Exercices de spécialité en géométrie 3, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Exercices de spécialité en géométrie 3, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercices de spécialité géométrie 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Placer le point M sur la figure, la similitude directe qui transforme A en C et B en D.
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! Baccalauréat S Spécialité " Index des exercices de spécialité de septembre 1999 à juin 2012

Tapuscrit : DENIS VERGÈS

No Lieu et date Arithmé- tique

Espace Surfaces

Transfor- mations

1 Polynésie juin 2012 × 2 Métropole juin 2012 × 3 Centres étrangers juin 2012 × × 4 Asie juin 2012 × 5 Antilles–Guyane 2012 × × 6 Liban mai 2012 × 7 Amérique du Nord mai 2012 × 8 Pondichéry avril 2012 × 9 Amérique du Sud novembre 2011 × ×

10 Nouvelle-Calédonie novembre 2011 × × 11 Métropole septembre 2011 × × 12 Antilles-Guyane septembre 2011 × × 13 Polynésie juin 2011 × 14 Métropole juin 2011 × 15 La Réunion juin 2012 × × 16 Centres étrangers juin 2011 × × × 17 Asie juin 2011 × × 18 Antilles–Guyane 2011 × 19 Liban mai 2011 × 20 Amérique du Nord mai 2011 × 21 Pondichéry avril 2011 × 22 Amérique du Sud novembre 2010 × 23 Nouvelle-Calédonie novembre 2010 × 24 La Réunion septembre 2010 × 25 Métropole septembre 2010 × 26 Polynésie juin 2010 × 27 La Réunion juin 2010 × 28 Métropole juin 2010 × 29 Centres étrangers juin 2010 × 30 Asie juin 2010 × 31 Antilles-Guyane juin 2010 × 32 Amérique du Nord juin 2010 × × 33 Liban juin 2010 × × 34 Pondichéry avril 2010 × × 35 Nouvelle Calédonie novembre 2009 × 36 Amérique du Sud novembre 2009 × 37 Antilles-Guyane septembre 2009 × × 38 Polynésie septembre 2009 ×

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

No Lieu et date Arithmé- tique

Espace Surfaces

Transfor- mations

39 Métropole septembre 2009 × 40 Amérique du Nord juin 2009 × 41 Liban juin 2009 × 42 Polynésie juin 2009 × 43 Centres étrangers juin 2009 × × 44 Asie juin 2009 × 45 Métropole juin 2009 × 46 Antilles - Guyane juin 2009 × × 47 La Réunion juin 2009 × × 48 Pondichéry avril 2009 × × 49 Nouvelle–Calédonie décembre 2008 × 50 Amérique du Sud novembre 2008 × 51 Métropole La Réunion septembre 2008 × × 52 Antilles–Guyane septembre 2008 × × 53 Polynésie juin 2008 × × × 54 La Réunion juin 2008 × × 55 Métropole juin 2008 × × 56 Centres étrangers juin 2008 × 57 Asie juin 2008 × 58 Antilles-Guyane juin 2008 × 59 Amérique du Nord mai 2008 × × 60 Liban mai 2008 × × × 61 Pondichéry avril 2008 × 62 Nouvelle-Calédonie mars 2008 × 63 Nouvelle-Calédonie décembre 2007 × 64 Amérique du Sud novembre 2007 × 65 Métropole-La Réunion septembre 2007 × 66 Antilles-Guyane septembre 2007 × 67 Polynésie juin 2007 × 68 La Réunion juin 2007 × 69 Métropole juin 2007 × 70 Centres étrangers juin 2007 × 71 Asie juin 2007 × 72 Antilles-Guyane juin 2007 × 73 Amérique du Nord juin 2007 × 74 Liban juin 2007 × × 75 Pondichéry avril 2007 × 76 Nlle-Calédonie mars 2007 × 77 Nlle-Calédonie novembre 2006 × 78 Amérique du Sud novembre 2006 × 79 Métropole septembre 2006 × 80 Polynésie juin 2006 ×

Exercices de spécialité 2

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

No Lieu et date Arithmé- tique

Espace Surfaces

Transfor- mations

81 La Réunion juin 2006 × 82 Métropole juin 2006 × 83 Centres étrangers juin 2006 × 84 Asie juin 2006 × 85 Antilles-Guyane juin 2006 × 86 Amérique du Nord juin 2006 × 87 Pondichéry avril 2006 × 88 Nlle-Calédonie novembre 2005 × × 89 Amérique du Sud novembre 2005 × 90 Métropole septembre 2005 × × 91 Amérique du Nord juin 2005 × 92 Antilles-Guyane juin 2005 × 93 Asie juin 2005 × 94 Centres étrangers juin 2005 × 95 Métropole juin 2005 × 96 La Réunion juin 2005 × 97 Liban juin 2005 × 98 Polynésie juin 2005 × 99 Pondichéry juin 2005 ×

100 Nlle-Calédonie nov. 2004 × 101 Amérique du Sud nov. 2004 × 102 Antilles septembre 2004 × × 103 Métropole septembre 2004 × 104 Polynésie septembre 2004 × 105 Amérique du Nord mai 2004 × 106 Antilles-Guyane juin 2004 × 107 Asie juin 2004 × 108 Centres étrangers juin 2004 × 109 Métropole juin 2004 × 110 Liban juin 2004 × 111 Polynésie juin 2004 × 112 Pondichéry avril 2004 × 113 La Réunion juin 2004 × 114 Amérique du Sud nov. 2003 × 115 Nouvelle Calédonie nov. 2003 × 116 Antilles–Guyane sept. 2003 × 117 Métropole septembre 2003 × 118 Polynésie septembre 2003 × 119 Amérique du Nord juin 2003 × 120 Antilles-Guyane juin 2003 × 121 Asie juin 2003 × 122 Centres étrangers juin 2003 ×

Exercices de spécialité 3

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

No Lieu et date Arithmé- tique

Espace Surfaces

Transfor- mations

123 Métropole juin 2003 × × 124 La Réunion juin 2003 × 125 Liban juin 2003 × 126 Polynésie juin 2003 × 127 Pondichéry juin 2003 × 128 Amérique du Sud déc. 2002 × 129 Nouvelle Calédonie nov. 2002 × 130 Antilles-Guyane sept. 2002 × 131 Métropole septembre 2002 × 132 Amérique du Nord juin 2002 × 133 Antilles-Guyane juin 2002 × 134 Asie juin 2002 × 135 Centres étrangers juin 2002 × 136 Métropole juin 2002 × 137 La Réunion juin 2002 × 138 Polynésie juin 2002 × 139 Pondichéry juin 2002 × 140 Nouvelle Calédonie déc. 2001 × 141 Amérique du Sud déc. 2001 × 142 Antilles-Guyane sept. 2001 × 143 Métropole septembre 2001 × 144 Polynésie septembre 2001 × 145 Amérique du Nord juin 2001 × 146 Antilles-Guyane juin 2001 × 147 Asie juin 2001 × 148 Centres étrangers juin 2001 × 149 Métropole juin 2001 × 150 Liban juin 2001 × 151 Polynésie juin 2001 × 152 Pondichéry juin 2001 × 153 Nouvelle-Calédonie déc. 2000 × 154 Amérique du Sud nov. 2000 × 155 Métropole septembre 2000 × 156 Polynésie septembre 2000 × 157 Amérique du Nord juin 2000 × 158 Antilles-Guyane juin 2000 × × 159 Asie juin 2000 × 160 Centres étrangers juin 2000 × 161 Métropole juin 2000 × 162 La Réunion juin 2000 × 163 Liban juin 2000 × × 164 Polynésie juin 2000 ×

Exercices de spécialité 4

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

# Livret réalisé grâce à Cocoa booklet. Merci à son auteur Fabien Cornus. $ http ://www.iconus.ch/fabien/cocoabooklet/

Exercices de spécialité 181

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

170 Sportifs de haut–niveau septembre 1999 Retour au tableau

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) . (unité graphique : 1 cm) .

1. On note A, B et C les points d’affixes respectives 2i, -1 + 4i et 5 + 2i. On considère la translation t de vecteur

−−→ BC , la symétrie S d’axe (AB) et la transformation f = t◦ S.

On désigne par A′ et B′ les images respectives de A et B par f .

Calculer les affixes de A′ et B′ et placer les points A, B, C, A′ et B′ sur une figure.

2. On rappelle que l’écriture complexe d’un antidéplacement est de la forme z ′ = az +b a et b sont deux nombres complexes et |a| = 1. À tout point M d’affixe z, f associe le point M ′ d’affixe z ′.

Justifier que f est un antidéplacement et démontrer que :

z ′ = −3−4i

5 z +

38−6i 5

.

3. Déterminer l’ensemble des points invariants par f . La transformation f est-elle une symétrie ? 4. On appelle D le point d’affixe 3 + 6i, ∆ la médiatrice de [BD] et S′ la symétrie d’axe ∆.

1. Montrer que les droites ∆ et (AB) sont parallèles. Déterminer S ◦ S′.

2. Montrer que f ◦S′ est la translation, notée t ′, de vecteur −−→ DC . En déduire que f = t ′ ◦S′.

Exercices de spécialité 180

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

No Lieu et date Arithmé- tique

Espace Surfaces

Transfor- mations

165 Pondichéry juin 2000 × 166 Nlle-Calédonie déc. 1999 × 167 Amérique du Sud nov. 1999 × 168 Antilles-Guyane sept. 1999 × 169 Métropole sept. 1999 × 170 Sportifs haut-niveau sept. 1999 ×

Exercices de spécialité 5

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1 Polynésie juin 2012

Partie A

On considère l’équation (E) : 25x −108y = 1 où x et y sont des entiers relatifs.

1. Vérifier que le couple (13 ; 3) est solution de cette équation. 2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).

Partie B

Dans cette partie, a désigne un entier naturel et les nombres c et g sont des entiers naturels vérifiant la relation 25g −108c = 1. On rappelle le petit théorème de Fermat : Si p est un nombre premier et a un entier non divisible par p, alors ap−1 est congru à 1 modulo p que l’on note ap−1 ≡ 1 [p].

1. Soit x un entier naturel. Démontrer que si x a [7] et x a [19], alors x a [133].

2. 1. On suppose que a n’est pas un multiple de 7. Démontrer que a6 ≡ 1 [7] puis que a108 ≡ 1 [7]. En déduire que

( a25

)g a [7]. 2. On suppose que a est un multiple de 7.

Démontrer que ( a25

)g a [7]. 3. On admet que pour tout entier naturel a,

( a25

)g a [19]. Démontrer que

( a25

)g a [133].

Partie C

On note A l’ensemble des entiers naturels a tels que : 1! a ! 26. Un message, constitué d’entiers appartenant à A, est codé puis décodé. La phase de codage consiste à associer, à chaque entier a de A, l’entier r tel que a25 ≡ r [133] avec 0! r < 133. La phase de décodage consiste à associer à r , l’entier r1 tel que r 13 ≡ r1 [133] avec 0! r1 < 133.

1. Justifier que r1 ≡ a [133]. 2. Un message codé conduit à la suite des deux entiers suivants : 128 59.

Décoder ce message.

Exercices de spécialité 6

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

169 Métropole septembre 1999 Retour au tableau

Soit le repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v )

du plan complexe. Les points A, B et C sont définis par leurs affixes respectives :

zA = 3− i '

3 ; zB = 3+ i '

3 ; zC = 2+ '

3+3i.

1. Faire la figure en choisissant pour unité graphique 2 cm. (On placera l’origine sur la gauche de la feuille).

2. Prouver que OAB est un triangle équilatéral direct. Soit G le centre de gravité du triangle OAB. Déterminer l’affixe zG de G. Dans la suite de l’exercice, on étudie deux isométries transformant [OA] en [GC].

3. Soit a et b deux nombres complexes et R l’application qui au point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que z ′ = az +b.

1. Déterminer a et b pour que R(O) = G et R(A) = C.

2. Prouver que R est une rotation dont on déterminera le centre et l’angle.

3. Prouver que les droites (OA) et (GC) sont perpendiculaires. Que peut-on dire des points G, B et C ?

4. Construire, en justifiant la construction, l’image du triangle OAB par R.

4. Soit a′ et b′ deux nombres complexes et f l’application qui au point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que z ′ = az +b′.

1. Déterminer a′ et b′ pour que f (O) = G et f (A) = C.

2. Soit I le milieu du segment [OG]. Déterminer le point f (I). f est-elle une réflexion ?

3. Construire en justifiant la construction, l’image du triangle OAB par f .

Exercices de spécialité 179

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

168 Antilles–Guyane septembre 1999 Retour au tableau

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

On donne le point A(6 ; 0) et le point A′(0 ; 2). À tout point M de l’axe des abscisses différent de A on associe le point M ′ tel que :

AM = A′M ′ et (−−→ AM ,

−−−→ A′M

) =

π

2 mod 2π.

On admet l’existence et l’unicité de M ′. On réalisera une figure avec, pour unité graphique 0,5 cm et pour cette figure, on prendra −4 pour abs- cisse de M .

1. Soit M un point de l’axe des abscisses différent de A. 1. Placer le point M ′ sur la figure.

2. Pour cette question on pourra donner une démonstration purement géométrique ou utiliser les nombres complexes. Démontrer qu’il existe une unique rotation, dont on précisera le centre, noté I et l’angle, qui transforme A en A′ et M en M ′.

Placer I sur la figure.

3. Démontrer que la médiatrice de [M M ′] passe par I.

2. On veut déterminer et construire les couples de points (M , M ′) vérifiant la condition supplémen- taire M M ′ = 20.

1. Calculer IM et démontrer qu’il existe deux couples solutions : (M1, M ′1) et (M2, M ′ 2).

2. Placer ces quatre points sur la figure.

Exercices de spécialité 178

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2 Métropole juin 2012

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives

zA =−1+ i, zB = 2i et zC = 1+3i.

et D la droite d’équation y = x +2.

1. Prouver que les points A, B et C appartiennent à la droite D. Sur une figure que l’on fera sur la copie en prenant 2 cm pour unité graphique, placer les points A, B, C et tracer la droite D.

2. Résoudre l’équation (1+ i)z +3− i = 0 et vérifier que la solution de cette équation est l’affixe d’un point qui n’appartient pas à la droite D.

Dans la suite de l’exercice, on appelle f l’application qui, à tout point M d’affixe z différente de

−1+2i, fait correspondre le point M ′ d’affixe 1

(1+ i)z +3− i .

Le but de l’exercice est de déterminer l’image par f de la droite D.

3. Soit g la transformation du plan qui, à tout point M d’affixe z, fait correspondre le point M1 d’affixe (1+ i)z +3− i.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation g .

2. Calculer les affixes des points A1, B1 et C1, images respectives par g des points A, B et C.

3. Déterminer l’image D1 de la droite D par la transformation g et la tracer sur la figure.

4. Soit h l’application qui, à tout point M d’affixe z non nulle, fait correspondre le point M2 d’affixe 1 z

.

1. Déterminer les affixes des points h (A1) , h (B1) et h (A1) et placer ces points sur la figure.

2. Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul z, on a :

∣∣∣∣ 1 z

1 2

∣∣∣∣= 1 2

⇐⇒ |z −2| = |z|.

3. En déduire que l’image par h de la droite D1 est incluse dans un cercle C dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.

4. Démontrer que tout point du cercle C qui est distinct de O est l’image par h d’un point de la droite D1.

5. Déterminer l’image par l’application f de la droite D.

Exercices de spécialité 7

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3 Centres étrangers juin 2012

Les cinq questions sont indépendantes. Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. Toute trace de recherche sera valorisée.

1. On considère l’équation (E) : 3x −2y = 1, où x et y sont des entiers relatifs.

Affirmation : les solutions de l’équation (E) sont les couples (9+2k ; 13+3k), avec k appartenant à l’ensemble Z des entiers relatifs.

2. Soit n un entier naturel. On considère les deux entiers a et b définis par :

a = 3n +1 et b = 2n +3.

Affirmation : le PGCD de a et b est égal à 7 si et seulement si n est congru à 2 modulo 7.

3. Soit n un entier naturel. On considère les deux entiers a et b définis par :

a = 2n2 +7n +21 et b = 2n +2.

Affirmation : pour tout entier naturel n, le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b sont respectivement égaux à n +2 et n +17.

4. Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct, on considère le point A d’affixe 3+4i. On note s la similitude directe s de centre A, de rapport

' 2 et d’angle

π

4 .

Affirmation : la similitude directe réciproque s−1 a pour écriture complexe :

z ′ = 1− i

2 z +

−1+7i 2

.

5. Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct, on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives a = 1+2i, b = 4− i, c = 1−2

' 3+ i(3+

' 3) et d = 4+

' 3+4i

' 3.

Affirmation : la similitude directe qui transforme A en C et B en D a pour angle π

3 .

Exercices de spécialité 8

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

167 Amérique du Sud novembre 1999 Retour au tableau

On considère l’équation

(1) : 20b −9c = 2.

où les inconnues b et c appartiennent à l’ensemble Z des nombres entiers relatifs.

1. 1. Montrer que si le couple (b0 ; c0 d’entiers relatifs est une solution de l’équation (1), alors c0 est un multiple de 2.

2. On désigne par d le p.g.c.d. de |b0| et |c0|. Quelles sont les valeurs possibles de d ?

2. Déterminer une solution particulière de l’équation (1), puis déterminer l’ensemble des solutions de cette équation.

3. Déterminer l’ensemble des solutions (b ; c) de (1) telles que p.g.c.d.(b ; c) = 2. 4. Soit r un nombre entier naturel supérieur ou égal à 2.

Le nombre entier naturel P , déterminé par P =αnr n+αn−1r n−1+...+α1r+α0, oùαn, αn−1, ...,α1, α0 sont des nombres entiers naturels vérifiant 0 < αn < r, 0 ! αn−1 < r, ..., 0 !, α0 < r est noté αnαn−1 . . .α1α0

(r ) ; cette écriture est dite « écriture de P en base r ». Soit P un nombre entier naturel

s’écrivant ca5 (6)

et bbaa (4)

(en base sixet en base quatre respectivement).

Montrer que a+5 est un multiple de 4 et en déduire les valeurs de a, puis de b et de c. Donner l’écriture de P dans le système décimal.

Exercices de spécialité 177

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

166 Nouvelle–Calédonie décembre 1999 Retour au tableau

Soit n un entier naturel non nul, on considère les entiers suivants : N = 9n +1 et M = 9n −1.

1. On suppose que n est un entier pair. On pose n = 2p, avec p entier naturel non nul. 1. Montrer que M et N sont des entiers impairs.

2. En remarquant que N = M +2, déterminer le PGCD de M et N .

2. On suppose que n est un entier impair. On pose n = 2p +1 , avec p entier naturel. 1. Montrer que M et N sont des entiers pairs.

2. En remarquant que N = M +2, déterminer le PGCD de M et N .

3. Pour tout entier naturel non nul n, on considère l’entier 81n2−1. 1. Exprimer l’entier 81n2−1 en fonction des entiers M et N .

2. Démontrer que si n est pair alors 81n −1 est impair.

3. Démontrer que 81n2 −1 est divisible par 4 si et seulement si n est impair.

Exercices de spécialité 176

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

4 Asie juin 2012

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Partie A - Détermination d’une similitude directe

On considère les points A et B d’affixes respectives :

zA =− 1 2 + i

' 3

2 et zB =−

' 3+ i.

1. 1. Ecrire les nombres complexes zA et zB sous forme exponentielle. 2. Placer les points A et B dans le repère. On prendra 1 cm comme unité graphique.

2. 1. Déterminer l’écriture complexe de la similitude directe f de centre 0 qui transforme le point A en B.

2. Préciser les éléments caractéristiques dc la similitude f .

Partie B. Étude d’une transformation

Le but de cette partie est d’étudier la transformation g = s f , où f désigne la similitude définie dans la partie A et s la réflexion d’axe

( O ;

−→ u ) .

1. Soit M un point quelconque du plan. On désigne par M ′ l’image du point M par la transformation g . On note z et z ′ les affixes respectives des points M et M ′, et z celle du conjugué de z.

1. Démontrer l’égalité : z ′ = 2e−i π 6 z.

2. On pose C = g (A) et D = g (C). Calculer les affixes respectives des points C et D, puis placer les points C et D sur la figure.

3. Quelle est la nature du triangle OAC ?

4. Démontrer que les vecteurs −−→ OA et

−−→ OD sont colinéaires.

2. Dans cette question, toute trace de recherche ou d’initiative, même non aboutie, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer la nature de la transformation g g et préciser ses éléments géométriques.

Exercices de spécialité 9

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

5 Antilles-Guyane juin 2012

Les quatre questions sont indépendantes.

1. 1. Vérifier que le couple (4 ; 6) est une solution de l’équation

(E) 11x −5y = 14.

2. Déterminer tous les couples d’entiers relatifs (x ; y) vérifiant l’équation (E).

2. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel n,

23n ≡ 1 (mod 7).

2. Déterminer le reste de la division euclidienne de 2 0112012 par 7.

3. On se place dans le plan complexe. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que :

z ′ = 3 2

(1− i)z +4−2i.

4. On considère l’algorithme suivant où Ent (

A N

) désigne la partie entière de

A N

.

A et N sont des entiers naturels Saisir A N prend la valeur 1 Tant que N !

' A

Si A N

−Ent (

A N

) = 0 alors Afficher N et

A N

Fin si N prend la valeur N + 1 Fin Tant que.

Quels résultats affiche cet algorithme pour A = 12 ?

Que donne cet algorithme dans le cas général ?

Exercices de spécialité 10

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

165 Pondichéry juin 2000 Retour au tableau

Dans tout l’exercice, n désigne un entier naturel non nul.

1. 1. Pour 1! n ! 6, calculer les restes de la division euclidienne de 3n par 7. 2. Démontrer que, pour tout n, 3n+6 −3n est divisible par 7.

En déduire que 3n et 3n+6 ont le même reste dans la division par 7.

3. À l’aide des résultats précédents, calculer le reste de la division euclidienne de 31000 par 7.

4. De manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division euclidienne de 3n par 7, pour n quelconque ?

5. En déduire que, pour tout entier naturel n,3n est premier avec 7.

2. Soit Un = 1+3+32 +·· ·+3n−1 = i=n−1∑

i=0 3i , où n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.

1. Montrer que si Un est divisible par 7, alors 3n −1 est divisible par 7.

2. Réciproquement, montrer que si 3n − 1 est divisible par 7, alors Un est divisible par 7. En déduire les valeurs de n telles que Un soit divisible par 7.

Exercices de spécialité 175

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

164 Polynésie juin 2000 Retour au tableau

1. On cherche deux entiers relatifs x et y solutions de l’équation (1) ax + by = 60 (a et b entiers naturels donnés tels que ab *= 0). On notera d le plus grand commun diviseur de a et b.

1. On suppose que l’équation (1) a au moins une solution (x0 ; y0). Montrer que d divise 60.

2. On suppose que d divise 60. Prouver qu’il existe alors au moins une solution (x0 ; y0) à l’équa- tion (1).

2. On considère l’équation : (2) 24x +36y = 60. (x et y entiers relatifs). 1. Donner le PGCD de 24 et 36 en justifiant brièvement. Simplifier l’équation (2).

2. Trouver une solution évidente pour l’équation (2) et résoudre cette équation. On appellera S l’ensemble des couples (x ; y) solutions.

3. Énumérer tous les couples (x ; y) solutions de (2) et tels que :

−10! x ! 10.

Donner parmi eux, ceux pour lesquels x et y sont multiples de 5.

4. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm), représenter l’en- semble E des points M de coordonnées (x ; y) telles que :

{ x = 1+3t y = 1−2t

t ∈R.

5. Montrer que les points ayant pour coordonnées les solutions (x ; y) de l’équation (2) appar- tiennent à E . Comment peut-on caractériser S ?

Exercices de spécialité 174

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

6 Liban mai 2012

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On note zn la suite de nombres complexes, de terme initiale z0 = 0, et telle que :

zn+1 = 1+ i

2 zn +1, pour tout entier naturel n.

Pour tout entier naturel n, on note An le point d’affixe zn .

1. Calculer les affixes des points A1, A2 et A3. Placer ces points dans le plan muni du repère (O ; "u ; "v). 2. 1. Montrer que le point An+1 est l’image du point An par une similitude directe s, dont on défi-

nira le rapport, l’angle et le centre Ω, d’affixe ω.

2. Démontrer que le triangle ΩAn An+1 est isocèle rectangle.

3. 1. Établir que, pour tout entier naturel n, on a : ΩAn = ('

2 2

)n−1 .

2. À partir de quelle valeur de n les points An sont-ils situés àă l’intérieur du disque de centre Ω et de rayon 0,001 ?

4. Pour tout entier naturel n, on note an la longueur An An+1 et Ln la somme n

k=0 ak .

Ln est ainsi la longueur de la ligne polygonale A0 A1 · · ·An An+1. Déterminer la limite de Ln quand n tend vers +∞.

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points An , Ω et An+4 sont alignés.

Exercices de spécialité 11

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

7 Amérique du Nord mai 2012

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Soit S la transformation du plan qui, à tout M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = 5iz +6i+4.

Partie A

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristique de la transformation S. 2. On note x et x′, y et y ′ les parties réelles et imaginaires respectives de z et z ′.

Démontrer que : { x′ =−5y +4

y ′ = 5x +6

Partie B Dans cette partie, on se place dans le cas où les coordonnées x et y du point M sont des entiers relatifs tels que −3! x ! 5 et −3! x ! 5. On note E l’ensemble de ces points M . On rappelle que les cordonnées (x′ ; y ′) du point M ′, image du point M par la transformation S, sont x′ =−5y +4 et y ′ = 5x +6.

1. 1. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs (a ; b) tels que 4a+3b = 5. 2. En déduire l’ensemble des points M de E de coordonnées (x ; y) tels que −3x′+4y ′ = 37.

2. Soit M un point de l’ensemble E et M ′ son image par la transformation S. 1. Démontrer que x′+ y ′ est un multiple de 5.

2. Démontrer que x′ − y ′ et x′+ y ′ sont congrus modulo 2. En déduire que si x′2 − y ′2 est multiple de 2 alors x′ − y ′ et x′+ y ′ le sont également.

3. Déterminer l’ensemble des points M de C tels que : x′2 − y ′2 = 20.

Exercices de spécialité 12

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

163 Liban juin 2000 Retour au tableau

1. Le plan (P ) est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Soit A et B dans ce plan d’affixes respectives a = 1+ i ; b =− 4− i . Soit f la transformation du plan

(P ) qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que −−−→ OM ′ = 2

−−→ AM +

−−→ BM .

1. Exprimer z ′ en fonction de z.

2. Montrer que f admet un seul point invariant Ω dont on donnera l’affixe. En déduire que f est une homothétie dont on précisera le centre et le rapport.

2. On se place dans le cas où les coordonnées x et y de M sont des entiers naturels avec 1 ! x ! 8 et 1! y ! 8. Les coordonnées (x′ ; y ′) de M ′ sont alors : x′ = 3x +2 et y ′ = 3y −1.

1. On appelle G et H les ensembles des valeurs prises respectivement par x′ et y ′. Écrire la liste des éléments de G et H .

2. Montrer que x′ − y ′ est un multiple de 3.

3. Montrer que la somme et la différence de deux entiers quelconques ont même parité. On se propose de déterminer tous les couples (x′ ; y ′) de G×H tels que m = x′2−y ′2 soit un multiple non nul de 60.

4. Montrer que dans ces conditions, le nombre x′ − y ′ est un multiple de 6. Le nombre x′ − y

peut-il être un multiple de 30 ?

5. En déduire que, si x′2 − y ′2 est un multiple non nul de 60, x′+ y ′ est multiple de 10 et utiliser cette condition pour trouver tous les couples (x′ ; y ′) qui conviennent. En déduire les couples (x ; y) correspondant aux couples (x′ ; y ′) trouvés.

Exercices de spécialité 173

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

162 La Réunion juin 2000 Retour au tableau

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 5, on considère les nombres

a = n3 −n2 −12n et b = 2n2 −7n −4.

1. Montrer, après factorisation, que a et b sont des entiers naturels divisibles par n −4. 2. On pose α= 2n +1 et β= n +3. On note d le PGCD de α et β.

1. Établir une relation entre α et β indépendante de n.

2. Démontrer que d est un diviseur de 5.

3. Démontrer que les nombres α et β sont multiples de 5 si et seulement si n−2 est multiple de 5.

3. Montrer que 2n +1 et n sont premiers entre eux. 4. 1. Déterminer, suivant les valeurs de n et en fonction de n, le PGCD de a et b.

2. Vérifier les résultats obtenus dans les cas particuliers n = 11 et n = 12.

Exercices de spécialité 172

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

8 Pondichéry avril 2012

Partie A Restitution organisée de connaissance

Soit a,b,c,d des entiers relatifs et n un entier naturel non nul. Montrer que si a b (mod n) et c d (mod n) alors ac bd (mod n).

Partie B Inverse de 23 modulo 26

On considère l’équation

(E ) : 23x −26y = 1,

x et y désignent deux entiers relatifs.

1. Vérifier que le couple (−9 ; −8) est solution de l’équation (E ). 2. Résoudre alors l’équation (E ). 3. En déduire un entier a tel que 0! a ! 25 et 23a ≡ 1 (mod 26).

Partie C Chiffrement de Hill

On veut coder un mot de deux lettres selon la procédure suivante :

Étape 1 Chaque lettre du mot est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous :

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

On obtient un couple d’entiers (x1 ; x2) où x1 correspond à la première lettre du mot et x2 correspond à la deuxième lettre du mot. Étape 2 (x1 ; x2) est transformé en

( y1 ; y2

) tel que :

(S1) {

y1 ≡ 11x1 +3x2 (mod 26) y2 ≡ 7x1 +4x2 (mod 26)

avec 0! y1 ! 25 et 0! y2 ! 25.

Étape 3 ( y1 ; y2

) est transformé en un mot de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance

donné dans l’étape 1.

Exemple : TE︸︷︷︸ mot en clair

étape1 =⇒ (19,4)

étape 2 =⇒ (13,19)

étape 3 =⇒ NT︸︷︷︸

mot codé

1. Coder le mot ST. 2. On veut maintenant déterminer la procédure de décodage :

1. Montrer que tout couple (x1 ; x2) vérifiant les équations du système (S1), vérifie les équations du système :

(S2) {

23x1 ≡ 4y1 +23y2 (mod 26) 23x2 ≡ 19y1 +11y2 (mod 26)

2. À l’aide de la partie B, montrer que tout couple (x1 ; x2) vérifiant les équations du système (S2), vérifie les équations du système

(S3) {

x1 ≡ 16y1 + y2 (mod 26) x2 ≡ 11y1 +5y2 (mod 26)

3. Montrer que tout couple (x1 ; x2) vérifiant les équations du système (S3), vérifie les équations du système (S1)

4. Décoder le mot YJ.

Exercices de spécialité 13

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

9 Amérique du Sud novembre 2011

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Proposition 1 : « Le reste de la division euclidienne de 2 0112011 par 7 est 2 ».

• Soit a et b deux nombres entiers relatifs non nuls. Proposition 2 : « S’il existe un couple de nombres entiers relatifs (u, v) tel que ua + vb = 3, alors PGCD(a, b) = 3 ».

• Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 5. Proposition 3 : « L’entier n2 −3n −10 n’est jamais un nombre premier ». L’espace est rapporté à un repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

• On considère le cône Γ d’équation x2 + y2 = 5z2. Soit A le point de coordonnées (−2 ; −1 ; γ). Proposition 4 : « Il existe un unique réel γ tel que le point A appartient au cône Γ ».

• On coupe le cône Γ d’équation x2 + y2 = 5z2 par le plan Pa d’équation x = a a ∈R. Proposition 5 : « Cette intersection peut être la réunion de deux droites ».

Exercices de spécialité 14

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

161 Métropole juin 2000 Retour au tableau

Dans le plan orienté, on considère deux points A et B et le point E tel que −→ AE =

3 4 −→ AB .

Pour la figure, on prendra comme unité de longueur le centimètre et AB = 16. Cette figure sera complétée au fur et à mesure. Soit un point C , distinct de A, tel que

(−−→ AB ;

−−→ AC

) =

π

4 .

La droite parallèle à (BC ) passant par E coupe la droite (AC ) en F . On appelle I le milieu de [BC ], J le milieu de [EF ] et D le point d’intersection des droites (EC ) et (BF ). On note hA l’homothétie de centre A qui transforme B en E et hD l’homothétie de centre D qui trans- forme E en C .

1. Déterminer hA(C ) puis hD (F ). 2. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de hD hA puis de hA ◦hD . 3. On appelle E’ l’image de E par hA et E ′′ l’image de E’ par hD . Représenter E’, puis construire E ′′ en

justifiant la construction.

4. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de hD hA ◦hA ◦hD . 5. Montrer que le quadrilatère BEC E ′′ est un parallélogramme. 6. On appelle (∆) l’ensemble des points M tels que

(−→ AB ;

−−→ AM

) =

π

4 . (∆) est donc une demi-droite

ouverte d’origine A.

Pour la suite, les points A, B, E sont fixes et le point C décrit (∆).

Déterminer et construire le lieu géométrique (∆)′′ du point E ′′.

Exercices de spécialité 171

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

160 Centres étrangers juin 2000 Retour au tableau

Dans le plan orienté, on considère un losange ABCD tel que AB = BC = CD = DA = 5 et ( −→ AB ,

−−→ AD ) =

π

3 .

On désigne par I, J, K, L et O les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD], [DA] et [BD]. On note (∆) la médiatrice de [AB] et (∆′) la médiatrice de [CD].

1. Soit f l’isométrie du plan définie par f (A) = B, f (B) = D, f (D) = C. 1. Prouver que f est un antidéplacement.

2. Démontrer que s’il existe un point M invariant par f , alors M est équidistant des points A, B, C, D.

3. L’isométrie f admet-elle un point invariant ?

2. Soit σ la symétrie orthogonale d’axe (∆) et r la rotation de centre B et d’angle − π 3

.

1. Démontrer que f = r σ.

2. A-t-on f =σr ?

3. Soit s1, la symétrie orthogonale d’axe (BC). 1. Déterminer l’axe de la symétrie orthogonale s2, telle que r = s2 ◦ s1.

2. En déduire que f peut s’écrire sous la forme f = s1 ◦ t1, , où t1 est une translation que l’on précisera.

4. Soit t2 la translation de vecteur 1 2 −−→ AD ; on note t− 12 sa réciproque et on pose g = t

− 1 2 ◦ f .

1. Déterminer g (D), g (I), g (O). En déduire la nature précise de la transformation g .

2. Démontrer que f = t2 ◦ g . A-t-on f = g t2 ?

Exercices de spécialité 170

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

10 Nouvelle Calédonie novembre 2011

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère la surface S d’équation : x2 + y2 − z2 = 4.

1. 1. Montrer que si le point M(x ; y ; z) appartient à S alors le point M ′(−x ; −y ; −z) appartient aussi à S. Que peut-on en déduire ?

2. Montrer que la surface S est symétrique par rapport au plan (xOy). On admet de même que la surface S est symétrique par rapport aux plans (xOz) et (yOz).

2. 1. Déterminer la nature géométrique de la section de la surface S par le plan (xOy). Préciser ses éléments caractéristiques.

2. Soit k un réel non nul. Déterminer la nature géométrique de la section de la surface S par le plan d’équation z = k. Préciser ses éléments caractéristiques.

3. Déterminer la nature géométrique de la section de la surface S par le plan d’équation y = 2. 4. On considère les points A(2'2 ; 0 ; 2) et B(0 ; 2'2 ; −2).

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

2. La droite (AB) est-elle contenue dans la surface S ?

5. Identifier parmi les trois figures proposées en annexe 2 celle qui représente la surface S. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la figure et justifiera la réponse.

6. Soit H la section de la surface S par le plan P d’équation y = 5. 1. Montrer qu’un point M(x ; y ; z) appartient à H si et seulement si

(x z)(x + z) =−21 et y = 5.

2. En déduire les coordonnées des points de H dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

Exercices de spécialité 15

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

11 Métropole septembre 2011

Le plan est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On note A et B les points de coordonnées respectives (1 ; 0) et (6 ; 1). Pour tout point M de coordonnées (x ; y), on note M ′ l’image du point M par la symétrie orthogonale d’axe (AB) et

( x′ ; y

) ses coordonnées.

1. 1. Justifier l’existence de deux nombres complexes a et b tels que, pour tout point M d’affixe z, l’affixe z ′ du point M ′ est donnée par

z ′ = az +b.

2. En utilisant les points A et B, démontrer que {

1 = a+b 6+ i = a(6− i)+b

3. En déduire que, pour tout nombre complexe z :

z ′ = 1

13 (12+5i)z +

1 13

(1−5i).

4. Établir que, pour tout point M de coordonnées (x ; y), les coordonnées ( x′ ; y

) du point M

sont telles que :

x′ = 1

13 (12x +5y +1) et y ′ =

1 13

(5x −12y −5).

2. On désigne par E l’ensemble des points M dont les coordonnées (x ; y) sont des entiers relatifs et tels que le point M ′ associé appartienne à l’axe des abscisses.

1. Justifier que M(x ; y) appartient à E si et seulement si 5(x −1)= 12y .

2. En déduire que E est l’ensemble des points de coordonnées (1+12k ; 5k) où k est un entier relatif.

3. Dans cette question, on suppose que les coordonnées de M sont des entiers relatifs et que l’abs- cisse de M ′ est un entier relatif.

1. Démontrer que x ≡ 5y +1 [13].

2. En déduire que 5x −12y −5≡ 0 [13] et que l’ordonnée de M ′ est un entier relatif.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer les points M de la droite d’équation x = 2 tels que les coordonnées du point M ′ soient des entiers relatifs.

On pourra montrer que l’ordonnée y d’un tel point est un entier relatif et utiliser des congruences modulo 13.

Exercices de spécialité 16

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

159 Asie juin 2000 Retour au tableau

1. Déterminer PGCD(2 688 ; 3 024). 2. Dans cette question, x et y sont deux entiers relatifs.

1. Montrer que les équations (1) et (2) sont équivalentes (1) 2 688x +3 024y = −3 360 ;(2) 8x + 9y =− 10.

2. Vérifier que (1 ; − 2) est une solution particulière de l’équation (2).

3. Déduire de ce qui précède les solutions de (2).

3. Soit ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

un repère orthonormal de l’espace. On considère les plans (P) et (Q) d’équa- tions respectives

x +2y z =−2 et 3x y +5z = 0.

1. Montrer que (P) et (Q) se coupent suivant une droite (D).

2. Montrer que les coordonnées des points de (D) vérifient l’équation (2).

3. En déduire l’ensemble E des points de (D) dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

Exercices de spécialité 169

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

158 Antilles–Guyane juin 2000 Retour au tableau

Les points A0 = O ; A1 ; . . . ; A20 sont les sommets d’un polygone régulier de centre A, à 21 côtés, de sens direct. Les points B0 = O ; B1 ; B14 sont les sommets d’un polygone régulier de centre B, à 15 côtés, de sens direct. Soit rA la rotation de centre A et d’angle

2π 21

et rB la rotation de centre B et d’angle 2π 15

.

On définit la suite (Mn) de points par : – M0 est l’un des points A0, A1, A2, . . . , A20 ; – pour tout entier naturel n, Mn+1 = rA(Mn). On définit la suite (Pn) de points par : – P0 est l’un des points B0, B1, B2, . . . , B14 – pour tout entier naturel n, Pn+1 = rB(Pn).

Le but de l’exercice est de déterminer, pour deux cas particuliers, l’ensemble S des entiers naturels n vérifiant :

Mn = Pn = O.

1. Dans cette question, M0 = P0 = O. 1. Indiquer la position du point M2000 et celle du point P2000.

2. Déterminer le plus petit entier naturel n non nul tel que Mn = Pn = O. En déduire l’ensemble S.

2. Dans cette question, M0 = A19 et P0 = B10. On considère l’équation (E ) : 7x −5y = 1 avec x ∈ Z et y ∈Z.

1. Déterminer une solution particulière (a ; b) de (E ).

2. Déterminer l’ensemble des solutions de (E ).

3. En déduire l’ensemble S des entiers naturels n vérifiant Mn = Pn =O.

Exercices de spécialité 168

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

12 Antilles-Guyane septembre 2011

L’espace est muni d’un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère l’ensemble P des points M(x ; y ; z) de l’espace tels que :

z = x2 + y2.

Les trois questions sont indépendantes.

1. 1. Montrer que l’intersection de l’ensemble P et du plan d’équation z = 5 est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

2. Déterminer la nature de l’intersection de l’ensemble P et du plan d’équation y = 1.

2. On considère la sphère S de centre O et de rayon '6. 1. Donner une équation de la sphère S.

2. Montrer que l’intersection de la sphère S et de l’ensemble P est un cercle.

3. Le but de cette question est de déterminer les points M(x ; y ; z) de l’ensemble P , dont les coor- données sont des entiers relatifs, appartenant au plan d’équation −3x +2y = 1 et vérifiant z ! 25.

1. Donner un couple d’entiers relatifs solution de l’équation (E) : −3x +2y = 1.

2. Déterminer l’ensemble des couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation (E). Dé- terminer les points de l’ensemble P dont les coordonnées (x ; y ; z) sont des entiers relatifs vérifiant :

−3x +2y = 1 et z ! 25.

Exercices de spécialité 17

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

13 Polynésie juin 2011

On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de Fermat : Si p est un nombre premier et a est un entier naturel non divisible par p, alors ap−1 ≡ 1 (modulop).

On considère la suite (un) d’entiers naturels définie par :

u0 = 1 et, pour tout entier natureln,un+1 = 10un +21.

1. Calculer u1, u2 et u3. 2. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,

3un = 10n+1 −7.

2. En déduire, pour tout entier naturel n, l’ écriture décimale de un

3. Montrer que u2 est un nombre premier. On se propose maintenant d’étudier la divisibilité des termes de la suite (un) par certains nombres premiers.

4. Démontrer que, pour tout entier naturel n, un n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5. 5. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 3un ≡ 4− (−1)n (modulo11).

2. En déduire que, pour tout entier naturel n, un n’est pas divisible par 11.

6. 1. Démontrer l’égalité : 1016 ≡ 1(modulo17). 2. En déduire que, pour tout entier naturel k, u16k+8 est divisible par 17.

Exercices de spécialité 18

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

157 Amérique du Nord juin 2000 Retour au tableau

Dans le plan orienté, on considère un triangle direct OAB, rectangle et isocèle en O.

On a donc ( −−→ OA ,

−−→ OB ) =

π

2 [2π]. On note RA et RB les rotations de centres respectifs A et B et de même

angle π

2 et SO la symétrie de centre O.

On place un point C, non situé sur la droite (AB) , on trace les carrés BE DC et ACFG directs. On a donc

( −−→ BE ,

−−→ BC ) =

π

2 [2π] et (

−−→ AC ,

−−→ AG ) =

π

2 [2π].

1. 1. Déterminer S(AO) ◦S(AB) composée des réflexions d’axes (AB) et (AO). 2. En écrivant RB sous la forme d’une composée de deux réflexions, démontrer que RA◦RB = SO.

2. 1. Déterminer l’image de E par RA ◦RB. 2. En déduire que O est le milieu du segment [EG].

3. On note RF et RD les rotations de centres respectifs F et D et de même angle. Étudier l’image de C par la transformation RF SO ◦RD . Déterminer la transformation RF ◦SO ◦RD .

4. Placer H le symétrique de D par rapport à O. Démontrer que RF (H) = D. Démontrer que le triangle F OD est rectangle et isocèle en O.

Exercices de spécialité 167

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

156 Polynésie septembre 2000 Retour au tableau

Sur la figure ci-dessous, ABCD est un rectangle de sens direct, AEFB et ADGH sont des carrés de sens direct.

1. Le but de cette première question est de démontrer que les droites (AC), (EG) et (FH) sont concou- rantes. Pour cela on note I le point d’intersection des droites (EG) et (FH) et on introduit : • l’homothétie h1 de centre I qui transforme G en E. • l’homothétie h2 de centre I qui transforme F en H.

1. Déterminer l’image de la droite (CG) par l’ho- mothétie h1 puis par la composée h2 ◦h1.

2. Déterminer l’image de la droite (CG) par la composée h1 ◦h2.

3. Justifier l’égalité :

h2 ◦h1 = h1 ◦h2.

En déduire que la droite (AC) passe aussi par le point I.

G

D

C

H

A

B

E

F

2. On se propose ici de démontrer que la médiane issue du sommet A du triangle AEH est une hau- teur du triangle ABD. On note O le milieu du segment [EH].

1. Exprimer le vecteur −−→ AO en fonction des vecteurs

−→ AE et

−−→ AH .

2. Exprimer le vecteur −−→ BD en fonction des vecteurs

−→ AB et

−−→ AD .

3. Calculer le produit scalaire −−→ AO .

−−→ BD et conclure.

3. Dans cette question, on étudie la similitude directe S qui transforme A en B et D en A. On pose AB = 1 et AD = k (k > 0).

1. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude S.

2. Déterminer l’image de la droite (BD), puis l’image de la droite (AO), par cette similitude S.

3. En déduire que le point d’intersection Ω des droites (BD) et (AO) est le centre de la similitude S.

Exercices de spécialité 166

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

14 Métropole juin 2011

PARTIE A - Restitution organisée de connaissances

On rappelle ci-dessous le théorème de BÉZOUT et le théorème de GAUSS. Théorème de BÉZOUT : Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement si, il existe un couple (u ; v) d’entiers relatifs vérifiant au +bv = 1.

Théorème de GAUSS : Soient a, b, c des entiers relatifs. Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c.

1. En utilisant le théorème de BÉZOUT, démontrer le théorème de GAUSS. 2. Soient p et q deux entiers naturels tels que p et q sont premiers entre eux.

Déduire du théorème de GAUSS que, si a est un entier relatif, tel que a ≡ 0 [p] et a ≡ 0 [q], alors a ≡ 0 [pq].

PARTIE B

On se propose de déterminer l’ensemble S des entiers relatifs n vérifiant le système :

{ n ≡ 9 [17] n ≡ 3 [5]

1. Recherche d’un élément de S . On désigne par (u ; v) un couple d’entiers relatifs tel que 17u +5v = 1.

1. Justifier l’existence d’un tel couple (u ; v).

2. On pose n0 = 3×17u +9×5v . Démontrer que n0 appartient à S .

3. Donner un exemple d’entier n0 appartenant à S .

2. Caractérisation des éléments de S . 1. Soit n un entier relatif appartenant à S .

Démontrer que n n0 ≡ 0 [85].

2. En déduire qu’un entier relatif n appartient à S si et seulement si il peut s’écrire sous la forme n = 43+85k k est un entier relatif.

3. Application Zoé sait qu’elle a entre 300 et 400 jetons.

Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9.

Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3.

Combien a-t-elle de jetons ?

Exercices de spécialité 19

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

15 La Réunion juin 2011

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v )

; unité graphique : 8 centimètres.

On considère la transformation f du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que

z ′ =

' 2

4 (−1+ i)z.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f . 2. On définit la suite de points (Mn) de la façon suivante : M0 est le point d’affixe z0 = 1 et, pour tout

nombre entier naturel n, Mn+1 = f (Mn). On note zn l’affixe du point Mn .

1. Justifier que, pour tout nombre entier naturel n, zn = (

1 2

)n ei ( 3

4

)

2. Construire les points M0, M1, M2, M3 et M4.

3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative meme non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soient n et p deux entiers naturels. À quelle condition sur n et p les points Mn et Mp sont-ils alignés avec l’origine O du repère ?

Exercices de spécialité 20

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

155 Métropole septembre 2000 Retour au tableau

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) . L’unité graphique est 4 cm.

On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives a, b, c et d telles que :

a = 1, b = ei π 3 , c =

3 2 +

' 3

2 i, d =

' 3

2 e−i

π 6 .

1. 1. Donner la forme exponentielle de c et la forme algébrique de d . 2. Représenter les points A, B, C et D.

3. Montrer que le quadrilatère OACB est un losange.

2. Montrer que les points D, A et C sont alignés. 3. Déterminer l’angle θ et le rapport k de la similitude directe s de centre O qui transforme A en C. 4. On note F et G les images par la similitude directe s des points D et C respectivement. Montrer que

les points F, C et G sont alignés.

5. Déterminer l’affixe f du point F. 6. On considère la transformationϕ qui à tout point M , d’affixe Z , associe le point M ′ d’affixe Z ′ telle

que :

Z ′ = ei 2π 3 Z +

3 2 + i

' 3

2 .

Pour toute droite δ du plan, on notera σδ la symétrie orthogonale d’axe δ.

1. Soit r la transformation qui à tout point M1 d’affixe Z1, associe le point M ′1 d’affixe Z ′ 1, telle

que :

Z ′1 = e −i 2π3 Z1 +

3 2 + i

' 3

2 Déterminer la nature de r et donner ses éléments caractéristiques.

2. En utilisant les nombres complexes, donner une mesure de l’angle (−−→ AO ,

−−→ AB

) , puis détermi-

ner la droite ∆ telle que : r =σ∆ ◦σ(AO).

3. Montrer que ϕ= r σ(AO). En déduire la nature de ϕ.

Exercices de spécialité 165

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

154 Amérique du Sud novembre 2000 Retour au tableau

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v )

(unité graphique : 2cm). On désigne par m un nombre réel. On considère la transformation Tm du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par :

z ′ = (m + i)z +m −1− i

Partie A

1. Peut-on choisir m de telle sorte que Tm soit une translation ? 2. Déterminer le réel m de telle sorte que Tm soit une rotation. Préciser alors le centre et l’angle de

cette rotation.

Partie B Dans la suite de l’exercice on pose m = 1.

1. 1. Calculer l’affixe du point Ω invariant par Tm .

2. Pour tout nombre complexe z différent de 1, calculer z ′ −1 z −1

. En interprétant géométrique-

ment le module et un argument de z ′ −1 z −1

, démontrer que T1 est une similitude directe dont

on précisera les éléments caractéristiques.

3. Démontrer que, pour tout nombre z on a : z ′−z = i(z−1). En déduire que si M est distinct de Ω , alors le triangle ΩM M ′ est rectangle isocèle en M .

2. On définit dans le plan une suite (Mn) de points en posant : M0 = O, M1 = T1(M0), et pour tout entier naturel Mn = T1(Mn−1).

1. Placer les points M1, M2, M3 et M4 dans le plan muni du repère ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

2. Pour tout entier naturel n, on pose dn = ΩMn . Démontrer que la suite (dn) est une suite géométrique.

Converge-t-elle ?

Exercices de spécialité 164

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

16 Centres étrangers juin 2011

Les cinq questions sont indépendantes. Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. Toute justification complète sera valorisée.

Question 1 On considère l’équation (E) : 2x +11y = 7, où x et y sont des entiers relatifs. Affirmation Les seuls couples solutions de (E) sont les couples (22k −2 ; −4k +1), avec k appartenant à l’ensemble Z des entiers relatifs.

Question 2 On considère l’entier N = 112011. Affirmation L’entier N est congru à 4 modulo 7.

Question 3 On considère, dans le plan complexe, les points A, B et C d’affixes respectives :

a = 1+ i ; b = 3i ; c = ( 1−2

' 2 ) + i

( 1−

' 2 )

.

Affirmation

Le point C est l’image du point B par la similitude directe de centre A, de rapport '

2 et d’angle − π

2 .

Question 4 On considère, dans le plan complexe, les points A et B d’affixes respectives :

a = 1+ i ; b = 2− i.

Soit f la similitude d’écriture complexe : z ′ = ( −

3 5 −

4 5

i )

z + (

12 5

+ 6 5

i ) .

Affirmation La transformation f est la réflexion d’axe (AB).

Question 5 L’espace est muni d’un repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère la surface S dont une équation est : z = 4x y . Affirmation La section de la surface S par le plan d’équation z = 0 est la réunion de deux droites orthogonales.

Exercices de spécialité 21

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

17 Asie juin 2011

Partie A : Restitution organisée de connaissances

1. Pré-requis : tout nombre entier n strictement supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier. Démontrer que tout nombre entier n strictement supérieur à 1 est premier ou peut se décomposer en produit de facteurs premiers (on ne demande pas de démontrer l’unicité de cette décomposi- tion).

2. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 629.

Partie B

Dans un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère les surfaces Γ et C d’équations respectives : Γ :

z = x y et C : x2 + z2 = 1.

1. Donner la nature de la surface C et déterminer ses éléments caractéristiques. 2. Points d’intersection à coordonnées entières des surfaces Γ et C

1. Démontrer que les coordonnées (x ; y ; z) des points d’intersection de Γ et de C sont telles que :

x2 ( 1+ y2

) = 1.

2. En déduire que Γ et C ont deux points d’intersection dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs.

3. Points d’intersection à coordonnées entières de Γ et d’un plan Pour tout nombre entier naturel non nul n, on désigne par Pn le plan d’équation z = n4 +4.

1. Déterminer l’ensemble des points d’intersection de Γ et du plan P1 dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs.

Pour la suite de l’exercice, on suppose n " 2.

2. Vérifier que : ( n2 −2n +2

)( n2 +2n +2

) = n4 +4.

3. Démontrer que, quel que soit le nombre entier naturel n " 2, n4 +4 n’est pas premier.

4. En déduire que le nombre de points d’intersection de Γ et du plan Pn dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs est supérieur ou égal à 8.

5. Déterminer les points d’intersection deΓ et du plan P5 dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs.

Exercices de spécialité 22

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

153 Nouvelle–Calédonie décembre 2000 Retour au tableau

Dans tout l’exercice x et y désignent des entiers naturels non nuls vérifiant x < y . S est l’ensemble des couples (x, y) tels que PGCD(x, y) = y x.

1. 1. Calculer le PGCD(363, 484). 2. Le couple (363, 484) appartient-il à S ?

2. Soit n un entier naturel non nul ; le couple (n, n +1) appartient-il à S ? Justifier votre réponse.

3. 1. Montrer que (x, y) appartient à S si et seulement si il existe un entier naturel k non nul tel que x = k(y x) et y = (k +1)(y x).

2. En déduire que pour tout couple (x, y) de S on a : PPCM (x, y) = k(k +1)(y x).

4. 1. Déterminer l’ensemble des entiers naturels diviseurs de 228. 2. En déduire l’ensemble des couples (x, y) de S tels que PPCM (x, y) = 228.

Exercices de spécialité 163

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

152 Pondichéry juin 2001 Retour au tableau

1. On considère l’équation (1) d’inconnue (n, m) élément de Z2 :

11n −24m = 1.

1. Justifier, à l’aide de l’énoncé d’un théorème, que cette équation admet au moins une solu- tion.

2. En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer une solution particulière de l’équation (1).

3. Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation (1).

2. recherche du P.G.C.D. de 1011 −1 et 1024 −1. 1. Justifier que 9 divise 1011 −1 et 1024 −1.

2. (n, m) désignant un couple quelconque d’entiers naturels solutions de (1), montrer que l’on peut écrire

( 1011n −1

) −10

( 1024m −1

) = 9.

3. Montrer que 1011 −1 divise 1011n −1. (on rappelle l’égalité an −1 = (a −1)

( an−1 +an−2 +·· ·+a0

) , valable pour tout entier naturel

n non nul).

Déduire de la question précédente l’existence de deux entiers N et M tels que :

( 1011 −1

) N

( 1024 −1

) M = 9.

4. Montrer que tout diviseur commun à 1024 −1 et 1011 −1 divise 9.

5. Déduire des questions précédentes le P.G.C.D. de 1024 −1 et 1011 −1.

Exercices de spécialité 162

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

18 Antilles–Guyane juin 2011

1. On considère l’équation (E) : 11x −7y = 5, où x et y sont des entiers relatifs. 1. Justifier, en énonçant un théorème, qu’il existe un couple d’entiers relatifs (u ; v) tels que

11u −7v = 1. Trouver un tel couple.

2. En déduire une solution particulière de l’équation (E).

3. Résoudre l’équation (E).

4. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ) , on considère la droite D d’équa-

tion cartésienne 11x −7y −5 = 0. On note C l’ensemble des points M(x ; y) du plan tels que 0! x ! 50 et 0! y ! 50.

Déterminer le nombre de points de la droite D appartenant à l’ensemble C et dont les coor- données sont des nombres entiers.

2. On considère l’équation (F) : 11x2 −7y2 = 5, où x et y sont des entiers relatifs. 1. Démontrer que si le couple (x ; y) est solution de (F), alors x2 ≡ 2y2 (mod 5).

2. Soient x et y des entiers relatifs. Recopier et compléter les deux tableaux suivants :

Modulo 5, x est congru à 0 1 2 3 4

Modulo 5, x2 est congru à

Modulo 5, y est congru à 0 1 2 3 4

Modulo 5, 2y2 est congru à

Quelles sont les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de x2 et de 2y2 par 5 ?

3. En déduire que si le couple (x ; y) est solution de (F), alors x et y sont des multiples de 5.

3. Démontrer que si x et y sont des multiples de 5, alors le couple (x ; y) n’est pas solution de (F). Que peut-on en déduire pour l’équation (F) ?

Exercices de spécialité 23

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

19 Liban mai 2011

Partie A : Restitution organisée de connaissances

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct. Prérequis : L’écriture complexe d’une similitude directe est de la forme z ′ = az +b a et b sont deux nombres complexes tels que a *= 0.

Démontrer que si A, B, A′ et B′ sont quatre points du plan tels que A *= B et A′ *= B′, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A′ et B en B′.

Partie B

On considère le triangle rectangle isocèle ABC tel que (−−→ AB ,

−−→ AC

) =

π

2 modulo2π.

On note D le symétrique de A par rapport au point C. On désigne par s la similitude directe transformant D en C et C en B.

1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude s. 2. On appelle Ω le centre de la similitude s.

1. En utilisant la relation −−→ DC =

−−→ ΩC −

−−→ ΩD , démontrer que DC2 =ΩD2.

2. En déduire la nature du triangle ΩDC.

3. On pose σ= s s. 1. Quelle est la nature de la transformation σ ? Préciser ses éléments caractéristiques.

2. Déterminer l’image du point D par la transformation σ.

4. Démontrer que le quadrilatère ADΩB est un rectangle. 5. Dans cette question, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( A ;

−→ u ,

−→ v ) ,

choisi de manière à ce que les points A, B, C et D aient comme affixes respectives 0, 1, i et 2i.

1. Démontrer que l’écriture complexe de la similitude s est : z ′ = (1+i)z+2−i où z et z ′ désignent respectivement les affixes d’un point M et de son image M ′ par s.

2. On note x et x′, y et y ′ les parties réelles et les parties imaginaires de z et z ′.

Démontrer que {

x′ = x y +2 y ′ = x + y −1

3. Soit J le point d’affixe 1+3i. Existe-t-il des points M du plan dont les coordonnées sont des entiers relatifs et tels que −−−→ AM ′ ·

−→ AJ = 0, M ′ désignant l’image du point M par s ?

Exercices de spécialité 24

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

151 Polynésie juin 2001 Retour au tableau

1. On considère x et y des entiers relatifs et l’équation (E) 91x +10y = 1. 1. Énoncer un théorème permettant de justifier l’existence d’une solution à l’équation (E).

2. Déterminer une solution particulière de (E) et en déduire une solution particulière de l’équa- tion (E’) : 91x +10y = 412.

3. Résoudre (E’).

2. Montrer que les nombres entiers An = 32n −1, où n est un entier naturel non nul, sont divisibles par 8. (Une des méthodes possibles est un raisonnement par récurrence).

3. On considère l’équation (E′′) A3x + A2 y = 3 296. 1. Déterminer les couples d’entiers relatifs (x, y) solutions de l’équation (E′′).

2. Montrer que (E′′) admet pour solution un couple unique d’entiers naturels. Le déterminer.

Exercices de spécialité 161

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

150 Liban juin 2001 Retour au tableau

On suppose le plan rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) , unité graphique 3 cm.

Partie A

Soit trois droites D1, D2 et D3, sécantes en Ω et de vecteurs directeurs respectifs −→ d1 =

−→ u , et

−→ d2 et

−→ d3

supposés unitaires et tels que (−→ d1 ,

−→ d2

) =

π

4 et

(−→ d1 ,

−→ d3

) =−

2π 3

.

On note S1, S2 et S3 les réflexions d’axes respectifs D1, D2 et D3, et f la composée S3◦ S2 ◦S1, de ces trois réflexions.

1. Tracer ces trois droites. 2. 1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation r = S2 ◦S1.

2. Caractériser la réflexion S telle que r = S3◦ S . On notera D l’axe de S et on en déterminera un point et un vecteur directeur

−→ d . Tracer la droite D.

3. En déduire la nature de f et ses éléments caractéristiques.

3. Justifier que le point E d’affixe zE = e iπ 12 est un point de la droite D.

Déterminer les nombres complexes a et b tels que la forme complexe de f soit l’application f1 définie sur C par f1(z) = az +b.

Partie B

1. Choisir un point A sur D. On note B l’image de A par S1 et C l’image de B par S2 . Placer les points B et C .

2. Démontrer que A est l’image de C par S3. 3. Que peut-on dire du point Ω pour le triangle ABC ?

Exercices de spécialité 160

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

20 Amérique du Nord mai 2011

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

Partie B

On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : « Si p est un nombre premier et q un entier naturel premier avec p, alors qp−1 ≡ 1 (modulop) ». On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul par :

un = 2n +3n +6n −1.

1. Calculer les six premiers termes de la suite. 2. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, un est pair. 3. Montrer que, pour tout entier naturel n pair non nul, un est divisible par 4.

On note (E) l’ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un terme de la suite (un).

4. Les entiers 2, 3, 5 et 7 appartiennent-ils à l’ensemble (E) ? 5. Soit p un nombre premier strictement supérieur à 3.

1. Montrer que : 6×2p−2 ≡ 3 (modulop) et 6×3p−2 ≡ 2 (modulop).

2. En déduire que 6up−2 ≡ 0 (modulo p).

3. Le nombre p appartient-il à l’ensemble (E) ?

Exercices de spécialité 25

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

21 Pondichéry avril 2011

Partie A

On considère, dans un repère ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

de l’espace, la surface S d’équation :

z = (x y)2.

1. On note E1 l’intersection de S avec le plan P1 d’équation z = 0. Déterminer la nature de E1. On note E2 l’intersection de S avec le plan P2 d’équation x = 1. Déterminer la nature de E2.

Partie B

On considère, dans un repère ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

de l’espace, la surface S ′ d’équation :

z = x y.

1. On note E3 l’intersection de S ′ avec le plan P1 d’équation z = 0. Déterminer la nature de E3

2. On note E4 l’intersection de S ′ avec le plan P3 d’équation z = 1. Déterminer la nature de E4.

Partie C

On note E5 l’intersection de S et de S ′. Dans cette partie, on souhaite démontrer que le seul point appartenant à E5 dont les coordonnées sont des entiers naturels est le point O(0 ; 0 ; 0). On suppose qu’il existe un point M appartenant à E5 et dont les coordonnées x, y et z sont des entiers naturels.

1. Montrer que si x = 0, alors le point M est le point O. 2. On suppose dorénavant que l’entier x n’est pas nul.

1. Montrer que les entiers x, y et z vérifient x2 −3x y + y2 = 0. En déduire qu’il existe alors des entiers naturels x′ et y ′ premiers entre eux tels que x′2 − 3xy ′+ y ′2 = 0.

2. Montrer que x′ divise y ′2, puis que x′ divise y ′.

3. Établir que y ′ vérifie la relation 1−3y ′+ y ′2 = 0.

4. Conclure.

Exercices de spécialité 26

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

149 Métropole juin 2001 Retour au tableau

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v )

[unité graphique : 6 cm].

On considère la transformation f du plan qui, à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z

définie par z ′ = ze 5iπ

6 et on définit une suite de points (Mn) de la manière suivante : M0 a pour afflxe z0 = ei

π 2 et, pour tout entier naturel n, Mn+1 = f (Mn).

On appelle zn l’affixe de Mn .

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f . Placer les points M0, M1, M2.

2. Montrer que pour tout entier naturel n, on a l’égalité

zn = ei (π

2 + 5

6

)

(on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).

3. Soient deux entiers n et p tels que n soit supérieur ou égal à p. Montrer que deux points Mn et Mp sont confondus si, et seulement si, (n p) est multiple de 12.

4. 1. On considère l’équation (E) : 12x−5y = 3 où x et y sont des entiers relatifs. Après avoir vérifié que le couple (4 ; 9) est solution, résoudre l’équation (E).

2. En déduire l’ensemble des entiers naturels n tels que Mn appartienne à la demi-droite [Ox).

Exercices de spécialité 159

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

148 Centres étrangers juin 2001 Retour au tableau

Un astronome a observé au jour J0 le corps céleste A, qui apparaît périodiquement tous les 105 jours. Six jours plus tard (J0 + 6), il observe le corps B, dont la période d’apparition est de 81 jours. On appelle J1 le jour de la prochaine apparition simultanée des deux objets aux yeux de l’astronome. Le but de cet exercice est de déterminer la date de ce jour J1 .

1. Soient u et v le nombre de périodes effectuées respectivement par A et B entre J0 et J1. Montrer que le couple (u ; v) est solution de l’équation (E1) : 35x −27y = 2.

2. 1. Déterminer un couple d’entiers relatifs (x0 ; y0) solution particulière de l’équation (E2) :

35x −27y = 1.

2. En déduire une solution particulière (u0 ; v0) de (E1).

3. Déterminer toutes les solutions de l’équation (E1).

4. Déterminer la solution (u ; v) permettant de déterminer J1.

3. 1. Combien de jours s’écouleront entre J0 et J1 ? 2. Le jour J0 était le mardi 7 décembre 1999, quelle est la date exacte du jour J1 ? (L’année 2000

était bissextile.)

3. Si l’astronome manque ce futur rendez-vous, combien de jours devrat-il attendre jusqu’à la prochaine conjonction des deux astres ?

Exercices de spécialité 158

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

22 Amérique du Sud novembre 2010

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on pose A(n) = n4 +1. L’objet de l’exercice est l’étude des diviseurs premiers de A(n).

1. Quelques résultats 1. Étudier la parité de l’entier A(n).

2. Montrer que, quel que soit l’entier n, A(n) n’est pas un multiple de 3.

3. Montrer que tout entier d diviseur de A(n) est premier avec n.

4. Montrer que, pour tout entier d diviseur de A(n) :

n8 ≡ 1 mod d .

2. Recherche de critères Soit d un diviseur de A(n). On note s le plus petit des entiers naturels non nuls k tels que nk ≡ 1 mod d .

1. Soit k un tel entier. En utilisant la division euclidienne de k par s, montrer que s divise k.

2. En déduire que s est un diviseur de 8.

3. Montrer que si, de plus, d est premier, alors s est un diviseur de d −1. On pourra utiliser le petit théorème de Fermat.

3. Recherche des diviseurs premiers de A(n) dans le cas où n est un entier pair. Soit p un diviseur premier de A(n). En examinant successivement les cas s = 1, s = 2 puis s = 4, conclure que p est congru à 1 modulo 8.

4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évalua- tion.

Appliquer ce qui précède à la recherche des diviseurs premiers de A(12).

Indication : la liste des nombres premiers congrus à 1 modulo 8 débute par 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, . . .

Exercices de spécialité 27

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

23 Nouvelle-Calédonie novembre 2010

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On considère la similitude indirecte f d’écriture complexe

z ′ = ( 1+ i

' 3 )

z

z désigne le conjugué de z. Soient les points A et B d’affixes respectives zA =

' 6+ i

' 2 et zB =−

' 2+ i

' 6.

On note A′ et B′ les images respectives des points A et B par f .

Une figure fournie en ANNEXE du sujet, sera complétée et rendue avec la copie. Les différentes construc- tions seront faites à la règle et au compas, et les traits de construction devront apparaître clairement.

1. 1. Écrire les affixes des points A et B sous forme exponentielle. 2. Montrer que le triangle OAB est rectangle isocèle direct.

3. En déduire la nature du triangle OA′B′.

4. Montrer que l’affixe zA′ de A ′ vérifie l’égalité : zA′ = 2zA.

En déduire la construction de A′ et B′.

2. On note r la rotation de centre O et d’angle de mesure π 3

, et s la symétrie orthogonale d’axe ( O ;

−→ u ) . On pose g = r s.

1. Déterminer l’écriture complexe de la transformation g .

2. Montrer que les points O et A sont invariants par g .

3. En déduire la nature de la transformation g .

3. 1. Montrer que l’on peut écrire f = h g , où h est une homothétie de centre et de rapport à déterminer.

2. Sur la figure placée en ANNEXE, un point C est placé. Faire la construction de l’image C′ de C par la transformation f .

Exercices de spécialité 28

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

147 Asie juin 2001 Retour au tableau

On se place dans le plan, rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

1. On considère l’application f qui, à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ =

( 1 2 + i

' 3

2

)

z.

1. Exprimer ( f f )(z) en fonction de z.

2. Montrer que f = R ◦ S, où R est une rotation et S une symétrie axiale (on déterminera les éléments caractéristiques de ces deux applications R et S).

3. Décomposer R à l’aide de deux symétries axiales et en déduire que f est une réflexion, dont on donnera l’axe (D1). Réaliser une figure, en y représentant l’axe (D1) (unité graphique 2 cm).

2. On considère l’application g qui, à tout point M d’affixe z associe le point M ′′ d’affixe z ′′ telle que :

z ′′ =

( 1 2 + i

' 3

2

)

z − 1 2 + i

' 3

2 .

1. Déterminer une équation de l’ensemble des points invariants de g .

2. Montrer que g = T◦ f où T est une translation (on précisera l’affixe du vecteur de la transla- tion T).

3. Décomposer la translation T à l’aide de deux symétries axiales et en déduire que g est une réflexion, d’axe noté (D2).

4. Quelle est l’image par g du point A d’affixe 1 2 + i

' 3

2 . En déduire une construction de la droite

(D2), qui n’utilise pas son équation, et l’illustrer en complétant la figure précédente.

Exercices de spécialité 157

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

146 Antilles–Guyane juin 2001 Retour au tableau

l

l

L

1. Soit B une boîte en forme de pavé droit de hauteur L, à base carrée de côté +, où + et L sont des entiers naturels non nuls tels que +< L. On veut remplir la boîte B avec des cubes tous identiques dont l’arête a est un entier naturel non nul (les cubes devant remplir complètement la boîte B sans laisser d’espace vide).

1. Dans cette question, + = 882 et L = 945. Quelle est la plus grande valeur possible pour a ? Quelles sont les valeurs possibles pour a ?

2. Dans cette question, le volume de la boîte B est v = 77 760. On sait que, pour remplir la boîte B, la plus grande valeur possible de a est 12. Montrer qu’il y a exactement deux boîtes B possibles, dont on donnera les dimensions.

2. On veut remplir une caisse cubique C, dont l’arête c est un entier naturel non nul, avec des boîtes B toutes identiques telles que décrites dans la question 1 (Les boîtes B, empilées verticalement, doivent remplir complètement la caisse C sans laisser d’espace vide).

1. Dans cette question, += 882 et L = 945. Quelle est la plus petite arête c pour la caisse C ? Quel est l’ensemble de toutes les valeurs possibles pour l’arête c ?

2. Dans cette question, le volume de la boîte B est 15 435. On sait que la plus petite arête possible pour la caisse C est 105. Quelles sont les dimensions + et L de la boîte B ?

Exercices de spécialité 156

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

24 La Réunion septembre 2010

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v )

; unité graphique : 8 centimètres.

On considère la transformation f du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que

z ′ =

' 2

4 (−1+ i)z.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f . 2. On définit la suite de points (Mn) de la façon suivante : M0 est le point d’affixe z0 = 1 et, pour tout

nombre entier naturel n, Mn+1 = f (Mn). On note zn l’affixe du point Mn .

1. Justifier que, pour tout nombre entier naturel n, zn = (

1 2

)n ei ( 3

4

)

2. Construire les points M0, M1, M2, M3 et M4.

3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative meme non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soient n et p deux entiers naturels. À quelle condition sur n et p les points Mn et Mp sont-ils alignés avec l’origine O du repère ?

Exercices de spécialité 29

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

25 Métropole septembre 2010

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) , on considère les deux rec-

tangles OABC et DEFG où les points A, B, C, D, E, F, G ont pour affixes respectives

zA =−2, zB =−2+ i, zC = i, zD = 1, zE = 1+3i, zF = 5 2 +3i, zG =

5 2

.

Voir la figure donnée en annexe 3.

1. On considère la similitude directe s transformant O en D et A en E. 1. Justifier que l’écriture complexe de la similitude s est : z ′ =−

3 2

iz +1.

2. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude s.

3. Quelle est l’image du rectangle OABC par la similitude s ?

2. On considère la similitude indirecte s ′ d’écriture complexe z ′ =−2 3

iz + 5 3

i.

1. Déterminer l’image du rectangle DEFG par la similitude s ′.

2. On considère la similitude g = s ′ ◦ s. Déterminer l’image du rectangle OABC par la similitude g .

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

La similitude g a-t-elle des points fixes ? Que peut-on en conclure pour g ?

Exercices de spécialité 30

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

145 Amérique du Nord juin 2001 Retour au tableau

1. Montrer que, pour tout entier relatif n, les entiers 14n +3 et 5n +1 sont premiers entre eux. 2. On considère l’équation (E) : 87x +31y = 2 où x et y sont des entiers relatifs.

1. Vérifier, en utilisant par exemple la question 1 , que 87 et 31 sont premiers entre eux. En déduire un couple (u ; v) d’entiers relatifs tel que 87u+31v = 1 puis une solution (x0 ; y0) de (E).

2. Déterminer l’ensemble des solutions de (E) dans Z2.

3. Application : Déterminer les points de la droite d’équation 87x−31y−2= 0 dont les coordon- nées sont des entiers naturels et dont l’abscisse est comprise entre 0 et 100. Indication : On remarquera que le point M de coordonnées (x ; y) appartient à la droite (D) si, et seulement si, le couple (x ; −y) vérifie l’équation (E).

Exercices de spécialité 155

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

144 Polynésie septembre 2001 Retour au tableau

Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct ( A ;

−→ u ,

−→ v ) , unité graphique 1 cm, on

considère les points B, D définis par : −→ AB = 2

−→ u ,

−−→ AD = 3

−→ v et C tel que ABCD soit un rectangle.

On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.

1. Soit E l’image de B par la translation de vecteur −−→DB . Déterminer l’affixe zE de E. 2. Déterminer les nombres réels a, b tels que le point F d’affixe zF = 6− i soit le barycentre des points

A, B, C affectés des coefficients a, b et 1.

3. On considère la similitude s qui transforme A en E et B en F. À tout point M d’affixe z, on associe le point M ′ d’affixe z ′, image de M par s.

1. Exprimer z ′ en fonction de z.

2. Déterminer le centre I, l’angle et le rapport de la similitude s.

3. Déterminer les images de C et de D par s.

4. Calculer l’aire de l’image par s du rectangle ABCD.

4. 1. Déterminer l’ensemble Ω des points M du plan tels que : ∥∥∥6

−−→ MA −10

−−→ MB +

−−→ MC

∥∥∥= 9.

2. Déterminer, en précisant ses éléments caractéristiques, l’image de Ω par s.

Exercices de spécialité 154

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

26 Polynésie juin 2010 Retour au tableau Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

On considère l’équation (E) : 7x −6y = 1 où x et y sont des entiers naturels.

1. Donner une solution particulière de l’équation (E) 2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers naturels solutions de l’équation (E).

Partie B

Dans cette partie, on se propose de déterminer les couples (n, m) d’entiers naturels non nuls vérifiant la relation : 7n −3×2m = 1 (F).

1. On suppose m ! 4. Montrer qu’il y a exactement deux couples solutions.

2. On suppose maintenant que m " 5. 1. Montrer que si le couple (n, m) vérifie la relation (F) alors 7n ≡ 1 (mod 32).

2. En étudiant les restes de la division par 32 des puissances de 7, montrer que si le couple (n, m) vérifie la relation (F) alors n est divisible par 4.

3. En déduire que si le couple (n, m) vérifie la relation (F) alors 7n ≡ 1 (mod 5).

4. Pour m " 5, existe-t-il des couples (n, m) d’entiers naturels vérifiant la relation (F) ?

3. Conclure, c’est-à-dire déterminer l’ensemble des couples d’entiers naturels non nuls vérifiant la relation (F).

Exercices de spécialité 31

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

27 La Réunion juin 2010 Retour au tableau Partie 1 : Restitution organisée de connaissances

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Prérequis :

On rappelle que l’écriture complexe d’une similitude directe du plan est de la forme z ′ =αz+β, où α est un nombre complexe non nul et β est un nombre complexe. Soient A, B, C, D quatre points du plan ; on suppose d’une part que les points A et C sont distincts et d’autre part que les points B et D sont distincts. Démontrer qu’il existe une unique similitude directe s telle que s(A) = B et s(C) = D.

Partie II :

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( A ;

−→ AB ,

−−→ AD

) ; (−−→ AB ,

−−→ AD

) =

π

2 [2π].

On considère le point C tel que ABCD est un carré.

Soit E le milieu du segment [AD], on considère le carré EDGF tel que (−−→ ED ,

−→ EF

) =

π

2 [2π].

1. 1. Faire une figure en plaçant les points A, B, C, D, E, F, G. On complètera la figure au cours de l’exercice.

2. Préciser les nombres complexes a, b, c, d , e, f , g , affixes respectives des points A, B, C, D, E, F et G.

3. Montrer qu’il existe une unique similitude directe s du plan telle que s(D) = F et s(B) = D.

2. On se propose de préciser les éléments caractéristiques de la similitude directe s. 1. Déterminer le rapport k et l’angle θ de la similitude directe s.

2. Donner l’écriture complexe de cette similitude.

3. Déterminer, le centre Ω de la similitude directe s.

Exercices de spécialité 32

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

143 Métropole septembre 2001 Retour au tableau

1. 1. Déterminer le PGCD des nombres 168 et 20. 2. Soit l’équation 168x +20y = 6 dont les inconnues x et y sont des entiers relatifs. Cette équa-

tion a t-elle des solutions ?

3. Soit l’équation 168x +20y = 4 dont les inconnues x et y sont des entiers relatifs. Cette équa- tion a t-elle des solutions ?

2. 1. Déterminer, en utilisant l’algorithme d’Euclide, et en détaillant les calculs effectués, deux entiers relatifs m et p tels que 42m +5p = 1.

2. En déduire deux entiers relatifs u et v tels que 42u +5p = 12.

3. Démontrer que le couple d’entiers relatifs (x ; y) est solution de l’équation 42x +5y = 2 si, et seulement si 42(x +4)= 5(34− y).

4. Déterminer tous les couples d’entiers (x ; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation 42x + 5y = 2.

3. Déduire du 2. les couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation (42x +5y −3)(42x +5y + 3) = 0.

Exercices de spécialité 153

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

142 Antilles–Guyane septembre 2001 Retour au tableau

1. Soient a et b des entiers naturels non nuls tels que PGCD(a + b ; ab) = p, où p est un nombre premier.

1. Démontrer que p divise a2. (On remarquera que a2 = a(a+b)−ab.)

2. En déduire que p divise a. On constate donc, de même, que p divise b.

3. Démontrer que PGCD(a ; b) = p.

2. On désigne par a et b des entiers naturels tels que a ! b. 1. Résoudre le système

{ PGCD(a, b) = 5 PPCM(a, b) = 170

2. En déduire les solutions du système :

{ PGCD(a+b, ab) = 5 PPCM(a, b) = 170

Exercices de spécialité 152

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

28 Métropole juin 2010 Retour au tableau Dans tout l’exercice,

( O,

−→ u ,

−→ v )

est un repère orthonormal direct du plan complexe (unité graphique : 4 cm). On désigne par A le point d’affixe zA = 1.

1. On considère la transformation T du plan qui, à tout point M d’affixe z, associe le point d’affixe −z +2.

1. Déterminer les images respectives par la transformation T du point A et du point Ω d’affixe 1+ i

' 3.

2. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de la transformation T .

3. Déterminer l’image par la transformation T du cercle C de centre O et de rayon 1.

2. C ′ désigne le cercle de centre O′ d’affixe 2 et de rayon 1. 1. Construire le point A′ appartenant au cercle C ′ tel que :

(−−→ OA ,

−−−→ O′A′

) =

π

3 [modulo 2π].

2. À tout point M du cercle C d’affixe z, on associe le point M ′ du cercle C ′ d’affixe z ′ tel que :(−−−→ OM ,

−−−−→ O′M

) =

π

3 [modulo 2π].

Déterminer le module et un argument de z ′ −2

z . En déduire que z ′ = ei

π 3 z +2.

3. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de la transformation r qui à tout point M du plan d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que z ′ = ei

π 3 z +2.

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

À tout point M du plan, on associe le point M1 milieu du segment [M M ′].

Quel est le lieu géométrique du point M1 lorsque M décrit le cercle C ?

Exercices de spécialité 33

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

29 Centres étrangers juin 2010 Retour au tableau Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

d’unité graphique 1 cm, on consi- dère les points A, B , C , M , N et P d’affixes respectives :

a = 1+ i, b =−1+2i, c = 2+3i, m = 7−5i, n = 5− i, p = 9+ i.

1. 1. Placer les points A, B , C , M , N et P dans le repère. 2. Calculer les longueurs des côtés des triangles ABC et N MP .

3. En déduire que ces deux triangles sont semblables. Dans la suite de l’exercice, on se propose de mettre en évidence deux similitudes qui transforment le triangle ABC en le triangle MNP.

2. Une similitude directe Soit s la similitude directe qui transforme le point A en N et le point B en P .

1. Montrer qu’une écriture complexe de la similitude s est :

z ′ = ( −

6 5 −

8 5

i )

z + 23 5

+ 9 5

i.

2. Déterminer le rapport, la valeur de l’angle arrondie au degré, ainsi que le centre de la simili- tude s.

3. Vérifier que la similitude s transforme le point C en M .

3. Une similitude indirecte Soit s ′ la similitude dont l’écriture complexe est :

z ′ = 2iz +3−3i.

1. Vérifier que :

 

s ′(A) = N s ′(B) = M s ′(C ) = P

2. Démontrer que s ′ admet un unique point invariant K d’affixe k = 1− i.

3. Soit h l’homothétie de centre K et de rapport 1 2

et J le point d’affixe 2.

On pose : f = s ′ ◦h. Déterminer les images des points K et J par la transformation f . En déduire la nature précise de la transformation f .

4. Démontrer que la similitude s ′ est la composée d’une homothétie et d’une réflexion.

Exercices de spécialité 34

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

141 Amérique du Sud décembre 2001 Retour au tableau

Soit n un entier naturel non nul. On considère les nombres a et b tels que :

a = 2n3 +5n2 +4n +1 et b = 2n2 +n.

1. Montrer que 2n +1 divise a et b. 2. Un élève affirme que le PGCD de a et b est 2n +1.

Son affirmation est-elle vraie ou fausse ? (La réponse sera justifiée.)

Exercices de spécialité 151

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

140 Nouvelle–Calédonie décembre 2001 Retour au tableau

Partie I

Soit x un nombre réel.

1. Montrer que x4 +4 = (x2 +2)2 −4x2. 2. En déduire que x4 +4 peut s’écrire comme produit de deux trinômes à coefficients réels.

Partie II

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère les entiers A = n2 −2n +2 et B = n2 +2n +2 et d leur PGCD.

1. Montrer que n4 +4 n’est pas premier. 2. Montrer que, tout diviseur de A qui divise n, divise 2. 3. Montrer que, tout diviseur commun de A et B , divise 4n. 4. Dans cette question on suppose que n est impair.

1. Montrer que A et B sont impairs. En déduire que d est impair.

2. Montrer que d divise n.

3. En déduire que d divise 2, puis que A et B sont premiers entre eux.

5. On suppose maintenant que n est pair. 1. Montrer que 4 ne divise pas n2 −2n +2.

2. Montrer que d est de la forme d = 2p, où p est impair.

3. Montrer que p divise n. En déduire que d = 2. (On pourra s’inspirer de la démonstration utilisée à la question 4.)

Exercices de spécialité 150

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

30 Asie juin 2010 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( A ;

−→ u ,

−→ v ) . L’unité graphique est 1 cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument π

2 .

On considère les points B, C et H d’affixes respectives :

b = 5i, c = 10 et h = 2+4i.

Construire une figure que l’on complétera au fur et à mesure des questions.

1. Étude de la position du point H 1. Démontrer que le point H appartient à la droite (BC).

2. Calculer h

h c , et en déduire que

(−−→ HC ,

−−→ HA

) =−

π

2 [2π].

2. Étude d’une première similitude 1. Calculer les rapports :

BH AH

, BA AC

et AH CH

.

2. Démontrer qu’il existe une similitude directe S1 qui transforme le triangle CHA en le triangle AHB.

3. Déterminer l’écriture complexe de cette similitude S1 ainsi que ses éléments caractéristiques.

3. Étude d’une seconde similitude Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiatives, même infructueuses, sera prise en compte dans l’évaluation On note S2 la similitude qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = (−1−2i)z +10.

Démontrer que S2 est composée d’une symétrie orthogonale d’axe (∆), et d’une similitude directe dont le centre Ω appartient à (∆). Préciser (∆).

4. Étude d’une composée 1. Calculer le rapport de la similitude composée S2 ◦S1.

2. En déduire le rapport entre les aires des triangles CHA et BAC.

Exercices de spécialité 35

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

31 Antilles-Guyane juin 2010 Retour au tableau Le plan est muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

d’unité 1 cm.

1. Restitution organisée de connaissances On utilisera sans démonstration les deux propriétés suivantes :

Propriété 1 : Toute similitude indirecte qui transforme un point M d’affixe z en un point M ′ d’af- fixe z ′ admet une expression complexe de la forme z ′ = az +b a ∈C∗ et b ∈C.

Propriété 2 : Soit C une point d’affixe c. Pour tout point D, distinct de C, d’affixe d et pour tout point E, distinct de C, d’affixe e , on a :

(−−→ C D ;

−−→ C E

) = arg

( e c d c

) (2π).

Question : Montrer qu’une similitude indirecte transforme un angle orienté en son opposé.

2. Soient les points C et D d’affixes respectives c = 3 et d = 1−3i, et S1 la similitude qui à tout point M du plan associe le point M1 symétrique de M par rapport à l’axe

( O ;

−→ u )

des réels.

1. Placer les points C et D puis leurs images respectives C1 et D1 par S1. On complètera le figure au fur et à mesure de l’exercice.

2. Donner l’expression complexe de S1.

3. Soit S2 la similitude directe définie par : – le point C1 et son image C ′ d’affixe c ′ = 1+4ı ; – le point D1 et son image D ′ d’affixe d ′ =−2+2ı.

1. Montrer que l’expression complexe de S2 est : z ′ = ız +1+ ı.

2. En déduire les éléments caractéristiques de cette similitude.

4. Soit S la similitude définie par S =S2 ◦S1. Déterminer l’expression complexe de S .

5. On pourra admettre désormais que S est la similitude indirecte d’expression complexe :

z ′ = ız +1+ ı.

1. Quelle est l’image de C par S ? Quelle est l’image de D par S ?

2. Soit H le point d’affixe h tel que : h c = ei π 3 (d c).

Montrer que le triangle C DH est équilatéral direct.

3. Soit H ′ l’image de H par S . Préciser la nature du triangle C D H ′ et construire le point H

(on ne demande pas de calculer l’affixe h′ du point H ′).

Exercices de spécialité 36

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

139 Pondichéry juin 2002 Retour au tableau

1. Calculer le P.G.C.D. de 45 −1 et de 46 −1.

Soit u la suite numérique définie par :

u0 = 0, u1 = 1 et, pour tout entier naturel n,

un+2 = 5un+1 −4un .

2. Calculer les termes u2, u3 et u4 de la suite u. 3. 1. Montrer que la suite u vérifie, pour tout entier naturel n, un+1 = 4un +1.

2. Montrer que, pour tout entier naturel n, un est un entier naturel.

3. En déduire, pour tout entier naturel n, le P.G.C.D. de un et un+1.

4. Soit v la suite définie pour tout entier naturel n par vn = un + 1 3

.

1. Montrer que v est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme v0.

2. Exprimer vn puis un en fonction de n.

3. Déterminer, pour tout entier naturel n, le P.G.C.D. de 4n+1 −1 et de 4n −1.

Exercices de spécialité 149

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

138 Polynésie juin 2002 Retour au tableau

n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.

1. Montrer que n et 2n +1 sont premiers entre eux. 2. On pose α= n +3 et β= 2n +1 et on note δ le PGCD de α et β.

1. Calculer 2αβ et en déduire les valeurs possibles de δ.

2. Démontrer que α et β sont multiples de 5 si et seulement si (n −2) est multiple de 5.

3. On considère les nombres a et b définis par :

a = n3 +2n2 −3n b = 2n2 −n −1

Montrer, après factorisation, que a et b sont des entiers naturels divisibles par (n −1).

4. 1. On note d le PGCD de n(n +3) et de (2n +1). Montrer que δ divise d , puis que δ= d . 2. En déduire le PGCD, ∆, de a et b en fonction de n.

3. Application : Déterminer ∆ pour n = 2 001 ; Déterminer ∆ pour n = 2 002.

Exercices de spécialité 148

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

32 Amérique du Nord juin 2010 Retour au tableau Partie A

On cherche l’ensemble des couples d’entiers relatifs (x, y) solutions de l’équation

(E) : 16x −3y = 4.

1. Vérifier que le couple (1 ; 4) est une solution parliculière de (E). 2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On considère la transformation f du plan, qui à tout point M d’ affixe z, associe le point M ′ d’affixe z

définie par

z ′ = '

2e 3iπ

8 z.

On définit une suite de points (Mn) de la manière suivante : le point M0 a pour afflxe z0 = i et pour tout entier naturel n, Mn+1 = f (Mn). On note zn l’affixe du point Mn . Les points M0, M1, M2 et M3 sont placés sur la figure donnée en annexe page 6.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f . 2. On note g la transformation f f f f .

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation g .

2. En déduire que pour tout entier naturel n, OMn+4 = 4OMn et que (−−−→ OMn ,

−−−−−→ OMn+4

) = −

π

2 +

k ×2π k est un entier relatif.

3. Compléter la figure en construisant les points M4, M5 et M6.

3. Démontrer que pour tout entier naturel n, zn = ('

2 )n

ei ( π 2 +

38

) .

4. Soient deux entiers naturels n et p tels que p !n. 1. Exprimer en fonction de n et p une mesure de

(−−−−→ OMp ,

−−−→ OMn

) .

2. Démontrer que les points O, Mp et Mn sont alignés si et seulement si np est un multiple de 8.

5. Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que le point Mn appartienne à la demi-droite [Ox). On pourra utiliser la partie A.

Exercices de spécialité 37

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2

4

6

−2

−4

−6

2 4 6 8−2−4−6−8 +

+ +

+

+

M1

M2

M3

−→ u

−→ v

x

y

O

M0

Exercices de spécialité 38

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

137 La Réunion juin 2002 Retour au tableau

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v )

(unité graphique : 2 cm). On fera une figure que l’on complétera avec les différents éléments intervenant dans l’exercice.

1. Dans cette question on considère l’application s du plan dans lui-même, qui à tout point M d’af- fixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ =−iz.

1. Montrer que s est une réflexion d’axe noté D et de vecteur directeur −→ w d’affixe 1− i.

2. Soit D′ la droite d’équation y =−1, on appelle s ′ la réflexion d’axe D′.

Calculer une mesure de l’angle (−→ w ,

−→ u ) .

Déterminer géométriquement la composée r = s ′ ◦ s.

3. Déterminer l’écriture complexe de r .

2. Dans cette question un considére l’application p du plan dans lui-même, qui à tout point M d’af- fixe z associe le point M ′ d’affixe z1 =

1 2

z − 1 2

iz = z + z

2 .

1. Soit le point A d’affixe z = 2+ i, déterminer l’affixe du point A1 image de A par p.

2. Montrer que tout point M a son image M1 située sur la droite d’équation y =−x .

3. Définir géométriquement, en utilisant les questions précédentes, l’application p.

3. On considère l’application f définie par f = s ′ ◦ p. Construire l’image A′ du point A par f .

Montrer que s p = p et en déduire que f = r p. Montrer que, tout point M du plan a son image par f sur une droite ∆, que l’on déterminera.

Exercices de spécialité 147

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

136 Métropole juin 2002 Retour au tableau

1. On considère l’équation (E) : 6x +7y = 57

x et y sont des entiers relatifs.

1. Déterminer un couple d’entiers relatifs (u, v) tel que 6u + 7v = 1 ; en déduire une solution particulière (x0, y0) de l’équation (E).

2. Déterminer les couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).

2. Soit ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

un repère orthonormal de l’espace.

On considère le plan (P) d’équation : 6x +7y +8z = 57.

On considère les points du plan P qui appartiennent aussi au plan ( O,

−→ ı ,

−→ ) . Montrer qu’un seul

de ces points a pour coordonnées des entiers naturels ; déterminer les coordonnées de ce point.

3. On considère un point M du plan P dont les coordonnées x, y et z sont des entiers naturels. 1. Montrer que l’entier y est impair.

2. On pose y = 2p +1 où p est un entier naturel. Montrer que le reste dans la division euclidienne de p + z par 3 est égal à 1.

3. On pose p + z = 3q +1 où q est un entier naturel. Montrer que les entiers naturels x, p et q vérifient la relation : x +p +4q = 7. En déduire que q prend les valeurs 0 ou 1.

4. En déduire les coordonnées de tous les points de (P) dont les coordonnées sont des entiers naturels.

Exercices de spécialité 146

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

33 Liban juin 2010 Retour au tableau Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

1. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) , le point

A d’affixe 2− i et B l’image de A par la rotation de centre O et d’angle π

2 .

On note I le milieu du segment [AB]. Proposition 1 : « La similitude directe de centre A qui transforme I en O a pour écriture complexe z ′ = (1+ i)z −1−2i. »

2. On appelle S l’ensemble des couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation 3x −5y = 2. Proposition 2 : « L’ensemble S est l’ensemble des couples (5k−1 ; 3k−1) où k est un entier relatif. »

3. On considère l’équation (E) : x2 + y2 = 0 modulo 3, où (x ; y) est un couple d’entiers relatifs. Proposition 3 : « Il existe des couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de (E) qui ne sont pas des couples de multiples de 3. »

4. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. Proposition 4 : « Pour tout entier naturel k (2 ! k ! n), le nombre n!+ k n’est pas un nombre premier. »

5. On considère l’équation (E′) : x2 −52x +480= 0, où x est un entier naturel. Proposition 5 : « Il existe deux entiers naturels non nuls dont le PGCD et le PPCM sont solutions de l’équation (E′). »

Exercices de spécialité 39

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

34 Pondichéry avril 2010 Retour au tableau Les parties A et B peuvent, dans leur quasi-totalité, être traitées de façon indépendante.

Partie A

Dans cette partie, on se propose d’étudier des couples (a, b) d’entiers strictement positifs, tels que :

a2 = b3

Soit (a, b) un tel couple et d = PGCD(a, b). On note u et v les entiers tels que a = du et b = d v .

1. Montrer que u2 = d v 3. 2. En déduire que v divise u, puis que v = 1. 3. Soit (a, b) un couple d’entiers strictement positifs.

Démontrer que l’on a a2 = b3 si et seulement si a et b sont respectivement le cube et le carré d’un même entier.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fruc- tueuse. sera prise en compte dans l’évaluation. Montrer que si n est le carré d’un nombre entier naturel et le cube d’un autre entier, alors n ≡ 0 [7] ou n ≡ 1 [7].

Partie B

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère la surface S d’équation x2 ×

y2 = z3. Pour tout réel λ, on note Cλ la section de S par le plan d’équation z =λ.

1. Les graphiques suivants donnent l’allure de Cλ tracée dans le plan d’équation z =λ, selon le signe de λ. Attribuer à chaque graphique l’un des trois cas suivants : λ< 0, λ= 0,λ> 0, et justifier l’allure de chaque courbe.

graphique 1

(pas de courbe visible)

graphique 2 graphique 3

Cλ

2. 1. Déterminer le nombre de points de C25 dont les coordonnées sont des nombres entiers stric- tement positifs.

2. Pour cette question, on pourra éventuellement s’aider de la question 3 de la partie A. Déterminer le nombre de points de C2010 dont les coordonnées sont des nombres entiers strictement positifs

Exercices de spécialité 40

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

135 Centres étrangers juin 2002 Retour au tableau

Soit p un nombre premier donné. On se propose d’étudier l’existence de couples (x ; y) d’entiers natu- rels strictement positifs vérifiant l’équation :

E : x2 + y2 = p2

1. On pose p = 2. Montrer que l’équation E est sans solution. On suppose désormais p " 2 et que le couple (x ; y) est solution de l’équation E.

2. Le but de cette question est de prouver que x et y sont premiers entre eux. 1. Montrer que x et y sont de parités différentes.

2. Montrer que x et y ne sont pas divisibles par p.

3. En déduire que x et y sont premiers entre eux.

3. On suppose maintenant que p est une somme de deux carrés non nuls, c’est-à-dire : p = u2 + v 2 où u et v sont deux entiers naturels strictement positifs.

1. Vérifier qu’alors le couple (∣∣u2 −v 2

∣∣ ; 2uv )

est solution de l’équation E.

2. Donner une solution de l’équation E, lorsque p = 5 puis lorsque p = 13.

4. On se propose enfin de vérifier sur deux exemples, que l’équation E est impossible lorsque p n’est pas somme de deux carrés.

1. p = 3 et p = 7 sont-ils somme de deux carrés ?

2. Démontrer que les équations x2+y2 = 9 et x2+y2 = 49 n’admettent pas de solution en entiers naturels strictement positifs.

Exercices de spécialité 145

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

134 Asie juin 2002 Retour au tableau

On considère les suites (xn) et (yn) définies par x0 = 1, y0 = 8 et  



xn+1 = 7 3

xn + 1 3

yn +1

yn+1 = 20 3

xn + 8 3

yn +5 , n ∈N

1. Montrer, par récurrence, que les points Mn de coordonnées ( xn , yn

) sont sur la droite (∆) dont

une équation est 5x y +3= 0. En déduire que xn+1 = 4xn +2.

2. Montrer, par récurrence, que tous les xn sont des entiers naturels. En déduire que tous les yn sont aussi des entiers naturels.

3. Montrer que : 1. xn est divisible par 3 si et seulement si yn est divisible par 3.

2. Si xn et yn ne sont pas divisibles par 3, alors ils sont premiers entre eux.

4. 1. Montrer, par récurrence, que xn = 1 3

(4n ×5−2) .

2. En déduire que 4n ×5−2 est un multiple de 3, pour tout entier naturel n.

Exercices de spécialité 144

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

35 Nouvelle Calédonie novembre 2009 Retour au tableau Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

Soit n un entier naturel non nul.

1. On considère l’équation notée (E ) : 3x +7y = 102n x et y sont des entiers relatifs. 1. Déterminer un couple (u ; v) d’entiers relatifs tels que 3u +7v = 1.

En déduire une solution particulière ( x0 ; y0

) de l’équation (E ).

2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs (x ; y) solutions de (E ).

2. On considère l’équation notée (G)

3x2 +7y2 = 102n x et y sont des entiers relatifs.

1. Montrer que 100≡ 2 (modulo 7). Démontrer que si (x ; y) est solution de (G) alors 3x2 ≡ 2n (modulo 7).

2. Reproduire et compléter le tableau suivant :

Reste de la division eu- clidienne de x par 7

0 1 2 3 4 5 6

Reste de la division eu- clidienne de 3x2 par 7.

3. Démontrer que 2n est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7. En déduire que l’équation (G) n’admet pas de solution.

Exercices de spécialité 41

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

36 Amérique du Sud novembre 2009 Retour au tableau On considère un carré direct ABCD (c’est à dire un carré ABCD tel que :(−→ AB ;

−−→ AD

) =

π

2 [2π]) de centre I.

Soit J, K et L les milieux respectifs des segments [AB], [CD] et [DA]. Γ1 désigne le cercle de diamètre [AI] et Γ2 désigne le cercle de diamètre [BK].

Partie A

1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe s telle que s(A) = I et s(B) = K.

2. Montrer que les cercles Γ1 et Γ2 se coupent en deux points distincts : le point J et le centre Ω de la similitude directe s.

3. a. Déterminer les images par s des droites (AC) et (BC). En déduire l’image du point C par s.

b. Soit E l’image par s du point I. Démontrer que E est le milieu du segment [ID].

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, sera prise en compte dans l’évaluation. Démontrer que les points A, Ω et E sont alignés. (On pourra considérer la transformation t = s s).

Partie B

Désormais, on considère que le côté du carré mesure 10 unités et on se place dans le repère orthonormé

direct ( A ;

1 10

−→ AB ;

1 10

−−→ AD

) .

1. Donner les affixes des points A, B, C et D.

2. Démontrer que la similitude directe s a pour écriture complexe

z ′ = i 2

z +5+5i.

3. Calculer l’affixe ω du centre Ω de s.

4. Calculer l’affixe zE du point E et retrouver l’alignement des points A, Ω et E.

5. Démontrer que les droites (AE), (CL) et (DJ) sont concourantes au point Ω.

Exercices de spécialité 42

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

133 Antilles–Guyane juin 2002 Retour au tableau

Le plan P est rapporté à un repère orthonormé direct ( O,

−→ OI ,

−→ OJ

) (unité graphique 4 cm)

1. On considère les points A, B , C , D et E d’affixes respectives :

ZA = ei π 6 , ZB = ei

2π 3 , ZC =−1, ZD =−i et ZE = e−i

π 6 .

1. Faire la figure

2. Montrer que EA = ED et que EB = EC. Montrer que (OE) est la médiatrice du segment [AD] et du segment [BC]

3. Déterminer les points K et L images respectives de A et de B par la translation t de vecteur −→ OI . Placer les points K et L sur la figure.

2. On considère l’application F qui à tout point M d’affixe Z associe le point M ′ d’affixe Z ′ = (

1 2 − i

' 3

2

)

Z

Z désigne le conjugué de Z .

1. Justifier l’égalité F = R S S est la réflexion ou symétrie axiale d’axe (OI) et R une rotation dont on précisera le centre et l’angle.

2. Montrer que F est une réflexion dont on précisera l’axe.

3. Soit G l’application qui, à tout point M d’affixe Z associe le point M ′′ dont l’affixe Z ′′ définie par la formule Z ′′ =

( 1 2 − i

' 3

2

)

Z +1.

Déterminer une application T telle que G = T F . En déduire que G est un antidéplacement.

Exercices de spécialité 143

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

132 Amérique du Nord juin 2002 Retour au tableau

Soit (E) l’ensemble des entiers naturels écrits, en base 10, sous la forme abba a est un chiffre supé- rieur ou égal à 2 et b est un chiffre quelconque. Exemples d’éléments de (E) : 2 002 ; 3 773 ; 9 119. Les parties A et B peuvent être traitées séparément.

Partie A : Nombre d’éléments de (E) ayant 11 comme plus petit facteur premier.

1. 1. Décomposer 1 001 en produit de facteurs premiers. 2. Montrer que tout élément de (E) est divisible par 11.

2. 1. Quel est le nombre d’éléments de (E) ? 2. Quel est le nombre d’éléments de (E) qui ne sont ni divisibles par 2 ni par 5 ?

3. Soit n un élément de (E) s’écrivant sous la forme abba. 1. Montrer que : « n est divisible par 3 » équivaut à « a+b est divisible par 3 ».

2. Montrer que : « n est divisible par 7 » équivaut à « b est divisible par 7 ».

4. Déduire des questions précédentes le nombre d’éléments de (E) qui admettent 11 comme plus petit facteur premier.

Partie B : Étude des éléments de (E) correspondant à une année bissextile.

Soit (F) l’ensemble des éléments de (E) qui correspondent à une année bissextile. On admet que pour tout élément n de (F), il existe des entiers naturels p et q tels que :

n = 2 000+4p et n = 2 002+11q.

1. On considère l’équation (e) : 4p −11q = 2 où p et q sont des entiers relatifs. Vérifier que le couple (6, 2) est solution de l’équation (e) puis résoudre l’équation (e).

2. En déduire que tout entier n de (F) peut s’écrire sous la forme 2 024 + 44 k k est un entier relatif. 3. À l’aide de la calculatrice déterminer les six plus petits éléments de (F).

N.B. : Liste des nombres premiers inférieurs à 40 :

2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37.

Exercices de spécialité 142

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

37 Antilles - Guyane septembre 2009 Retour au tableau L’espace est muni d’un repère orthonormé

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère la surface S1 d’équation z = x2 + y2, et la surface S2 d’équation z = x y +2x.

PARTIE A

On note P le plan d’équation x = 2, E1 l’intersection de la surface S1 et du plan P et E2 l’intersection de la surface S2 et du plan P . En annexe, le plan P est représenté muni du repère

( A ;

−→ ,

−→ k )

où A est le point de coordonnées (2 ; 0 ; 0).

1. 1. Déterminer la nature de l’ensemble E1. 2. Déterminer la nature de l’ensemble E2.

2. 1. Représenter les ensembles E1 et E2 sur la feuille annexe. 2. Dans le repère

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

donner les coordonnées des points d’intersection B et C des ensembles E1 et E2.

PARTIE B

On pourra utiliser sans démonstration la propriété suivante : « soient a, b et c des entiers avec a premier. Si a divise bc alors a divise b ou a divise c. »

L’objectif de cette partie est de déterminer les points d’intersection M(x ; y ; z) des surfaces S1 et S2 où y et z sont des entiers relatifs et x un nombre premier. On considère un tel point M(x ; y ; z).

1. 1. Montrer que y(y x) = x(2−x). 2. En déduire que le nombre premier x divise y .

2. On pose y = kx avec k ∈Z. 1. Montrer que x divise 2, puis que x = 2.

2. En déduire les valeurs possibles de k.

3. Déterminer les coordonnées possibles de M et comparer les résultats avec ceux de la PARTIE A, question 2. b.

Exercices de spécialité 43

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

5

10

−5

5−5 y

z

A −→

−→ k

Exercices de spécialité 44

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

131 Métropole septembre 2002 Retour au tableau

C B

D A E1 E2

E3

A1 E4

On considère un rectangle direct ABCD vérifiant : AB = 10 cm et AD = 5 cm.

1. Faire une figure : construire ABCD, puis les images respectives M, N et P de B, C et D par la rotation r de centre A et d’angle −

π

2 .

2. 1. Construire le centre Ω de la rotation r ′ qui vérifie r ′(A) = N et r ′(B) = P. Déterminer l’angle de r ′.

2. Montrer que l’image de ABCD par r ′ est AMNP.

3. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation r−1 ◦ r ′.

3. On considère les images successives des rectangles ABCD et AMNP par la translation de vecteur −−→ DM . Sur la demi-droite [DA), on définit ainsi la suite de points (Ak )k"1 vérifiant, en cm, DAk = 5+15k. Sur la même demi-droite, on considère la suite de points (En)n"1 vérifiant, en cm, DEn = 6,55n.

1. Déterminer l’entier k tel que E120 appartienne à [Ak , Ak+1]. Que vaut la longueur Ak E120 en cm ?

2. On cherche dans cette question pour quelle valeur minimale n0 le point En0 est confondu avec un point Ak .

Montrer que si un point En est confondu avec un point Ak alors 131n −300k = 100. Vérifier que les nombres n = 7 100 et k = 3 100 forment une solution de cette équation. Déterminer la valeur minimale n0 recherchée.

Exercices de spécialité 141

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

130 Antilles–Guyane septembre 2002 Retour au tableau

Dans le plan, on considère deux segments [AC] et [BD] tels que

AC = BD et 6(−−→

AC , −−→ BD

) =−

π

2 .

On désigne par M le milieu de [AC] et par N celui de [BD]. On appelle (C1), (C2), (C3) et (C4) les cercles de diamètres respectifs [AB], [BC] , [CD] et [DA]. On pourra s’aider de la figure ci-jointe.

1. 1. Soit r la rotation qui transforme A en B et C en D. Quel est l’angle de r ? Montrer que le centre I de r appartient aux cercles (C1) et (C3).

2. Soit r ′ la rotation qui transforme A en D et C en B. Quel est l’angle de r ′ ? Montrer que le centre J de r ′ appartient aux cercles (C2) et (C4).

3. Quelle est la nature du quadrilatère INJM ? On désigne par P et R les points diamètralement opposés à I sur, respectivement, (C1) et (C3) et par Q et S les points diamètralement opposés à J sur, respectivement, (C2) et (C4).

2. Soit s la similitude directe de centre I, de rapport '2 et d’angle π 4

.

1. Quelles sont les images par s des points D, N, B ?

2. En déduire que J est le milieu de [PR].

A

B

C

D

M

N

IJ

P

Q

R

S

(C3)

(C4)

(C1)

(C2)

Exercices de spécialité 140

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

38 Polynésie septembre 2009 Retour au tableau Le plan complexe P est muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) , unité graphique : 2 cm.

On appelle (Γ) le cercle de centre O et de rayon 1.

On fera une figure que l’on complétera tout au long de l’exercice.

On appelle F l’application du plan P privé du point O dans P qui, à tout point M différent de O, d’affixe z, associe le point M ′ = F (M) d’affixe z ′ définie par :

z ′ = z + i− 1 z

.

1. On considère les points A et B d’affixes respectives a = i et b = eiπ6 et leurs images A′ et B′ par F d’affixes respectives a′ et b′.

1. Calculer a′ et b′.

2. Placer les points A, A′ B et B′.

3. Démontrer que −b

b′ −b =

' 3

3 i.

4. En déduire la nature du triangle OBB′.

2. On recherche l’ensemble (E) des points du plan P privé du point O qui ont pour image par F , le point O.

1. Démontrer que, pour tout nombre complexe z,

z2 + iz −1=

(

z +

' 3

2 +

1 2

i

)(

z

' 3

2 +

1 2

i

)

.

2. En déduire les affixes des points de l’ensemble (E).

3. Démontrer que les points de (E) appartiennent à (Γ).

3. Soit θ un réel. 1. Démontrer que si z = eiθ alors z ′ = (2 sinθ+1)i.

2. En déduire que si M appartient au cercle (Γ) alors M ′ appartient au segment [A′C] où C a pour affixe −i.

Exercices de spécialité 45

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

39 Métropole septembre 2009 Retour au tableau

1. 1. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2 009 par 11. 2. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 210 par 11.

3. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 22009 +2 009 par 11.

2. On désigne par p un nombre entier naturel. On considère pour tout entier naturel non nul n le nombre An = 2n +p. On note dn le PGCD de An et An+1.

1. Montrer que dn divise 2n .

2. Déterminer la parité de An en fonction de celle de p. Justifier.

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Déterminer la parité de dn en fonction de celle de p.

En déduire le PGCD de 22009 +2 009 et 22010 +2 009.

Exercices de spécialité 46

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

129 Nouvelle–Calédonie novembre 2002 Retour au tableau

On considère deux entiers naturels, non nuls, x et y premiers entre eux. On pose S = x + y et P = x y .

1. 1. Démontrer que x et S sont premiers entre eux, de même que y et S. 2. En déduire que S = x + y et P = x y sont premiers entre eux.

3. Démontrer que les nombres S et P sont de parités différentes (l’un pair, l’autre impair).

2. Déterminer les diviseurs positifs de 84 et les ranger par ordre croissant. 3. Trouver les nombres premiers entre eux x et y tels que : SP = 84. 4. Déterminer les deux entiers naturels a et b vérifiant les conditions suivantes :

{ a+b = 84 ab = d 3

avec d = pgcd(a;b)

(On pourra poser a = d x et b = d y avec x et y premiers entre eux)

Exercices de spécialité 139

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

128 Amérique du Sud décembre 2002 Retour au tableau

On considère la suite d’entiers définie par an = 111 . . .11 (l’écriture décimale de an est composée de n chiffres 1). On se propose de montrer que l’un, au moins, des termes de la suite est divisible par 2 001.

1. En écrivant an sous la forme d’une somme de puissances de 10, montrer que pour tout entier naturel n non nul, an =

10n −1 9

.

2. On considère la division euclidienne par 2 001 : expliquer pourquoi parmi les 2 002 premiers termes de la suite, il en existe deux, au moins, ayant le même reste.

Soit an et ap deux termes de la suite admettant le même reste (n < p). Quel est le reste de la division euclidienne de ap an par 2 001 ?

3. Soit k et m deux entiers strictement positifs vérifiant k < m. Démontrer l’égalité am an = amn ×10k .

4. Calculer le PGCD de 2 001 et de 10. Montrer que si 2 001 divise am ak , alors 2 001 divise amk .

5. Démontrer alors que l’un, au moins, des termes de la suite est divisible par 2 001.

Exercices de spécialité 138

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

40 Amérique du Nord juin 2009 Retour au tableau Soit A l’ensemble des entiers naturels de l’intervalle [1 ; 46].

1. On considère l’équation (E ) : 23x +47y = 1

x et y sont des entiers relatifs.

1. Donner une solution particulière ( x0, y0

) de (E ).

2. Déterminer l’ensemble des couples (x, y) solutions de (E ).

3. En déduire qu’il existe un unique entier x appartenant à A tel que 23x ≡ 1 (47).

2. Soient a et b deux entiers relatifs. 1. Montrer que si ab ≡ 0 (47) alors a ≡ 0 (47)) ou b ≡ 0 (47).

2. En déduire que si a2 ≡ 1 (47) alors a ≡ 1 (47) ou a a ≡−1 (47).

3. 1. Montrer que pour tout entier p de A, il existe un entier relatif q tel que p ×q ≡ 1 (47). Pour la suite, on admet que pour tout entier p de A, il existe un unique entier, noté inv(p), appartenant à A tel que p × inv(p) ≡ 1 (47). Par exemple :

inv(1) = 1 car 1×1≡ 1 (47), inv(2)= 24 car 2×24≡ 1 (47), inv(3) = 16 car 3×16=≡ 1 (47).

2. Quels sont les entiers p de A qui vérifient p = inv(p) ?

3. Montrer que 46! ≡−1 (47).

Exercices de spécialité 47

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

41 Liban juin 2009 Retour au tableau

Le but de l’exercice est de montrer qu’il existe un entier naturel n dont l’écriture décimale du cube se termine par 2009, c’est-à-dire tel que n3 ≡ 2009 mod 10 000.

Partie A

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de 2 0092 par 16. 2. En déduire que 2 0098001 ≡ 2009 mod 16.

Partie B

On considère la suite (un) définie sur N par : u0 = 2 0092 − 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = (un +1)5 −1.

1. 1. Démontrer que u0 est divisible par 5. 2. Démontrer, en utilisant la formule du binôme de Newton, que pour tout entier naturel n,

un1 = un [ u4n +5

( u3n +2u

2 n +2un +1

)] .

3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un est divisible par 5n+1.

2. 1. Vérifier que u3 = 2 009250 −1 puis en déduire que 2 009250 ≡ 1 mod 625. 2. Démontrer alors que 2 0098001 ≡ 2 009 mod 625.

Partie C

1. En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes, montrer que 2 0098001 −2 009 est divisible par 10 000.

2. Conclure, c’est-à-dire déterminer un entier naturel dont l’écriture décimale du cube se termine par 2 009.

Exercices de spécialité 48

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

A B

C

A1

B1

C1

I

JK d1

d2

d3

α

α

α

Exercices de spécialité 137

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

127 Pondichéry juin 2003 Retour au tableau

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante

Première partie ABC est un triangle direct du plan orienté. On désigne respectivement par I, J et K les milieux de [AB], [BC] et [CA]. Soit α un réel qui conduit à la réalisation de la figure jointe sur laquelle on raisonnera. Cette figure sera jointe à la copie. d1 est l’image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d’angle α. d2 est l’image de la droite (BC) par la rotation de centre J et d’angle α. d3 est l’image de la droite (CA) par la rotation de centre K et d’angle α. A1 est le point d’intersection de d1 et d3, B1 celui de d1 et d2 et C1 celui de d2 et d3.

1. On appelle H le point d’intersection de (BC) et d1. Montrer que les triangles HIB et HB1J sont semblables.

2. En déduire que les triangles ABC et A1B1C1 sont semblables.

Deuxième partie Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

A - Construction de la figure

1. Placer les points A(−4−6i), B(14), C(−4+6i), A1(3−7i), B1(9+5i) et C1(−3− i). 2. Calculer les affixes des milieux I, J et K des segments [AB], [BC] et [CA]. Placer ces points sur la

figure.

3. Montrer que A1, I, B1 sont alignés. On admettra que B1, J, C1 d’une part et C1, K, A1 d’autre part sont alignés.

4. Déterminer une mesure en radians de l’angle (−→ IB ,

−−→ IB1

) .

On admettra que (−−→ KA ,

−−→ KA1

) =

π

4 et que

(−→ JC ,

−−→ JC1

) =

π

4 .

5. Quelle est l’image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d’angle π 4

?

B - Recherche d’une similitude directe transformant ABC en A1B1C1 On admet qu’il existe une similitude directe s transformant les points A, B et C en A1, B1 et C1.

1. Montrer que l’écriture complexe de s est z ′ = (

1 2 +

1 2

i )

z+2−2i, où z et z ′ désignent respectivement

les affixes d’un point et de son image par s.

2. 1. Déterminer le rapport et l’angle de s. 2. Déterminer l’affixe du centre Ω de s.

3. Que représente le point Ω pour ABC ?

Le candidat joindra cette figure à sa copie

Exercices de spécialité 136

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

42 Polynésie juin 2009 Retour au tableau

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct. On supposera connu le résultat suivant : Une application f du plan dans lui-même est une similitude directe si et seulement si f admet une écriture complexe de la forme z ′ = az +b a ∈C− {0} et b ∈C. Démontrer que si A, B, A′ et B′ sont quatre points teIs que A est distinct de B et A′ est distinct de B′, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A′ et B en B′.

Partie B

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) , unité graphique 2 cm.

On note A, B, C, D et E les points d’affixes respectives

zA = 2i, zB = 2, zC = 4+6i, zD =−1+ i et zE =−3+3i.

1. Placer les points sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure des questions. 2. Déterminer la nature du triangle ABC. 3. Soit f la similitude plane directe telle que f (A) = D et f (B) = A.

1. Donner l’écriture complexe de f .

2. Déterminer l’angle, le rapport et le centre Ω de cette similitude.

3. Montrer que le triangle DAE est l’image du triangle ABC par la similitude f .

4. En déduire la nature du triangle DAE.

4. On désigne par (Γ1) le cercIe de diamètre [AB] et par (Γ2) le cercle de diamètre [AD]. On note M le second point d’intersection du cercle (Γ1) et de la droite (BC), et N le second point d’intersection du cercle (Γ2) et de la droite (AE).

1. Déterminer l’image de M par la similitude f .

2. En déduire la nature du triangle ΩM N .

3. Montrer que MNE = MNA.

Exercices de spécialité 49

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

43 Centres étrangers juin 2009 Retour au tableau 1. On note (E) l’équation 3x +2y = 29 où x et y sont deux nombres entiers relatifs.

1. Déterminer un couple d’entiers solution de l’équation (E).

2. Déterminer tous les couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).

3. Préciser les solutions de l’équation (E) pour lesquelles on a à la fois x " 0 et y " 0 ;

2. Intersections d’un plan avec les plans de coordonnées L’espace est muni du repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,