’algorithme suivant : Les variables sont le réelU et les entiers naturels k et N .

Entrée

Saisir le nombre entier naturel non nul N .

Traitement

Affecter àU la valeur 0 Pour k allant de 0 à N −1

Affecter àU la valeur 3U −2k +3 Fin pour

Sortie

AfficherU

Quel est l’affichage en sortie lorsque N = 3 ?

Partie B

On considère la suite (un) définie par u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 3un −2n +3.

1. Calculer u1 et u2. 2. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un > n.

2. En déduire la limite de la suite (un).

3. Démontrer que la suite (un) est croissante. 4. Soit la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn = un n +1.

1. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique.

2. En déduire que, pour tout entier naturel n, un = 3n +n −1.

5. Soit p un entier naturel non nul. 1. Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier n0 tel que, pour tout n > n0, un >

10p ?

On s’intéresse maintenant au plus petit entier n0.

2. Justifier que n0 6 3p.

3. Déterminer à l’aide de la calculatrice cet entier n0 pour la valeur p = 3.

4. Proposer un algorithmequi, pour une valeur de p donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier n0 tel que, pour tout n >n0 , on ait un > 10p .

Exercices de spécialité 2

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2 Métropole juin 2012

Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B.

Partie A

On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par

f (x)= 1

x +1 + ln

( x

x +1

)

.

1. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.

2. Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [1 ; +∞[, f ′(x)= 1

x(x +1)2 .

Dresser le tableau de variation de la fonction f .

3. En déduire le signe de la fonction f sur l’intervalle [1 ; +∞[.

Partie B

Soit (un) la suite définie pour tout entier strictement positif par

un = 1+ 1

2 + 1

3 + . . .+

1

n − lnn.

1. On considère l’algorithme suivant :

Variables : i et n sont des entiers naturels. u est un réel.

Entrée : Demander à l’utilisateur la valeur de n.

Initialisation : Affecter à u la valeur 0. Traitement : Pour i variant de 1 à n.

Affecter àu la valeuru + 1

i Sortie : Afficher u.

Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l’utilisateur entre la valeur n = 3.

2. Recopier et compléter l’algorithme précédent afin qu’il affiche la valeur de un lorsque l’utilisateur entre la valeur de n.

3. Voici les résultats fournis par l’algorithmemodifié, arrondis à 10−3.

n 4 5 6 7 8 9 10 100 1 000 1 500 2 000 un 0,697 0,674 0,658 0,647 0,638 0,632 0,626 0,582 0,578 0,578 0,577

À l’aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite (un) et son éventuelle convergence.

Partie C

Cette partie peut être traitée indépendamment de la partie B. Elle permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite (un) telle que pour tout entier strictement positif n,

un = 1+ 1

2 + 1

3 + . . .+

1

n − lnn.

Exercices de spécialité 3

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. Démontrer que pour tout entier strictement positif n,

un+1−un = f (n)

f est la fonction définie dans la partie A.

En déduire le sens de variation de la suite (un).

2. 1. Soit k un entier strictement positif.

Justifier l’inégalité ∫k+1

k

(

1

k

1

x

)

dx > 0.

En déduire que ∫k+1

k

1

x dx 6

1

k .

Démontrer l’inégalité ln(k +1)− lnk 6 1

k (1).

2. Écrire l’inégalité (1) en remplaçant successivement k par 1, 2, . . . , n et démontrer que pour tout entier strictement positif n,

ln(n +1)6 1+ 1

2 + 1

3 + . . .+

1

n .

3. En déduire que pour tout entier strictement positif n,un > 0.

3. Prouver que la suite (un) est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite.

Exercices de spécialité 4

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3 Centres étrangers juin 2012

On considère la suite (In) définie pour n entier naturel non nul par :

In = ∫1

0 xnex

2 dx.

1. 1. Soit g la fonction définie par g (x)= xex2 . Démontrer que la fonction G définie sur R par G(x) =

1

2 ex

2 est une primitive sur R de la

fonction g .

2. En déduire la valeur de I1.

3. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n, supérieur ou égal à 1, on a :

In+2 = 1

2 e−

n +1

2 In .

4. Calculer I3 et I5.

2. On considère l’algorithme suivant :

Initialisation Affecter à n la valeur 1

Affecter à u la valeur 1

2 e−

1

2 Tant que n < 21

Affecter à u la valeur 1

2 e−

n +1

2 u

Affecter à n la valeur n +2 Sortie Afficher u

Quel terme de la suite (In) ontient-on en sortie de cet algorithme ?

3. 1. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, In > 0. 2. Montrer que la suite (In) est décroissante.

3. En déduire que la suite (In) est convergente. On note sa limite.

4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Déterminer la valeur de .

Exercices de spécialité 5

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

4 Asie juin 2012

1. On considère l’algorithme suivant :

Saisir un réel strictement positif non nul a Entrée Saisir un réel strictemenl positif non nul b (b >

a) Saisir un entier naturel non nul N Affecter à u la valeur a

Initialisation Affecter à v la valeur b Affecter à n la valeur 0 TANTQUE n < N

Affecter à n la valeur n +1

Affecter à u la valeur a+b

2

Traitement Affecter à v la valeur

a2+b2

2 Affecter à a la valeur u Affecter à b la valeur v

Sortie Afficher u, afficher v

Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour a = 4,b = 9et N = 2. Les valeurs successives de u et v seront arrondies au millième.

n a b u v

0 4 9 1 2

Dans la suite, a et b sont deux réels tels que 0< a < b.

On considère les suites (un) et (vn) définies par :

u 0 = a,v0 = b et, pour tout entier naturel n :

un+1 = un +vn

2 et vn+1 =

u2n +v 2 n

2

2. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : un > 0 et vn > 0.

2. Démontrer que, pour tout entier naturel n : v2n+1−u 2 n+1 =

(un vn 2

)2 .

En déduire que, pour tout entier naturel n, on a un 6 vn .

3. 1. Démontrer que la suite (un) est croissante. 2. Comparer v2n+1 et v

2 n . En déduire le sens de variation de la suite (vn).

4. Démontrer que les suites (un) et (vn) sont convergentes.

Exercices de spécialité 6

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

5 Antilles-Guyane juin 2012

Les cinq questions sont indépendantes.

1. Dans un lycée donné, on sait que 55% des élèves sont des filles. On sait également que 35% des filles et 30% des garçons déjeunent à la cantine.

On choisit, au hasard, un élève du lycée.

Quelle est la probabilité que cet élève ne déjeune pas à la cantine ?

2. Une urne contient 10 jetons numérotés de 1 à 10, indiscernables au toucher. On tire 3 jetons si- multanément.

Combien de tirages différents peut-on faire contenant au moins un jeton à numéro pair ? 3.

3. Une variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres 20 et 1

5 .

Calculer la probabilitéque Y soit supérieure ou égale à 2. Donner une valeur approchée du résultat à 10−3.

4. Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts. On appelle A l’évènement « l’appareil présente un défaut d’apparence » et F l’évènement « l’appa- reil présente un défaut de fonctionnement ».

On suppose que les évènements A et F sont indépendants.

On sait que la probabilité que l’appareil présente un défaut d’apparence est égale à 0,02 et que la probabilité que l’appareil présente au moins l’un des deux défauts est égale à 0,069.

On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l’appareil présente le défaut F ?

5. On considère l’algorithme :

A et C sont des entiers naturels, C prend la valeur 0 Répéter 9 fois

A prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 7. Si A > 5 alors C prend la valeur de C + 1 Fin Si

Fin répéter Afficher C.

Dans l’expérience aléatoire simulée par l’algorithme précédent, on appelle X la variable aléatoire prenant la valeur C affichée.

Quelle loi suit la variable X ? Préciser ses paramètres.

Exercices de spécialité 7

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

6 Antilles-Guyane (spécialité) juin 2012

Les quatre questions sont indépendantes.

1. 1. Vérifier que le couple (4 ; 6) est une solution de l’équation

(E) 11x −5y = 14.

2. Déterminer tous les couples d’entiers relatifs (x ; y) vérifiant l’équation (E).

2. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel n,

23n ≡ 1 (mod 7).

2. Déterminer le reste de la division euclidienne de 20112012 par 7.

3. On se place dans le plan complexe. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que :

z ′ = 3

2 (1− i)z +4−2i.

4.

5. On considère l’algorithme suivant où Ent (

A

N

)

désigne la partie entière de A

N .

A et N sont des entiers naturels Saisir A N prend la valeur 1 Tant que N6

p A

Si A

N −Ent

(

A

N

)

= 0 alors Afficher N et A

N Fin si

N prend la valeur N + 1 Fin Tant que.

Quels résultats affiche cet algorithme pour A = 12 ?

Que donne cet algorithme dans le cas général ?

Exercices de spécialité 8

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

7 Pondichéry avril 2012

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n’est constaté. À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage. Ces désignations de 5 coureurs à l’issue de chacune des étapes sont indépendantes. Un même coureur peut donc être contrôlé à l’issue de plusieurs étapes.

1. À l’issue de chaque étape, combien peut-on former de groupes différents de 5 coureurs ? 2. On considère l’algorithme ci-dessous dans lequel :

– « rand(1, 50) » permet d’obtenir un nombre entier aléatoire appartenant à l’intervalle [1 ; 50] – l’écriture « x := y » désigne l’affectation d’une valeur y à une variable x.

Variables a,b,c,d ,e sont des variables du type entier Initialisation a := 0 ; b := 0 ; c := 0 ; d := 0 ; e := 0 Traitement Tant que (a = b) ou (a = c) ou (a = d) ou (a = e) ou (b = c) ou (b = d) ou (b = e)

ou (c = d) ou (c = e) ou (d = e) Début du tant que

a := rand(1, 50) ; b := rand(1, 50) ; c := rand(1, 50) ; d := rand(1, 50) ; e := rand(1, 50)

Fin du tant que Sortie Afficher a,b,c,d ,e

1. Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme :

L1 = {2 ; 11 ; 44 ; 2 ; 15};L2 = {8,17,41,34,6};

L3 = {12,17,23,17,50};L4= {45,19,43,21,18} ?

2. Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste ?

3. À l’issue d’une étape, on choisit au hasard un coureur parmi les 50 participants. Établir que la probabilité pour qu’il subisse le contrôle prévu pour cette étape est égale à 0,1.

4. On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par un coureur sur l’ensemble des 10 étapes de la course.

1. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ? Préciser ses paramètres.

2. On choisit au hasard un coureur à l’arrivée de la course. Calculer, sous forme décimale ar- rondie au dix-millième, les probabilités des évènements suivants :

– il a été contrôlé 5 fois exactement ; – il n’a pas été contrôlé ; – il a été contrôlé au moins une fois.

Partie B

Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera

prise en compte dans l’évaluation.

On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

Pour un coureur choisi au hasard dans l’ensemble des 50 coureurs, on appelle T l’évènement : « le contrôle est positif », et d’après des statistiques, on admet que P (T )= 0,05. On appelle D l’évènement : « le coureur est dopé ». Le contrôle anti-dopage n’étant pas fiable à 100%, on sait que :

Exercices de spécialité 9

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

– si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97% des cas ; – si un coureur n’est pas dopé, le contrôle est positif dans 1% des cas.

1. Calculer P (D). 2. Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilité qu’il ne soit pas dopé ?

Exercices de spécialité 10

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

8 Polynésie juin 2012

Exercices de spécialité 11

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

9 Polynésie juin 2012

Exercices de spécialité 12

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