Exercices de spécialité en géométrie, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Exercices de spécialité en géométrie, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercices de spécialité en géométrie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la valeur exacte de l’intégrale I, En déduire les coordonnées des pointsMet N.
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[ Baccalauréat S Géométrie\ Index des exercices de géométrie de septembre 1999 à juin 2012

Tapuscrit : DENIS VERGÈS

No Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie Application

1 Asie juin 2012 × × 2 Centres étrangers juin 2012 × × 3 Libanmai 2012 × 4 Pondichéry avril 2012 × × 5 Amérique du Sud novembre 2011 × × 6 Nouvelle-Calédonie novembre 2011 × × 7 Polynésie septembre 2011 × × 8 Métropole septembre 2011 × × 9 Antilles-Guyane septembre 2011 × × 10 Polynésie juin 2011 × × 11 Métropole juin 2011 × × 12 Centres étrangers juin 2011 × × 13 Asie juin 2011 × × 14 Antilles–Guyane juin 2011 × × 15 Liban 30 juin 2011 × × 16 Amérique du Nord mai 2011 × × 17 Pondichéry avril 2011 × × 18 Nouvelle-Calédoniemars 2011 × × 19 Amérique du Sud décembre 2010 × × 20 Nouvelle-Calédonie novembre 2010 × × 21 Métropole septembre 2010 × × 22 La Réunion septembre 2010 × × 23 Antilles-Guyane septembre 2010 × × 24 Polynésie juin 2010 × × 25 Liban juin 2010 × × 26 Centres étrangers juin 2010 × × 27 Pondichéry avril 2010 × × 28 Nouvelle-Calédonie nov. 2009 × × 29 Amérique du Sud novembre 2009 × × 30 Polynésie septembre 2009 × × 31 Métropole & La Réunion sept. 2009 × × 32 Antilles-Guyane septembre 2009 × × 33 La Réunion juin 2009 × × 34 Centres étrangers juin 2009 × × 35 Liban juin 2009 × × 36 Amérique du Nord juin 2009 × × 37 Pondichéry avril 2009 × × 38 Nouvelle-Calédoniemars 2009 × × 39 Amérique du Sud novembre 2008 × × 40 Nouvelle-Calédonie nov. 2008 × ×

Baccalauréat S

No Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie Application

41 Polynésie septembre 2008 × × 42 Métropole & La Réunion sept. 2008 × × × × 43 Polynésie juin 2008 × × 44 Métropole juin 2008 × × 45 Centres étrangers juin 2008 × × 46 Asie juin 2008 × 47 Antilles-Guyane juin 2008 × × 48 Amérique du Nord mai 2008 × × 49 Pondichéry avril 2008 × 50 Nouvelle-Calédoniemars 2008 × × 51 Nouvelle-Calédonie déc. 2007 × 52 Amérique du Sud novembre 2007 × 53 Polynésie septembre 2007 × 54 Polynésie juin 2007 × × 55 Métropole juin 2007 × × 56 Antilles-Guyane juin 2007 × 57 Amérique du Nord juin 2007 × 58 Liban juin 2007 × 59 Pondichéry avril 2007 × 60 Nouvelle-Calédoniemars 2007 × 61 Polynésie septembre 2006 × 62 Métropole septembre 2006 × 63 Polynésie juin 2006 × × 64 La Réunion juin 2006 × × 65 Métropole juin 2006 × × 66 Centres étrangers juin 2006 × × 67 Antilles-Guyane juin 2006 × × 68 Pondichéry avril 2006 × × 69 Amérique du Sud novembre 2005 × 70 Polynésie septembre 2005 × × 71 Métropole septembre 2005 × 72 Antilles-Guyane septembre 2005 × × 73 Asie juin 2005 × × 74 Centres étrangers juin 2005 × × 75 La Réunion juin 2005 × 76 Métropole juin 2005 × × 77 Polynésie juin 2005 × 78 Pondichéry avril 2005 × 79 Nouvelle-Calédonie nov. 2004 × 80 Antilles-Guyane septembre 2004 × 81 Amérique du Nord mai 2004 × 82 Antilles-Guyane juin 2004 × × No Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie Application

Exercices de géométrie 2

Baccalauréat S

83 Métropole juin 2004 × 84 Nouvelle-Calédoniemars 2004 × × 85 Nouvelle-Calédonie nov. 2003 × 86 Polynésie septembre 2003 × 87 Asie juin 2003 × 88 Métropole juin 2003 × 89 La Réunion juin 2003 × 90 Polynésie juin 2003 × 91 Nouvelle-Calédonie déc. 2001 × × 92 Amérique du Nord juin 2001 × 93 Métropole juin 2001 × × 94 Nouvelle-Calédonie déc. 2000 × 95 Métropole septembre 2000 × × 96 Polynésie septembre 2000 × 97 Amérique du Nord juin 2000 × 98 Centres étrangers juin 2000 × 99 Nouvelle-Calédonie déc. 1999 × ×

Exercices de géométrie 3

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

1 Asie juin 2012

Les cinq questions sont indépendantes. Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse, en

justifiant la réponse. Une réponse correcte et justifiée rapporte 1 point.

1. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère la droite D dont on

donne une représentation paramétrique, et le plan P dont on donne une équation cartésienne :

D

  

x = 1−2t y = t z = −5−4t

(t ∈R) et P : 3x+2y z−5= 0.

Affirmation 1 : la droite D est strictement parallèle au plan P .

2. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère le point A(1 ; 9 ; 0) et

le plan P d’équation cartésienne : 4xy z+3= 0.

Affirmation 2 : la distance du point A au plan P est égale à

p 3

2 .

3. Soit la fonction f définie pour tout réel x par : f (x)= 3

1+e−2x .

On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan.

Affirmation 3 : la courbe C admet deux asymptotes parallèles à l’axe des abscisses.

4. Pour tout réel x, on pose F (x)= ∫x

1 (2− t )e−t dt .

Affirmation 4 : F (x) est négatif ou nul quelle que soit la valeur du réel x supérieur à 1.

5. On considère l’intégrale I = ∫e

1 t2 ln t dt .

Affirmation 5 : la valeur exacte de l’intégrale I est : 2e3+1

9 .

Exercices de géométrie 4

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

2 Centres étrangers juin 2012

On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1.

On se place dans le repère orthonormal ( A ;

−→ AB ;

−→ AD ;

−→ AE

) .

On considère les points I

( 1 ;

1

3 ; 0

) , J

( 0 ;

2

3 ; 1

) , K

( 3

4 ; 0 ; 1

) et L(a ; 1 ; 0) avec a un nombre réel apparte-

nant à l’intervalle [0 ; 1].

B C

DA

F G

HE

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ).

2. Démontrer que la droite (KL) a pour représentation paramétrique   

x = 3

4 + t

( a

3

4

)

y = t z = 1− t

, t ′ ∈R

3. Démontrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si, et seulement si, a = 1

4 .

Partie B

Dans la suite de l’exercice, on pose a = 1

4 .

Le point L a donc pour coordonnées

( 1

4 ; 1 ; 0

) .

1. Démontrer que le quadrilatère IKJL est un parallélogramme.

2. La figure ci-dessous fait apparaître l’intersection du plan (IJK) avec les faces du cube ABCDEFGH telle qu’elle a été obtenue à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. . On désigne parM le point d’intersection du plan (IJK) et de la droite (BF) et par N le point d’inter-

Exercices de géométrie 5

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

section du plan (IJK) et de la droite (DH). B C

D A

F G

HE

b

b

b

b

b

b

I

K

J

M

N

L

Le but de cette question est de déterminer les coordonnées des points M et N.

1. Prouver que le vecteur −→n de coordonnées (8 ; 9 ; 5) est un vecteur normal au plan (IJK). 2. En déduire que le plan (IJK) a pour équation 8x+9y +5z−11= 0. 3. En déduire les coordonnées des points M et N

Exercices de géométrie 6

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

3 Libanmai 2012

Les quatre questions sont indépendantes.

Dans cet exercice, pour chaque question, une affirmation est proposée. On demande d’indiquer sur la

copie si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en

compte, mais toute trace de recherche sera valorisée.

1. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère les droites D1 et D2

de représentations paramétriques respectives :

  

x = 4+ t y = 6+2t z = 4− t

, t R , et

  

x = 8+5t y = 2−2t z = 6+ t

, t ′ ∈R .

Affirmation : les droites D1 etD2 sont coplanaires.

2. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère les points A(12 ;7 ;−13)

et B(3 ; 1 ; 2) ainsi que le plan P d’équation 3x+2y −5z = 1. Affirmation : le point B est le projeté orthogonal du point A sur le plan P .

3. On considère les suites u et v définies, pour tout entier naturel n, par :

un = n+1 n+2

et vn = 2+ 1

n+2

Affirmation : ces deux suites sont adjacentes.

4. On considère la suite u définie par son premier terme u0 = 1 et la relation de récurrence :

un+1 = 1

3 un +2, pour tout entier naturel n.

Affirmation : cette suite est majorée par 3.

Exercices de géométrie 7

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

4 Pondichéry avril 2012

Dans le repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) de l’espace, on considère :

– les plansP et P ′ d’équations :

P : xy z−2= 0 et P ′ : x+ y +3z = 0.

– la droite D ayant pour représentation paramétrique :

  

x = −3−2t y = 2t z = 1+2t

t ∈R.

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse. Une justification est attendue pour chaque réponse.

Proposition 1 La droite D est orthogonale au plan P . Proposition 2 La sphère S de centre O et de rayon 2 est tangente au plan P . Proposition 3 L’intersection des plans P et P ′ est la droite∆ dont une représentation paramétrique est :

  

x = 1− t y = −1−2t z = t

t ′ ∈R.

Proposition 4 Les droites D et ∆ sont coplanaires.

Exercices de géométrie 8

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

5 Amérique du Sud novembre 2011

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de

la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche,

même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) . On considère le point A de coordonnées

(−1 ; −1 ; 1) et les droites D et D′ de représentations paramétriques :

D

  

x = 2t −1 y = −3t +2 z = t

t ∈R D′   

x = 3t y = t ′+2 z = 3t ′−2

t ′ ∈R

Proposition 1 : « Le point A appartient à la droite D ». Proposition 2 : « Le plan perpendiculaire à la droite D passant par le point O a pour équation : 2x−3y + z = 0 ». Proposition 3 : « Les droites D et D′ sont orthogonales ». Proposition 4 : « Les droites D et D′ sont coplanaires ».

Proposition 5 : « La distance du point A au plan d’équation 2x−3y + z = 0 est p 14

7 .

Exercices de géométrie 9

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

6 Nouvelle-Calédonie novembre 2011

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les points : A(0 ; 0 ; 2), B(0 ; 4 ; 0) et C(2 ; 0 ; 0).

1. a. Vérifier qu’une équation du plan (ABC) est : 2x+ y +2z = 4. b. Calculer la distance du point O au plan (ABC).

2. a. Déterminer une équation du plan P passant par A et orthogonal à la droite (BC).

b. Soit ∆ la droite intersection du plan P et du plan (ABC). Déterminer une représentation pa- ramétrique de la droite ∆. Quel rôle joue cette droite dans le triangle ABC ?

3. a. Soit∆′ la médiane issue de B du triangle ABC.

Montrer qu’une équation paramétrique de ∆′ dans le triangle ABC est :

  

x = t y = 4−4t , z = t

t ∈R.

b. Montrer que le triangle ABC est un triangle isocèle.

4. Soit H le point d’intersection des droites ∆ et ∆′. Montrer que le point H a pour coordonnées( 8

9 ; 4

9 ; 8

9

) .

Que représente le point H pour le triangle ABC ?

5. Montrer que le point H est le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). Retrouver alors la distance du point O au plan (ABC).

Exercices de géométrie 10

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

7 Polynésie septembre 2011

Partie A

On rappelle que pour tous les points E et F de l’espace, EF2 = −→ EF 2 =

−→ EF ·

−→ EF .

Soient A et B deux points distincts de l’espace et I le milieu de [AB].

1. Démontrer que, pour tout pointM de l’espace, on a :

MA2+MB2 = 2MI2+ 1

2 AB2.

2. Déterminer la nature de l’ensemble (E) des pointsM de l’espace tels que

MA2+MB2 =AB2.

Partie B

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les plans (P) et (Q) d’équations respectives : 3x+4y + z−1= 0 et x−2y z+5= 0 et les points A et B de coordonnées respectives (−1 ; 0 ; 4) et (3 ; −4 ; 2).

1. Montrer que les plans (P) et (Q) sont sécants.

On nomme (∆) la droite d’intersection des plans (P) et (Q).

a. Montrer que le point A appartient à la droite (∆).

b. Montrer que −→ u (1 ; −2 ; 5) est un vecteur directeur de la droite (∆).

c. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite (∆).

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soit (E) l’ensemble des pointsM de l’espace tels queMA2+MB2 =AB2. Déterminer l’ensemble des points d’intersection de (E) et de la droite (∆). On précisera les coor- données de ces points.

Exercices de géométrie 11

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

8 Métropole septembre 2011

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

Partie A - Restitution organisée de connaissances

On désigne par a, b, c, d quatre réels tels que le vecteur −→ n = a−→ı +b−→+c

−→ k soit différent du vecteur nul.

On appelle P le plan d’équation ax+by +cz+d = 0. Démontrer que le vecteur

−→ n est un vecteur normal au plan P , c’est-à-dire que le vecteur

−→ n est orthogo-

nal à tout vecteur −−→ AB où A et B sont deux points quelconques du plan P .

Partie B - Questionnaire à choixmultiples

Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie

le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie ainsi que la justification de

ce choix.

Il est attribué 1 point si la réponse est exacte et justifiée.Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse fausse.

On désigne par P le plan d’équation cartésienne 2xy +3z = 0 et par A et B les deux points du plan P de coordonnées respectives (1 ; 2 ; 0) et (0 ; 3 ; 1).

1. Soient C, D, E les points de coordonnées respectives (1 ; 1 ; −1), (−1 ; 4 ; 2), (1 ; 5 ; 1). a. Les points A, B, C définissent le plan P .

b. Les points A, B, D définissent le plan P .

c. Les points A, B, E définissent le plan P .

2. La droiteD est définie par la représentation paramétrique :

  

x = 1− t y = t , z = 2+ t

t ∈R.

a. La droiteD est perpendiculaire au plan P .

b. La droiteD est strictement parallèle au plan P .

c. La droiteD est incluse dans le plan P .

3. Soit S la sphère de centreΩ, de coordonnées (2 ; 5 ; 1), et de rayon 1

2 . L’ensemble des points com-

muns à la sphère S et au plan P est :

a. vide,

b. constitué d’un seul point,

c. un cercle.

Exercices de géométrie 12

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

9 Antilles-Guyane septembre 2011

L’espace est muni d’un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les trois points A, B et C de coordonnées respectives : A(−1 ; 2 ; 1) , B(1 ; −6 ; −1) et C (2 ; 2 ; 2).

1. a. Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan.

b. Montrer que le vecteur −→ n

 

1 1

−3

  est un vecteur normal au plan (ABC).

c. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

2. Soit P le plan d’équation : xy + z−4= 0. a. Montrer que les plans (ABC) et P sont sécants.

b. Soit D la droite intersection des plans P et (ABC). Déterminer une représentation paramé- trique de la droiteD.

3. On considère la sphère S de centreΩ(3 ; 1 ; 3) et de rayon 3 et on nomme I le point de coordonnées (2 ; −1 ; 1). On admet que la droiteD a pour représentation paramétrique :

  

x = 1+ t y = −3+2t z = t ,

t ∈R.

a. Montrer que le point I appartient à la droiteD.

b. Montrer que le point I appartient à la sphère S.

c. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiativemêmenon fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Montrer que la droiteD coupe la sphère S en un deuxième point.

Exercices de géométrie 13

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

10 Polynésie juin 2011

On considère le cube ABCDEFGH de côté 1 représenté ci-dessous.

A B

CD

E F

GH

Dans tout l’exercice, l’espace est rapporté au repère orthonormal ( D ;

−−→ DA ,

−−→ DC ,

−−→ DH

) . On note K le bary-

centre des points pondérés (D, 1) et (F, 2).

Partie A

1. Montrer que le point K a pour coordonnées

( 2

3 ; 2

3 ; 2

3

) .

2. Montrer que les droites (EK) et (DF) sont orthogonales.

3. Calculer la distance EK.

Partie B

SoitM un point du segment [HG]. On notem = HM (m est donc un réel appartenant à [0 ; 1]).

1. Montrer que, pour tout réel m appartenant à l’intervalle [0 ; 1], le volume du tétraèdre EMFD, en

unités de volume, est égal à 1

6 .

2. Montrer qu’une équation cartésienne du plan (MFD) est

(−1+m)x+ y mz = 0. 3. On note dm la distance du point E au plan (MFD).

a. Montrer que, pour tout réelm appartenant à l’intervalle [0 ; 1],

dm = 1

p 2m2−2m+2

.

b. Déterminer la position deM sur le segment [HG] pour laquelle la distance dm est maximale.

c. En déduire que lorsque la distance dm est maximale, le point K est le projeté orthogonal de E sur le plan (MFD).

Exercices de géométrie 14

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

ANNEXE

Cette page ne sera pas à rendre avec la copie

1

1 2-1 x

y

O

Exercices de géométrie 15

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

11 Métropole juin 2011

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

Partie A – Restitution organisée de connaissances

On désigne parP le plan d’équation ax+by+cz+d = 0 et parM0 le point de coordonnées ( x0 ; y0 ; z0

) .

On appelle H le projeté orthogonal du pointM0 sur le plan P .

On suppose connue la propriété suivante :

Propriété : Le vecteur −→ n = a−→ı +b−→+c

−→ k est un vecteur normal au plan P .

Le but de cette partie est de démontrer que la distance d (M0,P ) du pointM0 au plan P , c’est-à-dire la distanceM0H , est telle que

d (M0, P )= ∣∣ax0+by0+cz0+d

∣∣ p a2+b2+c2

.

1. Justifier que ∣∣∣−→n ·−−−−→M0H

∣∣∣=M0H p a2+b2+c2.

2. Démontrer que −→ n ·

−−−−→ M0H =−ax0−by0−cz0−d .

3. Conclure.

Partie B

On désigne par A, B, C, F les points de coordonnées respectives (4 ; 1 ; 5), (−3 ; 2 ; 0), (1 ; 3 ; 6), (−7 ; 0 ; 4).

1. a. Démontrer que les points A, B, C définissent un plan P et que ce plan a pour équation car- tésienne x+2y z−1= 0.

b. Déterminer la distance d du point F au plan P .

2. Le but de cette question est de calculer la distance d par une autreméthode.

On appelle∆ la droite qui passe par le point F et qui est perpendiculaire au plan P .

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite∆.

b. Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point F sur le plan P .

c. Retrouver le résultat de la question 1. b.

3. Soit S la sphère de centre F et de rayon 6.

a. Justifier que le point B appartient à la sphère S .

b. Préciser le centre et déterminer le rayon du cercle C , intersection de la sphère S et du plan P .

Exercices de géométrie 16

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

12 Centres étrangers juin 2011

La figure ci-contre représente un cube ABCDEFGH d’arête 1. On désigne par I et J les milieux respectifs des arêtes [BC] et [CD]. SoitM un point quelconque du segment [CE]. Dans tout l’exercice, on se place dans le repère or-

thonormal ( A ;

−−→ AB ,

−−→ AD ,

−→ AE

) .

A

B C

D

E

F G

H

M

I

J

1. a. Donner, sans justification, les coordonnées des points C, E, I et J.

b. Justifier l’existence d’un réel t appartenant à l’intervalle [0 ; 1], tel que les coordonnées du pointM soient (1− t ; 1− t ; t ).

2. a. Démontrer que les points C et E appartiennent au plan médiateur du segment [IJ].

b. En déduire que le triangleMIJ est un triangle isocèle enM .

c. Exprimer IM2 en fonction de t .

3. Le but de cette question est de déterminer la position du pointM sur le segment [CE] pour laquelle la mesure de l’angle ÎMJ est maximale.

On désigne par θ la mesure en radian de l’angle ÎMJ.

a. En admettant que lamesure θ appartient à l’intervalle [0 ; π], démontrer que lamesure θ est

maximale lorsque sin

( θ

2

) est maximal.

b. En déduire que la mesure est maximale lorsque la longueur IM est minimale.

c. Étudier les variations de la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 1] par :

f (t )= 3t2− t + 1

4 .

d. En déduire qu’il existe une unique position M0 du point M sur le segment [EC] telle que la mesure de l’angle ÎMJ soit maximale.

e. Démontrer que le pointM0 est le projeté orthogonal du point I sur le segment [EC].

Exercices de géométrie 17

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

13 Asie juin 2011

On considère un cube ABCDEFGH, d’arête de longueur 1. On note I le point d’intersection de la droite (EC)

et du plan (AFH).

1. On se place dans le repère ( D ;

−−→ DA ,

−−→ DC ,

−−→ DH

) .

Dans ce repère, les sommets du cube ont pour coordonnées :

A(1 ; 0 ; 0)B(1 ; 1 ; 0)C(0 ; 1 ; 0)D(0 ;0 ; 0)E(1 ;0 ; 1)F(1 ; 1 ; 1)C(0 ; 1 ; 1)H(0 ;0 ; 1)

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC).

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (AFH).

c. En déduire les coordonnées du point I, puis montrer que le point I est le projeté orthogonal du point E sur le plan (AFH).

d. Vérifier que la distance du point E au plan (AFH) est égale à

p 3

3 .

e. Démontrer que la droite (HI) est perpendiculaire à la droite (AF).

Que représente le point I pour le triangle AFH ?

2. Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Définitions :

• un tétraèdre est dit de type 1 si ses faces ont même aire ; • il est dit de type 2 si les arêtes opposées sont orthogonales deux à deux ; • il est dit de type 3 s’il est à la fois de type 1 et de type 2.

Préciser de quel(s) type(s) est le tétraèdre EAFH.

A

B

C

D

E

F

G

H

I

b

b

b

b

b

b

b

b

b

Exercices de géométrie 18

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

14 Antilles-Guyane juin 2011

L’espace est rapporté à un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère la droiteD passant par le point A de coordonnées (3 ; −4 ; 1) et dont un vecteur directeur est

−→ u (1 ; −3 ; 1).

On considère la droiteD ′ dont une représentation paramétrique est :

  

x = −1− t y = 2+ t (t ∈R) z = 1− t

On admet qu’il existe une unique droite ∆ perpendiculaire aux droites D et D ′. On se propose de déter- miner une représentation paramétrique de cette droite∆ et de calculer la distance entre les droitesD et D ′, distance qui sera définie à la question 5. On note H le point d’intersection des droites D et ∆, H ′ le point d’intersection des droites D ′ et ∆. On appelle P le plan contenant la droiteD et la droite∆. On admet que le plan P et la droiteD ′ sont sécants en H ′. Une figure est donnée en annexe 2.

1. Onconsidère le vecteur −→ w de coordonnées (1 ; 0 ; −1). Démontrer que

−→ w est une vecteur directeur

de la droite ∆.

2. Soit −→ n le vecteur de coordonnées (3 ; 2 ; 3).

a. Démontrer que le vecteur −→ n est normal au plan P .

b. Montrer qu’une équation cartésienne du plan P est 3x+2y +3z−4= 0. 3. a. Démontrer que le point H ′ a pour coordonnées (−1 ; 2 ; 1).

b. En déduire une représentation paramétrique de la droite∆.

4. a. Déterminer les coordonnées du point H .

b. Calculer la longueur HH ′.

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

L’objectif de cette question est de montrer que, pour tout point M appartenant à D et tout point M ′ appartenant àD ′,MM ′ >HH ′.

a. Montrer que −−−−→ MM ′ peut s’écrire comme la sommede

−−−→ HH ′ et d’un vecteur orthogonal à

−−−→ HH ′ .

b. En déduire que ∣∣∣ ∣∣∣ −−−−→ MM

∣∣∣ ∣∣∣ 2 >

∣∣∣ ∣∣∣ −−−→ HH

∣∣∣ ∣∣∣ 2 et conclure.

La longueur HH réalise donc le minimum des distances entre une point de D et une point de D . On l’appelle distance entre les droites D et D ′.

Annexe (non spé)

Exercices de géométrie 19

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

D

H

H

D

×

A

P

Exercices de géométrie 20

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

15 Libanmai 2011

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on donne les trois points :

A(1 ; 2 ; −1),B(−3 ; −2 ; 3)et C(0 ; −2 ; −3)

1. a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

b. Démontrer que le vecteur −→ n (2 ; −1 ; 1) est un vecteur normal au plan (ABC).

2. Soit (P ) le plan dont une équation cartésienne est x+ y z+2= 0. Démontrer que les plans (ABC) et (P ) sont perpendiculaires.

3. On appelle G le barycentre des points pondérés (A, 1), (B, −1) et (C, 2). a. Démontrer que le point G a pour coordonnées (2 ; 0 ; −5). b. Démontrer que la droite (CG) est orthogonale au plan (P ).

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CG).

d. Déterminer les coordonnées du point H, intersection du plan (P ) avec la droite (CG).

4. Démontrer que l’ensemble (S) des pointsM de l’espace tels que∥∥∥−−→MA −−−→MB +2−−→MC ∥∥∥= 12 est une sphère dont on déterminera les éléments caractéristiques.

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’intersection du plan (P ) et de la sphère (S).

Exercices de géométrie 21

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

16 Amérique du Nordmai 2011

Partie A : Restitution organisée de connaissances

On considère trois points A, B et C de l’espace et trois réels a,b et c de somme non nulle.

Démontrer que, pour tout réel k strictement positif, l’ensemble des pointsM de l’espace tels que ‖a −−→ MA+

b −−→ MB +c

−−→ MC ‖ = k est une sphère dont le centre est le barycentre des points A, B et C affectés des coeffi-

cients respectifs a, b et c.

Partie B

On considère le cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1 représenté ci-dessous. Il n’est pas demandé de rendre le graphique avec la copie.

L’espace est rapporté au repère orthonormal ( A ;

−−→ AB ,

−−→ AD ,

−→ AE

) .

1. Démontrer que le vecteur −→ n de coordonnées (1 ; 0 ; 1) est un vecteur normal au plan (BCE).

2. Déterminer une équation du plan (BCE).

3. On note (∆) la droite perpendiculaire en E au plan (BCE).

Déterminer une représentation paramétrique de la droite (∆).

4. Démontrer que la droite (∆) est sécante au plan (ABC) en un point R, symétrique de B par rapport à A.

5. a. Démontrer que le point D est le barycentre des points R, B et C affectés des coefficients res- pectifs 1,−1 et 2.

b. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble (S) des pointsM de l’es-

pace tels que ‖ −−→ MR −

−−→ MB +2

−−→ MC ‖ = 2

p 2.

c. Démontrer que les points B, E et G appartiennent à l’ensemble (S).

d. Démontrer que l’intersection du plan (BCE) et de l’ensemble (S) est un cercle dont on préci- sera le rayon.

E

A

B

C

G

F

H

D

Exercices de géométrie 22

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

17 La Réunion septembre 2010

L’espace est rapporté au repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les plans P etQ d’équations respectives :

x+ y + z = 0 et 2x+3y + z−4= 0.

1. Montrer que l’intersection des plans P etQ est la droiteD dont une représentation paramétrique est :

  

x = −4−2t y = 4+ t z = t

t est un nombre réel.

2. Soit λ un nombre réel.

On considère le plan d’équation : (1−λ)(x+ y + z)+λ(2x+3y + z−4)= 0.

a. Vérifier que le vecteur −→ n (1+λ ; 1+2λ ; 1) est un vecteur normal du plan .

b. Donner une valeur du nombre réel λ pour laquelle les plans P et sont confondus.

c. Existe-t-il un nombre réel λ pour lequel les plans P et sont perpendiculaires ?

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droiteD ′, intersection des plans P et P−1.

Montrer que les droitesD etD ′sont confondues.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On considère le point A(1 ; 1 ; 1).

Déterminer la distance du point A à la droite D, c’est-à-dire la distance entre le point A et son projeté orthogonal sur la droiteD.

Exercices de géométrie 23

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

18 Pondichéry avril 2011

Partie 1

Dans cette partie, ABCD est un tétraèdre régulier, c’est-à-dire un solide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux.

A

B

C

D

A′

A′ est le centre de gravité du triangle BCD. Dans un tétraèdre, le segment joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée est appelé médiane. Ainsi, le segment [AA′] est unemédiane du tétraèdre ABCD.

1. On souhaite démontrer la propriété suivante :

(P1) :Dans un tétraèdre régulier, chaque médiane est orthogonale à la face opposée.

a. Montrer que −−→ AA′ ·

−−→ BD = 0 et que

−−→ AA′ ·

−−→ BC = 0. (On pourra utiliser le milieu I du segment [BD]

et le milieu J du segment [BC]).

b. En déduire que la médiane (AA′) est orthogonale à la face BCD.

Un raisonnement analoguemontre que les autresmédianes du tétraèdre régulier ABCD sont également orthogonales à leur face opposée.

2. G est l’isobarycentre des points A, B, C et D.

On souhaite démontrer la propriété suivante :

(P2) : Les médianes d’un tétraèdre régulier sont concourantes en G.

En utilisant l’associativité du barycentre,montrer queG appartient à la droite (AA′), puis conclure.

Partie II

Onmunit l’espace d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les points P(1 ; 2 ; 3), Q(4 ; 2 ; −1) et R(−2 ; 3 ; 0).

1. Montrer que le tétraèdre OPQR n’est pas régulier.

2. Calculer les coordonnées de P′, centre de gravité du triangle OQR.

3. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (OQR) est : 3x+2y +16z = 0. 4. La propriété (P1) de la partie 1 est-elle vraie dans un tétraèdre quelconque ?

Exercices de géométrie 24

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

19 Nouvelle-Calédoniemars 2011

L’espace est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les points A(−2 ; 0 ; 1), B(1 ; 2 ; −1) et C(−2 ; 2 ; 2).

1. a. Calculer le produit scalaire −−→ AB ·

−−→ AC puis les longueurs AB et AC.

b. En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l’angleBAC. c. En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : 2xy +2z+2= 0. 3. Soient P1, et P2 les plans d’équations respectives x+ y −3z+3= 0 et

x−2y +6z = 0. Montrer que les plans P1 et P2 sont sécants selon une droite D dont un système d’équations

paramétriques est

  

x = −2 y = −1+3t z = t

, t ∈R.

4. Démontrer que la droite D et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.

5. Soit S la sphère de centreΩ(1 ; −3 ; 1) et de rayon r = 3. a. Donner une équation cartésienne de la sphère S .

Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative

même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

b. Étudier l’intersection de la sphère S et de la droite D.

c. Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère S .

Exercices de géométrie 25

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

20 Amérique du Sud décembre 2010

On admet que si D et D′ sont deux droites non coplanaires, il existe une unique droite perpendiculaire à D et D′. Si coupe D en le point I et D′ en le point J, la distance IJ est appelée distance de D à D′.

L’espace est rapporté au repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On noteD la droite des abscisses etD′, la droite de représentationparamétrique

  

x = −t y = 3+3t z = 1− t

, t ∈R.

1. Justifier que les droitesD et D′ ne sont pas coplanaires.

2. On considère la droite ∆ perpendiculaire commune à D et D′. Prouver qu’il existe deux réels b et

c tels que le vecteur −→ w = b

−→ +c

−→ k soit un vecteur directeur de ∆.

3. a. Vérifier que le plan P d’équation : −3y + z = 0 est un plan contenant la droiteD. b. Déterminer les coordonnées du point d’intersection J de la droite D′ et du plan P .

c. Justifier que la droite passant par J, de vecteur directeur −→ w est sécante à D en un point I et

qu’elle est la perpendiculaire commune à D et D′.

d. En déduire la distance de D à D′.

J

D

D ′

P

I

Exercices de géométrie 26

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

21 Nouvelle-Calédonie novembre 2010

L’espace est muni d’un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

L’objectif de cet exercice est de déterminer la position relative d’objets de l’espace

P est le plan passant par A(3 ; 1 ; 2) et de vecteur normal −→ n (1 ; −4 ; 1) ;

D est la droite passant par B(1 ; 4 ; 2) de vecteur directeur −→ u (1 ; 1 ; 3).

S est la sphère de centreΩ(1 ; 9 ; 0) passant par A.

1. Intersection du plan P et de la droite D.

a. Démontrer que le plan P a pour équation cartésienne : x−4y + z−1= 0. b. Montrer que la droiteD est strictement parallèle au plan P .

2. Intersection du plan P et de la sphère S .

a. Calculer la distance d du pointΩ au plan P .

b. Calculer le rayon de la sphère S . En déduire l’intersection du plan P et de la sphère S .

3. Intersection de la droite D et de la sphère S .

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D.

b. Déterminer une équation cartésienne de la sphère S .

c. En déduire que la droite D coupe la sphère S en deux points M et N distincts dont on ne cherchera pas à déterminer les coordonnées.

Exercices de géométrie 27

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

22 Métropole septembre 2010

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

Soit (P ) le plan d’équation : 3x+ y z−1= 0 et (D) la droite dont une représentation paramétrique est   

x = −t +1 y = 2t z = −t +2

t désigne un nombre réel.

1. a. Le point C(1 ; 3 ; 2) appartient-il au plan (P ) ? Justifier.

b. Démontrer que la droite (D) est incluse dans le plan (P ).

2. Soit (Q) le plan passant par le point C et orthogonal à la droite (D).

a. Déterminer une équation cartésienne du plan (Q).

b. Calculer les coordonnées du point I, point d’intersection du plan (Q) et de la droite (D).

c. Montrer que CI = p 3.

3. Soit t un nombre réel etMt le point de la droite (D) de coordonnées (−t +1 ; 2t ; −t +2). a. Vérifier que pour tout nombre réel t , CM2t = 6t2−12t +9. b. Montrer que CI est la valeurminimalede CMt lorsque t décrit l’ensemble des nombres réels.

Exercices de géométrie 28

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

23 La Réunion septembre 2010

L’espace est rapporté au repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les plans P etQ d’équations respectives :

x+ y + z = 0 et 2x+3y + z−4= 0.

1. Montrer que l’intersection des plans P etQ est la droiteD dont une représentation paramétrique est :

  

x = −4−2t y = 4+ t z = t

t est un nombre réel.

2. Soit λ un nombre réel.

On considère le plan d’équation : (1−λ)(x+ y + z)+λ(2x+3y + z−4)= 0.

a. Vérifier que le vecteur −→ n (1+λ ; 1+2λ ; 1) est un vecteur normal du plan .

b. Donner une valeur du nombre réel λ pour laquelle les plans P et sont confondus.

c. Existe-t-il un nombre réel λ pour lequel les plans P et sont perpendiculaires ?

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droiteD ′, intersection des plans P et P−1.

Montrer que les droitesD etD ′sont confondues.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On considère le point A(1 ; 1 ; 1).

Déterminer la distance du point A à la droite D, c’est-à-dire la distance entre le point A et son projeté orthogonal sur la droiteD.

Exercices de géométrie 29

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

24 Antilles–Guyane septembre 2010

L’exercice comporte quatre propositions indépendantes. Indiquer pour chacune d’elles si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse choisie.

1. L’ensemble des points M d’affixe z du plan complexe rapporté au repère orthonormé ( O,

−→ u ,

−→ v ) ,

vérifiant |z−2| = |z−2i| est la droite d’équation y = x. 2. Si A, B et C sont trois points deux à deux distincts du plan complexe d’affixes a, b et c vérifiant

ba ca

=−3 alors A, B et C sont alignés.

3. L’espace est rapporté au repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

La droite de l’espace passant par le point B de coordonnées (2 ; 3 ; 4) et admettant le vecteur −→ u (1 ; 2 ; 3) comme vecteur directeur a pour représentation paramétrique :

  

x = t +1 y = 2t +1 z = 3t +1

t ∈R.

4. L’espace est rapporté au repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

La sphère de centre A(1 ; 1 ; 1) et de rayon 10 est tangente au plan P d’équation x+ y + z−1= 0.

25 Polynésie juin 2010 Retour au tableau

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère :

– les points A(1 ; 1 ; 1) et B(3 ; 2 ; 0) ;

– le plan (P) passant par le point B et admettant le vecteur −−→ AB pour vecteur normal ;

– le plan (Q) d’équation : xy +2z+4= 0 ; – la sphère (S) de centre A et de rayon AB.

1. Montrer qu’une équation cartésienne du plan (P) est : 2x+ y z−8= 0 2. Déterminer une équation de la sphère (S).

3. a. Calculer la distance du point A au plan (Q).

En déduire que le plan (Q) est tangent à la sphère (S).

b. Le plan (P) est-il tangent à la sphère (S) ?

4. On admet que le projeté orthogonal de A sur le plan (Q), noté C, a pour coordonnées (0 ; 2; −1). a. Prouver que les plans (P) et (Q) sont sécants.

b. Soit (D) la droite d’intersection des plans (P) et (Q).

Montrer qu’une représentation paramétrique de la droite (D) est :  

x = t y = 12−5t z = 4−3t

avec t ∈R.

c. Vérifier que le point A n’appartient pas à la droite (D)

d. On appelle (R) le plan défini par le point A et la droite (D).

L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ?

« Tout point du plan (R ) est équidistant des points B et C ».

Justifier votre réponse.

Exercices de géométrie 30

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

26 Liban juin 2010 Retour au tableau

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On note (D) la droite passant par les points A(1 ; −2 ; −1) et B(3 ; −5 ; −2). 1. Montrer qu’une représentation paramétrique de la droite (D) est :

  

x = 1+2t y = −2−3t z = −1− t

avec t ∈R.

2. On note (D′) la droite ayant pour représentation paramétrique :

  

x = 2−k y = 1+2k z = k

avec k ∈R.

Montrer que les droites (D) et (D′) ne sont pas coplanaires.

3. On considère le plan (P) d’équation 4x+ y +5z+3= 0. a. Montrer que le plan (P) contient la droite (D).

b. Montrer que le plan (P) et la droite (D′) se coupent en un point C dont on précisera les coor- données.

4. On considère la droite (∆) passant par le point C et de vecteur directeur −→ w (1 ; 1 ; −1).

a. Montrer que les droites (∆) et (D′) sont perpendiculaires.

b. Montrer que la droite (∆) coupe perpendiculairement la droite (D) en un point E dont on précisera les coordonnées.

Exercices de géométrie 31

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

27 Centres étrangers juin 2010 Retour au tableau

Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

Question 1

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère les droites (D1) et (D2) de

représentations paramétriques :

(D1)

  

x = −1+2t y = −3t z = 1+ t

(t ∈R) et (D2)

  

x = 1−2t y = 5− t z = −2+ t

(t ∈R).

Affirmation : Les droites (D1) et (D2) sont orthogonales.

Question 2

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère le point A de coordonnées

(2 ; −1 ; 3) et la droite (D) de représentation paramétrique :

(D)

  

x = 1+4t y = −2+2t z = 3−2t

(t ∈R).

Affirmation : Le plan (P ) contenant le point A et orthogonal à la droite (D) a pour équation : 2x+ y z = 0.

Exercices de géométrie 32

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

28 Pondichéry avril 2010 Retour au tableau L’espace est muni d’un repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une dé monstration

de la réponse choisie. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration pourra consister à fournir

un contre-exemple.

1. La droite de représentation paramétrique

  

x = t +2 y = −2t z = 3t −1

, t ∈ R est parallèle au plan dont une

équation cartésienne est : x+2y + z−3= 0. 2. Les plans P, P ′, P ′′ d’équations respectives x−2y +3z = 3,

2x+3y −2z = 6 et 4xy +4z = 12 n’ont pas de point commun. 3. Les droites de représentations paramétriques respectives

 

x = 2−3t y = 1+ t z = −3+2t

, t ∈R et

  

x = 7+2u y = 2+2u z = −6−u

, u ∈R sont sécantes.

4. On considère les points :

A, de coordonnées (−1 ; 0 ; 2), B, de coordonnées (1 ; 4 ; 0), et C, de coordonnées (3 ; −4 ; −2). Le plan (ABC) a pour équation x+ z = 1.

5. On considère les points :

A, de coordonnées (−1 ; 1 ; 3), B, de coordonnées (2 ; 1 ; 0), et C, de coordonnées (4 ; −1 ; 5). On peut écrire C comme barycentre des points A et B.

Exercices de géométrie 33

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

29 Nouvelle-Calédonie novembre 2009 Retour au tableau L’espace est rapporté au repère orthonormal

( A ;

−−→ AB ,

−−→ AD ,

−→ AE

) .

On considère le cube ABCDEFGH représenté sur l’ ANNEXE, à rendre avec la copie. On désigne par I, J et K les milieux respectifs des segments [BC], [BF] et [HF].

1. Déterminer les coordonnées des points I, J et K.

2. Démontrer que le vecteur −→ n (2 ; 1 ; 1) est orthogonal à

−→ IK et à

−→ IJ .

En déduire qu’une équation du plan (IJK) est : 4x+2y +2z−5= 0. 3. a. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite (CD).

b. En déduire que le point d’intersection R du plan (IJK) et de la droite (CD) est le point de

coordonnées

( 3

4 ; 1 ; 0

) .

c. Placer le point R sur la figure.

4. Tracer sur la figure la section du cube par le plan (IJK). On peut répondre à cette question sans avoir traité les précédentes.

5. a. Montrer que la distance du point G au plan (IJK) est

p 6

4 .

b. Soit S la sphère de centre G passant par F.

Justifier que la sphère S et le plan (IJK) sont sécants.

Déterminer le rayon de leur intersection.

Exercices de géométrie 34

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

30 Amérique du Sud novembre 2009 Retour au tableau Partie A – Restitution organisée de connaissances

Soit D le point de coordonnées (xD, yD, zD) et P le plan d’équation ax+by +cz+d = 0, où a, b et c sont des réels qui ne sont pas tous nuls. Démontrer que la distance du point D au plan P est donnée par :

d(D,P )= ∣∣axD+byD+czD+d

∣∣ p a2+b2+c2

Partie B

On considère les points A de coordonnées (3 ; −2 ; 2), B de coordonnées (6 ; −2 ; −1), C de coordonnées (6 ; 1 ; 5) et D de coordonnées (4 ; 0 ; −1).

1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle. En déduire l’aire du triangle ABC.

2. Vérifier que le vecteur −→ n de coordonnées (1 ; −2 ; 1) est normal au plan (ABC).

Déterminer une équation du plan (ABC).

3. Calculer la distance du point D au plan (ABC).

Déterminer le volume du tétraèdre ABCD.

Partie C

SoitQ le plan d’équation x−2y + z−5= 0.

1. Déterminer la position relative des deux plansQ et (ABC).

2. Q coupe les droites (DA), (DB) et (DC) respectivement en E, F et G.

Déterminer les coordonnées de E et montrer que E appartient au segment [DA].

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer le volume du tétraèdre EFGD.

Exercices de géométrie 35

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

31 Polynésie septembre 2009 Retour au tableau On considère le cube OABCDEFG d’arête de longueur 1 représenté ci-dessous. Il n’est pas demandé de rendre le graphique complété avec la copie.

Soient les points P et Q tels que −−→ OP = 2

−−→ OA et

−−→ OQ = 4

−−→ OC .

On appelle R le barycentre des points pondérés (B, −1) et (F , 2). L’espace est muni du repère orthonormal

( O ;

−−→ OA ,

−−→ OC ,

−−→ OD

) .

1. a. Démontrer que le point R a pour coordonnées (1 ; 1 ; 2).

b. Démontrer que les points P, Q et R ne sont pas alignés.

c. Quelle est la nature du triangle PQR ?

2. a. Démontrer qu’une équation du plan (PQR) est 4x+2y + z−8= 0. b. Vérifier que le point D n’appartient pas au plan (PQR).

3. On appelle H le projeté orthogonal du point D sur le plan (PQR).

a. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite (DH).

b. Déterminer les coordonnées du point H.

c. Démontrer que le point H appartient à la droite (PR).

A B

C

D

E F

G

O

Exercices de géométrie 36

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

32 Métropole & La Réunion septembre 2009 Retour au tableau L’espace est muni d’un repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

1. On désigne par P le plan d’équation x+ y −1= 0 et par P ′ le plan d’équation y + z−2= 0. Justifier que les plans P et P ′ sont sécants et vérifier que leur intersection est la droite D , dont

une représentation paramétrique est :

  

x = 1− t y = t z = 2− t

, où t désigne un nombre réel.

2. a. Déterminer une équation du plan R passant par le point O et orthogonal à la droite D .

b. Démontrer que le point I, intersection du plan R et de la droite D , a pour coordonnées (0 ; 1 ; 1).

3. Soient A et B les points de coordonnées respectives

( − 1

2 ; 0 ;

1

2

) et (1 ; 1 ; 0).

a. Vérifier que les points A et B appartiennent au planR.

b. On appelle A′ et B′ les points symétriques respectifs des points A et B par rapport au point I.

Justifier que le quadrilatère ABA’ B’ est un losange.

c. Vérifier que le point S de coordonnées (2 ; −1 ; 3) appartient à la droite D . d. Calculer le volume de la pyramide SABA′B′.

On rappelle que le volume V d’une pyramide de base d’aire b et de hauteur h est : V = 1

3 b×h.

Exercices de géométrie 37

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

33 Antilles-Guyane septembre 2009 Retour au tableau L’espace est muni d’un repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les points A(1 ; −1 ; 4), B(7 ; −1 ; −2) et C(1 ; 5 ; −2).

1. a. Calculer les coordonnées des vecteurs −−→ AB ,

−−→ AC et

−−→ BC .

b. Montrer que le triangle ABC est équilatéral.

c. Montrer que le vecteur −→ n (1 ; 1 ; 1) est un vecteur normal au plan (ABC).

d. En déduire que x+ y + z−4= 0 est une équation cartésienne du plan (ABC). 2. Soit D la droite de représentation paramétrique

  

x = −2t y = −2t −2 z = −2t −3

t ∈R.

a. Montrer que la droiteD est perpendiculaire au plan (ABC).

b. Montrer que les coordonnées du point G, intersection de la droite D et du plan (ABC) sont (3 ; 1 ; 0).

c. Montrer que G est l’isobarycentre des points A, B et C.

3. Soit S la sphère de centre G passant par A.

a. Donner une équation cartésienne de la sphère S .

b. Déterminer les coordonnées des points d’intersection E et F, de la droite D et de la sphère S .

Exercices de géométrie 38

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

34 La Réunion juin 2009 Retour au tableau Soient A(1 ; 2 ; 0), B(2 ; 2 ; 0), C(1 ; 3 ; 0) et D(1 ; 2 ; 1) quatre points de l’espacemuni d’un repère orthonor-

mal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

(P) désigne le plan orthogonal à (BC) contenant A ; (Q) désigne le plan orthogonal à (DC) contenant A ; (R) désigne le plan orthogonal à (BD) contenant A.

1. Montrer que le plan (P) a pour équation cartésienne xy +1= 0. On admet que le plan (Q) a pour équation cartésienne −y + z + 2 = 0 et que le plan (R) a pour équation cartésienne −x+ z+1= 0.

2. a. Résoudre le système :

  

xy +1 = 0 −y + z+2 = 0 −x+ z+1 = 0

b. En déduire que l’intersection des trois plans (P), (Q) et (R) est une droite (d) passant par le point E(2 ; 3 ; 1).

c. Vérifier que la droite (d) est orthogonale au plan (BCD).

En déduire une équation cartésienne du plan (BCD).

3. Déterminer une équation cartésienne pour chacun des plans (ABC), (ABD) et (ACD).

On admet que ces plans sont respectivement parallèles aux plans de repères ( O,

−→ ı ,

−→ ) , ( O ;

−→ ı ,

−→ k )

et ( O ;

−→ ,

−→ k ) .

4. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

a. Montrer que tout pointM de la droite (d) est équidistant des plans (ABC), (ABD) et (ACD).

b. Existe-t-il des points de l’espace équidistants des plans (ABC), (ABD), (ACD) et (BCD) ?

Exercices de géométrie 39

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

35 Centres étrangers juin 2009 Retour au tableau On se propose dans cet exercice, d’étudier des propriétés d’un solide de l’espace.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les points A(3 ; 4 ; 0) ; B(0 ; 5 ; 0) et C(0 ; 0 ; 5). On note I le milieu du segment [AB].

1. Faire une figure où l’on placera les points A, B, C, I dans le repère ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

2. Démontrer que les triangles OAC et OBC sont rectangles et isocèles.

Quelle est la nature du triangle ABC ?

3. Soit H le point de coordonnées

( 15

19 ; 45

19 ; 45

19

) .

a. Démontrer que les points H, C, I sont alignés.

b. Démontrer que H est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC).

c. En déduire une équation cartésienne du plan ABC.

4. Calculs d’aire et de volume.

a. Calculer l’aire du triangle OAB. En déduire le volume du tétraèdre OABC.

b. Déterminer la distance du point O au plan (ABC).

c. Calculer l’aire du triangle ABC.

Exercices de géométrie 40

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

36 Liban juin 2009 Retour au tableau On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1. On désigne par I le milieu de [EF] et par J le symétrique de E par rapport à F.

Dans tout l’exercice, l’espace est rapporté au repère orthonormal ( A ;

−−→ AB ,

−−→ AD ,

−→ AE

) .

+ +

A B

C D

E F

GH

I J

1. a. Déterminer les coordonnées des points I et J.

b. Vérifier que le vecteur −→ DJ est un vecteur normal au plan (BGI).

c. En déduire une équation cartésienne du plan (BGI).

d. Calculer la distance du point F au plan (BGI).

2. On note (∆) la droite passant par F et orthogonale au plan (BGI).

a. Donner une représentation paramétrique de la droite (∆).

b. Montrer que la droite (∆) passe par le centre K de la face ADHE.

c. Montrer que la droite (∆) et le plan (BGI) sont sécants en un point, noté L, de coordonnées( 2

3 ; 1

6 ; 5

6

) .

d. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

Le point L est-il l’orthocentre du triangle BGI ?

Exercices de géométrie 41

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

37 Amérique du Nord juin 2009 Retour au tableau On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1.

A B

C D

E F

I

J

GH

K

+

+

+

On note I le centre de la face ADHE, J celui de la face ABCD et K le milieu du segment [IJ].

L’espace est rapporté au repère orthonormal ( A ;

−−→ AB ,

−−→ AD ,

−→ AE

) .

1. Déterminer les coordonnées des points l, J et K dans ce repère.

2. Démontrer que les points A, K et G ne sont pas alignés.

3. a. Démontrer que le plan médiateur du segment [IJ] est le plan (AKG).

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (AKG).

c. Vérifier que le point D appartient au plan (AKG).

4. Dans cette question, on veut exprimer K comme barycentre des points A, D et G.

Soit L le centre du carré DCGH.

a. Démontrer que le point K est le milieu du segment [AL].

b. Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que K est le barycentre des points A. D et G affectés de coefficients que l’on pré- cisera.

Exercices de géométrie 42

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

38 Pondichéry avril 2009 Retour au tableau Dans un repère orthonormé de l’espace

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) on considère les points :

A de coordonnées (1 ; 1 ; 0), B de coordonnées (2 ; 0 ; 3), C de coordonnées (0 ; −2 ; 5) et D de coordonnées (1 ; −5 ; 5).

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est VRAIE ou par FAUSSE en justifiant chaque fois la réponse : Proposition 1 : L’ensemble des pointsM de coordonnées (x, y, z) tels que y = 2x+4 est une droite.

Proposition 2 : La transformation qui, à tout point M de l’espace associe le point M ′ tel que −−−−→ MM ′ =

−−→ MA +

−−→ MB+2

−−→ MC est l’homothétie de centreG , oùG désigne le barycentre du système {(A, 1), (B , 1), (C , 2)},

et de rapport 3.

Proposition 3 : A, B, C et D sont quatre points coplanaires.

Proposition 4 : La sphère de centreΩ de coordonnées (3, 3, 0) et de rayon 5 est tangente au plan d’équa- tion : 2x+2y + z+3= 0.

Exercices de géométrie 43

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

39 Nouvelle-Calédoniemars 2009 Retour au tableau L’espace est rapporté au repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) . On considère les points :

A(4 ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0), C(0 ; 0 ; 3) et E

( 2

3 ; −

2

3 ; 1

9

)

On se propose de déterminer de deux façons la distance δE du point E au plan (ABC).

RAPPEL : Soit (P ) un plan d’équation ax+by+cz+d = 0 où a, b, c et d sont des nombre réels avec a, b et c non tous nuls etM un point de coordonnées( xM ; yM ; zM

) la distance δM du pointM au plan (P ) est égale à :

∣∣axM +byM +czM +d ∣∣

p a2+b2+c2

1. a. Montrer que les points A, B et C déterminent bien un plan.

b. Soit −→ n le vecteur de coordonnées (3 ; 6 ; 4).

Montrer que −→ n est un vecteur normal au plan (ABC).

c. Montrer qu’une équation du plan (ABC) est : 3x+6y +4z−12= 0. d. Déduire des questions précédentes la distance δE.

2. a. Montrer que la droite (D) de représentation paramétrique :

  

x = 1+ t y = 2t

z = 5

9 + 4

3 t

t ∈R,

est perpendiculaire au plan (ABC) et passe par le point E.

b. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal G du point E sur le plan (ABC).

c. Retrouver à partir des coordonnées des points E et G la distance δE.

Exercices de géométrie 44

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

40 Amérique du Sud novembre 2008 Retour au tableau Une unité de longueur étant choisie dans l’espace, on considère un pavé droit ABCDEFGH tel que : AB = 1, AD = 2 et AE = 1. On appelle I le milieu de [AD].

A

B C

D

E

F G

H

I

L’espace est muni du repère orthonormé ( A ;

−−→ AB ;

−→ AI ;

−→ AE

) .

1. Déterminer, dans le repère choisi, les coordonnées des points F, G, H.

2. a. Montrer que le volume V du tétraèdre GFIH est égal à 1

3 .

b. Montrer que le triangle FIH est rectangle en I.

En exprimant V d’une autre façon, calculer la distance d du point G au plan (FIH).

3. Soit le vecteur −→ n de coordonnées (2 ; 1 ; −1).

a. Montrer que le vecteur −→ n est normal au plan (FIH).

b. En déduire une équation cartésienne du plan (FIH).

c. Retrouver par une autre méthode la distance d du point G au plan (FIH).

4. a. La droite (AG) est-elle perpendiculaire au plan (FIH) ?

b. Donner un système d’équations paramétriques de cette droite.

c. Déterminer les cordonnées du point d’intersection K de (AG) et de (FIH).

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même infructueuse sera prise en considération dans l’évaluation.

Soit Γ la sphère de centre G passant par K.

Quelle est la nature de l’intersection de Γ et du plan (FIH) ?

(On ne demande pas de préciser les éléments caractérisant cette intersection)

Exercices de géométrie 45

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

41 Nouvelle-Calédonie novembre 2008 Retour au tableau Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) on considère les points :

A(3 ; −2 ; 1) B(5 ; 2 ; −3) C(6 ; −2 ; −2) D(4 ; 3 ; 2)

1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés, puis que le triangleABC est isocèle et rectangle.

2. a. Montrer que le vecteur −→ n (2 ; 1 ; 2) est un vecteur normal au plan (ABC).

b. En déduire une équation du plan (ABC).

c. Montrer que la distance du point D au plan (ABC) est égale à 3.

3. Calculer le volume du tétraèdre ABCD en unités de volume.

Exercices de géométrie 46

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

42 Polynésie septembre 2008 Retour au tableau On donne la propriété suivante :

« par un point de l’espace il passe un plan et un seul orthogonal à une droite donnée »

Sur la figure donnée en annexe, on a représenté le cube ABCDEFGH d’arête 1. On a placé :

les points I et J tels que −→ BI =

2

3

−−→ BC et

−→ EJ =

2

3

−−→ EH .

le milieu K de [IJ]. On appelle P le projeté orthogonal de G sur le plan (FIJ).

Partie A

1. Démontrer que le triangle FIJ est isocèle en F.

En déduire que les droites (FK) et (IJ) sont orthogonales.

On admet que les droites (GK) et (IJ) sont orthogonales.

2. Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGK).

3. Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGP).

4. a. Montrer que les points F, G, K et P sont coplanaires.

b. En déduire que les points F, P et K sont alignés.

Partie B

L’espace est rapporté au repère orthonormal ( A ;

−−→ AB ,

−−→ AD ,

−→ AE

) .

On appelleN le point d’intersection de la droite (GP) et du plan (ADB). On note (x ; y ; 0) les coordonnées du point N .

1. Donner les coordonnées des points F, G, I et J.

2. a. Montrer que la droite (GN ) est orthogonale aux droites (FI) et (FJ).

b. Exprimer les produits scalaires −−→ GN ·

−→ FI et

−−→ GN ·

−→ FJ en fonction de x et y .

c. Déterminer les coordonnées du point N .

3. Placer alors le point P sur la figure en annexe.

Exercices de géométrie 47

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

43 Métropole & La Réunion sept. 2008 Retour au tableau Cet exercice est un questionnaire à choixmultiple (QCM). Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justifi-

cation, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro

sinon.

Dans le plan orienté, ABCD est un carré direct ((−−→ AB ,

−−→ AD

) =

π

2

) . On note I son centre et J le milieu de

[AI].

1. C est le barycentre des points pondérés (A,m), (B, 1) et (D, 1) lorsque :

a. m =−2 b. m = 2 c. m =−1 d. m = 3

2. a. B est l’image de C par la rotation de centre I et d’angle π

2 .

b. Le rapport de l’homothétie de centre C qui transforme I en J est 2

3 .

c. Le triangle DAB est invariant par la symétrie de centre I.

d. J est l’image de I par la translation de vecteur 1

2

−−→ BA +

1

4

−−→ DB .

3. L’ensemble des pointsM du plan tels que ‖ −−→ MA +

−−→ MC ‖ =AB est :

a. la médiatrice de [AC].

b. le cercle circonscrit au carré ABCD.

c. la médiatrice de [AI].

d. le cercle inscrit dans le carré ABCD.

4. L’ensemble des pointsM du plan tels que :

( 2 −−→ MA +

−−→ MB +

−−−→ MD

) · (−−→ MA −

−−→ MC

) = 0

est :

a. la médiatrice de [AC].

b. le cercle circonscrit au carré ABCD.

c. la médiatrice de [AI].

d. le cercle inscrit dans le carré ABCD.

Exercices de géométrie 48

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

44 Polynésie juin 2008 Retour au tableau Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère les points A(1 ; 2 ; 3), B(0 ; 1 ; 4),

C(−1 ; −3 ; 2), D(4 ; −2 ; 5) et le vecteur −→ n (2 ; −1 ; 1).

1. a. Démontrer que les points A, B, C ne sont pas alignés.

b. Démontrer que −→ n est un vecteur normal au plan (ABC).

c. Déterminer une équation du plan (ABC).

2. Soit (∆) la droite dont une représentation paramétrique est :  

x = 2−2t y = −1+ t z = 4− t

avec t ∈R.

Montrer que le point D appartient à la droite (∆) et que cette droite est perpendiculaire au plan (ABC).

3. Soit E le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC). Montrer que le point E est le centre de gravité du triangle ABC.

Exercices de géométrie 49

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

45 Métropole juin 2008 Retour au tableau Dans l’espace muni d’un repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère les points

A(1 ; 1 ; 0),B(1 ; 2 ; 1) et C(3 ; −1 ; 2).

1. a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

b. Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne 2x+ y z−3= 0.

2. On considère les plans (P ) et (Q) d’équations respectives x+2y z−4= 0 et 2x+3y −2z−5= 0. Démontrer que l’intersection des plane (P ) et (Q) est une droite (D), dont une représentation pa- ramétrique est : 

 

x = −2+ t y = 3 z = t

(t ∈R)

3. Quelle est l’intersection des trois plans (ABC), (P ) et (Q) ?

4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évalua- tion.

Déterminer la distance du point A à la droite (D).

Exercices de géométrie 50

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

46 Centres étrangers juin 2008 Retour au tableau L’espace est rapporté au repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) . On considère les points

A(2 ; 1 ; −1), B(−1 ; 2 ; 4), C(0 ; −2 ; 3), D(1 ; 1 ; −2)

et le plan P d’équation x−2y + z+1= 0. Pour chacune des huit affirmations suivantes, dire, sans justifier, si elle est vraie ou si elle est fausse.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et l’un des deux mots VRAI ou FAUX corres- pondant à la réponse choisie.

Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. L’absence de réponse n’ap- porte ni n’enlève aucun point.

Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à 0.

1. Affirmation 1 : les points A, B et C définissent un plan.

2. Affirmation 2 : la droite (AC) est incluse dans le plan P .

3. Affirmation 3 : une équation cartésienne du plan (ABD) est : x+8y z−11= 0. 4. Affirmation 4 : une représentation paramétrique de la droite (AC) est :

  

x = 2k y = 2+3k z = 3−4k

(k ∈R).

5. Affirmation 5 : les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.

6. Affirmation 6 : la distance du point C au plan P est égale à 4 p 6

7. Affirmation 7 : la sphère de centre D et de rayon

p 6

3 est tangente au plan P .

8. Affirmation 8 : le point E

( − 4

3 ; 2

3 ; 5

3

) est le projeté orthogonal du point C sur le plan P .

Exercices de géométrie 51

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

47 Asie juin 2008 Retour au tableau A -Vrai ou faux ? Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration

de la réponse choisie. Dans le cas d’une proposition fausse la démonstration consistera à proposer un

contre-exemple ; une figure pourra constituer ce contre-exempte.

Rappel des notations :

• P1∩P2 désigne l’ensemble des points communs aux plans P1 et P2.

L ’écriture P1∩P2 =; signifie que les plans P1 et P2 n’ont aucun point commun.

1. Si P1, P2 et P3 sont trois plans distincts de l’espace vérifiant :

P1∩P2 6= ; et P2∩P3 6= ;,

alors on peut conclure que P1 et P3 vérifient : P1∩P3 6= ;. 2. Si P1, P2 et P3 sont trois plans distincts de l’espace vérifiant :

P1∩P2∩P3 =;

alors on peut conclure que P1, P2 et P3 sont tels que : P1∩P2 =; et P2∩P3 =;. 3. Si P1, P2 et P3 sont trois plans distincts de l’espace vérifiant :

P1∩P2 6= ; et P1∩P3 =;,

alors on peut conclure que P2 et P3 vérifient : P2∩P3 6= ;. 4. Si P1 et P2 sont deux plans distincts et D une droite de l’espace vérifiant :

P1∩D 6= ; et P1∩P2 =;,

alors on peut conclure que P2∩D 6= ;

B - Intersection de trois plans donnés

Dans un repère orthonorrnal de l’espace on considère les trois plans suivants : • P1 d’équation x+ y z = 0 • P2 d’équation 2x+ y + z−3= 0, • P3 d’équation x+2y −4z+3= 0.

1. Justifier que les plans P1 et P2 sont sécants puis déterminer une représentation paramétrique de leur droite d’interseclion, notée ∆.

2. En déduire la nature de l’intersection P1∩P2∩P3.

Exercices de géométrie 52

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

48 Antilles–Guyane juin 2008 Retour au tableau Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à 0.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

1. L’ensemble des pointsM(x ; y ; z) tels que :

{ 2x−6y +2z−7 = 0 −x+3y z+5 = 0 est :

Réponse A : l’ensemble vide Réponse B : une droite Réponse C : un plan Réponse C : réduit à un point

2. Les droites de représentations paramétriques respectives :

  

x = 1− t y = −1+ t z = 2−3t

(t ∈R) et

  

x = 2+ t y = −2− t z = 4+2t

(t ∈R) sont :

Réponse A : parallèles et distinctes Réponse B : confondues Réponse C : sécantes Réponse D : non coplanaires

3. La distance du point A(1 ; −2 ; 1) au plan d’équation −x+3y z+5= 0 est égale à : Réponse A :

3

11 Réponse B :

3 p 11

Réponse C : 1

2 Réponse D :

8 p 11

4. Le projeté orthogonal du point B(1 ; 6 ; 0) sur le plan d’équation

x+3y z+5= 0 a pour coordonnées : Réponse A : ( 3 ; 1 ; 5 ) Réponse B : ( 2 ; 3 ; 1 ) Réponse C : ( 3 ; 0 ; 2 ) Réponse D : (−2;3;−6)

Exercices de géométrie 53

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

49 Amérique du Nordmai 2008 Retour au tableau Partie A

On considère deux points A et D de l’espace et on désigne par I le milieu du segment [AD].

1. Démontrer que, pour tout point M de l’espace, −−→ MD ·

−−→ MA =MI2− IA2.

2. En déduire l’ensemble (E) des points M de l’espace, tels que −−→ MD ·

−−→ MA = 0.

Partie B :

Dans l’espace rapporté au repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , les points A, B, C et D ont pour coordon-

nées respectives : A(3 ; 0 ; 0), B(0 ; 6 ; 0),C(0 ; 0 ; 4) et D(−5 ; 0 ; 1).

1. a. Vérifier que le vecteur −→ n

 

4 2 3

  est normal au plan (ABC).

b. Déterminer une équation du plan (ABC).

2. a. Déterminer une représentationparamétriquede la droite∆, orthogonale au plan (ABC) pas- sant par D.

b. En déduire les coordonnées du point H, projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).

c. Calculer la distance du point D au plan (ABC).

d. Démontrer que le point H appartient l’ensemble (E) défini dans la partie A.

Exercices de géométrie 54

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

50 Pondichéry avril 2008 Retour au tableau

On considère un tétraèdre ABCD. On note I , J , K , L, M , N les milieux respec- tifs des arêtes [AB], [CD], [BC ], [AD], [AC ] et [BD]. On désigne par G l’isobarycentre des points A, B , C etD. A

B

C

D 1. Montrer que les droites (I J ), (KL) et (MN ) sont concourantes enG .

Dans la suite de l’exercice, on suppose que AB =CD, BC = AD et AC =BD. (On dit que le tétraèdre ABCD est équifacial, car ses faces sont isométriques).

2. a. Quelle est la nature du quadrilatère IK JL ? Préciser également la nature des quadrilatères IM JN et KNLM .

b. En déduire que (I J ) et (KL) sont orthogonales. On admettra que, de même, les droites (I J ) et (MN ) sont orthogonales et les droites (KL) et (MN ) sont orthogonales.

3. a. Montrer que la droite (I J ) est orthogonale au plan (MKN ).

b. Quelle est la valeur du produit scalaire −→ I J ·

−−−→ MK ? En déduire que (I J ) est orthogonale à la

droite (AB). Montrer de même que (I J ) est orthogonale à la droite (CD).

c. Montrer queG appartient aux plans médiateurs de [AB] et [CD].

d. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Comment démontrerait-onqueG est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD ?

Exercices de géométrie 55

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

51 Nouvelle-Calédoniemars 2008 Retour au tableau L’espace est rapporté à un repère

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) orthonormé. Soit t un nombre réel. On donne le point

A(−1 ; 2 ; 3) et la droite D de système d’équations paramétriques :   

x = 9+4t y = 6+ t z = 2+2t

Le but de cet exercice est de calculer de deux façons différentes la distance d entre le point A et la droite D.

1. a. Donner une équation cartésienne du planP , perpendiculaire à la droiteD et passant par A.

b. Vérifier que le point B(−3 ; 3 ; −4) appartient à la droite D. c. Calculer la distance dB entre le point B et le plan P .

d. Exprimer la distance d en fonction de dB et de la distance AB. En déduire la valeur exacte de d .

2. SoitM un point de la droite D. Exprimer AM2 en fonction de t . Retrouver alors la valeur de d .

Exercices de géométrie 56

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

ANNEXE (à rendre avec la copie)

1

2

3

4

5

6

7

-1

1 2 3 4 5 6-1-2-3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

Exercices de géométrie 57

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

52 Nouvelle-Calédonie décembre 2007 Retour au tableau Soit OABC un tétraèdre trirectangle (les triangles OAB, OBC, OCA sont rectangles en O). On note H le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC). Le but de l’exercice est d’étudier quelques propriétés de ce tétraèdre.

1. a. Pourquoi la droite (OH) est-elle orthogonale à la droite (BC) ?

Pourquoi la droite (OA) est-elle orthogonale à la droite (BC) ?

b. Démontrer que les droites (AH) et (BC) sont orthogonales.

Ondémontrera de façon analogueque les droites (BH) et (AC) sont orthogonales. Ce résultat est ici admis.

c. Que représente le point H pour le triangle ABC ?

2. L’espace est maintenant muni d’un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) . On considère les points

A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0) et C(0 ; 0 ; 3).

a. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

b. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) passant par O et orthogonale au plan (ABC).

c. Démontrer que le plan (ABC) et la droite (D) se coupent en un point H de coordonnées( 36

49 ; 18

49 ; 12

49

) .

3. a. Calculer la distance du point O au plan (ABC).

b. Calculer le volume du tétraèdre OABC. En déduire l’aire du triangle ABC.

c. Vérifier que le carré de l’aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des autres faces de ce tétraèdre.

Exercices de géométrie 58

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

53 Amérique du Sud novembre 2007 Retour au tableau L’espace est muni d’un repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

1. On considère le point A de coordonnées (−2 ; 8 ; 4) et le vecteur −→ u de coordonnées (1 ; 5 ; −1).

Déterminer une représentationparamétriquede la droite (d) passant par A et de vecteur directeur −→ u .

2. On considère les plans (P) et (Q) d’équations cartésiennes respectives xy z = 7 et x−2z = 11. Démontrer que les plans (P) et (Q) sont sécants. On donnera une représentation paramétrique de leur droite d’intersection, notée (d ′).

Montrer que le vecteur de coordonnées (2 ; 1 ; 1) est un vecteur directeur de (d ′).

3. Démontrer que les droites (d) et (d ′) ne sont pas coplanaires.

4. On considère le point H de coordonnées (−3 ; 3 ; 5) et le point H′ de coordonnées (3 ; 0 ; −4). a. Vérifier que H appartient à (d) et que H′ appartient à (d ′).

b. Démontrer que la droite (HH′) est perpendiculaire aux droites (d) et (d ′).

c. Calculer la distance entre les droites (d) et (d ′), c’est-à-dire la distance HH′.

5. Déterminer l’ensemble des pointsM de l’espace tels que −−−→ MH′ ·

−−−→ HH′ = 126.

Exercices de géométrie 59

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

54 Polynésie septembre 2007 Retour au tableau Pour cet exercice, les figures correspondant aux parties A et B sont fournies sur la feuille jointe en annexe . Cette feuille ne sera pas remise avec la copie.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On considère un triangle OAB et une similitude directe σ de centre O, de rapport 2 et d’angle θ. Soit : • les points A′ et B′, images respectives des points A et B par la similitudeσ ; • les points I, milieu du segment [A′ B] et J, milieu du segment [A B′] ; • le point Mmilieu du segment [AA′] ; • le point H, projeté orthogonal du point O sur la droite (AR) et le point H′ image du point H par la similitudeσ.

Partie A. Étude d’un exemple

Dans cette partie, le point A a pour affixe −6+ 4i, le point B a pour affixe 2+ 4i, et le point H, projeté orthogonal du point O sur la droite (AB), a donc pour affixe 4i.

La similitudeσ est la similitude directe de centre O, de rapport 1

2 et d’angle

π

2 .

1. Déterminer les affixes des points A′, B′ et H′.

2. Montrer que la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (HH′).

Partie B. Étude du cas général

1. a. Montrer que H′ est le projeté orthogonal du point O sur la droite (A′ B′).

b. Montrer que −−→ MI =

1

2

−−→ AB . On admet que

−−→ MJ =

1

2

−−−→ A′B′ .

c. En déduire que MJ

MI =

OH′

OH et que

(−−→ MI ,

−−→ MJ

) = (−−→ OH ,

−−−→ OH′

) +k×2π, k ∈Z.

2. On appelle s la similitude directe qui transformeM en O et I en H.

On note K l’image du point J par la similitude s.

a. Montrer que OK= OH′, puis que (−−→ MI ,

−−→ MJ

) = (−−→ OK ,

−−−→ OH′

) +k×2π, k ∈Z.

b. En déduire que le point H′ est l’image du point J par la similitude s.

3. Montrer que (−→ IJ ,

−−−→ HH′

) = (−−→ MJ ,

−−→ OH

) +k×2π, k ∈Z.

Montrer que la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (HH′).

Exercices de géométrie 60

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

ANNEXE

Cette page ne sera pas remise avec la copie Partie A

O −→ u

−→ v

A H B

Partie B

B′

A′

O

B

H′

M

J

I

A H

b

b

b

b

b

Exercices de géométrie 61

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

55 Polynésie septembre 2007 Retour au tableau On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 3.

A B

C D

E F

G H

On choisit le repère orthonormal ( D ;

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) tel que

−→ ı =

1

3

−−→ DA ,

−→ =

1

3

−−→ DC et

−→ k =

1

3

−−→ DH .

1. a. Donner les coordonnées des points A, C et E.

b. Déterminer les coordonnées du point L barycentre du système {(C ; 2), (E ; 1)}.

c. Déterminer les coordonnées des vecteurs −→ AE et

−−→ DL .

2. Soit (a, b) un couple de réels. On noteM le point de la droite (AE) tel que −−→ AM = a

−→ AE et N le point

de la droite (DL) tel que −−→ DN = b

−−→ DL .

a. Montrer que le vecteur −−−→ MN est orthogonal aux vecteurs

−→ AE et

−−→ DL si et seulement si le

couple (a, b) vérifie le système{ −a+2b = 1 3ab = 0

b. En déduire qu’il existe un seul pointM0 de (AE) et un seul point N0 de (DL) tels que la droite (M0N0) est orthogonale aux droites (AE) et (DL).

c. Déterminer les coordonnées des points M0 et N0 puis calculer la distanceM0N0.

Exercices de géométrie 62

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

56 Polynésie juin 2007 Retour au tableau

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère les points A

( 2

3 ; −3 ; 2

) et

B

( − 4

3 ; 0 ; −4

) .

On note I le milieu du segment [AB] et (S) la sphère de diamètre [AB].

1. Soit E le barycentre des points pondérés (A ; 2) et (B ; 1).

a. Calculer les coordonnées de E.

b. Montrer que l’ensemble (P) des points M de l’espace tels que ∥∥∥2−−→MA +−−→MB

∥∥∥ = 3 ∥∥∥−−−→MO

∥∥∥ est le plan médiateur du segment [OE].

c. Montrer qu’une équation du plan (P) est y =−1. 2. a. Calculer le rayon de la sphère (S) et la distance du centre I de la sphère au plan (P).

En déduire que l’intersection (C) du plan (P) et de la sphère (S) n’est pas vide.

b. Montrer qu’une équation de (C) dans le plan (P) est

( x+

1

3

)2 + (z+1)2 = 12.

En déduire que (C) est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

3. Soit D le point de coordonnées

( − 1

3 ; −

1

2 ; 4

p 3−1

) .

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (ID).

b. En déduire que la droite (ID) est sécante au cercle (C) en un point noté F dont on donnera les coordonnées.

Exercices de géométrie 63

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

57 Métropole juin 2007 Retour au tableau L’espace est muni du repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) . Soient (P) et (P′) les plans d’équations respec-

tives x+2y z+1= 0 et −x+ y + z = 0. Soit A le point de coordonnées (0 ; 1 ; 1). 1. Démontrer que les plans (P) et (P′) sont perpendiculaires.

2. Soit (d) la droite dont une représentation paramétrique est :

  

x = − 1

3 + t

y = − 1

3 z = t

t est un nombre réel.

Démontrer que les plans (P) et (P′) se coupent selon la droite (d).

3. Calculer la distance du point A à chacun des plans (P) et (P′).

4. En déduire la distance du point A à la droite (d).

Exercices de géométrie 64

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

58 Antilles-Guyane juin 2007 Retour au tableau L’espace est rapporté au repère orthonormé

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) . On considère les points A(3 ; 0 ; 6) et I (0 ; 0 ; 6),

et l’on appelle (D) la droite passant par A et I . On appelle (P ) le plan d’équation 2y + z −6= 0 et (Q) le plan d’équation y −2z+12= 0.

1. Démontrer que (P ) et (Q) sont perpendiculaires.

2. Démontrer que l’intersection des plans (P ) et (Q) est la droite (D).

3. Démontrer que (P ) et (Q) coupent l’axe ( O ;

−→ ) et déterminer les coordonnées des points B et C ,

intersections respectives de (P ) et (Q) avec l’axe ( O ;

−→ ) .

4. Démontrer qu’une équation du plan (T ) passant par B et de vecteur normal −−→ AC est

x+4y +2z−12= 0.

5. Donner une représentation paramétrique de la droite (OA). Démontrer que la droite (OA) et le plan (T ) sont sécants en un point H dont on déterminera les coordonnées.

6. Que représente le point H pour le triangle ABC ? Justifier.

b C

b

B

b I

b

O

b A

(Q)

(P )

(D)

x

y

z

−→ i

−→ j

−→ z

Exercices de géométrie 65

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

59 Antilles-Guyane juin 2007 Retour au tableau ( O,

−→ u ,

−→ v ) est un repère orthonormal direct du plan complexe. Soit A le point d’affixe 1+ i. Au point M

d’affixe z, on associe le pointM ′ d’affixe z ′ telle que z ′ = 1

2

( z+ iz

) .

1. On pose z = x+ iy et z ′ = x′+ iy ′ avec x, y , x′ et y ′ réels.

a. Démontrer les égalités suivantes : x′ = 1

2 (x+ y) et y ′ =

1

2 (x+ y). En déduire que le point M

appartient à la droite (OA).

b. Déterminer l’ensemble des pointsM du plan tels queM =M ′.

c. Démontrer que pour tout pointM du plan les vecteurs −−−−→ MM ′ et

−−→ OA sont orthogonaux.

2. Soit r la rotation de centre O et d’angle π

2 .M1 est le point d’affixe z1 image deM par r ,M2 le point

d’affixe z2 = z,M3 le point d’affixe z3 tel que le quadrilatère OM1M3M2 soit un parallélogramme. a. Dans cette question uniquementM a pour affixe 4+ i, placer les pointsM ,M1,M2,M3. b. Exprimer z1 en fonction de z, puis z3 en fonction de z.

c. OM1M3M2 est-il un losange ? Justifier.

d. Vérifier que z ′− z = 1

2 iz3. En déduire queMM ′ =

1

2 OM3.

3. Démontrer que les points M , M1, M2 e tM3 appartiennent à un même cercle de centre O si et

seulement siMM ′ = 1

2 OM . Donner alors la mesure en radians de l’angle géométrique àM ′OM .

Exercices de géométrie 66

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

60 Amérique du Nord juin 2007 Retour au tableau Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) (unité graphique : 4 cm).

Soit A le point d’affixe zA = i et B le point d’affixe zB = e−i 5π 6 .

1. Soit r la rotation de centre O et d’angle 2π

3 . On appelle C l’image de B par r .

a. Déterminer une écriture complexe de r .

b. Montrer que l’affixe de C est zC = e−i π 6 .

c. Écrire zB et zC sous forme algébrique.

d. Placer les points A, B et C.

2. Soit D le barycentre des points A, B et C affectés respectivement des coefficients 2,−1 et 2.

a. Montrer que l’affixe de D est zD = p 3

2 + 1

2 i. Placer le point D.

b. Montrer que A, B, C et D sont sur unmême cercle.

3. Soit h l’homothétie de centre A et de rapport 2. On appelle E l’image de D par h.

a. Déterminer une écriture complexe de h.

b. Montrer que l’affixe de E est zE = p 3. Placer le point E.

4. a. Calculer le rapport zD− zC zE− zC

. On écrira le résultat sous forme exponentielle.

b. En déduire la nature du triangle CDE.

Exercices de géométrie 67

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

61 Liban juin 2007 Retour au tableau Pour chacune des 5 propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère la droite (d) dont un système d’équations paramétriques est :

  

x = 2− t

2 y = 1

z = 5− 3t

2

(t ∈R)

On note A le point de coordonnées (2 ; −1 ; 1), B le point de coordonnées (4 ; −2 ; 2) et C le point de (d) d’abscisse 1.

1. Proposition 1 « La droite (d) est parallèle à l’axe ( O ;

−→ ) ».

2. Proposition 2 « Le plan P d’équation x+3z−5= 0 est le plan passant par A et orthogonal à (d) ».

3. Proposition 3 « La mesure de l’angle géométriqueBAC est π 3 radians ».

4. Soit G le barycentre des points pondérés (A ;−1), (B ; 1) et (C ; 1). Proposition 4 « Les segments [AG] et [BC] ont le mêmemilieu ».

5. Proposition 5 « La sphère de centre C et passant par B coupe le plan P d’équation x+3z−5= 0 ».

Exercices de géométrie 68

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

62 Pondichéry avril 2007 Retour au tableau

1. Dans cette question, il est demandé au candidat d’exposer des connaissances

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) . Soit R la rotation du plan

de centre Ω, d’affixe ω et d’angle de mesure θ. L’image par R d’un point du plan est donc définie de la manière suivante :

R(Ω)=Ω – pour tout point M du plan, distinct de Ω, l’image M ′ de M est définie par ΩM ′ = ΩM et(−−−→

M , −−−→ ΩM

) = θ [2π].

On rappelle que, pour des points A et B d’affixes respectives a et b, AB = |b a| et (−→ u ,

−−→ AB

) =

arg(ba) [2π]. Question :Montrer que les affixes z et z ′ d’un point quelconqueM du plan et de son imageM ′ par la rotation R , sont liées par la relation

z ′−ω= eiθ(zω).

2. On considère les points I et B d’affixes respectives zI = 1+i et zB = 2+2i. SoitR la rotation de centre B et d’angle de mesure

π

3 .

a. Donner l’écriture complexe de R .

b. Soit A l’image de I par R . Calculer l’affixe zA de A.

c. Montrer que O, A et B sont sur un même cercle de centre I. En déduire que OAB est un

triangle rectangle en A. Donner unemesure de l’angle (−−→ OA ,

−−→ OB

) .

d. En déduire unemesure de l’angle (−→ u ,

−−→ OA

) .

3. Soit T la translation de vecteur −→ IO . On pose A′ = T (A).

a. Calculer l’affixe zA′ de A ′.

b. Quelle est la nature du quadrilatère OIAA′ ?

c. Montrer que − π

12 est un argument de zA′ .

Exercices de géométrie 69

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

63 Pondichéry avril 2007 Retour au tableau L’espace est rapporté au repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère le plan P d’équation 2x + y − 2z + 4 = 0 et les points A de coordonnées (3 ; 2 ; 6), B de coordonnées (1 ; 2 ; 4), et C de coordonnées (4 ; −2 ; 5).

1. a. Vérifier que les points A, B et C définissent un plan.

b. Vérifier que ce plan est le plan P .

2. a. Montrer que le triangle ABC est rectangle.

b. Écrire un systèmed’équations paramétriques de la droite∆passant parO et perpendiculaire au plan P .

c. Soit K le projeté orthogonal de O sur P . Calculer la distance OK.

d. Calculer le volume du tétraèdre OABC.

3. On considère, dans cette question, le système de points pondérés

S = {(O, 3), (A, 1), (B, 1), (C, 1)}

a. Vérifier que ce système admet un barycentre, qu’on notera G.

b. On note I le centre de gravité du triangle ABC. Montrer que G appartient à (OI).

c. Déterminer la distance de G au plan P .

4. Soit Γ l’ensemble des pointsM de l’espace vérifiant : ∥∥∥3−−−→MO +−−→MA +−−→MB +−−→MC

∥∥∥= 5.

Déterminer Γ. Quelle est la nature de l’ensemble des points communs à P et Γ ?

Exercices de géométrie 70

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

64 Nouvelle-Calédoniemars 2007 Retour au tableau Pour tout cet exercice, l’espace est muni d’un repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

1. Question de cours

Établir l’équation cartésienne d’un plan dont on connaît un vecteur normal −→ n (a, b, c) et un point

M0 ( x0, y0, z0

) .

2. On considère les points A(1 ; 2 ; −3), B(−3 ; 1 ; 4) et C(2 ; 6 ; −1). a. Montrer que les points A, B et C déterminent un plan.

b. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est 2xy + z+3= 0. c. Soit I le point de coordonnées (−5 ; 9 ; 4). Déterminer un système d’équations paramé-

triques de la droiteD passant par I et perpendiculaire au plan (ABC).

d. Déterminer les coordonnées du point J, intersection de la droiteD et du plan (ABC).

e. En déduire la distance du point I au plan (ABC).

Exercices de géométrie 71

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

65 Polynésie septembre 2006 Retour au tableau L’espace est muni d’un repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) . Soit (P1) le plan d’équation cartésienne

−2x+ y + z−6= 0 et (P2) le plan d’équation cartésienne x−2y +4z−9= 0. 1. Montrer que (P1) et (P2) sont perpendiculaires. On rappelle que deux plans sont perpendiculaires

si et seulement si un vecteur normal non nul à l’un est orthogonal à un vecteur normal non nul à l’autre.

2. Soit (D) la droite d’intersection de (P1) et (P2).

Montrer qu’une représentation paramétrique de (D) est :

  

x = −7+2t y = −8+3t z = t

(t ∈ R).

3. SoitM un point quelconque de (D) de paramètre t et soit A le point de coordonnées (−9 ; −4 ; −1). a. Vérifier que A n’appartient ni à (P1), ni à (P2).

b. Exprimer AM2 en fonction de t .

c. Soit f la fonction définie sur R par f (t )= 2t2−2t +3. • Étudier les variations de f . • Pour quel point M , la distance AM est-elle minimale ? Dans la suite, on désignera ce

point par I. • Préciser les coordonnées du point I.

4. Soit (Q) le plan orthogonal à (D) passant par A.

a. Déterminer une équation de (Q).

b. Démontrer que I est le projeté orthogonal de A sur (D).

Exercices de géométrie 72

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

66 Métropole septembre 2006 Retour au tableau On considère dans l’espace un cube de 3 cm de côté, noté ABCDEFGH et représenté sur l’annexe. Soit I le barycentre des points pondérés (E ; 2) et (F ; 1), J celui de (F ; 1) et (B ; 2) et enfin K celui de (G ; 2) et (C ; 1). On veut déterminer l’ensemble des points M équidistants de I, J et K. On note cet ensemble.

1. Placer les points I, J et K sur la figure de l’annexe qui sera rendue avec la copie.

2. SoitΩ le point de ∆ situé dans le plan (IJK). Que représente ce point pour le triangle IJK ?

Pour la suite de l’exercice, on se place maintenant dans le repère orthonormal suivant :( A ;

1

3

−−→ AD ;

1

3

−−→ AB ;

1

3

−→ AE

) .

3. Donner les coordonnées des points l, J et K.

4. Soit P(2 ; 0 ; 0) et Q(1 ; 3 ; 3) deux points que l’on placera sur la figure. Démontrer que la droite (PQ) est orthogonale au plan (IJK).

5. SoitM un point de l’espace de coordonnées (x ; y ; z).

a. Démontrer que M appartient à ∆ si, et seulement si, le triplet (x ; y ; z) est solution d’un système de deux équations linéaires que l’on écrira. Quelle est la nature de ∆ ?

b. Vérifier que P et Q appartiennent à ∆. Tracer∆ sur la figure.

6. a. Déterminer un vecteur normal au plan (IJK) et en déduire une équation cartésienne de ce plan.

b. Déterminer alors les coordonnées exactes deΩ.

Exercices de géométrie 73

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

67 Polynésie juin 2006 Retour au tableau Pour chacune des cinqpropositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démons- tration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on donne les points A(0 ; 0 ; 2) B(0 ; 4 ; 0)

et C(2 ; 0 ; 0). On désigne par I le milieu du segment [BC], par G l’isobarycentre des points A, B et C, et par H le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC).

Proposition 1 : « l’ensemble des pointsM de l’espace tels que −−→ AM ·−−→BC = 0 est le plan (AIO) ».

Proposition 2 : « l’ensemble des pointsM de l’espace tels que ∥∥∥−−→MB +−−→MC

∥∥∥= ∥∥∥−−→MB −−−→MC

∥∥∥ est la sphère de diamètre [BC] ».

Proposition 3 : « le volume du tétraèdre OABC est égal à 4 ».

Proposition 4 : « le plan (ABC) a pour équation cartésienne 2x+ y+2z = 4 et le point H a pour coordon-

nées

( 8

9 ; 4

9 ; 8

9

)

Proposition 5 : « la droite (AG) admet pour représentation paramétrique

  

x = t y = 2t z = 2−2t

(t ∈R) ».

Exercices de géométrie 74

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

68 La Réunion juin 2006 Retour au tableau Pour chacune des questions 1,2,3 et 4, parmi les quatre affirmations proposées, deux sont exactes et deux sont fausses. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et les deux affirmations

qu’il pense exactes. Aucune justification n’est demandée. Les quatre questions sont indépendantes et sont

notées sur 1 point. Toute réponse juste rapporte 0,5 point. Donner plus de 2 réponses à une question entraîne la nullité de la question.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

1. Soit P le plan d’équation 2x+3y +4z−1= 0. a. La distance du point O au plan P est égale à 1.

b. La distance du point O au plan P est égale à 1

p 29

.

c. Le vecteur −→ n

( 1 ;

3

2 ; 2

) est un vecteur normal au plan P .

d. Le planQ d’équation −5x+2y + z = 0 est parallèle au plan P . 2. Ondésigne par P le plan d’équation 2x+yz = 0, et parD la droite passant par le point A(1 ; 1 ; 1)

et de vecteur directeur −→ u (1 ; −4 ; −2).

a. La droiteD est parallèle au plan P .

b. La droiteD est orthogonale au plan P .

c. La droiteD est sécante avec le plan P .

d. Un système d’équations paramétriques deD est

  

x = 1+ t y = 1−4t z = 1−2t

(t ∈ R).

3. On désigne par E l’ensemble des pointsM(x ; y ; z) tels que : x+ y+z = 3 et 2xz = 1. Soit le point A(1 ; 1 ; 1).

a. L’ensemble E contient un seul point, le point A.

b. L’ensemble E est une droite passant par A.

c. L’ensemble E est un plan passant par A.

d. L’ensemble E est une droite de vecteur directeur −→ u (1 ; −3 ; 2).

4. ABCD est un tétraèdre quelconque. Soit P le plan passant par A et orthogonal à la droite (BC).

a. Le plan P contient toujours le point D.

b. Le plan P contient toujours la hauteur (AH) du triangle ABC.

c. Le plan P est toujours l’ensemble des pointsM de l’espace tels que :

−−→ BM ·−−→BC =−−→BA ·−−→BC .

d. Le plan P est toujours le plan médiateur du segment [BC].

Exercices de géométrie 75

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

69 Métropole juin 2006 Retour au tableau Soit

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) un repère orthonormal de l’espace.

On considère les points

A(2 ; 4 ; 1), B(0 ; 4 ; −3), C(3 ; 1 ; −3), D(1 ; 0 ; −2), E(3 ; 2 ; −1), I ( 3

5 ; 4 ; −

9

5

)

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire, sans le justifier, si elle est vraie ou si elle est fausse.

Pour chaque question, il est compté un point si la réponse est exacte et zéro sinon.

1. Une équation du plan (ABC) est : 2x+2y z−11= 0. 2. Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).

3. Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.

4. La droite (CD) est donnée par la représentation paramétrique suivante :

(CD)

  

x = −1+2t y = −1+ t z = 1− t

(t ∈R).

5. Le point I est sur la droite (AB).

Exercices de géométrie 76

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

70 Centres étrangers juin 2006 Retour au tableau ABCDEFGH est le cube d’arête 1 représenté sur la feuille annexe qui sera complétée et rendue avec la

copie. L’espace est rapporté au repère orthonormal ( A ;

−−→ AB ;

−−→ AD ,

−→ AE

)

Partie A.Un triangle et son centre de gravité.

1. Démontrer que le triangle BDE est équilatéral.

2. Soit I le centre de gravité du triangle BDE.

a. Calculer les coordonnées de I.

b. Démontrer que −→ AI =

1

3

−−→ AG . Que peut-on en déduire pour les points A, I, G ?

3. Prouver que I est le projeté orthogonal de A sur le plan (BDE).

Partie B.Une droite particulière

Pour tout nombre réel k, on définit deux pointsMk et Nk , ainsi qu’un plan Pk de la façon suivante :

Mk est le point de la droite (AG) tel que −−−→ AMk = k

−−→ AG ;

• Pk est le plan passant parMk et parallèle au plan (BDE) ; • Nk est le point d’intersection du plan Pk et de la droite (BC).

1. Identifier P 1 3 , M 1

3 et N 1

3 en utilisant des points déjà définis. Calculer la distanceM 1

3 N 1

3 .

2. Calcul des coordonnées de Nk .

a. Calculer les coordonnées deMk dans le repère ( A ;

−−→ AB ;

−−→ AD ,

−→ AE

) .

b. Déterniner une équation du plan Pk dans ce repère.

c. En déduire que le point Nk a pour coordonnées (1 ; 3k−1 ; 0). 3. Pour quelles valeurs de k la droite (MkNk) est-elle orthogonale â la fois aux droites (AG) et (BC) ?

4. Pour quelles valeurs de k la distanceMkNk est-elle minimale ?

5. Tracer sur la figure donnée en annexe, la section du cube par le plan P 1 2 . Tracer la droite

( M 1

2 N 1

2

)

sur la même figure.

Exercices de géométrie 77

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

ANNEXE

Exercice 4 (commun à tous les candidats)

Feuille à compléter età rendre avec la copie

A

B C

D

E

F G

H

Exercices de géométrie 78

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

71 Antilles-Guyane juin 2006 Retour au tableau On considère le tétraèdre ABCD ; on note I milieu du segment [AB] et J celui de [CD].

1. a. Soit G1 le barycentre du système de points pondérés

{(A, 1) ; (B, 1) ; (C, −1) ; (D, 1)}. Exprimez

−−→ IG1 en fonction de

−−→ CD . Placez I, J et G1 sur la figure (voir feuille annexe).

b. Soit G2 le barycentre du système de points pondérés

{(A, 1) ; (B , 1) ; (D, 2)}.

Démontrez que G2 est le milieu du segment [ID]. Placez G2.

c. Démontrez que IG1DJ est un parallélogramme.

En déduire la position de G2 par rapport aux points G1 et J.

2. Soitm un réel. On noteGm le barycentre du système de points pondérés

{(A, 1) ; (B , 1) ; (C , m−2) ; (D, m)}.

a. Précisez l’ensemble E des valeurs dem pour lesquelles le barycentreGm existe.

Dans les questions qui suivent, on suppose que le réelm appartient à l’ensemble E .

b. Démontrez queGm , appartient au plan (ICD).

c. Démontrez que le vecteurm −−−→ JGm est constant.

d. En déduire l’ensemble F des pointsGm lorsquem décrit l’ensemble E .

Exercices de géométrie 79

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

72 Pondichéry avril 2006 Retour au tableau L’espace est muni d’un repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

Partie A

(cette partie constitue une restitution organisée de connaissances)

Soit a,b,c et d des réels tels que (a, b, c) 6= (0, 0, 0). Soit P le plan d’équation ax +by + cz +d = 0. On considère le point I de coordonnées

( x1, y1, z1

) et le vecteur

−→ n de coordonnées (a, b, c).

Le but de cette partie est de démontrer que la distance de I au plan P est égale à

∣∣ax1+by1+cz1+d ∣∣

p a2+b2+c2

.

1. Soit ∆ la droite passant par I et orthogonale au plan P . Déterminer, en fonction de a, b, c, x1, y1 et z1, un système d’équations paramétriques de ∆.

2. On note H le point d’intersection de ∆ et P .

a. Justifier qu’il existe un réel k tel que −−→ IH = k

−→ n .

b. Déterminer l’expression de k en fonction de a, b, c, d , x1, y1 et z1.

c. En déduire que IH = ∣∣ax1+by1+cz1+d

∣∣ p a2+b2+c2

.

Partie B

Le plan Q d’équation xy + z−11= 0 est tangent à une sphèreS de centre le pointΩ de coordonnées (1, −1, 3).

1. Déterminer le rayon de la sphère S .

2. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite∆ passant parΩ et orthogonale au plan Q

3. En déduire les coordonnées du point d’intersection de la sphère S et du plan Q.

Exercices de géométrie 80

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

73 Amérique du Sud novembre 2005 Retour au tableau Dans cet exercice, une réponse par « VRAI » ou « FAUX », sans justification, est demandée au candidat

en regard d’une liste d’affirmations. Toute réponse conforme à la réalité mathématique donne 0,4 point. Toute réponse erronée enlève 0,1 point. L’absence de réponse n’est pas comptabilisée. Le total ne saurait être négatif.

Ondonne le cubeABCDEFGFH, d’arête de longueur 1, et les milieux I et J des arêtes [AB] et [CG]. Les élé- ments utiles de la figure sont donnés ci-contre. Le candidat est appelé à juger chacune des 10 affir- mations suivantes.

A

B

C

D E

F

G

H

I

J

On utilisera pour répondre la feuille annexe, qui sera rendue avec la copie.

Affirmation VRAI ou FAUX

1. −−→ AC ·

−→ AI =

1

2

2. −−→ AC ·

−→ AI =

−→ AI ·

−−→ AB

3. −−→ AB ·

−→ IJ =

−−→ AB ·

−→ IC

4. −−→ AB ·

−→ IJ =AB× IC×cos

π

3

On utilise à présent le repère orthonormal ( A ;

−−→ AB ,

−−→ AD ,

−→ AE

) .

Exercices de géométrie 81

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

Affirmation VRAI ou FAUX

5. Une représentation paramétrique de la droite

(IJ) est :

  

x = t +1 y = 2t z = t

, le paramètre t décrivant

R. 6. Une représentation paramétrique de la droite

(IJ) est :

  

x = 1

2 t +1

y = t +1

z = 1

2 t +

1

2

, le paramètre t décri-

vant R 7. 6x−7y+8z−3= 0 est une équation cartésienne

de la droite (IJ). 8. L’intersection des plans (FIJ) et (ABC) est la

droite passant par I et par le milieu de l’arête [DC].

9. Le vecteur de coordonnées

 

−4 1 2

  est un vec-

teur normal au plan (FIJ).

10. Le volume du tétraèdre EFIJ est égal à 1

6 .

Exercices de géométrie 82

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

74 Polynésie septembre 2005 Retour au tableau Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) (unité graphique : 1 cm).

Partie A

Dans le repère ( O,

−→ u ,

−→ v ) , on considère la courbe H d’équation y2−x2 = 16.

1. Montrer que H est la réunion de deux courbes C et C ′ où C est la courbe représentative de la fonction f définie sur R par f (x) =

p x2+16 et où C ′ est l’image de C par une transformation

simple que l’on précisera.

2. Étudier la fonction f (limites aux bornes de l’ensemble de définition et sens de variation).

a. Montrer que la droite d’équation y = x est une asymptote de C .

b. Tracer H dans le repère ( O,

−→ u ,

−→ v ) . On nomme A et B les points de la courbe d’abscisses

respectives −3 et 3. On considère le domaine D du plan constitué des points M(x ; y) véri- fiant :

−36 x 6 3 et √

x2+166 y 6 5.

Hachurer le domaineD et exprimer l’aire deD à l’aide d’une intégrale que l’on ne cherchera pas à calculer.

Partie B

On appelle r la rotation de centre O et d’angle − π

4 .

1. a. Donner l’écriture complexe de r .

b. On désigne par x′ et y ′ les coordonnées du pointM ′, image du pointM(x ; y) du plan.

Vérifier que

  

x′ = 1 p 2 (x+ y)

y ′ = 1 p 2 (−x+ y)

Déterminer les coordonnées des points A′ et B′, images respectives de A et B par la rotation

r . Placer les points A′ et B′ dans le repère ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

2. Soit H ′ l’hyperbole d’équation xy = 8.

a. Tracer H ′ dans le repère ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

b. Montrer que H ′ est l’image de H par la rotation r .

3. SoitD′ l’image deD par la rotation r . On admet queD′ est l’ensemble des pointsM(x ; y) du plan vérifiant

p 26 x6 4

p 2 et

8

x 6 y 6 5

p 2−x.

a. Hachurer D′.

b. Calculer l’aire deD′,exprimée en cm2. En déduire une valeur approchée à 10−3 près de l’aire de D.

Exercices de géométrie 83

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

75 Métropole septembre 2005 Retour au tableau L’espace est muni d’un repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

1. On considère le plan P passant par le point B(1 ; −2 ; 1) et de vecteur normal −→ n (−2 ; 1 ; 5) et le

plan R d’équation cartésienne

x+2y −7= 0. a. Démontrer que les plans P et R sont perpendiculaires.

b. Démontrer que l’intersection des plansP etR est la droite∆passant par le point C(−1 ; 4 ; −1) et de vecteur directeur

−→ u (2 ; −1 ; 1).

c. Soit le point A(5 ; −2 ; −1). Calculer la distance du point A au plan P , puis la distance du point A au plan R.

d. Déterminer la distance du point A à la droite ∆.

2. a. Soit, pour tout nombre réel t , le point Mt de coordonnées (1+2t ; 3− t ; t ). Déterminer en fonction de t la longueur AM . On note ϕ(t ) cette longueur. On définit ainsi une fonction ϕ de R dans R.

b. Étudier le sens de variations de la fonctionϕ sur R ; préciser sonminimum.

c. Interpréter géométriquement la valeut de ce minimum.

Exercices de géométrie 84

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

76 Antilles-Guyane septembre 2005 Retour au tableau Pour cet exercice, vous recopierez pour chaque question, votre réponse.

Chaque réponse juste rapporte 1 point. Une absence de réponse n’est pas sanctionnée. Il sera retiré 0,5 point par réponse fausse. La note finale de l’exercice ne pourra pas être inférieure à zéro.

Soit ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) un repère orthonormal.

1. La droite passant par A(1 ; 2 ; −4) et B(−3 ; 4 ; 1) et la droite représentée par

  

x = −11−4t y = 8+2t z = 11+5t

t

R sont :

 sécantes strictement parallèles confondues non coplanaires

2. Soient le planP d’équation 2x+3yz+4= 0 et la droiteD représentée par

  

x = t y = t z = 8+ t

t ∈R

 P et D sont sécants.  P et D sont strictement parallèles.

 D est incluse dans P . Aucune de ces possibilités n’est vraie.

3. La distance du point A(1 ; 2 ; −4) au plan d’équation 2x+3y z+4= 0 est :

 8 p 14

7  16  8

p 14 

8

7 4. Soient le point B(−3 ; 4 ; 1) et la sphère S d’équation x2+ y2+ z2 = 16 ;

 B est à l’intérieur de S  B est à l’extérieur de S

 B est sur S . On ne sait pas.

Exercices de géométrie 85

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

77 Asie juin 2005 Retour au tableau Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on appelle D la droite d’équations pa-

ramétriques :

  

x = 1+2t y = 2− t z = −3− t

et P le plan d’équation cartésienne x+2y −3z−1= 0.

Dans chacune des lignes du tableau ci-dessous, une seule affirmation est exacte. Le candidat indiquera

sur la copie le numéro de la ligne et la lettre correspondant à l’affirmation choisie. Aucune justification

n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

Numéro de la Affirmation A Affirmation B Affirmation C ligne

Le point Le point Le point 1. Mde coordonnées (−1 ; 3 ; 2) N de coordonnées (2 ; −1 ; −1) R de coordonnées (3 ; 1 ; −4)

appartient à D appartient à D appartient à D Le vecteur Le vecteur Le vecteur

2. −→ u de coordonnées (1 ; 2 ; −3) −→v de coordonnées (−2 ; 1 ; 1) −→w de coordonnées (3 ; 1 ; −4) est un vecteur directeur de D est un vecteur directeur de D est un vecteur directeur de D

3. D est incluse dans P D est strictement parallèle à P D est sécante à P

Le point Le point Le point 4. G de coordonnées (1 ; 3 ; −2) G de coordonnées (1 ; 3 ; 2) G de coordonnées (1 3 ; −1)

appartient à P appartient à P appartient à P Le plan Q1 d’équation carté- Le plan Q2 d’équation carté- Le plan Q3 d’équation carté-

5. sienne x+2y −3z+1 = 0 sienne 4x−5y −2z+3 = 0 sienne −3x+2y z−1 = 0 est perpendiculaire à P est perpendiculaire à P est perpendiculaire à P

La distance du point T de coor- La distance du point T de La distance du point T de coor- 6. données (−1 ; −3 ; 2) coordonnées (−1 ; −3 ; 2) données (−1 ; −3 ; 2) au

plan P est : p 14 au plan P est : 14 plan P est : 2

p 3

Exercices de géométrie 86

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

78 Centres étrangers Retour au tableau Soit ABCD un tétraèdre tel que ABC, ABD et ACD soient trois triangles isocèles rectangles en A avec AB = AC = AD = a. On appelle A1 le centre de gravité du triangle BCD.

1. Montrer que la droite (AA1) est orthogonale au plan (BCD).( On pourra par exemple calculer

−−→ AA1 ·

−−→ CD et

−−→ AA1 ·

−−→ BC .

)

2. En exprimant de deux façons différentes le volume du tétraèdre ABCD, calculer la longueur du segment [AA1].

3. On appelle G l’isobarycentre du tétraèdre ABCD et I le milieu de [BC].

a. Montrer que G appartient au segment [AA1] et déterminer la longueur AG.

b. Déterminer l’ensemble des pointsM de l’espace tels que

∥∥∥−−→MA +−−→MB +−−→MC +−−−→MD ∥∥∥= 2

∥∥∥−−→MB +−−→MC ∥∥∥ .

4. Soit H le symétrique de A par rapport à G.

a. Démontrer que 4 −−→ GA +

−−→ AC +

−−→ AD =

−−→ BA .

b. Démontrer l’égalité HC2−HD2 = −−→ DC ·

−−→ BA .

c. En déduire que HC = HD.

On rappelle que le volume d’une pyramide de hauteur h et d’aire de base associée b est

V = 1

3 bh.

Exercices de géométrie 87

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

79 La Réunion juin 2005 Retour au tableau On appelle hauteur d’un tétraèdre toute droite contenant l’un des sommets de ce tétraèdre et perpendi- culaire au plan de la face opposée à ce sommet. Un tétraèdre est orthocentrique si ses quatre hauteurs sont concourantes.

Partie AOnconsidère un tétraèdre ABCDet onnoteH le projeté orthogonal dupoint A sur le plan (BCD). Démontrer que, si les hauteurs du tétraèdre ABCD issues des points A et B sont concourantes, alors la droite (BH) est une hauteur du triangle BCD.

Partie B Dans l’espacemuni d’un repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) ondonne les points A(3 ; 2 ; −1), B(−6 ; 1 ; 1),

C(4 ;−3 ; 3) et D(−1 ; −5 ; −1).

1. a. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (BCD) est :

−2x−3y +4z−13= 0. b. Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD).

c. Calculer le produit scalaire −−→ BH ·−−→CD .

d. Le tétraèdre ABCD est-il orthocentrique ?

2. On définit les points I(1 ; 0 ; 0), J(0 ; 1 ; 0), K(0 ; 0 ; 1). Le tétraèdre OIJK est-il orthocentrique ?

Exercices de géométrie 88

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

80 Liban juin 2005 Retour au tableau Pour chacune des huit affirmations (entre guillemets) ci -dessous, préciser si elle est vraie ou fausse. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et lamention « vrai » ou « faux ». Une réponse correcte rapporte 0,5 point, une réponse incorrecte enlève 0,25 point, l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de points. Un éventuel total négatif sera ramené à zéro.

1. « Si a est un nombre réel quelconque et f une fonction définie et strictement décroissante sur [a ; +∞[, alors lim

x→+∞ f (x)=−∞. »

2. Soient f et g deux fonctions définies sur [0 ; +∞[, g ne s’annulant pas :

« Si lim x→+∞

f (x)=−∞ et si lim x→+∞

g (x)=+∞ alors lim x→+∞

f (x)

g (x) =−1 ».

3. «Si f est une fonction définie sur [0 ; +∞[ telle que 06 f (x)6 p x sur [0 ; +∞[ alors lim

x→+∞

f (x)

x = 0 »

4. On considère un repère ( O,

−→ ı ,

−→ ) du plan.

« Si f est une fonction définie sur R∗ alors la droite d’équation x = 0 est asymptote à la courbe représentative de f dans le repère

( O,

−→ ı ,

−→ ) ».

5. « La fonction f définie sur R par f (x) = ( x2+3x+1

) ex est une solution sur R de l’équation diffé-

rentielle y ′− y = (2x+3)ex ». 6. Soient A, B, C trois points du plan. On appelle I le barycentre des points A et B affectés respective-

ment des coefficients 3 et −2. « Si G est le barycentre des points A, B et C affectés respectivement des coefficients 3,−2 et 1 alors G est le milieu du segment [CI] ».

7. Soient A, B, C trois points du plan et G le barycentre de A, B et C affectés respectivement des coefficients 3, −2 et 1 « L’ensemble des pointsM du plan tels que ‖3

−−→ MA −2

−−→ MB +

−−→ MC ‖ = 1 est le cercle de centre G et de

rayon 1 ».

8. Soient A et B deux points distincts du plan. On désigne parM un point quelconque du plan.

« Le produit scalaire −−→ MA ·

−−→ MB est nul si et seulement si M = A ouM = B ».

Exercices de géométrie 89

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

81 Polynésie juin 2005 Retour au tableau Pour chacune des cinq questions, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. L’espace est rapporté à un repère

orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) . On considère les points A(3 ; 1 ; 3) et B(−6 ; 2 ; 1). Le plan P admet pour

équation cartésienne x+2y +2z = 5.

1. L’ensemble des pointsM de l’espace tels que ∥∥∥4−−→MA −−−→MB

∥∥∥= 2 est : a. un plan de l’espace b. une sphère c. l’ensemble vide.

2. Les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan P sont :

a.

( 11

3 ; 1

3 ; 1

3

) b.

( 8

3 ; 1

3 ; 7

3

) c.

( 7

3 ; −

1

3 ; 5

3

) .

3. La sphère de centre B et de rayon 1 :

a. coupe le plan P suivant un cercle ;

b. est tangente au plan P ;

c. ne coupe pas le plan P .

4. On considère la droiteD de l’espace passant par A et de vecteur directeur −→ u (1 ; 2 ; −1) et la droite

D ′ d’équations paramétriques

  

x = 3+2t y = 3+ t z = t

(t ∈ R).

Les droites D et D′ sont :

a. coplanaires et parallèles b. coplanaires et sécantes c. non coplanaires.

5. L’ensemble des pointsM de l’espace équidistants des points A et B est :

a. la droite d’équations paramétriques

  

x = − 3

2 − t

y = 3

2 −7t

z = 2+ t

(t ∈R).

b. le plan d’équation cartésienne 9xy +2z+11= 0. c. le plan d’équation cartésienne x+7y z−7= 0.

Exercices de géométrie 90

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

82 Pondichéry avril 2005 Retour au tableau

L’espace E est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) . On considère les points A, B et C de

coordonnées respectives (1 ; 0 ; 2), (1 ; 1 ; 4) et (−1 ; 1 ; 1).

1. a. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

b. Soit −→ n le vecteur de coordonnées (3 ; 4 ; −2).

Vérifier que le vecteur −→ n est orthogonal aux vecteurs

−−→ AB et

−−→ AC .

En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

2. Soient P1 et P2 les plans d’équations respectives 2x+ y +2z+1= 0 et x−2y +6z = 0.

a. Montrer que les plans P1 et P2 sont sécants selon une droite D dont on déterminera un sys- tème d’équations paramétriques.

b. La droite D et le plan (ABC) sont-ils sécants ou bien parallèles ?

3. Soit t un réel positif quelconque. On considère le barycentre G des points A, B et C affectés des coefficients respectifs 1, 2 et t .

a. Justifier l’existence du pointG pour tout réel positif t .

Soit I le barycentre des points A et B affectés des coefficients respectifs 1 et 2. Déterminer les coordonnées du point I.

Exprimer le vecteur −→ IG en fonction du vecteur

−→ IC .

b. Montrer que l’ensemble des pointsG lorsque t décrit l’ensemble des nombres réels positifs ou nuls est le segment [IC] privé du point C.

Pour quelle valeur de t , le milieu J du segment [IC] coïncide-t-il avecG ?

Exercices de géométrie 91

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

83 Nouvelle–Calédonie novembre 2004 Retour au tableau

Cet exercice est un questionnaire choixmultiples (Q.C.M.)

Les réponses cet exercice sont à inscrire sur la feuille jointe en annexe . Toute réponse ambigu sera considérée comme une absence de réponse. Pour chacune des cinq questions une ou plusieurs réponses sont exactes. Le candidat doit inscrire V (vrai) ou F (faux ) dans la case correspondante. Aucune justification n’est demandée. Pour chaque question, 3 réponses correctes rapportent 1 point et

2 réponses correctes rapportent 1

2 point.

A B

C

D

E

F G

H

Soit ABCDEFGH un cube de côté 1. On choisit le repère orthonormal( A ;

−−→ AB ,

−−→ AD ,

−→ AE

)

On appelle I et J les milieux respectifs des segments [EF] et [ FG]. L est le barycentre de {(A, 1) ; (B, 3)}. Soit (π) le plan d’équation 4x−4y +3z−3= 0.

1. Les coordonnées de L sont :

a.

( 1

4 ; 0 ; 0

) b.

( 3

4 ; 0 ; 0

) c.

( 2

3 ; 0 ; 0

)

2. Le plan (π) est le plan

a. (GLE) b. (LEJ) c. (GFA)

3. Le plan parallèle au plan (π) passant par I coupe la droite (FB) enM de coordonnées

a.

( 1 ; 0 ;

1

4

) b.

( 1 ; 0 ;

1

5

) c.

( 1 ; 0 ;

1

3

)

4. a. Les droites (EL) et (FB) sont sécantes en un point N qui est le symétrique deM par rapport B.

b. Les droites (EL) et (IM) sont parallèles.

c. Les droites (EL) et (IM) sont sécantes.

5. Le volume du tétraèdre FIJM est :

a. 1

36 b.

1

48 c.

1

24

Exercices de géométrie 92

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

84 Antilles–Guyane septembre 2004 Retour au tableau Dans le plan orienté muni d’un repère orthonormal direct, on considère ABC un triangle direct sur le- quel on construit extérieurement trois triangles équilatéraux BCA′, ACB′ et ABC′. On considère respecti- vement les points P, Q et R centres de gravités respectifs des triangles B CA′, ACB′ et ABC′.

•A

•B •C

• A′

• B′

•C′

• P

• Q

•R

On note a, b, c, a′, b′, c ′, p, q et r les affixes respectives des points A, B, C, A′, B′, C′, P, Q et R.

1. a. Traduire, avec les affixes des points concernés, que C′ est l’image de A dans une rotation d’angle de mesure dont on précisera le centre.

b. Montrer que a′+b′+c ′ = a+b+c. 2. En déduire que p+q+ r = a+b+c. 3. En déduire que les triangles ABC, A′B′C′ et PQR ont même centre de gravité.

4. Montrer que : 3(qp)= (b′−c)+ (ca′)+ (ab).

On admettra que, de même :

3(r p)= (ac)+ (ba′)+ (c ′−b).

5. Justifier les égalités suivantes :

ac = ei π 3 (b′−c) ; ba′ = ei

π 3 (ca′) ; c ′−b = ei

π 3 (ab).

6. Déduire des questions 4. et 5. que le triangle PQR est équilatéral.

Exercices de géométrie 93

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

85 Amérique du Nordmai 2004 Retour au tableau Dans le plan affine, on considère ABC un triangle rectangle en A, I lemilieu du segment [AB] et J le centre de gravité de ABC.

Pour tout réelm, différent de − 1

3 , on noteGm le barycentre du système de points pondérés

Sm = {(A, 1), (B, m), (C, 2m)} .

Pour tout pointM du plan on note −−→ VM = 3

−−→ MA −

−−→ MB −2

−−→ MC .

Pour chacune des six affirmations suivantes, dites si elle est vraie (V) ou fausse (F). Chaque bonne réponse donne 0,5 point, chaque réponse fausse ou illisible enlève 0,25 point, l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Un éventuel total négatif serait ramené à 0. Répondre aux affirmations sur la page annexe.

Affirmation V ou F

G1 est le milieu du segment [CI].

G1 est barycentre de

{ (J, 2),

( C,

2

3

)}

Pour tout pointM , −−→ VM =

−−→ AB +2

−−→ AC .

Pour toutm, distinct de − 1

3 , −−−→ AGm est colinéaire à

−−−−→ AG−1 .

IBG− 12 est un triangle rectangle.

Pour tout point P de (AG−1), il existe un réelm tel que P =Gm .

Exercices de géométrie 94

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

86 Antilles–Guyane juin 2004 Retour au tableau On considère le tétraèdre ABCD ; on note I milieu du segment [AB] et J celui de [CD].

1. a. Soit G1 le barycentre du système de points pondérés

{(A, 1) ; (B, 1) ; (C, −1) ; (D, 1)}. Exprimez

−−→ IG1 en fonction de

−−→ CD . Placez I, J et G1 sur la figure (voir feuille annexe).

b. Soit G2 le barycentre du système de points pondérés {(A, 1) ; (B , 1) ; (D, 2)}.

Démontrez que G2 est le milieu du segment [ID]. Placez G2.

c. Démontrez que IG1DJ est un parallélogramme.

En déduire la position de G2 par rapport aux points G1 et J.

2. Soitm un réel. On noteGm le barycentre du système de points pondérés

{(A, 1) ; (B , 1) ; (C , m−2) ; (D, m)}.

a. Précisez l’ensemble E des valeurs dem pour lesquelles le barycentreGm existe.

Dans les questions qui suivent, on suppose que le réelm appartient à l’ensemble E .

b. Démontrez queGm , appartient au plan (ICD).

c. Démontrez que le vecteurm −−−→ JGm est constant.

d. En déduire l’ensemble F des pointsGm lorsquem décrit l’ensemble E .

Exercices de géométrie 95

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

87 Métropole juin 2004 Retour au tableau Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la co- pie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 1/2 point l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on donne le point S(1 ; −2 ; 0) et le plan

P d’équation x+ y −3z+4= 0.

1. Une représentation paramétrique de la droite D passant par le point S et perpendiculaire au plan P est :

A :

  

x = 1+ t y = 1−2t z = −3

, t ∈R B :

  

x = 2+ t y = −1+ t z = 1−3t

, t ∈R

C :

  

x = 1+ t y = −2−2t z = 3t

, t ∈R D :

  

x = 2+ t y = −1+ t z = −3−3t

, t ∈R.

2. Les coordonnées du point d’intersection H de la droite D avec le plan P sont :

A : (−4 ; 0 ; 0) B : ( 6

5 ; −9 5

; 3

5

) C :

( 7

9 ; −2 3

; 1

3

) D;

( 8

11 ; −25 11

; 9

11

)

3. La distance du point S au plan P est égale à :

A :

p 11

3 B :

3 p 11

C : 9

p 11

D : 9

11

4. On considère la sphère de centre S et de rayon 3. L’intersection de la sphère S et du plan P est égale

A : au point I(1 ; −5 ; 0)

B : au cercle de centre H et de rayon r = 3 √

10

11 C : au cercle de centre S et de rayon r = 2

D : au cercle de centre H et de rayon r = 3 p 10

11 .

Exercices de géométrie 96

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

88 Nouvelle–Calédoniemars 2004 Retour au tableau

On considère Ie cube ABCDEFGHci-contre. O1 et O2 sont les centres des carrés ABCD et EFGH, et I est le centre de gravité du triangle EBD. Soit m un nombre réel et Gm le barycentre du système de points pondérés :

A

B C

D

E

F G

H

{(E ; 1), (B ; 1−m), (G ; 2m−1), (D ; 1−m)}

. Partie A

1. Justifier l’existence du pointGm .

2. Préciser la position du point G1.

3. Vérifier que G0 = A. En déduire que les points A, I et G sont aIignés.

4. Démontrer que −−−→ AGm = m

−−−→ AO2 . En déduire l’ensemble des points Gm lorsque m parcourt l’en-

semble des nombres réels.

5. a. Vérifier que les points A,Gm , E et O1, sont coplanaires.

b. Déterminer la valeur dem pour laquelleGm se trouve sur la droite (EI).

Exercices de géométrie 97

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

89 Nouvelle–Calédonie novembre 2003 Retour au tableau L’espace est rapporté à un repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) ; on considère les points A(3 ; 0 ; 10), B(0 ;

0 ; 15) et C(0 ; 20 ; 0).

1. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

b. Montrer que la droite (AB) coupe l’axe des abscisses au point E(9 ; 0 ; 0).

c. Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OBC.

a. Justifier que la droite (BC) est perpendiculaire au plan (OEH). En déduire que (EH) est la hauteur issue de E dans le triangle EBC.

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (OEH).

c. Vérifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne

20x+9y +12z−180= 0.

d. Montrer que le système

  

x = 0 4y −3z = 0 20x+9y +12z−180 = 0

a une solution unique. Que repré-

sente cette solution ?

e. Calculer la distance OH, en déduire que EH = 15 et l’aire du triangle EBC.

3. En exprimant de deux façons le volume du tétraèdre OEBC, déterminer la distance du point O au plan (ABC). Pouvait-on prévoir le résultat à partir de l’équation obtenue en 2. c. ?

Exercices de géométrie 98

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

90 Polynésie septembre 2003 Retour au tableau L’espace est rapporté à un repère

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) orthonormé. Soit s un nombre réel.

On donne les points A (8 ; 0 ; 8), B(10 ; 3 ; 10) ainsi que la droite D d’équations paramétriques :

  

x = −5+3s y = 1+2s z = −2s

1. a. Donner un système d’équations paramétriques de la droite ∆ définie par A et B.

b. Démontrer que D et ∆ sont non coplanaires.

2. a. Le plan P est parallèle à D et contient∆. Montrer que le vecteur −→ n (2 ; −2 ; 1) est un vecteur

normal à P . Déterminer une équation cartésienne de P .

b. Montrer que la distance d’un point quelconqueM de D à P est indépendante deM .

c. Donner un système d’équations paramétriques de la droite définie par l’intersection de P avec le plan (xOy).

3. La sphère S est tangente à P au point C(10 ; 1 ; 6). Le centreΩ de S se trouve à la distance d = 6 de P , du même côté que O.

Donner l’équation cartésienne de S .

Exercices de géométrie 99

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

91 Asie juin 2003 Retour au tableau L’espace E est rapporté au repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives :

A(3 ; −2 ; 2) ; B(6 ; 1 ; 5) ; C(6 ; −2 ; −1).

A

B

D

C

O−→ ı −→

−→ k

Partie A

1. Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.

2. Soit P le plan d’équation cartésienne x+ y + z−3= 0. Montrer que P est orthogonal à la droite (AB) et passe par le point A.

3. Soit P′ le plan orthogonal la droite (AC) et passant par le point A.

Déterminer une équation cartésienne de P′.

4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆, droite d’intersection des plans P et P′.

Partie B

1. Soit D le point de coordonnées (0 ; 4 ; −1). Montrer que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC).

2. Calculer le volume du tétraèdre ABDC.

3. Montrer que l’angle géométrique BDC a pour mesure π

4 radian.

4. a. Calculer l’aire du triangle BDC.

b. En déduire la distance du point A au plan (BDC).

Exercices de géométrie 100

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