Exercices de spécialité en mathématique, Exercices de Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Exercices de spécialité en mathématique, Exercices de Mathématiques

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Exercices de spécialité en mathématique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E). Décoder le message.
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[ Baccalauréat S Spécialité\ Index des exercices de spécialité de septembre 1999 à juin 2012

Tapuscrit : DENIS VERGÈS

No Lieu et date Arithmé- tique

Espace Surfaces

Transfor- mations

1 Polynésie juin 2012 × 2 Métropole juin 2012 × 3 Centres étrangers juin 2012 × × 4 Asie juin 2012 × 5 Antilles–Guyane 2012 × × 6 Libanmai 2012 × 7 Amérique du Nord mai 2012 × 8 Pondichéry avril 2012 × 9 Amérique du Sud novembre 2011 × × 10 Nouvelle-Calédonie novembre 2011 × × 11 Métropole septembre 2011 × × 12 Antilles-Guyane septembre 2011 × × 13 Polynésie juin 2011 × 14 Métropole juin 2011 × 15 La Réunion juin 2012 × × 16 Centres étrangers juin 2011 × × × 17 Asie juin 2011 × × 18 Antilles–Guyane 2011 × 19 Libanmai 2011 × 20 Amérique du Nord mai 2011 × 21 Pondichéry avril 2011 × 22 Amérique du Sud novembre 2010 × 23 Nouvelle-Calédonie novembre 2010 × 24 La Réunion septembre 2010 × 25 Métropole septembre 2010 × 26 Polynésie juin 2010 × 27 La Réunion juin 2010 × 28 Métropole juin 2010 × 29 Centres étrangers juin 2010 × 30 Asie juin 2010 × 31 Antilles-Guyane juin 2010 × 32 Amérique du Nord juin 2010 × × 33 Liban juin 2010 × × 34 Pondichéry avril 2010 × × 35 Nouvelle Calédonie novembre 2009 × 36 Amérique du Sud novembre 2009 × 37 Antilles-Guyane septembre 2009 × × 38 Polynésie septembre 2009 ×

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

No Lieu et date Arithmé- tique

Espace Surfaces

Transfor- mations

39 Métropole septembre 2009 × 40 Amérique du Nord juin 2009 × 41 Liban juin 2009 × 42 Polynésie juin 2009 × 43 Centres étrangers juin 2009 × × 44 Asie juin 2009 × 45 Métropole juin 2009 × 46 Antilles - Guyane juin 2009 × × 47 La Réunion juin 2009 × × 48 Pondichéry avril 2009 × × 49 Nouvelle–Calédonie décembre 2008 × 50 Amérique du Sud novembre 2008 × 51 Métropole La Réunion septembre 2008 × × 52 Antilles–Guyane septembre 2008 × × 53 Polynésie juin 2008 × × × 54 La Réunion juin 2008 × × 55 Métropole juin 2008 × × 56 Centres étrangers juin 2008 × 57 Asie juin 2008 × 58 Antilles-Guyane juin 2008 × 59 Amérique du Nord mai 2008 × × 60 Libanmai 2008 × × × 61 Pondichéry avril 2008 × 62 Nouvelle-Calédoniemars 2008 × 63 Nouvelle-Calédonie décembre 2007 × 64 Amérique du Sud novembre 2007 × 65 Métropole-La Réunion septembre 2007 × 66 Antilles-Guyane septembre 2007 × 67 Polynésie juin 2007 × 68 La Réunion juin 2007 × 69 Métropole juin 2007 × 70 Centres étrangers juin 2007 × 71 Asie juin 2007 × 72 Antilles-Guyane juin 2007 × 73 Amérique du Nord juin 2007 × 74 Liban juin 2007 × × 75 Pondichéry avril 2007 × 76 Nlle-Calédoniemars 2007 × 77 Nlle-Calédonie novembre 2006 × 78 Amérique du Sud novembre 2006 × 79 Métropole septembre 2006 × 80 Polynésie juin 2006 ×

Exercices de spécialité 2

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

No Lieu et date Arithmé- tique

Espace Surfaces

Transfor- mations

81 La Réunion juin 2006 × 82 Métropole juin 2006 × 83 Centres étrangers juin 2006 × 84 Asie juin 2006 × 85 Antilles-Guyane juin 2006 × 86 Amérique du Nord juin 2006 × 87 Pondichéry avril 2006 × 88 Nlle-Calédonie novembre 2005 × × 89 Amérique du Sud novembre 2005 × 90 Métropole septembre 2005 × × 91 Amérique du Nord juin 2005 × 92 Antilles-Guyane juin 2005 × 93 Asie juin 2005 × 94 Centres étrangers juin 2005 × 95 Métropole juin 2005 × 96 La Réunion juin 2005 × 97 Liban juin 2005 × 98 Polynésie juin 2005 × 99 Pondichéry juin 2005 × 100 Nlle-Calédonie nov. 2004 × 101 Amérique du Sud nov. 2004 × 102 Antilles septembre 2004 × × 103 Métropole septembre 2004 × 104 Polynésie septembre 2004 × 105 Amérique du Nord mai 2004 × 106 Antilles-Guyane juin 2004 × 107 Asie juin 2004 × 108 Centres étrangers juin 2004 × 109 Métropole juin 2004 × 110 Liban juin 2004 × 111 Polynésie juin 2004 × 112 Pondichéry avril 2004 × 113 La Réunion juin 2004 × 114 Amérique du Sud nov. 2003 × 115 Nouvelle Calédonie nov. 2003 × 116 Antilles–Guyane sept. 2003 × 117 Métropole septembre 2003 × 118 Polynésie septembre 2003 × 119 Amérique du Nord juin 2003 × 120 Antilles-Guyane juin 2003 × 121 Asie juin 2003 × 122 Centres étrangers juin 2003 ×

Exercices de spécialité 3

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

No Lieu et date Arithmé- tique

Espace Surfaces

Transfor- mations

123 Métropole juin 2003 × × 124 La Réunion juin 2003 × 125 Liban juin 2003 × 126 Polynésie juin 2003 × 127 Pondichéry juin 2003 × 128 Amérique du Sud déc. 2002 × 129 Nouvelle Calédonie nov. 2002 × 130 Antilles-Guyane sept. 2002 × 131 Métropole septembre 2002 × 132 Amérique du Nord juin 2002 × 133 Antilles-Guyane juin 2002 × 134 Asie juin 2002 × 135 Centres étrangers juin 2002 × 136 Métropole juin 2002 × 137 La Réunion juin 2002 × 138 Polynésie juin 2002 × 139 Pondichéry juin 2002 × 140 Nouvelle Calédonie déc. 2001 × 141 Amérique du Sud déc. 2001 × 142 Antilles-Guyane sept. 2001 × 143 Métropole septembre 2001 × 144 Polynésie septembre 2001 × 145 Amérique du Nord juin 2001 × 146 Antilles-Guyane juin 2001 × 147 Asie juin 2001 × 148 Centres étrangers juin 2001 × 149 Métropole juin 2001 × 150 Liban juin 2001 × 151 Polynésie juin 2001 × 152 Pondichéry juin 2001 × 153 Nouvelle-Calédonie déc. 2000 × 154 Amérique du Sud nov. 2000 × 155 Métropole septembre 2000 × 156 Polynésie septembre 2000 × 157 Amérique du Nord juin 2000 × 158 Antilles-Guyane juin 2000 × × 159 Asie juin 2000 × 160 Centres étrangers juin 2000 × 161 Métropole juin 2000 × 162 La Réunion juin 2000 × 163 Liban juin 2000 × × 164 Polynésie juin 2000 ×

Exercices de spécialité 4

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

No Lieu et date Arithmé- tique

Espace Surfaces

Transfor- mations

165 Pondichéry juin 2000 × 166 Nlle-Calédonie déc. 1999 × 167 Amérique du Sud nov. 1999 × 168 Antilles-Guyane sept. 1999 × 169 Métropole sept. 1999 × 170 Sportifs haut-niveau sept. 1999 ×

Exercices de spécialité 5

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

1 Polynésie juin 2012

Partie A

On considère l’équation (E) : 25x−108y = 1 où x et y sont des entiers relatifs. 1. Vérifier que le couple (13 ; 3) est solution de cette équation. 2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).

Partie B

Dans cette partie, a désigne un entier naturel et les nombres c et g sont des entiers naturels vérifiant la relation 25g −108c = 1. On rappelle le petit théorème de Fermat : Si p est un nombre premier et a un entier non divisible par p, alors ap−1 est congru à 1 modulo p que l’on note ap−1 ≡ 1 [p].

1. Soit x un entier naturel. Démontrer que si x a [7] et x a [19], alors x a [133].

2. 1. On suppose que a n’est pas unmultiple de 7. Démontrer que a6 ≡ 1 [7] puis que a108 ≡ 1 [7]. En déduire que

( a25

)g a [7]. 2. On suppose que a est unmultiple de 7.

Démontrer que ( a25

)g a [7]. 3. On admet que pour tout entier naturel a,

( a25

)g a [19]. Démontrer que

( a25

)g a [133].

Partie C

On note A l’ensemble des entiers naturels a tels que : 16 a6 26. Unmessage, constitué d’entiers appartenant à A, est codé puis décodé. La phase de codage consiste à associer, à chaque entier a de A, l’entier r tel que a25 ≡ r [133] avec 06 r < 133. La phase de décodage consiste à associer à r , l’entier r1 tel que r 13 ≡ r1 [133] avec 06 r1 < 133. 1. Justifier que r1 ≡ a [133]. 2. Unmessage codé conduit à la suite des deux entiers suivants : 128 59.

Décoder ce message.

Exercices de spécialité 6

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

2 Métropole juin 2012

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives

zA =−1+ i, zB = 2i et zC = 1+3i.

et D la droite d’équation y = x+2.

1. Prouver que les points A, B et C appartiennent à la droite D. Sur une figure que l’on fera sur la copie en prenant 2 cm pour unité graphique, placer les points A, B, C et tracer la droite D.

2. Résoudre l’équation (1+ i)z+3− i= 0 et vérifier que la solution de cette équation est l’affixe d’un point qui n’appartient pas à la droiteD.

Dans la suite de l’exercice, on appelle f l’application qui, à tout point M d’affixe z différente de

−1+2i, fait correspondre le pointM ′ d’affixe 1

(1+ i)z+3− i .

Le but de l’exercice est de déterminer l’image par f de la droite D.

3. Soit g la transformation duplan qui, à tout pointM d’affixe z, fait correspondre le pointM1 d’affixe (1+ i)z+3− i. 1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation g .

2. Calculer les affixes des points A1, B1 et C1, images respectives par g des points A, B et C.

3. Déterminer l’image D1 de la droiteD par la transformation g et la tracer sur la figure.

4. Soit h l’application qui, à tout point M d’affixe z non nulle, fait correspondre le point M2 d’affixe 1

z .

1. Déterminer les affixes des points h (A1) , h (B1) et h (A1) et placer ces points sur la figure.

2. Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul z, on a :

∣∣∣∣ 1

z − 1

2

∣∣∣∣= 1

2 ⇐⇒ |z−2| = |z|.

3. En déduire que l’image par h de la droite D1 est incluse dans un cercle C dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.

4. Démontrer que tout point du cercle C qui est distinct de O est l’image par h d’un point de la droite D1.

5. Déterminer l’image par l’application f de la droite D.

Exercices de spécialité 7

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

3 Centres étrangers juin 2012

Les cinq questions sont indépendantes. Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. Toute trace de recherche sera valorisée.

1. On considère l’équation (E) : 3x−2y = 1, où x et y sont des entiers relatifs.

Affirmation : les solutions de l’équation (E) sont les couples (9+2k ; 13+3k), avec k appartenant à l’ensemble Z des entiers relatifs.

2. Soit n un entier naturel. On considère les deux entiers a et b définis par :

a = 3n+1 et b = 2n+3.

Affirmation : le PGCD de a et b est égal à 7 si et seulement si n est congru à 2 modulo 7.

3. Soit n un entier naturel. On considère les deux entiers a et b définis par :

a = 2n2+7n+21 et b = 2n+2.

Affirmation : pour tout entier naturel n, le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b sont respectivement égaux à n+2 et n+17.

4. Dans le planmuni d’un repère orthonormal direct, on considère le point A d’affixe 3+4i. On note s la similitude directe s de centre A, de rapport

p 2 et d’angle

π

4 .

Affirmation : la similitude directe réciproque s−1 a pour écriture complexe :

z ′ = 1− i 2

z+ −1+7i

2 .

5. Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct, on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives a = 1+2i, b = 4− i, c = 1−2

p 3+ i(3+

p 3) et d = 4+

p 3+4i

p 3.

Affirmation : la similitude directe qui transforme A en C et B en D a pour angle π

3 .

Exercices de spécialité 8

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

4 Asie juin 2012

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Partie A - Détermination d’une similitude directe

On considère les points A et B d’affixes respectives :

zA =− 1

2 + i

p 3

2 et zB =−

p 3+ i.

1. 1. Ecrire les nombres complexes zA et zB sous forme exponentielle. 2. Placer les points A et B dans le repère. On prendra 1 cm comme unité graphique.

2. 1. Déterminer l’écriture complexe de la similitude directe f de centre 0 qui transforme le point A en B.

2. Préciser les éléments caractéristiques dc la similitude f .

Partie B. Étude d’une transformation

Le but de cette partie est d’étudier la transformation g = s f , où f désigne la similitude définie dans la partie A et s la réflexion d’axe

( O ;

−→ u ) .

1. SoitM un point quelconque du plan. On désigne parM ′ l’image du pointM par la transformation g .

On note z et z ′ les affixes respectives des pointsM et M ′, et z celle du conjugué de z.

1. Démontrer l’égalité : z ′ = 2e−i π 6 z.

2. On pose C = g (A) et D = g (C). Calculer les affixes respectives des points C et D, puis placer les points C et D sur la figure.

3. Quelle est la nature du triangle OAC ?

4. Démontrer que les vecteurs −−→ OA et

−−→ OD sont colinéaires.

2. Dans cette question, toute trace de recherche ou d’initiative,mêmenon aboutie, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer la nature de la transformation g g et préciser ses éléments géométriques.

Exercices de spécialité 9

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

5 Antilles-Guyane juin 2012

Les quatre questions sont indépendantes.

1. 1. Vérifier que le couple (4 ; 6) est une solution de l’équation

(E) 11x−5y = 14.

2. Déterminer tous les couples d’entiers relatifs (x ; y) vérifiant l’équation (E).

2. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel n,

23n ≡ 1 (mod 7).

2. Déterminer le reste de la division euclidienne de 20112012 par 7.

3. On se place dans le plan complexe. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f qui à tout pointM d’affixe z associe le pointM ′ d’affixe z ′ tel que :

z ′ = 3

2 (1− i)z+4−2i.

4. On considère l’algorithme suivant où Ent ( A

N

) désigne la partie entière de

A

N .

A et N sont des entiers naturels Saisir A N prend la valeur 1 Tant que N6

p A

Si A

N −Ent

( A

N

) = 0 alors Afficher N et

A

N Fin si

N prend la valeur N + 1 Fin Tant que.

Quels résultats affiche cet algorithme pour A = 12 ?

Que donne cet algorithme dans le cas général ?

Exercices de spécialité 10

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

6 Libanmai 2012

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On note zn la suite de nombres complexes, de terme initiale z0 = 0, et telle que :

zn+1 = 1+ i 2

zn+1, pour tout entier naturel n.

Pour tout entier naturel n, on note An le point d’affixe zn .

1. Calculer les affixes des points A1, A2 et A3. Placer ces points dans le planmuni du repère (O ; ~u ;~v). 2. 1. Montrer que le point An+1 est l’image du point An par une similitude directe s, dont on défi-

nira le rapport, l’angle et le centreΩ, d’affixeω.

2. Démontrer que le triangleΩAnAn+1 est isocèle rectangle.

3. 1. Établir que, pour tout entier naturel n, on a :ΩAn = (p

2

2

)n−1 .

2. À partir de quelle valeur de n les points An sont-ils situés àă l’intérieur du disque de centreΩ et de rayon 0,001 ?

4. Pour tout entier naturel n, on note an la longueur AnAn+1 et Ln la somme n

k=0 ak .

Ln est ainsi la longueur de la ligne polygonale A0A1 · · ·AnAn+1. Déterminer la limite de Ln quand n tend vers +∞.

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points An ,Ω et An+4 sont alignés.

Exercices de spécialité 11

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

7 Amérique du Nordmai 2012

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Soit S la transformation du plan qui, à toutM d’affixe z, associe le pointM ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = 5iz+6i+4.

Partie A

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristique de la transformation S. 2. On note x et x′, y et y ′ les parties réelles et imaginaires respectives de z et z ′.

Démontrer que : { x′ =−5y +4 y ′ = 5x+6

Partie B Dans cette partie, on se place dans le cas où les coordonnées x et y du point M sont des entiers relatifs tels que −36 x 6 5 et −36 x6 5. On note E l’ensemble de ces pointsM . On rappelle que les cordonnées (x′ ; y ′) du point M ′, image du point M par la transformation S, sont x′ =−5y +4 et y ′ = 5x+6.

1. 1. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs (a ; b) tels que 4a+3b = 5. 2. En déduire l’ensemble des pointsM de E de coordonnées (x ; y) tels que −3x′+4y ′ = 37.

2. SoitM un point de l’ensemble E etM ′ son image par la transformation S. 1. Démontrer que x′+ y ′ est unmultiple de 5. 2. Démontrer que x′− y ′ et x′+ y ′ sont congrusmodulo 2.

En déduire que si x′2− y ′2 est multiple de 2 alors x′− y ′ et x′+ y ′ le sont également. 3. Déterminer l’ensemble des pointsM de C tels que : x′2− y ′2 = 20.

Exercices de spécialité 12

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

8 Pondichéry avril 2012

Partie A Restitution organisée de connaissance

Soit a,b,c,d des entiers relatifs et n un entier naturel non nul. Montrer que si a b (mod n) et c d (mod n) alors ac bd (mod n).

Partie B Inverse de 23modulo 26

On considère l’équation

(E ) : 23x−26y = 1, où x et y désignent deux entiers relatifs.

1. Vérifier que le couple (−9 ; −8) est solution de l’équation (E ). 2. Résoudre alors l’équation (E ). 3. En déduire un entier a tel que 06 a6 25 et 23a ≡ 1 (mod 26).

Partie C Chiffrement de Hill

On veut coder unmot de deux lettres selon la procédure suivante :

Étape 1 Chaque lettre du mot est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous :

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

On obtient un couple d’entiers (x1 ; x2) où x1 correspond à la première lettre du mot et x2 correspond à la deuxième lettre du mot. Étape 2 (x1 ; x2) est transformé en

( y1 ; y2

) tel que :

(S1)

{ y1 ≡ 11x1+3x2 (mod 26) y2 ≡ 7x1+4x2 (mod 26)

avec06 y16 25 et 06 y26 25.

Étape 3 ( y1 ; y2

) est transformé en un mot de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance

donné dans l’étape 1.

Exemple : TE︸︷︷︸ mot en clair

étape1 =⇒ (19,4)

étape2 =⇒ (13,19)

étape3 =⇒ NT︸︷︷︸

mot codé

1. Coder le mot ST. 2. On veut maintenant déterminer la procédure de décodage :

1. Montrer que tout couple (x1 ; x2) vérifiant les équations du système (S1), vérifie les équations du système :

(S2)

{ 23x1 ≡ 4y1+23y2 (mod 26) 23x2 ≡ 19y1+11y2 (mod 26)

2. À l’aide de la partie B, montrer que tout couple (x1 ; x2) vérifiant les équations du système (S2), vérifie les équations du système

(S3)

{ x1 ≡ 16y1+ y2 (mod 26) x2 ≡ 11y1+5y2 (mod 26)

3. Montrer que tout couple (x1 ; x2) vérifiant les équations du système (S3), vérifie les équations du système (S1)

4. Décoder le mot YJ.

Exercices de spécialité 13

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

9 Amérique du Sud novembre 2011

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Proposition 1 : « Le reste de la division euclidienne de 20112011 par 7 est 2 ».

• Soit a et b deux nombres entiers relatifs non nuls. Proposition 2 : « S’il existe un couple de nombres entiers relatifs (u, v) tel que ua + vb = 3, alors PGCD(a, b)= 3 ».

• Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 5. Proposition 3 : « L’entier n2−3n−10 n’est jamais un nombre premier ». L’espace est rapporté à un repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

• On considère le cône Γ d’équation x2+ y2 = 5z2. Soit A le point de coordonnées (−2 ; −1 ; γ). Proposition 4 : « Il existe un unique réel γ tel que le point A appartient au cône Γ ».

• On coupe le cône Γ d’équation x2+ y2 = 5z2 par le plan Pa d’équation x = a a ∈R. Proposition 5 : « Cette intersection peut être la réunion de deux droites ».

Exercices de spécialité 14

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

10 Nouvelle Calédonie novembre 2011

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère la surface S d’équation : x2+ y2− z2 = 4.

1. 1. Montrer que si le pointM(x ; y ; z) appartient à S alors le point M ′(−x ; −y ; −z) appartient aussi à S. Que peut-on en déduire ?

2. Montrer que la surface S est symétrique par rapport au plan (xOy). On admet de même que la surface S est symétrique par rapport aux plans (xOz) et (yOz).

2. 1. Déterminer la nature géométrique de la section de la surface S par le plan (xOy). Préciser ses éléments caractéristiques.

2. Soit k un réel non nul. Déterminer la nature géométrique de la section de la surface S par le plan d’équation z = k. Préciser ses éléments caractéristiques.

3. Déterminer la nature géométrique de la section de la surface S par le plan d’équation y = 2. 4. On considère les points A

( 2 p 2 ; 0 ; 2

) et B

( 0 ; 2

p 2 ; −2

) .

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

2. La droite (AB) est-elle contenue dans la surface S ?

5. Identifier parmi les trois figures proposées en annexe 2 celle qui représente la surface S. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la figure et justifiera la réponse.

6. Soit H la section de la surface S par le plan P d’équation y = 5. 1. Montrer qu’un pointM(x ; y ; z) appartient à H si et seulement si

(xz)(x+ z)=−21 et y = 5. 2. En déduire les coordonnées des points de H dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

Exercices de spécialité 15

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

11 Métropole septembre 2011

Le plan est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On note A et B les points de coordonnées respectives (1 ; 0) et (6 ; 1). Pour tout point M de coordonnées (x ; y), on note M ′ l’image du point M par la symétrie orthogonale d’axe (AB) et

( x′ ; y

) ses coordonnées.

1. 1. Justifier l’existence de deux nombres complexes a et b tels que, pour tout pointM d’affixe z, l’affixe z ′ du pointM ′ est donnée par

z ′ = az+b.

2. En utilisant les points A et B, démontrer que

{ 1 = a+b 6+ i = a(6− i)+b

3. En déduire que, pour tout nombre complexe z :

z ′ = 1

13 (12+5i)z+

1

13 (1−5i).

4. Établir que, pour tout pointM de coordonnées (x ; y), les coordonnées ( x′ ; y

) du point M

sont telles que :

x′ = 1

13 (12x+5y +1) et y ′ =

1

13 (5x−12y −5).

2. On désigne par E l’ensemble des pointsM dont les coordonnées (x ; y) sont des entiers relatifs et tels que le pointM ′ associé appartienne à l’axe des abscisses.

1. Justifier queM(x ; y) appartient à E si et seulement si 5(x−1)= 12y . 2. En déduire que E est l’ensemble des points de coordonnées (1+12k ; 5k) où k est un entier

relatif.

3. Dans cette question, on suppose que les coordonnées de M sont des entiers relatifs et que l’abs- cisse deM ′ est un entier relatif.

1. Démontrer que x ≡ 5y +1 [13]. 2. En déduire que 5x−12y −5≡ 0 [13] et que l’ordonnée deM ′ est un entier relatif.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer les pointsM de la droite d’équation x = 2 tels que les coordonnées du pointM ′ soient des entiers relatifs.

On pourramontrer que l’ordonnée y d’un tel point est un entier relatif et utiliser des congruences modulo 13.

Exercices de spécialité 16

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

12 Antilles-Guyane septembre 2011

L’espace est muni d’un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère l’ensemble P des pointsM(x ; y ; z) de l’espace tels que :

z = x2+ y2.

Les trois questions sont indépendantes.

1. 1. Montrer que l’intersection de l’ensemble P et du plan d’équation z = 5 est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

2. Déterminer la nature de l’intersection de l’ensemble P et du plan d’équation y = 1. 2. On considère la sphère S de centre O et de rayon

p 6.

1. Donner une équation de la sphère S.

2. Montrer que l’intersection de la sphère S et de l’ensemble P est un cercle.

3. Le but de cette question est de déterminer les points M(x ; y ; z) de l’ensemble P , dont les coor- données sont des entiers relatifs, appartenant au plan d’équation−3x+2y = 1 et vérifiant z6 25. 1. Donner un couple d’entiers relatifs solution de l’équation (E) :−3x+2y = 1. 2. Déterminer l’ensemble des couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation (E). Dé-

terminer les points de l’ensemble P dont les coordonnées (x ; y ; z) sont des entiers relatifs vérifiant :

−3x+2y = 1 et z 6 25.

Exercices de spécialité 17

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

13 Polynésie juin 2011

On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de Fermat : Si p est un nombre premier et a est un entier naturel non divisible par p, alors ap−1 ≡ 1 (modulop).

On considère la suite (un) d’entiers naturels définie par :

u0 = 1et, pour tout entier natureln,un+1 = 10un+21.

1. Calculer u1, u2 et u3. 2. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,

3un = 10n+1−7. 2. En déduire, pour tout entier naturel n, l’ écriture décimale de un

3. Montrer que u2 est un nombre premier. On se propose maintenant d’étudier la divisibilité des termes de la suite (un) par certains nombres premiers.

4. Démontrer que, pour tout entier naturel n, un n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5. 5. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 3un ≡ 4− (−1)n (modulo11).

2. En déduire que, pour tout entier naturel n, un n’est pas divisible par 11.

6. 1. Démontrer l’égalité : 1016 ≡ 1(modulo17). 2. En déduire que, pour tout entier naturel k, u16k+8 est divisible par 17.

Exercices de spécialité 18

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

14 Métropole juin 2011

PARTIE A - Restitution organisée de connaissances

On rappelle ci-dessous le théorème de BÉZOUT et le théorème de GAUSS. Théorème de BÉZOUT : Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement si, il existe un couple (u ; v) d’entiers relatifs vérifiant au+bv = 1.

Théorème de GAUSS : Soient a, b, c des entiers relatifs. Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c.

1. En utilisant le théorème de BÉZOUT, démontrer le théorème de GAUSS. 2. Soient p et q deux entiers naturels tels que p et q sont premiers entre eux.

Déduire du théorème de GAUSS que, si a est un entier relatif, tel que a ≡ 0 [p] et a ≡ 0 [q], alors a ≡ 0 [pq].

PARTIE B

On se propose de déterminer l’ensemble S des entiers relatifs n vérifiant le système :

{ n ≡ 9 [17] n ≡ 3 [5]

1. Recherche d’un élément de S . On désigne par (u ; v) un couple d’entiers relatifs tel que 17u+5v = 1. 1. Justifier l’existence d’un tel couple (u ; v).

2. On pose n0 = 3×17u+9×5v . Démontrer que n0 appartient à S .

3. Donner un exemple d’entier n0 appartenant à S .

2. Caractérisation des éléments de S . 1. Soit n un entier relatif appartenant à S .

Démontrer que nn0 ≡ 0 [85]. 2. En déduire qu’un entier relatif n appartient à S si et seulement si il peut s’écrire sous la

forme n = 43+85k k est un entier relatif. 3. Application

Zoé sait qu’elle a entre 300 et 400 jetons.

Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9.

Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3.

Combien a-t-elle de jetons ?

Exercices de spécialité 19

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

15 La Réunion juin 2011

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v ) ; unité graphique : 8 centimètres.

On considère la transformation f du plan qui à tout pointM d’affixe z associe le pointM ′ d’affixe z ′ telle que

z ′ = p 2

4 (−1+ i)z.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f . 2. On définit la suite de points (Mn) de la façon suivante :M0 est le point d’affixe z0 = 1 et, pour tout

nombre entier naturel n, Mn+1 = f (Mn). On note zn l’affixe du pointMn .

1. Justifier que, pour tout nombre entier naturel n, zn = ( 1

2

)n ei ( 3

4

)

2. Construire les pointsM0, M1, M2, M3 etM4.

3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative meme non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soient n et p deux entiers naturels. À quelle condition sur n et p les points Mn et Mp sont-ils alignés avec l’origine O du repère ?

Exercices de spécialité 20

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

16 Centres étrangers juin 2011

Les cinq questions sont indépendantes. Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. Toute justification complète sera valorisée.

Question 1 On considère l’équation (E) : 2x+11y = 7, où x et y sont des entiers relatifs. Affirmation Les seuls couples solutions de (E) sont les couples (22k−2 ; −4k+1), avec k appartenant à l’ensemble Z des entiers relatifs.

Question 2 On considère l’entier N = 112011. Affirmation L’entier N est congru à 4 modulo 7.

Question 3 On considère, dans le plan complexe, les points A, B et C d’affixes respectives :

a = 1+ i ; b = 3i ; c = ( 1−2

p 2 ) + i

( 1−

p 2 ) .

Affirmation

Le point C est l’image du point B par la similitude directe de centre A, de rapport p 2 et d’angle −

π

2 .

Question 4 On considère, dans le plan complexe, les points A et B d’affixes respectives :

a = 1+ i ; b = 2− i.

Soit f la similitude d’écriture complexe : z ′ = ( − 3

5 − 4

5 i

) z+

( 12

5 + 6

5 i

) .

Affirmation La transformation f est la réflexion d’axe (AB).

Question 5

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère la surface S dont une équation est : z = 4xy . Affirmation La section de la surface S par le plan d’équation z = 0 est la réunion de deux droites orthogonales.

Exercices de spécialité 21

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

17 Asie juin 2011

Partie A : Restitution organisée de connaissances

1. Pré-requis : tout nombre entier n strictement supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier. Démontrer que tout nombre entiern strictement supérieur à 1 est premier ou peut se décomposer en produit de facteurs premiers (on ne demande pas de démontrer l’unicité de cette décomposi- tion).

2. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 629.

Partie B

Dans un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère les surfaces Γ etC d’équations respectives : Γ :

z = xy et C : x2+ z2 = 1.

1. Donner la nature de la surfaceC et déterminer ses éléments caractéristiques. 2. Points d’intersection à coordonnées entières des surfaces Γ etC

1. Démontrer que les coordonnées (x ; y ; z) des points d’intersection de Γ et de C sont telles que :

x2 ( 1+ y2

) = 1.

2. En déduire que Γ etC ont deux points d’intersection dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs.

3. Points d’intersection à coordonnées entières de Γ et d’un plan Pour tout nombre entier naturel non nul n, on désigne par Pn le plan d’équation z = n4+4. 1. Déterminer l’ensemble des points d’intersection de Γ et du plan P1 dont les coordonnées

sont des nombres entiers relatifs.

Pour la suite de l’exercice, on suppose n> 2.

2. Vérifier que : ( n2−2n+2

)( n2+2n+2

) = n4+4.

3. Démontrer que, quel que soit le nombre entier naturel n> 2, n4+4 n’est pas premier. 4. En déduire que le nombre de points d’intersection de Γ et du plan Pn dont les coordonnées

sont des nombres entiers relatifs est supérieur ou égal à 8.

5. Déterminer les points d’intersection deΓ et duplanP5dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs.

Exercices de spécialité 22

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

18 Antilles–Guyane juin 2011

1. On considère l’équation (E) : 11x−7y = 5, où x et y sont des entiers relatifs. 1. Justifier, en énonçant un théorème, qu’il existe un couple d’entiers relatifs (u ; v) tels que

11u−7v = 1. Trouver un tel couple. 2. En déduire une solution particulière de l’équation (E).

3. Résoudre l’équation (E).

4. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ) , on considère la droite D d’équa-

tion cartésienne 11x−7y −5= 0. On note C l’ensemble des pointsM(x ; y) du plan tels que 06 x 6 50 et 06 y 6 50.

Déterminer le nombre de points de la droiteD appartenant à l’ensemble C et dont les coor- données sont des nombres entiers.

2. On considère l’équation (F) : 11x2−7y2 = 5, où x et y sont des entiers relatifs. 1. Démontrer que si le couple (x ; y) est solution de (F), alors x2 ≡ 2y2 (mod 5). 2. Soient x et y des entiers relatifs. Recopier et compléter les deux tableaux suivants :

Modulo 5, x est congru à 0 1 2 3 4

Modulo 5, x2 est congru à

Modulo 5, y est congru à 0 1 2 3 4

Modulo 5, 2y2 est congru à

Quelles sont les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de x2 et de 2y2 par 5 ?

3. En déduire que si le couple (x ; y) est solution de (F), alors x et y sont des multiples de 5.

3. Démontrer que si x et y sont des multiples de 5, alors le couple (x ; y) n’est pas solution de (F). Que peut-on en déduire pour l’équation (F) ?

Exercices de spécialité 23

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

19 Libanmai 2011

Partie A : Restitution organisée de connaissances

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct. Prérequis : L’écriture complexe d’une similitude directe est de la forme z ′ = az +b a et b sont deux nombres complexes tels que a 6= 0.

Démontrer que si A, B, A′ et B′ sont quatre points du plan tels que A 6= B et A′ 6= B′, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A′ et B en B′.

Partie B

On considère le triangle rectangle isocèle ABC tel que (−−→ AB ,

−−→ AC

) =

π

2 modulo2π.

On note D le symétrique de A par rapport au point C. On désigne par s la similitude directe transformant D en C et C en B.

1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude s. 2. On appelleΩ le centre de la similitude s.

1. En utilisant la relation −−→ DC =

−−→ ΩC −

−−→ ΩD , démontrer que DC2 =ΩD2.

2. En déduire la nature du triangleΩDC.

3. On pose σ= s s. 1. Quelle est la nature de la transformationσ ? Préciser ses éléments caractéristiques.

2. Déterminer l’image du point D par la transformationσ.

4. Démontrer que le quadrilatère ADΩB est un rectangle. 5. Dans cette question, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( A ;

−→ u ,

−→ v ) ,

choisi de manière à ce que les points A, B, C et D aient comme affixes respectives 0, 1, i et 2i.

1. Démontrer que l’écriture complexe de la similitude s est :

z ′ = (1+i)z+2−i où z et z ′ désignent respectivement les affixes d’un pointM et de son image M ′ par s.

2. On note x et x′, y et y ′ les parties réelles et les parties imaginaires de z et z ′.

Démontrer que

{ x′ = xy +2 y ′ = x+ y −1

3. Soit J le point d’affixe 1+3i. Existe-t-il des pointsM du plan dont les coordonnées sont des entiers relatifs et tels que −−−→ AM ′ ·

−→ AJ = 0,M ′ désignant l’image du pointM par s ?

Exercices de spécialité 24

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

20 Amérique du Nordmai 2011

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

Partie B

On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : « Si p est un nombre premier et q un entier naturel premier avec p, alors qp−1 ≡ 1 (modulop) ». On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul par :

un = 2n+3n+6n −1.

1. Calculer les six premiers termes de la suite. 2. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, un est pair. 3. Montrer que, pour tout entier naturel n pair non nul, un est divisible par 4.

On note (E) l’ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un terme de la suite (un).

4. Les entiers 2, 3, 5 et 7 appartiennent-ils à l’ensemble (E) ? 5. Soit p un nombre premier strictement supérieur à 3.

1. Montrer que : 6×2p−2 ≡ 3 (modulop) et 6×3p−2 ≡ 2 (modulop). 2. En déduire que 6up−2 ≡ 0 (modulop). 3. Le nombre p appartient-il à l’ensemble (E) ?

Exercices de spécialité 25

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

21 Pondichéry avril 2011

Partie A

On considère, dans un repère ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) de l’espace, la surface S d’équation :

z = (xy)2.

1. On note E1 l’intersection de S avec le plan P1 d’équation z = 0. Déterminer la nature de E1. On note E2 l’intersection de S avec le plan P2 d’équation x = 1. Déterminer la nature de E2.

Partie B

On considère, dans un repère ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) de l’espace, la surface S ′ d’équation :

z = xy.

1. On note E3 l’intersection de S ′ avec le plan P1 d’équation z = 0. Déterminer la nature de E3

2. On note E4 l’intersection de S ′ avec le plan P3 d’équation z = 1. Déterminer la nature de E4.

Partie C

On note E5 l’intersection de S et de S ′. Dans cette partie, on souhaite démontrer que le seul point appartenant à E5 dont les coordonnées sont des entiers naturels est le point O(0 ; 0 ; 0). On suppose qu’il existe un point M appartenant à E5 et dont les coordonnées x, y et z sont des entiers naturels.

1. Montrer que si x = 0, alors le pointM est le point O. 2. On suppose dorénavant que l’entier x n’est pas nul.

1. Montrer que les entiers x, y et z vérifient x2−3xy + y2 = 0. En déduire qu’il existe alors des entiers naturels x′ et y ′ premiers entre eux tels que x′2 − 3xy ′+ y ′2 = 0.

2. Montrer que x′ divise y ′2, puis que x′ divise y ′.

3. Établir que y ′ vérifie la relation 1−3y ′+ y ′2 = 0. 4. Conclure.

Exercices de spécialité 26

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

22 Amérique du Sud novembre 2010

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on pose A(n)= n4+1. L’objet de l’exercice est l’étude des diviseurs premiers de A(n).

1. Quelques résultats 1. Étudier la parité de l’entier A(n).

2. Montrer que, quel que soit l’entier n, A(n) n’est pas unmultiple de 3.

3. Montrer que tout entier d diviseur de A(n) est premier avec n.

4. Montrer que, pour tout entier d diviseur de A(n) :

n8 ≡ 1 mod d .

2. Recherche de critères Soit d un diviseur de A(n). On note s le plus petit des entiers naturels non nuls k tels que nk ≡ 1 mod d .

1. Soit k un tel entier. En utilisant la division euclidienne de k par s, montrer que s divise k.

2. En déduire que s est un diviseur de 8.

3. Montrer que si, de plus, d est premier, alors s est un diviseur de d −1. On pourra utiliser le petit théorème de Fermat.

3. Recherche des diviseurs premiers de A(n) dans le cas où n est un entier pair. Soit p un diviseur premier de A(n). En examinant successivement les cas s = 1, s = 2 puis s = 4, conclure que p est congru à 1 modulo 8.

4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évalua- tion.

Appliquer ce qui précède à la recherche des diviseurs premiers de A(12).

Indication : la liste des nombres premiers congrus à 1 modulo 8 débute par 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, . . .

Exercices de spécialité 27

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

23 Nouvelle-Calédonie novembre 2010

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On considère la similitude indirecte f d’écriture complexe

z ′ = ( 1+ i

p 3 ) z

z désigne le conjugué de z. Soient les points A et B d’affixes respectives zA =

p 6+ i

p 2 et zB =−

p 2+ i

p 6.

On note A′ et B′ les images respectives des points A et B par f .

Unefigure fournie enANNEXEdu sujet, sera complétée et rendue avec la copie. Lesdifférentes construc- tions seront faites à la règle et au compas, et les traits de construction devront apparaître clairement.

1. 1. Écrire les affixes des points A et B sous forme exponentielle. 2. Montrer que le triangle OAB est rectangle isocèle direct.

3. En déduire la nature du triangle OA′B′.

4. Montrer que l’affixe zA′ de A ′ vérifie l’égalité : zA′ = 2zA.

En déduire la construction de A′ et B′.

2. On note r la rotation de centre O et d’angle de mesure π 3 , et s la symétrie orthogonale d’axe

( O ;

−→ u ) . On pose g = r s.

1. Déterminer l’écriture complexe de la transformation g .

2. Montrer que les points O et A sont invariants par g .

3. En déduire la nature de la transformation g .

3. 1. Montrer que l’on peut écrire f = h g , où h est une homothétie de centre et de rapport à déterminer.

2. Sur la figure placée en ANNEXE, un point C est placé. Faire la construction de l’image C′ de C par la transformation f .

Exercices de spécialité 28

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

24 La Réunion septembre 2010

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v ) ; unité graphique : 8 centimètres.

On considère la transformation f du plan qui à tout pointM d’affixe z associe le pointM ′ d’affixe z ′ telle que

z ′ = p 2

4 (−1+ i)z.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f . 2. On définit la suite de points (Mn) de la façon suivante :M0 est le point d’affixe z0 = 1 et, pour tout

nombre entier naturel n, Mn+1 = f (Mn). On note zn l’affixe du pointMn .

1. Justifier que, pour tout nombre entier naturel n, zn = ( 1

2

)n ei ( 3

4

)

2. Construire les pointsM0, M1, M2, M3 etM4.

3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative meme non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soient n et p deux entiers naturels. À quelle condition sur n et p les points Mn et Mp sont-ils alignés avec l’origine O du repère ?

Exercices de spécialité 29

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

25 Métropole septembre 2010

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) , on considère les deux rec-

tangles OABC et DEFG où les points A, B, C, D, E, F, G ont pour affixes respectives

zA =−2, zB =−2+ i, zC = i, zD = 1, zE = 1+3i, zF = 5

2 +3i,zG =

5

2 .

Voir la figure donnée en annexe 3.

1. On considère la similitude directe s transformant O en D et A en E. 1. Justifier que l’écriture complexe de la similitude s est : z ′ =−

3

2 iz+1.

2. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude s.

3. Quelle est l’image du rectangle OABC par la similitude s ?

2. On considère la similitude indirecte s ′ d’écriture complexe z ′ =−2 3 iz+

5

3 i.

1. Déterminer l’image du rectangle DEFG par la similitude s ′.

2. On considère la similitude g = s ′ ◦ s. Déterminer l’image du rectangle OABC par la similitude g .

3. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiativemêmenon fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

La similitude g a-t-elle des points fixes ? Que peut-on en conclure pour g ?

Exercices de spécialité 30

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

26 Polynésie juin 2010 Retour au tableau Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

On considère l’équation (E) : 7x−6y = 1 où x et y sont des entiers naturels.

1. Donner une solution particulière de l’équation (E) 2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers naturels solutions de l’équation (E).

Partie B

Dans cette partie, on se propose de déterminer les couples (n, m) d’entiers naturels non nuls vérifiant la relation : 7n −3×2m = 1 (F).

1. On supposem6 4. Montrer qu’il y a exactement deux couples solutions.

2. On supposemaintenant quem> 5. 1. Montrer que si le couple (n, m) vérifie la relation (F) alors 7n ≡ 1 (mod 32). 2. En étudiant les restes de la division par 32 des puissances de 7, montrer que si le couple

(n, m) vérifie la relation (F) alors n est divisible par 4.

3. En déduire que si le couple (n, m) vérifie la relation (F) alors 7n ≡ 1 (mod 5). 4. Pourm> 5, existe-t-il des couples (n, m) d’entiers naturels vérifiant la relation (F) ?

3. Conclure, c’est-à-dire déterminer l’ensemble des couples d’entiers naturels non nuls vérifiant la relation (F).

Exercices de spécialité 31

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

27 La Réunion juin 2010 Retour au tableau Partie 1 : Restitution organisée de connaissances

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Prérequis :

On rappelle que l’écriture complexe d’une similitude directe du plan est de la forme z ′ =αz+β, où α est un nombre complexe non nul et β est un nombre complexe. Soient A, B, C, D quatre points du plan ; on suppose d’une part que les points A et C sont distincts et d’autre part que les points B et D sont distincts. Démontrer qu’il existe une unique similitude directe s telle que s(A) = B et s(C) = D.

Partie II :

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( A ;

−−→ AB ,

−−→ AD

) ; (−−→ AB ,

−−→ AD

) =

π

2 [2π].

On considère le point C tel que ABCD est un carré.

Soit E le milieu du segment [AD], on considère le carré EDGF tel que (−−→ ED ,

−→ EF

) =

π

2 [2π].

1. 1. Faire une figure en plaçant les points A, B, C, D, E, F, G. On complètera la figure au cours de l’exercice.

2. Préciser les nombres complexes a, b, c, d , e, f , g , affixes respectives des points A, B, C, D, E, F et G.

3. Montrer qu’il existe une unique similitude directe s du plan telle que s(D) = F et s(B) = D.

2. On se propose de préciser les éléments caractéristiques de la similitude directe s. 1. Déterminer le rapport k et l’angle θ de la similitude directe s.

2. Donner l’écriture complexe de cette similitude.

3. Déterminer, le centreΩ de la similitude directe s.

Exercices de spécialité 32

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

28 Métropole juin 2010 Retour au tableau Dans tout l’exercice,

( O,

−→ u ,

−→ v ) est un repère orthonormal direct du plan complexe (unité graphique :

4 cm). On désigne par A le point d’affixe zA = 1. 1. On considère la transformation T du plan qui, à tout point M d’affixe z, associe le point d’affixe

z+2. 1. Déterminer les images respectives par la transformation T du point A et du pointΩ d’affixe

1+ i p 3.

2. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de la transformation T .

3. Déterminer l’image par la transformation T du cercle C de centre O et de rayon 1.

2. C ′ désigne le cercle de centre O′ d’affixe 2 et de rayon 1. 1. Construire le point A′ appartenant au cercle C ′ tel que :

(−−→ OA ,

−−−→ O′A′

) =

π

3 [modulo 2π].

2. À tout point M du cercle C d’affixe z, on associe le point M ′ du cercle C ′ d’affixe z ′ tel que :(−−−→ OM ,

−−−−→ O′M

) =

π

3 [modulo 2π].

Déterminer le module et un argument de z ′−2 z

. En déduire que z ′ = ei π 3 z+2.

3. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de la transformation r qui à tout point M du plan d’affixe z associe le pointM ′ d’affixe z ′ telle que z ′ = ei

π 3 z+2.

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

À tout pointM du plan, on associe le pointM1 milieu du segment [MM ′].

Quel est le lieu géométrique du pointM1 lorsqueM décrit le cercle C ?

Exercices de spécialité 33

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

29 Centres étrangers juin 2010 Retour au tableau Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) d’unité graphique 1 cm, on consi-

dère les points A, B , C , M , N et P d’affixes respectives :

a = 1+ i, b =−1+2i, c = 2+3i, m = 7−5i, n = 5− i, p = 9+ i.

1. 1. Placer les points A, B , C , M , N et P dans le repère. 2. Calculer les longueurs des côtés des triangles ABC et NMP .

3. En déduire que ces deux triangles sont semblables.

Dans la suite de l’exercice, on se propose de mettre en évidence deux similitudes qui transforment le triangle ABC en le triangle MNP.

2. Une similitude directe Soit s la similitude directe qui transforme le point A en N et le point B en P .

1. Montrer qu’une écriture complexe de la similitude s est :

z ′ = ( − 6

5 − 8

5 i

) z+

23

5 + 9

5 i.

2. Déterminer le rapport, la valeur de l’angle arrondie au degré, ainsi que le centre de la simili- tude s.

3. Vérifier que la similitude s transforme le pointC enM .

3. Une similitude indirecte Soit s ′ la similitude dont l’écriture complexe est :

z ′ = 2iz+3−3i.

1. Vérifier que :

  

s ′(A) = N s ′(B) = M s ′(C ) = P

2. Démontrer que s ′ admet un unique point invariant K d’affixe k = 1− i.

3. Soit h l’homothétie de centre K et de rapport 1

2 et J le point d’affixe 2.

On pose : f = s ′ ◦h. Déterminer les images des pointsK et J par la transformation f . En déduire la nature précise de la transformation f .

4. Démontrer que la similitude s ′ est la composée d’une homothétie et d’une réflexion.

Exercices de spécialité 34

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

30 Asie juin 2010 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( A ;

−→ u ,

−→ v ) . L’unité graphique est 1 cm.

On note i le nombre complexe demodule 1 et d’argument π

2 .

On considère les points B, C et H d’affixes respectives :

b = 5i, c = 10 et h = 2+4i.

Construire une figure que l’on complétera au fur et à mesure des questions.

1. Étude de la position du point H 1. Démontrer que le point H appartient à la droite (BC).

2. Calculer h

hc , et en déduire que

(−−→ HC ,

−−→ HA

) =−

π

2 [2π].

2. Étude d’une première similitude

1. Calculer les rapports : BH

AH , BA

AC et

AH

CH .

2. Démontrer qu’il existe une similitude directe S1 qui transforme le triangle CHA en le triangle AHB.

3. Déterminer l’écriture complexe de cette similitude S1 ainsi que ses éléments caractéristiques.

3. Étude d’une seconde similitude Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, oud’initiatives,même infructueuses, sera prise en compte dans l’évaluation On note S2 la similitude qui à tout pointM d’affixe z associe le pointM ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = (−1−2i)z+10.

Démontrer que S2 est composée d’une symétrie orthogonale d’axe (∆), et d’une similitude directe dont le centreΩ appartient à (∆). Préciser (∆).

4. Étude d’une composée 1. Calculer le rapport de la similitude composée S2 ◦S1. 2. En déduire le rapport entre les aires des triangles CHA et BAC.

Exercices de spécialité 35

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

31 Antilles-Guyane juin 2010 Retour au tableau Le plan est muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) d’unité 1 cm.

1. Restitution organisée de connaissances On utilisera sans démonstration les deux propriétés suivantes :

Propriété 1 : Toute similitude indirecte qui transforme un pointM d’affixe z en un pointM ′ d’af- fixe z ′ admet une expression complexe de la forme z ′ = az+b a ∈C∗ et b ∈C.

Propriété 2 : Soit C une point d’affixe c. Pour tout point D, distinct de C, d’affixe d et pour tout point E, distinct de C, d’affixe e , on a :

(−−→ CD ;

−−→ CE

) = arg

( ec d c

) (2π).

Question : Montrer qu’une similitude indirecte transforme un angle orienté en son opposé.

2. Soient les pointsC et D d’affixes respectives c = 3 et d = 1−3i, et S1 la similitude qui à tout point M du plan associe le pointM1 symétrique deM par rapport à l’axe

( O ;

−→ u ) des réels.

1. Placer les pointsC etD puis leurs images respectivesC1 etD1 parS1. On complètera le figure au fur et à mesure de l’exercice.

2. Donner l’expression complexe de S1.

3. Soit S2 la similitude directe définie par : – le pointC1 et son imageC ′ d’affixe c ′ = 1+4ı ; – le pointD1 et son imageD ′ d’affixe d ′ =−2+2ı.

1. Montrer que l’expression complexe de S2 est : z ′ = ız+1+ ı. 2. En déduire les éléments caractéristiques de cette similitude.

4. Soit S la similitude définie par S =S2 ◦S1. Déterminer l’expression complexe de S .

5. On pourra admettre désormais que S est la similitude indirecte d’expression complexe :

z ′ = ız+1+ ı.

1. Quelle est l’image deC par S ? Quelle est l’image deD par S ?

2. Soit H le point d’affixe h tel que : hc = ei π 3 (d c).

Montrer que le triangleCDH est équilatéral direct.

3. Soit H ′ l’image de H par S . Préciser la nature du triangle C D H ′ et construire le point H

(on ne demande pas de calculer l’affixe h′ du point H ′).

Exercices de spécialité 36

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

32 Amérique du Nord juin 2010 Retour au tableau Partie A

On cherche l’ensemble des couples d’entiers relatifs (x, y) solutions de l’équation

(E) : 16x−3y = 4.

1. Vérifier que le couple (1 ; 4) est une solution parliculière de (E). 2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On considère la transformation f du plan, qui à tout point M d’ affixe z, associe le point M ′ d’affixe z

définie par

z ′ = p 2e

3iπ 8 z.

On définit une suite de points (Mn) de la manière suivante : le point M0 a pour afflxe z0 = i et pour tout entier naturel n, Mn+1 = f (Mn). On note zn l’affixe du pointMn . Les points M0, M1, M2 et M3 sont placés sur la figure donnée en annexe page 6.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f . 2. On note g la transformation f f f f .

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation g .

2. En déduire que pour tout entier naturel n, OMn+4 = 4OMn et que (−−−−→ OMn ,

−−−−−→ OMn+4

) = −

π

2 +

k×2π k est un entier relatif. 3. Compléter la figure en construisant les points M4, M5 et M6.

3. Démontrer que pour tout entier naturel n, zn = (p

2 )n

ei ( π 2+

38

) .

4. Soient deux entiers naturels n et p tels que p 6n. 1. Exprimer en fonction de n et p unemesure de

(−−−−→ OMp ,

−−−−→ OMn

) .

2. Démontrer que les points O,Mp etMn sont alignés si et seulement si np est unmultiple de 8.

5. Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que le point Mn appartienne à la demi-droite [Ox). On pourra utiliser la partie A.

Exercices de spécialité 37

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

2

4

6

−2

−4

−6

2 4 6 8−2−4−6−8 +

+

+

+

+

M1

M2

M3

−→ u

−→ v

x

y

O

M0

Exercices de spécialité 38

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

33 Liban juin 2010 Retour au tableau Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

1. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) , le point

A d’affixe 2− i et B l’image de A par la rotation de centre O et d’angle π

2 .

On note I le milieu du segment [AB].

Proposition 1 : « La similitude directe de centre A qui transforme I en O a pour écriture complexe z ′ = (1+ i)z−1−2i. »

2. On appelle S l’ensemble des couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation 3x−5y = 2. Proposition 2 : « L’ensemble S est l’ensemble des couples (5k−1 ; 3k−1) où k est un entier relatif. »

3. On considère l’équation (E) : x2+ y2 = 0 modulo 3, où (x ; y) est un couple d’entiers relatifs. Proposition 3 : « Il existe des couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de (E) qui ne sont pas des couples de multiples de 3. »

4. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. Proposition 4 : « Pour tout entier naturel k (2 6 k 6 n), le nombre n!+ k n’est pas un nombre premier. »

5. On considère l’équation (E′) : x2−52x+480= 0, où x est un entier naturel. Proposition 5 : « Il existe deux entiers naturels non nuls dont le PGCD et le PPCM sont solutions de l’équation (E′). »

Exercices de spécialité 39

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

34 Pondichéry avril 2010 Retour au tableau Les parties A et B peuvent, dans leur quasi-totalité, être traitées de façon indépendante.

Partie A

Dans cette partie, on se propose d’étudier des couples (a, b) d’entiers strictement positifs, tels que :

a2 = b3

Soit (a, b) un tel couple et d = PGCD(a, b). On note u et v les entiers tels que a = du et b = dv .

1. Montrer que u2 = dv3. 2. En déduire que v divise u, puis que v = 1. 3. Soit (a, b) un couple d’entiers strictement positifs.

Démontrer que l’on a a2 = b3 si et seulement si a et b sont respectivement le cube et le carré d’un même entier.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fruc- tueuse. sera prise en compte dans l’évaluation. Montrer que si n est le carré d’un nombre entier naturel et le cube d’un autre entier, alors n ≡ 0 [7] ou n ≡ 1 [7].

Partie B

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère la surface S d’équation x

y2 = z3. Pour tout réel λ, on note Cλ la section de S par le plan d’équation z =λ.

1. Les graphiques suivants donnent l’allure deCλ tracée dans le plan d’équation z =λ, selon le signe de λ. Attribuer à chaque graphique l’un des trois cas suivants : λ< 0, λ= 0,λ> 0, et justifier l’allure de chaque courbe.

graphique 1

(pas de courbe visible)

graphique 2 graphique 3

Cλ

2. 1. Déterminer le nombre de points deC25 dont les coordonnées sont des nombres entiers stric- tement positifs.

2. Pour cette question, on pourra éventuellement s’aider de la question 3 de la partie A.

Déterminer le nombre de points de C2010 dont les coordonnées sont des nombres entiers strictement positifs

Exercices de spécialité 40

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

35 Nouvelle Calédonie novembre 2009 Retour au tableau Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

Soit n un entier naturel non nul.

1. On considère l’équation notée (E ) : 3x+7y = 102n x et y sont des entiers relatifs. 1. Déterminer un couple (u ; v) d’entiers relatifs tels que 3u+7v = 1.

En déduire une solution particulière ( x0 ; y0

) de l’équation (E ).

2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs (x ; y) solutions de (E ).

2. On considère l’équation notée (G)

3x2+7y2 = 102n x et y sont des entiers relatifs.

1. Montrer que 100≡ 2 (modulo 7). Démontrer que si (x ; y) est solution de (G) alors 3x2 ≡ 2n (modulo 7).

2. Reproduire et compléter le tableau suivant :

Reste de la division eu- clidienne de x par 7

0 1 2 3 4 5 6

Reste de la division eu- clidienne de 3x2 par 7.

3. Démontrer que 2n est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7. En déduire que l’équation (G) n’admet pas de solution.

Exercices de spécialité 41

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

36 Amérique du Sud novembre 2009 Retour au tableau On considère un carré direct ABCD (c’est à dire un carré ABCD tel que :(−−→ AB ;

−−→ AD

) =

π

2 [2π]) de centre I.

Soit J, K et L les milieux respectifs des segments [AB], [CD] et [DA]. Γ1 désigne le cercle de diamètre [AI] et Γ2 désigne le cercle de diamètre [BK].

Partie A

1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe s telle que s(A)= I et s(B)=K. 2. Montrer que les cercles Γ1 et Γ2 se coupent en deux points distincts : le point J et le centre Ω de la

similitude directe s.

3. a. Déterminer les images par s des droites (AC) et (BC). En déduire l’image du point C par s.

b. Soit E l’image par s du point I. Démontrer que E est le milieu du segment [ID].

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, sera prise en compte dans l’évaluation. Démontrer que les points A,Ω et E sont alignés. (On pourra considérer la transformation t = s s).

Partie B

Désormais, on considère que le côté du carrémesure 10 unités et on se place dans le repère orthonormé

direct

( A ;

1

10

−−→ AB ;

1

10

−−→ AD

) .

1. Donner les affixes des points A, B, C et D.

2. Démontrer que la similitude directe s a pour écriture complexe

z ′ = i

2 z+5+5i.

3. Calculer l’affixe ω du centreΩ de s.

4. Calculer l’affixe zE du point E et retrouver l’alignement des points A,Ω et E.

5. Démontrer que les droites (AE), (CL) et (DJ) sont concourantes au pointΩ.

Exercices de spécialité 42

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

37 Antilles - Guyane septembre 2009 Retour au tableau L’espace est muni d’un repère orthonormé

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère la surface S1 d’équation z = x2+ y2, et la surface S2 d’équation z = xy +2x.

PARTIE A

On noteP le plan d’équation x = 2, E1 l’intersection de la surface S1 et du plan P et E2 l’intersection de la surface S2 et du plan P .

En annexe, le planP est représentémuni du repère ( A ;

−→ ,

−→ k ) oùA est le point de coordonnées (2 ; 0 ; 0).

1. 1. Déterminer la nature de l’ensemble E1. 2. Déterminer la nature de l’ensemble E2.

2. 1. Représenter les ensembles E1 et E2 sur la feuille annexe. 2. Dans le repère

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) donner les coordonnées des points d’intersection B et C des

ensembles E1 et E2.

PARTIE B

On pourra utiliser sans démonstration la propriété suivante : « soient a, b et c des entiers avec a premier. Si a divise bc alors a divise b ou a divise c. »

L’objectif de cette partie est de déterminer les points d’intersectionM(x ; y ; z) des surfaces S1 et S2 où y et z sont des entiers relatifs et x un nombre premier. On considère un tel pointM(x ; y ; z).

1. 1. Montrer que y(y x)= x(2−x). 2. En déduire que le nombre premier x divise y .

2. On pose y = kx avec k ∈Z. 1. Montrer que x divise 2, puis que x = 2. 2. En déduire les valeurs possibles de k.

3. Déterminer les coordonnées possibles de M et comparer les résultats avec ceux de la PARTIE A, question 2. b.

Exercices de spécialité 43

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

5

10

−5

5−5 y

z

A −→

−→ k

Exercices de spécialité 44

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

38 Polynésie septembre 2009 Retour au tableau Le plan complexe P est muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) , unité graphique : 2 cm.

On appelle (Γ) le cercle de centre O et de rayon 1.

On fera une figure que l’on complétera tout au long de l’exercice.

On appelle F l’application du plan P privé du point O dans P qui, à tout pointM différent de O, d’affixe z, associe le pointM ′ = F (M) d’affixe z ′ définie par :

z ′ = z+ i− 1

z .

1. On considère les points A et B d’affixes respectives a = i et b = eiπ6 et leurs images A′ et B′ par F d’affixes respectives a′ et b′.

1. Calculer a′ et b′.

2. Placer les points A, A′ B et B′.

3. Démontrer que −b

b′−b =

p 3

3 i.

4. En déduire la nature du triangle OBB′.

2. On recherche l’ensemble (E) des points du plan P privé du point O qui ont pour image par F , le point O.

1. Démontrer que, pour tout nombre complexe z,

z2+ iz−1= ( z+

p 3

2 + 1

2 i

)( z

p 3

2 + 1

2 i

) .

2. En déduire les affixes des points de l’ensemble (E).

3. Démontrer que les points de (E) appartiennent à (Γ).

3. Soit θ un réel. 1. Démontrer que si z = eiθ alors z ′ = (2sinθ+1)i. 2. En déduire que si M appartient au cercle (Γ) alors M ′ appartient au segment [A′C] où C a

pour affixe −i.

Exercices de spécialité 45

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

39 Métropole septembre 2009 Retour au tableau

1. 1. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2 009 par 11. 2. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 210 par 11.

3. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 22009+2009 par 11. 2. On désigne par p un nombre entier naturel. On considère pour tout entier naturel non nul n le

nombre An = 2n +p. On note dn le PGCD de An et An+1.

1. Montrer que dn divise 2n .

2. Déterminer la parité de An en fonction de celle de p. Justifier.

3. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiativemêmenon fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer la parité de dn en fonction de celle de p.

En déduire le PGCD de 22009+2009 et 22010+2009.

Exercices de spécialité 46

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

40 Amérique du Nord juin 2009 Retour au tableau Soit A l’ensemble des entiers naturels de l’intervalle [1 ; 46].

1. On considère l’équation (E ) : 23x+47y = 1

x et y sont des entiers relatifs.

1. Donner une solution particulière ( x0, y0

) de (E ).

2. Déterminer l’ensemble des couples (x, y) solutions de (E ).

3. En déduire qu’il existe un unique entier x appartenant à A tel que 23x ≡ 1 (47). 2. Soient a et b deux entiers relatifs.

1. Montrer que si ab ≡ 0 (47) alors a ≡ 0 (47)) ou b ≡ 0 (47). 2. En déduire que si a2 ≡ 1 (47) alors a ≡ 1 (47) ou a a ≡−1 (47).

3. 1. Montrer que pour tout entier p de A, il existe un entier relatif q tel que p×q ≡ 1 (47). Pour la suite, on admet que pour tout entier p de A, il existe un unique entier, noté inv(p), appartenant à A tel que p× inv(p)≡ 1 (47). Par exemple :

inv(1)= 1 car 1×1≡ 1 (47), inv(2)= 24 car 2×24≡ 1 (47), inv(3)= 16 car 3×16=≡ 1 (47).

2. Quels sont les entiers p de A qui vérifient p = inv(p) ? 3. Montrer que 46!≡−1 (47).

Exercices de spécialité 47

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

41 Liban juin 2009 Retour au tableau

Le but de l’exercice est de montrer qu’il existe un entier naturel n dont l’écriture décimale du cube se termine par 2009, c’est-à-dire tel que n3 ≡ 2009 mod 10000.

Partie A

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de 20092 par 16. 2. En déduire que 20098001 ≡ 2009 mod 16.

Partie B

On considère la suite (un) définie sur N par : u0 = 20092 − 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = (un +1)5−1. 1. 1. Démontrer que u0 est divisible par 5.

2. Démontrer, en utilisant la formule du binôme de Newton, que pour tout entier naturel n,

un1 = un [ u4n +5

( u3n+2u

2 n+2un+1

)] .

3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un est divisible par 5n+1.

2. 1. Vérifier que u3 = 2009250−1 puis en déduire que 2009250≡ 1 mod 625. 2. Démontrer alors que 20098001 ≡ 2009 mod 625.

Partie C

1. En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes, montrer que 20098001−2009 est divisible par 10 000.

2. Conclure, c’est-à-dire déterminer un entier naturel dont l’écriture décimale du cube se termine par 2 009.

Exercices de spécialité 48

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

42 Polynésie juin 2009 Retour au tableau

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct. On supposera connu le résultat suivant : Une application f du plan dans lui-même est une similitude directe si et seulement si f admet une écriture complexe de la forme z ′ = az+b a ∈C− {0} et b ∈C. Démontrer que si A, B, A′ et B′ sont quatre points teIs que A est distinct de B et A′ est distinct de B′, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A′ et B en B′.

Partie B

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) , unité graphique 2 cm.

On note A, B, C, D et E les points d’affixes respectives

zA = 2i, zB = 2, zC = 4+6i, zD =−1+ i et zE =−3+3i.

1. Placer les points sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure des questions. 2. Déterminer la nature du triangle ABC. 3. Soit f la similitude plane directe telle que f (A) = D et f (B) = A.

1. Donner l’écriture complexe de f .

2. Déterminer l’angle, le rapport et le centreΩ de cette similitude.

3. Montrer que le triangle DAE est l’image du triangle ABC par la similitude f .

4. En déduire la nature du triangle DAE.

4. On désigne par (Γ1) le cercIe de diamètre [AB] et par (Γ2) le cercle de diamètre [AD]. On note M le second point d’intersection du cercle (Γ1) et de la droite (BC), et N le second point d’intersection du cercle (Γ2) et de la droite (AE).

1. Déterminer l’image deM par la similitude f .

2. En déduire la nature du triangleΩMN .

3. Montrer queMNE=MNA.

Exercices de spécialité 49

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

43 Centres étrangers juin 2009 Retour au tableau 1. On note (E) l’équation 3x+2y = 29 où x et y sont deux nombres entiers relatifs.

1. Déterminer un couple d’entiers solution de l’équation (E).

2. Déterminer tous les couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).

3. Préciser les solutions de l’équation (E) pour lesquelles on a à la fois x > 0 et y > 0 ;

2. Intersections d’un plan avec les plans de coordonnées L’espace est muni du repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) et on désigne par P le plan d’équation

3x+2y = 29.

1. Démontrer que P est parallèle à l’axe (Oz) de vecteur directeur −→ k .

2. Déterminer les coordonnées des points d’intersection du plan P avec les axes (Ox) et (Oy)

de vecteurs directeurs respectifs −→ ı et

−→ .

3. Faire une figure et tracer les droites d’intersection du planP avec les trois plans de coordon- nées.

4. Sur la figure précédente, placer sur la droite d’intersection des plans P et (xOy), les points dont les coordonnées sont à la fois entières et positives.

3. Étude d’une surface S est la surface d’équation 4z = xy dans le repère

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

Les figures suivantes représentent les intersections de S avec certains plans de l’espace.

figure no 1 figure no 2 figure no 3 figure no 4

1. S1 désigne la section de la surface S par le plan (xOy).

Une des figures données représente S1 laquelle ?

2. S2 désigne la section de S par le plan R d’équation z = 1. Une des figures données représente S2, laquelle ?

3. S3 désigne la section de S par le plan d’équation y = 8. Une des figures données représente S3, laquelle ?

4. S4 désigne la section de S par le plan P d’équation 3x+2y = 29 de la question 2. Déterminer les coordonnées des points communs à S4 et P dont l’abscisse x et l’ordonnée y sont des entiers naturels vérifiant l’équation

3x+2y = 29.

Exercices de spécialité 50

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

44 Asie juin 2009 Retour au tableau

1. On se propose, dans cette question, de déterminer tous les entiers relatifs N tels que {

N ≡ 5 (13) N ≡ 1 (17)

1. Vérifier que 239 est solution de ce système.

2. Soit N un entier relatif solution de ce système. Démontrer queN peut s’écrire sous la formeN = 1+17x = 5+13y x et y sont deux entiers relatifs vérifiant la relation 17x−13y = 4.

3. Résoudre l’équation 17x−13y = 4 où x et y sont des entiers relatifs. 4. En déduire qu’il existe un entier relatif k tel que N = 18+221k.

5. Démontrer l’équivalence entre N ≡ 18 (221) et {

N ≡ 5 (13) N ≡ 1 (17) .

2. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative, même infruxtueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

1. Existe-t-il un entier naturel k tel que 10k ≡ 1 (17) ? 2. Existe-t-il un entier naturel l tel que 10l ≡ 18 (221) ?

Exercices de spécialité 51

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

45 Métropole juin 2009 Retour au tableau

Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.

1. 1. Déterminer l’ensemble des couples (x,y) de nombres entiers relatifs, solution de l’équation (E) : 8x−5y = 3.

2. Soitm un nombre entier relatif tel qu’il existe un couple (p, q) de nombres entiers vérifiant m = 8p+1 etm = 5q+4. Montrer que le couple (p, q) est solution de l’équation (E) et endéduire quem≡ 9 (modulo40).

3. Déterminer le plus petit de ces nombres entiersm supérieurs à 2 000.

2. 1. Démontrer que pour tout nombre entier naturel k on a : 23k ≡ 1(modulo 7). 2. Quel est le reste dans la division euclidienne de 22009 par 7 ?

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soient a et b deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec a 6= 0. On considère le nombreN = a×103+b. On rappelle qu’en base 10 ce nombre s’écrit sous la forme N = a00b. On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturelsN ceux qui sont divisibles par 7.

1. Vérifier que 103 ≡−1(modulo 7). 2. En déduire tous les nombres entiers N cherchés.

Exercices de spécialité 52

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

46 Antilles-Guyane juin 2009 Retour au tableau

Dans chacun des cas suivants, indiquer si l’affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la ré- ponse.

1. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On considère l’application f du plan dans lui-même qui, à tout pointM d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que z ′ = (1+ i

p 3)z+2

p 3.

On note A le point d’affixe 2i .

Affirmation : f est la similitudedirecte, de centre A, d’angle π3 et de rap- port 2.

2. Affirmation : 19912009 ≡ 2 (7). 3. a et b sont deux entiers relatifs quelconques, n et p sont deux entiers naturels premiers entre eux.

Affirmation : a b (p) si et seulement si na nb (p).

4. L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

E est l’ensemble des points M de l’espace dont les coordonnées (x; y ;z) vérifient l’équation : z = x2+ y2. On note S la section de E par le plan d’équation y = 3. Affirmation :S est un cercle.

5. L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

P est la surface d’équation x2+ y2 = 3z2. Affirmation :O le seul point d’intersection de P avec le plan (yOz) à

coordonnées entières.

Exercices de spécialité 53

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

47 La Réunion juin 2009 Retour au tableau

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

1. Soient F le point de coordonnées ( 0 ; 0 ;

1

4

) et P le plan d’équation z =−

1

4 .

On note d(M , P ) la distance d’un pointM au plan P .

Montrer que l’ensemble (S) des points M de coordonnées (x ; y ; z) qui vérifient d(M , P )=MF a pour équation x2+ y2 = z.

2. 1. Quelle est la nature de l’intersection de l’ensemble (S) avec le plan d’équation z = 2 ? 2. Quelle est la nature de l’intersection de l’ensemble (S) avec le plan d’équation x = 0 ?

Représenter cette intersection dans le repère ( O ;

−→ ,

−→ k ) .

3. Dans cette question, x et y désignent des nombres entiers naturels. 1. Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de x2 par 7 ?

2. Démontrer que 7 divise x2+ y2 si et seulement si 7 divise x et 7 divise y . 4. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fruc-

tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Existe-t-il des points qui appartiennent à l’intersection de l’ensemble (S) et du plan d’équation z = 98 et dont toutes les coordonnées sont des entiers naturels ? Si oui les déterminer.

Exercices de spécialité 54

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

48 Pondichéry avril 2009 Retour au tableau

Le plan complexe estmuni d’un repère orthonormaldirect ( O,

−→ u ,

−→ v ) . On prendra pour unité graphique

2 cm. Soit A et B les points d’affixes respectives zA = i et zB = 1+2i.

1. Justifier qu’il existe une unique similitude directe S telle que :

S(O)=A et S(A)=B.

2. Montrer que l’écriture complexe de S est :

z ′ = (1− i)z+ i.

Préciser les éléments caractéristiques de S (on noteraΩ le centre de S).

On considère la suite de points (An) telle que :

A0 est l’origine du repère et, • pour tout entier naturel n,An+1 = S (An).

On note zn , l’affixe de An . (On a donc A0 =O, A1 =A et A2 =B). 3. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, zn = 1− (1− i)n .

2. Déterminer, en fonction de n, les affixes des vecteurs −−−→ ΩAn et

−−−−−−→ AnAn+1 .

Comparer les normes de ces vecteurs et calculer unemesure de l’angle (−−−→ ΩAn ,

−−−−−−→ AnAn+1

) .

3. En déduire une construction du point An+1 connaissant le point An .

Construire les points A3 et A4.

4. Quels sont les points de la suite (An) appartenant à la droite (ΩB) ?

Exercices de spécialité 55

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

49 Nouvelle-Calédonie décembre 2008 Retour au tableau

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O ;

−→ OI ;

−→ OJ

) . On considère les points A et B

d’affixes respectives zA = 2 et zB = 3

2 + i.

On considère les points M, N et P tels que les triangles AMB, BNO et OPA soient des triangles rectangles isocèles de sens direct comme le montre la figure ci-dessous.

b

A

b B

b

P

O b

b

b

N

M

x

y

On note s1 la similitude directe de centre A qui transformeM en B. On note s2 la similitude directe de centre O qui transforme B en N. On considère la transformation r = s2 ◦ s1.

Le but de l’exercice est de démontrer de deux façons différentes que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.

1. À l’aide des transformations

1. Donner l’angle et le rapport de s1 et de s2.

2. Déterminer l’image du point M puis celle du point I par la transformation r .

3. Justifier que r est une rotation d’angle π

2 dont on précisera le centre.

4. Quelle est l’image du point O par r ?

5. En déduire que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.

2. En utilisant les nombres complexes 1. Donner les écritures complexes de s1 et s2. On utilisera les résultats de la question 1. a.

2. En déduire les affixes zM et zN des points M et N.

3. Donner, sans justification, l’affixe zP du point P puis démontrer que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.

Exercices de spécialité 56

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

50 Amérique du Sud novembre 2008 Retour au tableau

L’espace est muni d’un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

SoitD la droite passant par le point A de coordonnées (0 ; 0 ; 2) et de vecteur directeur −→ u de coordonnées

(1 ; 1 ; 0) et soitD ′ la droite dont une représentation paramétrique est :

  

x = t y = −t z = −2

(t ′ ∈R)

Le but de l’exercice est d’étudier l’ensemble S des points de l’espace équidistants deD et deD ′.

1. Une équation de S 1. Montrer queD et D ′ sont orthogonales et non coplanaires.

2. Donner une représentation paramétrique de la droiteD.

SoitM un point de l’espace de coordonnées (x ; y ; z) et H le projeté orthogonal deM surD.

Montrer que −−−→ MH a pour coordonnées

(−x+ y 2

; xy 2

; 2− z ) .

En déduireMH2 en fonction de x, y et z.

Soit K le projeté orthogonal de M sur D ′. Un calcul analogue au précédent permet d’établir

que :MK 2 = (x+ y)2

2 + (2+ z)2, relation que l’on ne demande pas de vérifier.

3. Montrer qu’un pointM de coordonnées (x ; y ; z) appartient à S si et seulement si z =− 1

4 xy .

2. Étude de la surface S d’équationz =−1 4

x y

1. On coupe S par le plan (xOy). Déterminer la section obtenue.

2. On coupe S par un plan P parallèle au plan (xOy).

Quelle est la nature de la section obtenue ?

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même infruc- tueuse sera prise en considération dans l’évaluation.

On coupe S par le plan d’équation x+ y = 0. Quelle est la nature de la section obtenue ?

Exercices de spécialité 57

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

51 Métropole La Réunion septembre 2008 Retour au tableau

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On réalisera une figure en prenant 4 cm comme unité graphique sur chaque axe. On considère le point A d’affixe zA = 1.

Partie A

k est un réel strictement positif ; f est la similitude directe de centre O de rapport k et d’angle π

3 .

On note A0 = A et pour tout entier naturel n, An+1 = f (An).

1. 1. Étant donné un pointM d’affixe z, déterminer en fonction de z l’affixe z ′ du pointM ′ image deM par f .

2. Construire les points A0, A1, A2 et A3 dans le cas particulier où k est égal À 1

2 .

2. 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier n, l’affixe zn du point An est égale à kne i3 .

2. En déduire les valeurs de n pour lesquelles le point An appartient à la demi droite [ O ;

−→ u ) et,

dans ce cas, déterminer en fonction de k et de n l’abscisse de An .

Partie B

Dans cette partie toute trace de recherche,même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

Désormais, k désigne un entier naturel non nul.

1. Donner la décomposition en facteurs premiers de 2008. 2. Déterminer, en expliquant la méthode choisie, la plus petite valeur de l’entier naturel k pour la-

quelle k6 est unmultiple de 2008.

3. Pour quelles valeurs des entiers n et k le point An appartient-il à la demi droite [ O ;

−→ u ) avec pour

abscisse un nombre entier multiple de 2008 ?

Exercices de spécialité 58

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

52 Antilles-Guyane septembre 2008 Retour au tableau

PARTIE A :

On considère le système de congruences :

(S)

{ n ≡ 2 (modulo 3) n ≡ 1 (modulo 5) ,où n désigne un entier relatif.

1. Montrer que 11 est solution de (S). 2. Montrer que si n est solution de (S) alors n−11 est divisible par 3. 3. Montrer que les solutions de (S) sont tous les entiers de la forme 11+15k, où k désigne un entier

relatif.

PARTIE B :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On considère l’application f du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point d’affixe z ′ et g celle qui à tout pointM d’affixe z associe le point d’affixe z ′′ définies par :

z ′ = 1+ i

p 3

2 z et z ′′ = ei

π 5 z.

1. Préciser la nature et les éléments caractéristiques des applications f et g . 2. On considère les points A0 et B0 d’affixes respectives a0 = 2e−2i

π 3 et b0 = 4e−i

π 5 . Soient (An) et (Bn)

les suites de points définies par les relations de récurrences :

An+1 = f (An) et Bn+1 = g (Bn) .

On note an et bn les affixes respectives de An et Bn .

1. Quelle est la nature de chacun des triangles OAnAn+1 ?

2. En déduire la nature du polygone A0A1A2A3A4A5.

3. 1. Montrer que les points Bn sont situés sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon. 2. Indiquer une mesure de l’angle

(−−−→ OBn ,

−−−−−→ OBn+2

) .

3. En déduire la nature du polygone B0B2B4B6B8.

4. 1. Exprimer an et bn en fonction de n. 2. Montrer que les entiers n pour lesquels les points An et Bn sont simultanément sur l’axe des

réels sont les solutions du système (S) de la PARTIE A.

Exercices de spécialité 59

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

53 Polynésie juin 2008 Retour au tableau

Pour chacune des propositions suivantes indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

1. Proposition 1 : « Pour tout entier naturel n non nul, n et 2n+1 sont premiers entre eux. » 2. Soit x un entier relatif.

Proposition 2 : « x2+x+3= 0(modulo 5) si et seulement si x ≡ 1(modulo 5). » 3. Soit N un entier naturel dont l’écriture en base 10 est aba7.

Proposition 3 : « Si N est divisible par 7 alors a+b est divisible par 7. »

4. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Proposition 4 : « La similitude directe de rapport 2, d’angle π

6 et de centre le point d’affixe 1− i a

pour écriture complexe z ′ = (p

3+ i ) z+

p 3− i

p 3. »

5. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On considère un point A. On désigne par a son affixe. On note s la réflexion d’axe ( O ;

−→ u ) et sA la

symétrie centrale de centre A.

Proposition 5 : « L’ensemble des nombres complexes a tels que s sA = sA ◦ s est l’ensemble des nombres réels. »

Exercices de spécialité 60

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

54 La Réunion juin 2008 Retour au tableau

1. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonornal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Soient A, B et C les points d’affixes respectives

zA = 2+ i, zB = 5+2i et zC = i.

s1 désigne la symétrie d’axe (AB).

1. Démontrer que s1 transforme tout pointM d’affixe z en un pointM ′ d’affixe z ′ telle que

z ′ = ( 4

5 + 3

5 i

) z+

( − 1

5 + 3

5 i

)

2. En déduire l’affixe de C′, symétrique de C par rapport à (AB).

3. Démontrer que l’ensemble des pointsM tels que z ′ est imaginaire pur est la droite (D) d’équa- tion 4x+3y = 1.

4. Vérifier que le point C′ appartient à (D).

2. 1. Démontrer que les droites (D) et (AB) sont sécantes en un pointΩ dont on précisera l’affixe ω.

2. On désigne par s2 la symétrie d’axe (D) et par f la transformation définie par f = s2 ◦ s1. Justifier que f est une similitude directe et préciser son rapport.

3. Déterminer les images des points C etΩ par la transformation f .

4. Justifier que f est une rotation dont on donnera le centre.

3. Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n ’aboutit pas.

1. Déterminer les couples d’entiers relatifs (x ; y) solutions de l’équation : 4x+3y = 1. 2. Déterminer les points de (D) à coordonnées entières dont la distance au point O est infé-

rieure à 9.

Exercices de spécialité 61

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

55 Métropole juin 2008 Retour au tableau Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Soient A et B les points d’affixes respectives zA = 1− i et zB = 7+ 7

2 i.

1. On considère la droite (d) d’équation 4x+3y = 1. Démontrer que l’ensemble des points de (d) dont les coordonnées sont entières est l’ensemble des pointsMk(3k+1,−4k−1) lorsque k décrit l’ensemble des entiers relatifs.

2. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude directe de centre A qui transformeB enM−1(−2 ; 3). 3. Soit s la transformation du plan qui à tout pointM d’affixe z associe le pointM ′ d’affixe

z ′ = 2

3 iz+

1

3 − 5

3 i.

Déterminer l’image de A par s, puis donner la nature et les éléments caractéristiques de s.

4. On note B1 l’image de B par s et pour tout entier naturel n non nul, Bn+1 l’image de Bn par s. 1. Déterminer la longueur ABn+1 en fonction de ABn .

2. À partir de quel entier n le point Bn , appartient t-il au disque de centre A et de rayon 10−2 ?

3. Déterminer l’ensemble des entiers n pour lesquels A, B1 et Bn sont alignés.

Exercices de spécialité 62

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

56 Centres étrangers juin 2008 Retour au tableau

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) l’unité graphique est 2 cm.

On considère les points A, B, C, D et E d’affixes respectives :

a = 2, b = 2+3i, c = 3i , d =− 5

2 +3i et e =−

5

2 .

1. Placer ces cinq points sur un graphique qui sera complété au fil de l’exercice. 2. On admet que deux rectangles sont semblables si et seulement si le rapport de la longueur sur la

largeur est le même pour les deux rectangles. Démontrer que OABC et ABDE sont deux rectangles et qu’ils sont semblables.

3. Étude d’une similitude directe transformant OABC en ABDE 1. Déterminer l’écriture complexe de la similitude directe s qui transformeO en A et A en B.

2. Démontrer que la similitude s transformeOABC en ABDE.

3. Quel est l’angle de la similitude s ?

4. Soit Ω le centre de cette similitude. En utilisant la composée s s, démontrer que le pointΩ appartient aux droites (OB) et (AD). En déduire la position du pointΩ.

4. Étude d’une similitude indirecte transformant OABC en BAED 1. Montrer que l’écriture complexe de la similitude indirecte s ′ qui transforme O en B et qui

laisse A invariant est :

z ′ =− 3

2 iz+2+3i

z désigne le conjugué du nombre complexe z.

2. Montrer que s ′ transformeOABC en BAED.

3. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que s ′ est la composée de la réflexion d’axe (OA) suivie d’une similitude directe dont on précisera les éléments caractéristiques.

Exercices de spécialité 63

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

57 Asie juin 2008 Retour au tableau

Soit a et b deux entiers naturels non nuls ; on appelle « réseau » associé aux entiers a et b l’ensemble des points du plan, muni d’un repère orthonormal, dont les coordonnées (x ; y) sont des entiers vérifiant les conditions : 06 x6 a et 06 y 6 b. On note Ra, b ce réseau. Le but de l’exercice est de relier certaines propriétés arithmétiques des entiers x et y à des propriétés géométriques des points correspondants du réseau.

A - Représentation graphique de quelques ensembles

Dans cette question, les réponses sont attendues sans explication, sous la formed’un graphique qui sera dûment complété sur la feuille annexe no 1 à rendre avec la copie. Représenter graphiquement les pointsM(x ; y) du réseau R8,8 vérifiant :

1. x ≡ 2 (modulo 3) et y ≡ 1 (modulo 3), sur le graphique 1 de la feuille annexe 2. x+ y ≡ 1 (modulo 3), sur le graphique 2 de la feuille annexe ; 3. x y (modulo 3), sur le graphique 3 de la feuille annexe.

B - Résolution d’une équation

On considère l’équation (E) : 7x−4y = 1, où les inconnues x et y sont des entiers relatifs. 1. Déterminer un couple d’entiers relatifs

( x0 ; y0

) solution de l’équation (E).

2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E). 3. Démontrer que l’équation (E) admet une unique solution (x ; y) pour laquelle le point M(x ; y)

correspondant appartient au réseau R4,7.

C - Une propriété des points situés sur la diagonale du réseau. Si a et b sont deux entiers naturels non nuls, on considère la diagonale [OA] du réseau Ra, b , avec O(0 ; 0) et A(a ; b).

1. Démontrer que les points du segment [OA] sont caractérisés par les conditions :

06 x 6 a ; 06 y 6 b ; ay = bx.

2. Démontrer que si a et b sont premiers entre eux, alors les points O et A sont les seuls points du segment [OA] appartenant au réseau Ra, b .

3. Démontrer que si a et b ne sont pas premiers entre eux, alors le segment [OA] contient au moins un autre point du réseau.

(On pourra considérer le pgcd d des nombres a et b et poser a = da′ et b = db′.)

Exercices de spécialité 64

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

58 Antilles–Guyane juin 2008 Retour au tableau

Partie A

On considère l’équation (E) : 11x−26y = 1, où x et y désignent deux nombres entiers relatifs. 1. Vérifier que le couple (−7 ; −3) est solution de (E). 2. Résoudre alors l’équation (E). 3. En déduire le couple d’entiers relatifs (u ; v) solution de (E) tel que 06 u6 25.

Partie B

On assimile chaque lettre de l’alphabet à un nombre entier comme l’indique le tableau ci-dessous :

A B C D E F G H I J K L M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

N O P Q R S T U V W X Y Z 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

On « code » tout nombre entier x compris entre 0 et 25 de la façon suivante : – on calcule 11x+8 – on calcule le reste de la division euclidienne de 11x+8 par 26, que l’on appelle y .

x est alors « codé » par y . Ainsi, par exemple, la lettre L est assimilée au nombre 11 ; 11×11+8= 129 or 129≡ 25(0 modulo 26) ; 25 est le reste de la division euclidienne de 129 par 26. Au nombre 25 correspond la lettre Z. La lettre L est donc codée par la lettre Z.

1. Coder la lettreW. 2. Le but de cette question est de déterminer la fonction de décodage.

1. Montrer que pour tous nombres entiers relatifs x et j , on a :

11x j (modulo 26) équivaut à x ≡ 19 j (modulo 26).

2. En déduire un procédé de décodage.

3. Décoder la lettreW.

Exercices de spécialité 65

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

59 Amérique du Nordmai 2008 Retour au tableau

L’espace est rapporté au repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On nomme (S) la surface d’équation x2+ y2− z2 = 1.

1. Montrer que la surface (S) est symétrique par rapport au plan (xOy). 2. On nomme A et B les points de coordonnées respectives (3 ; 1 ; −3) et (−1 ; 1 ; 1).

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) passant par les points A et B.

2. Démontrer que la droite (D) est incluse dans la surface (S).

3. Determiner la nature de la section de la surface (S) par un plan parallèle au plan (xOy). 4. 1. On considère la courbe (C), intersection de la surface (S) et du plan d’équation z = 68. Préci-

ser les éléments caractéristiques de cette courbe.

2. M étant un point de (C), on désigne par a son abscisse et par b son ordonnée.

On se propose de montrer qu’il existe un seul point M de (C) tel que a et b soient de en- tiers naturels vérifiant a < b et ppcm(a ; b) = 440, c’est-à-dire tel que (a, b) soit solution du système

(1) :

  

a < b a2+b2 = 4625 ppcm(a ; b)= 440

Montrer que si (a, b) est solution de (1) alors pgcd(a ; b) est égal à 1 ou 5.

Conclure

Dans cette question toute trace de recherchemême incomplète ou d’initiative, même non fructueuse sera prise en compte dans l’évaluation.

Exercices de spécialité 66

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

60 Libanmai 2008 Retour au tableau

Pour chacune des six propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démons- tration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

1. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) , on considère la simi-

litude directe f d’écriture complexe

z 7→ 3

2 (1− i)z+4−2i.

Proposition 1 : « f = r h h est l’homothétie de rapport 3 p 2

2 et de centre le point Ω d’affixe

−2−2i et où r est la rotation de centreΩ et d’angle− π

4 ».

2. Pour tout entier naturel n non nul : Proposition 2 : « 56n+1+23n+1 est divisible par 5 ». Proposition 3 : « 56n+1+23n+1 est divisible par 7 ».

3. Dans le planmuni d’un repère, (D) est la droite d’équation 11x−5y = 14. Proposition 4 : « les points de (D) à coordonnées entières sont les points de coordonnées (5k+14 ; 11k+28) où k ∈Z ».

4. L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

La surface Σ ci-contre a pour équation z = x2+ y2.

O −→ ı −→

−→ k

Proposition 5 : « la section de la surface Σ et du plan d’équation x = λ, où λ est un réel, est une hyperbole ».

Proposition 6 : « le plan d’équation z = 9 p 2

2 partage le solide délimité par Σ et le plan d’équation

z = 9 en deux solides de même volume ».

Rappel : Soit V le volume du solide délimité par Σ et les plans d’équations z = a et z = b où 06 a6 b6 9.

V est donné par la formule V = ∫b

a S(k) dk où S(k) est l’aire de la section du solide par le plan

d’équation z = k où k ∈ [a ; b].

Exercices de spécialité 67

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

61 Pondichéry avril 2008 Retour au tableau

Partie A

On suppose connu le résultat suivant : Une application f du plan muni d’un repère orthonormal direct dans lui-même est une similitude di- recte si et seulement si f admet une écriture complexe de la forme z ′ = az+b, où a ∈C∗ et b ∈C.

Démonstration de cours : on se place dans le plan complexe. Démontrer que si A,B ,A′ et B ′ sont quatre points tels que A est distinct de B et A′ est distinct de B ′, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A′ et B en B ′.

Partie B

Dans le plan complexemuni d’un repère orthonomal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) on considère les points A, B , C , D

d’affixes respectives

zA =− p 3− i, zB = 1− i

p 3, zC =

p 3+ i et zD =−1+ i

p 3.

1. 1. Donner le module et un argument-de chacun des quatre nombres complexes zA, zB , zC et zD .

2. Construire à la règle et au compas les points A, B , C et D (on prendra pour unité graphique 2 cm).

3. Déterminer le milieu du segment [AC ], celui du segment [BD]. Calculer le quotient zB zA

. En

déduire la nature du quadrilatère ABCD.

2. On considère la similitude directe g dont l’écriture complexe est z ′ = e−iπ3 z+2. 1. Déterminer les éléments caractéristiques de g .

2. Construire à la règle et au compas les images respectives E , F et J par g des points A, C etO.

3. Que constate-t-on concernant ces points E , F et J ? Le démontrer.

Exercices de spécialité 68

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

62 Nouvelle-Calédoniemars 2008 Retour au tableau

PARTIE A : Question de cours

Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l’addition, la multiplica- tion et les puissances ? Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplication.

PARTIE B

On note 0, 1, 2, . . . , 9, α, β, les chiffres de l’écriture d’un nombre en base 12. Par exemple :

βα7 12

=β×122+α×12+7= 11×122+10×12+7= 1711 en base 10

1. 1. Soit N1 le nombre s’écrivant en base 12 :

N1 =β1α 12

Déterminer l’écriture de N1 en base 10.

2. Soit N2 le nombre s’écrivant en base 10 :

N2 = 1131= 1×103+1×102+3×10+1

Déterminer l’écriture de N2 en base 12.

Dans toute la suite, un entier naturel N s’écrira de manière générale en base 12 :

N = an · · ·a1a012

2. 1. Démontrer que N a0 (3). En déduire un critère de divisibilité par 3 d’un nombre écrit en base 12.

2. À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N2 est divisible par 3. Confirmer avec son écriture en base 10.

3. 1. Démontrer que N an +·· · +a1+a0 (11). En déduire un critère de divisibilité par 11 d’un nombre écrit en base 12.

2. À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N1 est divisible par 11. Confirmer avec son écriture en base 10.

4. Un nombreN s’écrit x4y12. Déterminer les valeurs de x et de y pour lesquelles N est divisible par 33.

Exercices de spécialité 69

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

63 Nouvelle-Calédonie décembre 2007 Retour au tableau

1. 1. Quel est le reste de la division euclidienne de 610 par 11 ? Justifier. 2. Quel est le reste de la division euclidienne de 64 par 5 ? Justifier.

3. En déduire que 640 ≡ 1 [11] et que 640 ≡ 1 [5]. 4. Démontrer que 640−1 est divisible par 55.

2. Dans cette question x et y désignent des entiers relatifs. 1. Montrer que l’équation

(E ) 65x−40y = 1

n’a pas de solution.

2. Montrer que l’équation (E ′) 17x−40y = 1

admet au moins une solution.

3. Déterminer à l’aide de l’algorithme d’Euclide un couple d’entiers relatifs solution de l’équa- tion (E ′).

4. Résoudre l’équation (E ′). En déduire qu’il existe un unique naturel x0 inférieur à 40 tel que

17x0 ≡ 1 [40]. 3. Pour tout entier naturel a, démontrer que si a17 ≡ b [55] et si a40 ≡ 1 [55], alors

b33 ≡ a [55].

Exercices de spécialité 70

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

64 Amérique du Sud novembre 2007 Retour au tableau

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On fera une figure que l’on complétera avec les différents éléments intervenant dans l’exercice.

1. On considère les points A d’affixe 1 et B d’affixe i. On appelle S la réflexion (symétrie axiale) d’axe (AB).

Montrer que l’imageM ′ par S d’un pointM d’affixe z a pour affixe

z ′ =−iz+1+ i. 2. On note H l’homothétie de centre A et de rapport−2. Donner l’écriture complexe de H . 3. On note f la composée H S.

1. Montrer que f est une similitude.

2. Déterminer l’écriture complexe de f .

4. On appelleM ′′ l’image d’un pointM par f . 1. Démontrer que l’ensemble des pointsM du plan tels que

−−−→ AM ′′ =−2

−−→ AM est la droite (AB).

2. Démontrer que l’ensemble des pointsM du plan tels que −−−→ AM ′′ = 2

−−→ AM est la perpendiculaire

en A à la droite (AB).

Exercices de spécialité 71

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

65 Métropole - Réunion septembre 2007 Retour au tableau

1. On considère l’ensemble A7 = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} 1. Pour tout élément a de A7 écrire dans le tableau figurant en annexe 2 l’unique élément y de

A7 tel que ay ≡ 1 (modulo 7). 2. Pour x entier relatif, démontrer que l’équation 3x≡ 5 (modulo7) équivaut à x ≡ 4 (modulo7). 3. Si a est un élément de A7, montrer que les seuls entiers relatifs x solutions de l’équation

ax ≡ 0 (modulo 7) sont les multiples de 7. 2. Dans toute cette question, p est un nombre premier supérieur ou égal à 3. On considère l’en-

semble Ap = {1 ; 2 ; . . . ; p−1} des entiers naturels non nuls et strictement inférieurs à p. Soit a un élément de Ap .

1. Vérifier que ap−2 est une solution de l’équation ax ≡ 1 (modulo p). 2. On note r le reste dans la division euclidienne de ap−2 par p. Démontrer que r est l’unique

solution x dans Ap , de l’équation ax ≡ 1 (modulo p). 3. Soient x et y deux entiers relatifs. Démontrer que xy ≡ 0 (modulo p) si et seulement si x est

unmultiple de p y est unmultiple de p.

4. Application : p = 31. Résoudre dans A31 les équations : 2x ≡ 1(modulo31) et 3x ≡ 1 (modulo31). À l’aide des résultats précédents, résoudre dans Z l’équation 6x2−5x+1≡ 0 (modulo 31).

Exercices de spécialité 72

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

66 Antilles-Guyane septembre 2007 Retour au tableau

ABC est un triangle équilatéral tel que (−−→ AB ,

−−→ AC

) =

π

3 +2, k ∈Z.

Soit t un nombre réel fixe et soient les pointsM , N et P , deux à deux distincts, définis par

−−→ AM = t

−−→ AB ,

−−→ BN = t

−−→ BC et

−−→ CP = t

−−→ CA .

Le but de l’exercice est de démontrer l’existence d’une unique similitude directe σ qui transforme les points A, B et C en respectivementM , N et P , et d’en préciser les éléments caractéristiques.

Onmunit le plan dun repère orthonorinal ( O,

−→ u ,

−→ v ) direct.

On note a, b, c, m, n et p, les affixes respectives des points A, B, C,M , N et P .

1. On rappelle que toute similitude conserve le barycentre. 1. Exprimerm, n et p en fonction de a, b, c et t .

2. En deduire que les deux triangles ABC et MNP ont même centre de gravité. Ou notera G ce centre de gravité.

3. On suppose que σ existe. Déterminer l’image de G par σ.

2. On considére la rotation r dc centre G et d’angle 2π 3 .

1. Vérifier que M est le barycentre du système de points {A(1− t ) ; B(t )}, et en déduire que r (M)=N . On admet de même que r (N )= P et r (P )=M .

2. Soitσ1, la similitude directe de centreGde rapport GM

GA et d’angle

(−−→ GA ,

−−→ GM

) .Montrer qu’elle

transforme les points A, B et C en respectivementM , N et P .

3. Conclure sur l’ existence et l’unicité de σ.

Exercices de spécialité 73

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

67 Polynésie juin 2007 Retour au tableau Dans l’espace muni d’un repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère les points A (1 ; 3 ; 2),

B(4 ; 6 ; −4) et le cône (Γ) d’axe ( O,

−→ k ) , de sommet O et contenant le point A.

Partie A

1. Montrer qu’une équation de (Γ) est x2+ y2 = 5 2 z2.

2. Soit (P) le plan parallèle au plan (xOy) et contenant le point B. 1. Déterminer une équation de (P).

2. Préciser la nature de l’intersection (C1) de (P) et de (Γ).

3. Soit (Q) le plan d’équation y =3. On note (C2) l’intersection de (Γ) et de (Q). Sans justification, reconnaître la nature de (C2) parmi les propositions suivantes : • deux droites parallèles ; • deux droites sécantes ; • une parabole ; • une hyperbole ; • un cercle.

Partie B Soient x, y et z trois entiers relatifs et M le point de coordonnées (x, y, z). Les ensembles (C1) et (C2) sont les sections définies dans la partie A.

1. On considère l’équation (E) : x2+ y2 = 40 où x et y sont des entiers relatifs. 1. Résoudre l’équation (E).

2. En déduire l’ensemble des points de (C1) dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

2. 1. Démontrer que si le point M de coordonnées (x ; y ; z) où x, y et z désignent des entiers relatifs est un point de (Γ) alors z est divisible par 2 et x2+ y2 est divisible par 10.

2. Montrer que si M est un point de (C2), intersection de (Γ) et de (Q), alors x2 ≡ 1 modulo 10. 3. Résoudre, dans l’ensemble des entiers relatifs, l’équation x2 ≡ 1 modulo 10. 4. Déterminer un point de (C2), distinct de A, dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

Exercices de spécialité 74

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

68 La Réunion juin 2007 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) .

A, B, C, désignent les points d’affixes respectives a =−2 p 3, b =

p 3−3i et c = 2i.

1. 1. Écrire b sous forme exponentielle. 2. Les points A et C sont représentés sur la figure jointe en annexe 2.

Construire à la règle et au compas le point B sur ce dessin (laisser les traces de construction apparentes).

3. Déterminer unemesure en radians de l’angle (−→ u ;

−−→ AB

) et de l’angle

(−→ u ;

−−→ AC

) .

2. Les points E et F ont pour affixes respectives e =− p 3

2 + 3

2 i et f =−

p 3− i.

1. Démontrer que les points A, E et C, d’une part, et les points A, F et B, d’autre part, sont alignés,

2. Démontrer que le quotient ec eb

peut s’écrire ki où k est un nombre réel à déterminer. In-

terpréter géométriquement ce résultat. On admet que, de façon analogue, f c f b

peut s’écrire

k ′i où k ′ est un nombre réel non nul que l’on ne demande pas de déterminer.

3. Placer les points E et F sur la figure.

3. On désigne par S la similitude indirecte dont l’écriture complexe est

z 7−→ 1

2 z

p 3.

Déterminer les images par S des trois points A, B et C.

4. Soit H le point d’intersection des droites (BE) et (CF). Placer le point S(H) sur la figure.

Exercices de spécialité 75

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

69 Métropole juin 2007 Retour au tableau La figure est proposée en annexe 1. Elle sera complétée tout au long de l’exercice.

Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) , on considère les points A, B

et C, d’affixes respectives−5+6i, −7−2i et 3−2i. On admet que le point F, d’affixe−2+ i est le centre du cercle Γ circonscrit au triangle ABC.

1. Soit H le point d’affixe −5. Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude directe de centre A qui transforme le point C en le point H.

2. 1. Étant donné des nombres complexes z et z ′, on note M le point d’affixe z et M ′ le point d’affixe z ′. Soient a et b des nombres complexes.

Soit s la transformation d’écriture complexe z ′ = az+b qui, au pointM , associe le pointM ′. Déterminer a et b pour que les points A et C soient invariants par s. Quelle est alors la nature de s ?

2. En déduire l’affixe du point E, symétrique du point H par rapport à la droite (AC).

3. Vérifier que le point E est ùn point du cercle Γ.

3. Soit I le milieu du segment [AC]. Déterminer l’affixe du point G, image du point I par l’homothétie de centre B et de rapport

2

3 .

Démontrer que les points H, G et F sont alignés.

Exercices de spécialité 76

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

ANNEXE 1

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

À compléter et à rendre avec la copie

Exercice 3

−→ u

−→ v O

x

y A

B

b

b

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Exercices de spécialité 77

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

70 Centres étrangers juin 2007 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) . L’unité graphique est 2 cm. Le

but de cet exercice est d’étudier la similitude plane indirecte f d’écriture complexe :

z ′ = i p 2z+2i

p 2−2,

et d’en donner deux décompositions.

I. Restitution organisée de connaissances On rappelle que l’écriture complexe d’une similitude plane directe autre qu’une translation est de la forme z ′ = az+b, où a et b sont des nombres complexes avec a 6= 1. Déterminer en fonction de a et de b l’affixe du centre d’une telle similitude plane directe.

II. Première décomposition de f Soit g la similitude plane directe d’écriture complexe :

z ′ = i p 2z+2i

p 2−2.

1. Préciser les éléments caractéristiques de g (centre, rapport, angle). 2. Déterminer une réflexion s telle que f = g s.

Ill. Deuxième décomposition de f

1. Montrer que f admet un unique point invariant notéΩ. Déterminer l’affixeω deΩ. 2. Soit D la droite d’équation : y = x +2. Montrer que pour tout point N appartenant à D, le point

f (N ) appartient aussi à D.

3. Soit σ la réflexion d’axe D et k la transformation définie par : k = f σ. 1. Donner l’écriture complexe de σ. (Indication : on pourra poser z ′ = ai+ b et utiliser deux

points invariants par σ pour déterminer les nombres complexes a et b.)

2. En déduire que l’écriture complexe de k est : z ′ = p 2z+2

p 2−2.

3. Donner la nature de la transformation k et préciser ses éléments caractéristiques.

4. Déduire de ce qui précède une écriture de la similitude indirecte f comme composée d’une ré- flexion et d’une homothétie.

Exercices de spécialité 78

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

71 Asie juin 2007 Retour au tableau Le but de cet exercice est d’étudier une même configuration géométrique à l’aide de deux méthodes différentes. I À l’aide des nombres complexes, sur un cas particulier

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) . L’unité graphique est 1 cm.

1. On considère les points A et B d’affixes respectives 10 et 5i. 1. Déterminer l’écriture complexe de la similitude directe s qui transformeO en A et B en O.

2. Déterminer les éléments caractéristiques de s. On noteΩ son centre.

3. Déterminer le point s s(B) ; en déduire la position du point Q par rapport aux sommets du triangle ABO.

2. On note D la droite d’équation x−2y = 0, puis A′ et B′ les points d’affixes respectives 8+4i et 2+i. 1. Démontrer que les points A′ et B′ sont les projetés orthogonaux respectifs des points A et de

B sur la droiteD.

2. Vérifier que s(B′) =A′.

3. En déduire que le pointΩ appartient au cercle de diamètre [ A′B′

] .

II À l’aide des propriétés géométriques des similitudes

OAB est un triangle rectangle en O tel que (−−→ OA ,

−−→ OB

) =

π

2 .

1. On note encore s est la similitude directè telle que s(O) = A et s(B) = O. SoitΩ son centre. 1. Justifier le fait que l’angle de s est égal à

π

2 .

2. Démontrer queΩ appartient au cercle de diamètre [OA]. (On admet de même queΩ appar- tient aussi au cercle de diamètre [OB].)

En déduire queΩ est le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OAB.

2. On désigne par D une droite passant par O, distincte des droites (OA) et (OB). On note A′ et B′ les projetés othogonaux respectifs des points A et B sur la droite D.

1. Déterminer les images des droites (BB′) et D par la similitude s.

2. Déterminer le point s(B′).

3. En déduire que le pointΩ appartient au cercle de diamètre [A′B′]

Exercices de spécialité 79

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

72 Antilles-Guyane juin 2007 Retour au tableau( O,

−→ u ,

−→ v ) est un repère orthonormal direct du plan complexe (unité graphique 1 cm).

On considère le point A d’affixe zA = 1+ i. On note S1 la symétrie orthogonale par rapport à l’axe ( O ;

−→ u )

et h l’homothétie de centre O et de rapport 3. On pose s = h S1.

Partie A

1. Placer le point A et compléter la figure au fur et à mesure. 2. Quelle est la nature de la transformation s ? Justifier. 3. Déterminer l’écriture complexe de la transformation s. 4. 1. Déterminer l’affixe zB du point B image de A par s.

2. Montrer que zB =−3izA. Déterminer unemesure de l’angle (−−→ OA ,

−−→ OB

) .

5. SoientM le milieu de [AB] et P l’image deM par s. Montrer que la droite (OP ) est perpendiculaire à la droite (AB).

Partie B

1. On poseC = s(B). Montrer que P est le milieu de [BC ]. 2. 1. Déterminer l’écriture complexe de s s et en déduire sa nature.

2. Montrer que l’image de la droite (OP ) par s est la droite (OM).

3. Que représente le pointM pour le triangle OBP ? Justifier.

Exercices de spécialité 80

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

73 Amérique du Nord juin 2007 Retour au tableau Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal

( O,

−→ u ,

−→ v ) (unité graphique : 1 cm).

On fera une figure que l’on complétera tout au long de cet exercice. Soient A, B et C les points d’affixes respectives a = 3+5i, b =−4+2i et c = 1+4i. Soit f la transformationdu plan dans lui-mêmequi, à tout pointM d’affixe z, associe le pointM ′ d’affixe z ′ définie par z ′ = (2−2i)z+1.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f . 2. 1. Déterminer l’affixe du point B′ image du point B par f .

2. Montrer que les droites (CB′) et (CA) sont orthogonales.

3. SoitM le point d’affixe z = x+iy , où on suppose que x et y sont des entiers relatifs. SoitM ′ l’ image deM par f . Montrer que les vecteurs

−−−→ CM ′ et

−−→ CA sont orthogonaux si et seulement si x+3y = 2.

4. On considère l’équation (E) : x+3y = 2, où x et y sont des entiers relatifs. 1. Vérifier que le couple (−4 ; 2) est une solution de (E). 2. Résoudre l’équation (E).

3. En déduire l’ensemble des points M dont les coordonnées sont des entiers appartenant à

l’intervalle [−5 ; 5] et tels que les vecteurs −−−→ CM ′ et

−−→ CA soient orthogonaux.

Placer ces points sur la figure.

Exercices de spécialité 81

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

74 Liban juin 2007 Retour au tableau Pour chacune des 5 propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

1. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On considère la transformation duplan qui à tout point d’affixe z associe le point d’affixe z ′ définie par : z ′ = 2iz+1.

Proposition 1 : « Cette transformation est la similitude directe de centre A d’affixe 1

5 + 2

5 i, d’angle

π

2 et de rapport 2 ».

2. Dans l’espace muni du repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on note S la surface d’équation z =

x2+2x+ y2+1. Proposition 2 : « La section de S avec le plan d’équation z = 5 est un cercle de centre A de coor- données (−1 ; 0 ; 5) et de rayon 5 ».

3. Proposition 3 : « 5750−1 est unmultiple de 7 ». 4. Proposition 4 : « Si un entier naturel n est congru à 1modulo 7 alors le PGCD de 3n+4 et de 4n+3

est égal à 7 ».

5. Soient a et b deux entiers naturels. Proposition 5 : « S’il existe deux entiers relatifs u et v tels que au+bv = 2 alors le PGCD de a et b est égal à 2 ».

Exercices de spécialité 82

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

75 Pondichéry avril 2007 Retour au tableau 1. Dans cette question, il est demandé au candidat d’exposer des connaissances

On suppose connus les résultats suivants : – La composée de deux similitudes planes est une similitude plane ; – la transformation réciproque d’une similitude plane est une similitude plane ; – une similitude plane qui laisse invariants trois points non alignés du plan est l’identité du plan. Soient A, B et C trois points non alignés du plan et s et s ′ deux similitudes du plan telles que s(A)= s ′(A), s(B)= s ′(B) et s(C)= s ′(C). Montrer que s = s ′.

2. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v ) . La figure sera complétée au fur

et à mesure. On donne les points A d’affixe 2, E d’affixe 1+ i, F d’affixe 2+ i et G d’affixe 3+ i. 1. Calculer les longueurs des côtés des triangles OAG et OEF. En déduire que ces triangles sont

semblables.

2. Montrer queOEF est l’imagedeOAGpar une similitude indirecte S, en déterminant l’écriture complexe de S.

3. Soith l’homothétie de centreO et de rapport 1 p 2 .Onpose A′ = h(A) et G′ = h(G), et on appelle

I le milieu de [EA′]. On noteσ la symétrie orthogonale d’axe (OI). Montrer que S =σh.

Exercices de spécialité 83

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

76 Nouvelle-Calédoniemars 2007 Retour au tableau Pour coder un message, on procède de la manière suivante : à chacune des 26 lettres de l’alphabet, on commence par associer un entier n de l’ensembleΩ= {0 ; 1 ; 2 ; . . . ; 24 ; 25} selon le tableau ci-dessous :

A B C D E F G H I J K L M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

N O P Q R S T U V W X Y Z 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

a et b étant deux entiers naturels donnés, on associe à tout entier n de Ω le reste de la division eucli- dienne de (an+b) par 26 ; ce reste est alors associé à la lettre correspondante. Exemple : pour coder la lettre P avec a = 2 et b = 3, on procède de la manière suivante : étape 1 : on lui associe l’entier n = 15. étape 2 : le reste de la division de 2×15+3= 33 par 26 est 7. étape 3 : on associe 7 à H. Donc P est codé par la lettre H.

1. Que dire alors du codage obtenu lorsque l’on prend a = 0 ? 2. Montrer que les lettres A et C sont codées par la même lettre lorsque l’on choisit a = 13. 3. Dans toute la suite de l’exercice, on prend a = 5 et b = 2.

1. On considère deux lettres de l’alphabet associées respectivement aux entiers n et p. Montrer, que si 5n+2 et 5p+2 ont le même reste dans la division par 26 alors np est unmultiple de 26. En déduire que n = p.

2. Coder le mot AMI.

4. On se propose de décoder la lettre E. 1. Montrer que décoder la lettre E revient à déterminer l’élément n de Ω tel que 5n−26y = 2,

y est un entier.

2. On considère l’équation 5x−26y = 2, avec x et y entiers relatifs. a. Donner une solution particulière de l’équation 5x−26y = 2. b. Résoudre alors l’équation 5x−26y = 2. c. En déduire qu’il existe un unique couple (x ; y) solution de l’équation précédente, avec

06 x 6 25.

3. Décoder alors la lettre E.

Exercices de spécialité 84

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

77 Nouvelle-Calédonie novembre 2006 Retour au tableau

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) . (unité 1 cm). On construira une figure que

l’on complétera au fur et mesure.

1. Soit A le point d’affixe 3, et r la rotation de centre O et d’angle π 3 . On note B, C, D, E et F les images

respectives des points A, B, C, D et E par la rotation r . Montrer que B a pour affixe 3

2 + 3 p 3

2 i.

2. Associer à chacun des points C, D, E et F l’une des affixes de l’ensemble suivant { −3 ; −

3

2 + 3 p 3

2 i ;

3

2 − 3 p 3

2 i ; −

3

2 − 3 p 3

2 i

}

3. 1. Déterminer r (F). 2. Quelle est la nature du polygone ABCDEF ?

4. Soit s la similitude directe de centre A, de rapport 1 2 et d’angle

π

3 . Soit s ′ la similitude directe de

centre E transformant F en C.

1. Déterminer l’angle et le rapport de s ′. En déduire l’angle et le rapport de s ′ ◦ s. 2. Quelle est l’image du point D par s ′ ◦ s ? 3. Déterminer l’écriture complexe de s ′.

5. Soit A′ le symétrique de A par rapport à C. 1. Sans utiliser les nombres complexes, déterminer s(A′) puis l’image de A′ par s ′ ◦ s. 2. Calculer l’affixe du point A′. Retrouver alors le résultat du a. en utilisant l’écriture complexe

de s ′ ◦ s.

Exercices de spécialité 85

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

78 Amérique du Sud novembre 2006 Retour au tableau

Rappel : Pour deux entiers relatifs a et b, on dit que a est congru à b modulo 7, et on écrit a b mod 7 lorsqu’il existe un entier relatif k tel que a = b+7k. 1. Cette question constitue une restitution organisée de connaissances

1. Soient a, b, c et d des entiers relatifs. Démontrer que : si a b mod 7 et c d mod 7 alors ac bd mod 7.

2. En déduire que : pour a et b entiers relatifs non nuls si a b mod 7 alors pour tout entier naturel n, an bn mod 7.

2. Pour a = 2 puis pour a = 3, déterminer un entier naturel n non nul tel que an ≡ 1 mod 7. 3. Soit a un entier naturel non divisible par 7.

1. Montrer que : a6 ≡ 1 mod 7. 2. On appelle ordre de a mod 7, et on désigne par k, le plus petit entier naturel non nul tel

que ak ≡ 1 mod 7. Montrer que le reste r de la division euclidienne de 6 par k vérifie ar ≡ 1 mod 7. En déduire que k divise 6. Quelles sont les valeurs possibles de k ?

3. Donner l’ordre modulo 7 de tous les entiers a compris entre 2 et 6.

4. À tout entier naturel n, on associe le nombre

An = 2n+3n +4n+5n+6n .

Montrer que A2006 ≡ 6 mod 7.

Exercices de spécialité 86

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

79 Métropole septembre 2006 Retour au tableau

1. On considère l’équation (E ) : 17x−24y = 9, où (x, y) est un couple d’entiers relatifs. 1. Vérifier que le couple (9 ; 6) est solution de l’équation (E ).

2. Résoudre l’équation (E ).

2. Dans une fête foraine, Jean s’installe dans un un manège circulaire représenté par le schéma de l’annexe 2. Il peut s’installer sur l’un des huit points indiqués sur le cercle. Lemanège comporte un jeu qui consiste à attraper un pompon qui, se déplace sur un câble formant un carré dans lequel est inscrit le cercle. Le manège tourne dans le sens des aiguilles d’unemontre, à vitesse constante. Il fait un tour à vitesse constante. Il fait un tour en 24 secondes. Le pompon se déplace dans le même sens à vitesse constante. Il fait un tour en 17 secondes. Pour gagner, Jean doit attraper le pompon, et il ne peut le faire qu’aux points de contact qui sont notés A, B, C et D sur le dessin. À l’instant t = 0, Jean part du point H en même temps que le pompon part du point A 1. On suppose qu’à un certain instant t Jean attrape le pompon en A. Jean a déjà pu passer un

certain nombre de fois en A sans y trouver le pompon. À l’instant t , on note y le nombre de tours effectués depuis son premier passage en A et x le nombre de tours effectués par le pompon.Montrer que (x, y) est solution de l’équation (E ) de la question 1.

2. Jean a payé pour 2 minutes ; aura-t-il le temps d’attraper le pompon ?

3. Montrer, qu’en fait, il n’est possible d’attraper le pompon qu’au point A.

4. Jean part maintenant du point E. Aura-t-il le temps d’attraper le pompon en A avant les deux minutes ?

Exercices de spécialité 87

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

ANNEXE 2

Schéma de l’exercice 2

E

A

F

D B

H G

C

Exercices de spécialité 88

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

80 Polynésie juin 2006 Retour au tableau

Pour chacune des cinqpropositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démons- tration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Proposition 1 : « pour tout entier naturel n, 3 divise le nombre 22n −1 ». Proposition 2 : «Si un entier relatif x est solution de l’équation x2+x ≡ 0 (modulo 6) alors x ≡ 0 (modulo3) ». Proposition 3 : « l’ensemble des couples d’entiers relatifs (x ; y) solutions de l’équation 12x−5y = 3 est

l’ensemble des couples (4+10k ; 9+24k) où k ∈Z ». Proposition 4 : « il existe un seul couple (a ; b) de nombres entiers naturels, tel que a< b et PPCM(a, b)−

PGCD(a, b)= 1 ». Deux entiers naturelsM et N sont tels queM a pour écriture abc en base dix et N a pour écriture bca en base dix.

Proposition 5 : « Si l’entierM est divisible par 27 alors l’entierM N est aussi divisible par 27 ».

Exercices de spécialité 89

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

81 La Réunion juin 2006 Retour au tableau

On complètera la figure donnée en annexe 2 au fur et àmesure des questions, et on la rendra avec la copie.

ABCD est un carré tel que (−−→ AB ,

−−→ AD

) = +

π

2 . Soit I le centre du carré ABCD. Soit J le milieu du segment

[CD]. On désigne par s la similitude directe qui transforme A en I et B en J.

Le but de l’exercice est d’étudier certaines propriétés de la similitude s. Dans la partie A on utilisera des raisonnements géométriques ; dans la partie B on utilisera les nombres complexes.

Partie A

1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude s. 2. On désigne par Ω le centre de cette similitude. Γ1 est le cercle de diamètre [AI], Γ2 est le cercle

de diamètre [BJ]. Démontrer que Ω est l’un des points d’intersection de Γ1 et Γ2. Placer Ω sur la figure.

3. Donner l’image par s de la droite (BC). En déduire le point image par s du point C, puis le point K image par s du point I.

4. On pose h = s s (composée de s avec elle même). 1. Donner la nature de la transformation h (préciser ses éléments caractéristiques).

2. Trouver l’image du point A par h. En déduire que les points A,Ω et K sont alignés.

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère ( A ;

−→ u ,

−→ v ) orthonormal direct, choisi demanière à ce que les

points A, B, C et D aient comme affixes respectives 0, 2 , 2 + 2i et 2i.

1. Démontrer que l’écriture complexe de la similitude est z ′ = 1 2 iz+1+ i.

2. Calculer l’affixe du pointΩ. 3. Calculer l’affixe du point E tel que s(E) = A. Placer le point E sur la figure.

A B

CD

Exercices de spécialité 90

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

82 Métropole juin 2006 Retour au tableau

Partie A : Question de cours

1. Énoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss. 2. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

Partie B Il s’agit de résoudre dans Z le système

(S)

{ n ≡ 13 (19) n ≡ 6 (12)

1. Démontrer qu’il existe un couple (u ; v) d’entiers relatifs tel que : 19u+12v = 1. (On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d’un tel couple). Vérifier que, pour un tel couple, le nombreN = 13×12v +6×19u est une solution de (S).

2. 1. Soit n0 une solution de (S), vérifier que le système (S) équivaut à {

n n0 (19) n n0 (12)

2. Démontrer que le système

{ n n0 (19) n n0 (12)

équivaut à n n0 (12×19).

3. 1. Trouver un couple (u ; v) solution de l’équation 19u + 12v = 1 et calculer la valeur de N correspondante.

2. Déterminer l’ensemble des solutions de (S) (on pourra utiliser la question 2. b.).

4. Un entier naturel n est tel que lorsqu’on le divise par 12 le reste est 6 et lorsqu’on le divise par 19 le reste est 13. On divise n par 228= 12×19. Quel est le reste r de cette division ?

Exercices de spécialité 91

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

83 Centres étrangers juin 2006 Retour au tableau

Le but de l’exercice est d’étudier certaines propriétés de divisibilité de l’entier 4n −1, lorsque n est un entier naturel. On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : « si p est un nombre entier et a un entier naturel premier avec p, alors ap−1−1≡ 0 mod p ».

Partie A.Quelques exemples.

1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 4n est congru à 1 modulo 3. 2. Prouver à l’aide du petit théorème de Fermat, que 428−1 est divisible par 29. 3. Pour 16n6 4 , déterminer le reste de la division de 4n par 17. En déduire que, pour tout entier k,

le nombre 44k −1 est divisible par 17. 4. Pour quels entiers naturels n le nombre 4n−1 est-il divisible par 5 ? 5. À l’aide des questions précédentes. déterminer quatre diviseurs premiers de 428−1.

Partie B.Divisibilité par un nombre premier Soit p un nombre premier différent de 2.

1. Démontrer qu’il existe un entier n> 1 tel que 4n ≡ 1 mod p. 2. Soit n> 1 un entier naturel tel que 4n ≡ 1 mod p. On note b le plus petit entier strictement positif

tel que 4b ≡ 1 mod p et r le reste de la division euclidienne de n par b. 1. Démontrer que 4r ≡ 1 mod p. En déduire que r = 0. 2. Prouver L’équivalence : 4n−1 est divisible par p si et seulement si n est multiple de b. 3. En déduire que b divise p−1.

Exercices de spécialité 92

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

84 Asie juin 2006 Retour au tableau

Étant donné un entier naturel n > 2, on se propose d’étudier l’existence de trois entiers naturels x, y et z tels que x2+ y2+ z2 ≡ 2n −1 modulo 2n .

Partie A : Étude de deux cas particuliers

1. Dans cette question on suppose n = 2. Montrer que 1, 3 et 5 satisfont à la condition précédente. 2. Dans cette question, on suppose n = 3.

1. Soitm un entier naturel. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant le reste r de la division euclidienne dem par 8 et le reste R de la division euclidienne dem2 par 8.

r 0 1 2 3 4 5 6 7 R

2. Peut-on trouver trois entiers naturels x, y et z tels que x2+ y2+ z2 ≡ 7 modulo 8 ?

Partie B Étude du cas général où n > 3 Supposons qu’il existe trois entiers naturels x, y et z tels que x2+ y2+ z2 ≡ 2n−1 modulo 2n .

1. Justifier le fait que les trois entiers naturels x, y et z sont tous impairs ou que deux d’entre eux sont pairs.

2. On suppose que x et y sont pairs et que z est impair. On pose alors x = 2q, y = 2r, z = 2s +1 où q, r, s sont des entiers naturels.

1. Montrer que x2+ y2+ z2 ≡ 1 modulo 4. 2. En déduire une contradiction.

3. On suppose que x, y, z sont impairs. 1. Prouver que, pour tout entier naturel k non nul, k2+k est divisible par 2. 2. En déduire que x2+ y2+ z2 ≡ 3 modulo 8. 3. Conclure.

Exercices de spécialité 93

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

85 Antilles-Guyane juin 2006 Retour au tableau

Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCD de centre O. Soit P un point du segment [BC] distinct de B. On note Q l’intersection de (AP ) avec (CD). La perpendiculaire δ à (AP ) passant par A coupe (BC) en R et (CD) en S.

1. Faire une figure. 2. Soit r la rotation de centre A et d’angle π

2 .

1. Précisez, en justifiant votre réponse, l’image de la droite (BC) par la rotation r .

2. Déterminez les images de R et de P par r .

3. Quelle est la nature de chacun des triangles ARQ et APS.

3. On note N le milieu du segment [PS] et M celui du segment [QR]. Soit s la similitude de centre A, d’angle

π

4 et de rapport

1 p 2 .

1. Déterminez les images respectives de R et de P par s.

2. Quel est le lieu géométrique du point N quand P décrit le segment [BC] privé de B ?

3. Démontrez que les pointsM , B, N et D sont alignés.

Exercices de spécialité 94

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

86 Amérique du Nord juin 2006 Retour au tableau

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) (unité graphique : 4 cm). Soit Ω le point

d’affixe 2. On appelle r la rotation de centre Ω et d’angle π

4 et h l’homothétie de centre Ω et de rapport

p 2

2 .

1. On pose σ= h r . 1. Quelle est la nature de la transformationσ ? Préciser ses éléments caractéristiques.

2. Montrer que l’écriture complexe de σ est : z 7−→ 1+ i 2

z+1− i.

3. SoitM un point quelconque du plan d’affixe z. On désigne parM ′ son image parσ et on note z ′ l’affixe deM ′. Montrer que zz ′ = i

( 2− z

) .

2. 1. Question de cours Prérequis : définitions géométriques du module d’un nombre complexe et d’un argument d’un nombre complexe non nul. Propriétés algébriques des modules et des arguments.

Démontrer que : si A est un point donné d’affixe a, alors l’image du point P d’affixe p par la

rotation de centre A et d’angle π

2 est le pointQ d’affixe q telle que qa = i(pa).

2. Déduire des questions précédentes la nature du triangleΩMM ′, pourM distinct deQ.

3. Soit A0 le point d’affixe 2+ i. On considère la suite (An) de points du plan définis par :

pour tout entier naturel n, An+1 =σ (An) .

1. Montrer que, pour tout entier naturel n, l’affixe an de An est donnée par :

an = (p

2

2

)n ei

(n+2)π 4 +2.

2. Déterminer l’affixe de A5.

4. Déterminer le plus petit entier n0 tel que l’on ait : pour n > n0, le point An est dans le disque de centreΩ et de rayon 0,01.

Exercices de spécialité 95

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

87 Pondichéry avril 2006 Retour au tableau

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) . On prendra 5 cm pour unité

graphique. Soit f la transformation qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par :

z ′ = ( 1

2 + 1

2 i

) z+1.

1. Justifier que f est une similitude directe dont on précisera le centre Ω (d’affixe ω), le rapport k et l’angle θ.

2. On note A0 le point O et, pour tout entier naturel n, on pose An+1 = f (An). 1. Déterminer les affixes des points A1 A2, A3 puis placer les points A0, A1, A2 et A3.

2. Pour tout entier naturel n, on pose un =ΩAn . Justifier que la suite (un) est une suite géomé- trique puis établir que, pour tout entier naturel n,

un = p 2

( 1 p 2

)n .

3. À partir de quel rang n0 tous les points An appartiennent-ils au disque de centre Ω et de rayon 0,1 ?

3. 1. Quelle est la nature du triangleΩA0A1 ? En déduire, pour tout entier naturel n, la nature du triangleΩAnAn+1.

2. Pour tout entier naturel n, on note ℓn la longueur de la ligne brisée A0A1A2 . . .An−1An . On a ainsi : ℓn = A0A1+ A1A2+ . . .+ An−1An . Exprimer ℓn en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (ℓn) ?

Exercices de spécialité 96

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

88 Nouvelle–Calédonie novembre 2005 Retour au tableau

Le plan est rapporté au repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v ) . Unité graphique : 4 cm

Partie I

1. Placer les points I, J, H, A, B, C, D d’affixes respectives :

zI = 1 , zJ = i , zH = 1+ i , zA = 2 , zB = 3

2 + i , zC = 2i et zD =−1

2. Soit E le symétrique de B par rapport à H. La perpendiculaire à la droite (AE) passant par C et la parallèle à la droite (OC) passant par D se coupent en F.

Placer E et F et vérifier que le point F a pour affixe zF =−1+ 1

2 i.

3. Montrer que les triangles OAB et OCF sont isométriques.

Partie II

On considère la transformation f du plan, d’écriture complexe : z ′ =−iz+2i.

1. Déterminer les images des points O, A, B par f . 2. 1. Montrer que f est une similitude. Est-ce une isométrie ?

2. Déterminer l’ensemble des points invariants par f .

3. La transformation f est-elle une symétrie axiale ?

3. Soit t la translation de vecteur−→IJ . Donner l’écriture complexe de t et celle de sa réciproque t−1. 4. On pose s = f t−1.

1. Montrer que l’écriture complexe de s est : z ′ =−iz+1+ i. 2. Montrer que I et J sont invariants par s. En déduire la nature de s.

3. En déduire que f est la composée d’une translation et d’une symétrie axiale à préciser.

Exercices de spécialité 97

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

89 Amérique du Sud novembre 2005 Retour au tableau

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) . On prendra pour unité

graphique 4 cm. On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives a, b, c et d telles que :

a = i, b = 1+2i, c = p 2ei

π 4 , et d = 3+2i.

On considère la similitude directe s qui transforme A en B et C en D. Soit M un point d’affixe z et M ′, d’affixe z ′, son image par s.

1. Exprimer z ′ en fonction de z. Déterminer les éléments caractéristiques de s. Soit (Un) la suite numérique définie par :

{ U0 = 0 Un+1 = 2Un+1 pour tout n ∈N

2. Montrer que, pour tout entier naturel n, Un+1 etUn sont premiers entre eux. 3. Interpréter géométriquement, en utilisant la similitude s, les termes de la suite (Un). 4. Montrer que pour tout entier naturel n,Un = 2n−1. 5. Montrer que, pour tous entiers naturels n et p non nuls tels que n> p,

Un =Up ( Unp +1

) +Unp .

La notation pgcd(a ; b) est utilisée, dans la suite, pour désigner le plus grand diviseur commun à deux entiers naturels a et b . Montrer pour n> p l’égalité

pgcd ( Un ,Up

) = pgcd

( Up , Unp

) .

6. Soit n et p deux entiers naturels non nuls, montrer que :

pgcd ( Un , Up

) =Upgcd(n ; p).

Déterminer le nombre : pgcd(U2005, U15) .

Exercices de spécialité 98

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

90 Métropole septembre 2005 Retour au tableau

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte 1 point. Chaque réponse fausse enlève 0,5 point. Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Aucune justification n’est demandée.

1. On considère dans l’ensemble des entiers relatifs l’équation : x2−x+4≡ 0 (modulo 6). A : toutes les solutions sont des entiers pairs.

B : il n’y a aucune solution.

C : les solutions vérifient x ≡ 2 (modulo 6). D : les solutions vérifient x ≡ 2 (modulo 6) ou x ≡ 5 (modulo 6).

2. On se propose de résoudre l’équation (E) : 24x+34y = 2, où x et y sont des entiers relatifs. A : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y)= (34k−7 ; 5−24k), k ∈Z. B : L’équation (E) n’a aucune solution.

C : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y)= (17k−7 ; 5−12k), k ∈Z. D : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y)= (−7k ; 5k), k ∈Z.

3. On considère les deux nombres n = 1789 et p = 17892005. On a alors : A : n ≡ 4 (modulo 17) et p ≡ 0 (modulo 17). B : p est un nombre premier.

C : p ≡ 4 (modulo 17). D : p ≡ 1 (modulo 17).

4. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, les points A et B d’affixes respectives a et b. Le triangleMAB est rectangle isocèle direct d’hypoténuse [AB] si et seulement si le pointM d’affixe z est tel que :

A : z = b− ia 1− i

. C : az = i(bz).

B : za = ei π 4 (ba). D : bz =

π

2 (az).

5. On considère dans le plan orienté deux points distincts A et B ; on note I lemilieu du segment [AB]. Soit f la similitude directe de centre A, de rapport 2 et d’angle

2π

3 ; soit g la similitude directe de

centre A, de rapport 1

2 et d’angle

π

3 ; soit h la symétrie centrale de centre 1.

A : h g f transforme A en B et c’est une rotation. B : h g f est la réflexion ayant pour axe la médiatrice du segment [AB]. C : h g f n’est pas une similitude. D : h g f est la translation de vecteur −−→AB .

Exercices de spécialité 99

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

91 Amérique du Nord juin 2005 Retour au tableau

La figure jointe en annexe sera complétée au cours de l’exercice et remise avec la copie. On y laissera apparents les traits de construction.

Dans le plan orienté, on donne le triangle ABC tel que AB = 2, AC= 1+ p 5 et

(−−→ AB ,

−−→ AC

) =

π

2 .

1. 1. Démonstration de cours : démontrer qu’il existe une seule similitude directe S transformant B en A et A en C.

2. Déterminer le rapport et unemesure de l’angle de S.

2. On appelle Ω le centre de S. Montrer que Ω appartient au cercle de diamètre [AB] et à la droite (BC). Construire le pointΩ.

3. On note D l’image du point C par la similitude S.

1. Démontrer l’alignement des points A, Ω et D ainsi que le parallélisme des droites (CD) et (AB). Construire le point D.

2. Montrer que CD = 3+ p 5.

4. Soit E le projeté orthogonal du point B sur la droite (CD).

1. Expliquer la construction de l’image F du point E par S et placer F sur la figure.

2. Quelle est la nature du quadrilatère BFDE ?

Annexe : exercice de spécialité

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 -1

0

1

2

3

4

5

A B

C

Exercices de spécialité 100

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