Exercices de spécialité sur la probabilité, Exercices de Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Exercices de spécialité sur la probabilité, Exercices de Mathématiques

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Exercices de spécialité la probabilité. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Quelle est la probabilité de tirer aumoins un cube rouge ? Quelle est la probabilité de tirer exactement un cubemarqué d’un cercle ...
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[ Baccalauréat S Probabilités\ Index des exercices de probabilité de septembre 1999 à juin 2012

Tapuscrit : DENIS VERGÈS

No Lieu et date P. condi- Variable Loi bino- Loi uni- Loi expo- Suite tionelle aléatoire miale forme nentielle

1 Polynésie juin 2012 × × 2 Métropole juin 2012 × × × 3 Centres étrangers juin 2012 × 4 Asie juin 2012 × × × 5 Antilles–Guyane juin 2012 × × 6 Liban juin 2012 × × 7 Amérique du Nord mai 2011 × × 8 Pondichéry avril 2011 × × 9 Nlle-Calédoniemars 2012 × × 10 Amérique du Sud novembre 2011 × × 11 Nouvelle-Calédonie nov. 2011 × × 12 Polynésie septembre 2011 × × × 13 Métropole septembre 2011 × × × 14 Antilles–Guyane septembre 2011 × × × 15 Polynésie juin 2011 × × 16 Métropole juin 2011 × × × 17 La Réunion juin 2011 × × 18 Centres étrangers juin 2011 × × × 19 Asie juin 2011 × × × 20 Antilles–Guyane juin 2011 × × × 21 Liban juin 2011 × × 22 Amérique du Nord mai 2011 × × × 23 Pondichéry avril 2011 × × × 24 Nlle-Calédoniemars 2011 × × 25 Amérique du Sud novembre 2010 × × 26 Nouvelle-Calédonie nov. 2010 × × 27 Polynésie septembre 2010 × × × 28 Antilles–Guyane septembre 2010 × × × 29 Polynésie juin 2010 × 30 Métropole juin 2010 × × 31 La Réunion juin 2010 × 32 Centres étrangers juin 2010 × × 33 Asie juin 2010 × × 34 Antilles-Guyane juin 2010 × × 35 Amérique du Nord juin 2010 × × 36 Liban 3 juin 2010 × × × 37 Pondichéry avril 2010 × × 38 Nouvelle-Calédonie nov. 2009 × × × 39 Amérique du Sud nov. 2009 ×

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

No Lieu et date P. condi- Variable Loi bino- Loi uni- Loi expo- Suite tionelle aléatoire miale forme nentielle

40 Polynésie septembre 2009 × × 41 Antilles-Guyane septembre 2009 × × 42 Métropole septembre 2009 × × 43 La Réunion juin 2009 × × × 44 Métropole juin 2009 × 45 Polynésie juin 2009 × 46 Asie juin 2009 × × 47 Centres étrangers juin 2009 × 48 Antilles-Guyane juin 2009

49 Libanmai 2009 × × × 50 Amérique du Nord mai 2009 × 51 Pondichéry avril 2009 × × × 52 Nouvelle-Calédoniemars 2009 × 53 Nouvelle-Calédonie nov. 2008 × × 54 Polynésie septembre 2008 × × 55 Métropole La Réunion sept. 2008 × × × 56 Antilles-Guyane septembre 2008 × × 57 La Réunion juin 2008 × × 58 Centres étrangers juin 2008 × 59 Asie juin 2008 × × 60 Antilles-Guyane juin 2008 × × 61 Libanmai 2008 × × × × 62 Nlle-Calédoniemars 2008 × × 63 Nlle-Calédonie décembre 2007 × × × 64 Polynésie septembre 2007 × × 65 Antilles-Guyane septembre 2007 × × 66 Polynésie juin 2007 × × 67 Métropole juin 2007 × × 68 Centres étrangers juin 2007 × × 69 Asie juin 2007 × × 70 Antilles-Guyane juin 2007 × × × 71 Amérique du Nord juin 2007 × × × 72 Libanmai 2007 × × 73 Nlle-Calédoniemars 2007 × × 74 Nlle-Calédonie novembre 2006 × × × 75 Amérique du Sud novembre 2006 × × 76 Polynésie septembre 2006 × × 77 Métropole septembre 2006 × × × 78 Polynésie juin 2006 × × 79 La Réunion juin 2006 × × 80 Métropole juin 2006 × × 81 Centres étrangers juin 2006 × × ×

Exercices de probabilités 2

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

No Lieu et date P. condi- Variable Loi bino- Loi uni- Loi expo- Suite tionelle aléatoire miale forme nentielle

82 Asie juin 2006 × × 83 Amérique du Nord juin 2006 × 84 Libanmai 2006 × × 85 Pondichéry avril 2006 × 86 Amérique du Sud novembre 2005 × × 87 Nlle-Calédonie novembre 2005 × × × 88 Polynésie septembre 2005 × × × 89 Antilles-Guyane septembre 2005 × 90 Amérique du Nord juin 2005 × 91 Antilles-Guyane juin 2005 × × 92 Asie juin 2005 × × 93 Centres étrangers juin 2005 × × 94 Métropole juin 2005 × × 95 La Réunion juin 2005 × 96 Libanmai 2005 × × 97 Nlle–Calédoniemars 2005 × 98 Polynésie juin 2005 × × 99 Amérique Sud nov. 2004 × 100 Métropole septembre 2004 × 101 La Réunion septembre 2004 × × 102 Polynésie septembre 2004 × 103 Amérique du Nord juin 2004 × 104 Métropole juin 2004 × 105 Liban juin 2004 × × × 106 Polynésie juin 2004 × × 107 Pondichéry juin 2004 × × 108 La Réunion juin 2004 × × 109 Amérique Sud nov. 2003 × × 110 Nlle-Calédonie nov. 2003 × 111 Antilles-Guyane septembre 2003 × × 112 Métropole septembre 2003 × × × 113 Amérique du Nord juin 2003 × 114 Antilles-Guyane juin 2003 × × 115 Centres étrangers juin 2003 × × 116 La Réunion juin 2003 × × × 117 Liban juin 2003 × × 118 Polynésie juin 2003 × × × 119 Nlle-Calédoniemars 2003 × 120 Amérique Sud déc. 2002 × × 121 Nlle-Calédonie nov. 2002 × 122 Métropole septembre 2002 × × 123 Amérique du Nord juin 2002 × ×

Exercices de probabilités 3

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

No Lieu et date P. condi- Variable Loi bino- Loi uni- Loi expo- Suite tionelle aléatoire miale forme nentielle

124 Antilles-Guyane juin 2002 × × × 125 Asie juin 2002 × × 126 Métropole juin 2002 × × 127 La Réunion juin 2002 × × 128 Polynésie juin 2002 × 129 Pondichéry juin 2002 × 130 Amérique Sud déc.2001 × 131 Antilles septembre 2001 × 132 Antilles-Guyane juin 2001 × 133 Asie juin 2001 × 134 Centres étrangers juin 2001 × 135 Métropole juin 2001 × 136 Liban juin 2001 × × 137 Polynésie juin 2001 × × 138 Amérique Sud nov. 2000 × 139 Antilles-Guyane septembre 2000 × 140 Métropole septembre 2000 × 141 Polynésie septembre 2000 × 142 Antilles-Guyane juin 2000 × 143 Asie juin 2000 × × 144 Centres étrangers juin 2000 × 145 Métropole juin 2000 × × 146 Liban juin 2000 × 147 Polynésie juin 2000 × 148 Pondichéry juin 2000 × 149 Amérique Sud nov. 1999 × 150 Antilles-Guyane septembre 1999

151 Métropole septembre 1999 × 152 Sportifs ht-niveau sept. 1999 ×

Exercices de probabilités 4

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

1 Polynésie juin 2012

On désigne par x un réel appartenant à l’intervalle [0 ; 80]. Une urne contient 100 petits cubes en bois dont 60 sont bleus et les autres rouges. Parmi les cubes bleus, 40 % ont leurs faces marquées d’un cercle, 20 % ont leurs faces marquées d’un losange et les autres ont leurs faces marquées d’une étoile. Parmi les cubes rouges, 20 % ont leurs faces marquées d’un cercle, x % ont leurs faces marquées d’un losange et les autres ont leurs faces marquées d’une étoile.

Partie A : expérience 1

On tire au hasard un cube de l’urne.

1. Démontrer que la probabilité que soit tiré un cubemarqué d’un losange est égale à 0,12+0,004x. 2. Déterminer x pour que la probabilité de tirer un cube marqué d’un losange soit égale à celle de

tirer un cubemarqué d’une étoile.

3. Déterminer x pour que les évènements « tirer un cube bleu » et « tirer un cube marqué d’un losange » soient indépendants.

4. On suppose dans cette question que x = 50. Calculer la probabilité que soit tiré un cube bleu sachant qu’il est marqué d’un losange.

Partie B : expérience 2

On tire au hasard simultanément 3 cubes de l’urne. Les résultats seront arrondis au millième.

1. Quelle est la probabilité de tirer au moins un cube rouge ?

2. Quelle est la probabilité que les cubes tirés soient de la même couleur ?

3. Quelle est la probabilité de tirer exactement un cubemarqué d’un cercle ?

Exercices de probabilités 5

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

2 Métropole juin 2012

Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40 % des dossiers re- çus sont validés et transmis à l’entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l’issue duquel 70 % d’entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25 % des candidats rencontrés.

1. On choisit au hasard le dossier d’un candidat.

On considère les évènements suivants :

D : « Le candidat est retenu sur dossier », – E1 : « Le candidat est retenu à l’issue du premier entretien », – E2 : « Le candidat est recruté ».

a. Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.

D. . . E1. . .

E2. . .

E2. . .

E1. . .

D. . .

b. Calculer la probabilité de l’évènement E1.

c. On note F l’évènement « Le candidat n’est pas recruté ».

Démontrer que la probabilité de l’évènement F est égale à 0,93.

2. Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d’eux soit recruté est égale à 0,07.

On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats.

a. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.

b. Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à 10−3.

3. Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d’embaucher au moins un candidat soit supérieure à 0,999 ?

Exercices de probabilités 6

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

3 Centres étrangers juin 2012

Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la

réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

Toute trace de recherche sera valorisée.

1. On considère l’arbre de probabilités suivant :

b

b

A

0,2

b B0,68

b B

b

A b B

b B0,4

Affirmation : la probabilité de l’évènement A sachant que l’évènement B est réalisé est égale à 0,32.

2. On considère une urne contenant n boules rouges et trois boules noires, où n désigne un entier naturel non nul. Les boules sont indiscernables au toucher. On tire simultanément deux boules dans l’urne.

Affirmation : il existe une valeur de n pour laquelle la probabilité d’obtenir deux boules de cou-

leurs différentes est égale à 9

22 .

3. Dans le plan complexemuni d’un repère orthonormal (

O ; −→u ; −→v )

, on considère la transformation t d’écriture complexe

z ′ =−iz+5+ i.

Affirmation : la transformation t est la rotation de centre A d’affixe 3−2i et d’angle − π

2 .

4. Dans l’ensemble des nombres complexes, on considère l’équation (E) d’inconnue z :

z2− zz−1= 0.

Affirmation : l’équation (E) admet au moins une solution.

5. Dans le plan complexemuni d’un repère orthonormal (

O ; −→u ; −→v )

, on considère les points A, B et C d’affixes respectives a =−1, b = i et c =

p 3+ i(1−

p 3).

Affirmation : le triangle ABC possède un angle dont unemesure est égale à 60˚.

Exercices de probabilités 7

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

4 Asie juin 2012

Soit k un entier naturel supérieur ou égal à 2. Une urne contient k boules noires et 3 boules blanches. Ces k+3 boules sont indiscernables au toucher. Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux boules dans cette urne. On établit la règle de jeu suivante :

– un joueur perd 9 euros si les deux boules tirées sont de couleur blanche ; – un joueur perd 1 euro si les deux boules tirées sont de couleur noire ; – un joueur gagne 5 euros si les deux boules tirées sont de couleurs différentes ; on dit dans ce cas là

qu’il gagne la partie.

Partie A

Dans la partie A, on pose k = 7. Ainsi l’urne contient 3 boules blanches et 7 boules noires indiscernables au toucher.

1. Un joueur joue une partie. On note p la probabilité que le joueur gagne la partie, c’est-à-dire la probabilité qu’il ail tiré deux boules de couleurs différentes.

Démontrer que p = 0,42. 2. Soit n un entier tel que n > 2. Un joueur joue n parties identiques et indépendantes.

On note X la variable aléatoire qui comptabilise nombre de parties gagnées par le joueur, et pn la probabilité que le joueur gagne aumoins une fois au cours des n parties.

a. Expliquer pourquoi la variable X suit une loi binomiale de paramètres n et p.

b. Exprimer pn en fonction de n, puis calculer p10 en arrondissant au millième.

c. Déterminer le nombre minimal de parties que le joueur doit jouer afin que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure à 99 %.

Partie B

Dans la partie B, le nombre k est un entier naturel supérieur ou égal à 2. Un joueur joue une partie. On note Yk la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.

1. a. Justifier l’égalité : p (Yk = 5)= 6k

(k+3)2 .

b. Écrire la loi de probabilité de la variable aléatoire Yk

2. On note E(Yk) l’espérance mathématique de la variable aléatoire Yk On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l’espérance E(Yk) est strictement positive.

Déterminer les valeurs de k pour lesquelles ce jeu est favorable au joueur.

Exercices de probabilités 8

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

5 Antilles-Guyane juin 2012

Les cinq questions sont indépendantes.

1. Dans un lycée donné, on sait que 55% des élèves sont des filles. On sait également que 35% des filles et 30% des garçons déjeunent à la cantine.

On choisit, au hasard, un élève du lycée.

Quelle est la probabilité que cet élève ne déjeune pas à la cantine ?

2. Une urne contient 10 jetons numérotés de 1 à 10, indiscernables au toucher. On tire 3 jetons si- multanément.

Combien de tirages différents peut-on faire contenant au moins un jeton à numéro pair ? 3.

3. Une variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres 20 et 1

5 .

Calculer la probabilitéque Y soit supérieure ou égale à 2. Donner une valeur approchée du résultat à 10−3.

4. Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts.

On appelle A l’évènement « l’appareil présente un défaut d’apparence » et F l’évènement « l’appa- reil présente un défaut de fonctionnement ».

On suppose que les évènements A et F sont indépendants.

On sait que la probabilité que l’appareil présente un défaut d’apparence est égale à 0,02 et que la probabilité que l’appareil présente au moins l’un des deux défauts est égale à 0,069.

On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l’appareil présente le défaut F ?

5. On considère l’algorithme :

A et C sont des entiers naturels, C prend la valeur 0 Répéter 9 fois

A prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 7. Si A > 5 alors C prend la valeur de C + 1 Fin Si

Fin répéter Afficher C.

Dans l’expérience aléatoire simulée par l’algorithme précédent, on appelle X la variable aléatoire prenant la valeur C affichée.

Quelle loi suit la variable X ? Préciser ses paramètres.

Exercices de probabilités 9

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

6 Liban juin 2012

On dispose de deux urnesU1 etU2. L’uneU1 contient 4 jetons numérotés de 1 à 4. L’urneU2 contient 4 boules blanches et 6 boules noires. Un jeu consiste à tirer un jeton de l’urneU1, à noter son numéro, puis à tirer simultanément de l’urne U2 le nombre de boules indiqué par le jeton. On considère les évènements suivants :

J1 « le jeton tiré de l’urneU1 porte le numéro 1 »

J2 « le jeton tiré de l’urneU1 porte le numéro 2 »

J3 « le jeton tiré de l’urneU1 porte le numéro 3 »

J4 « le jeton tiré de l’urneU1 porte le numéro 4 »

B « toutes les boules tirées de l’urneU2 sont blanches »

On donnera tous les résultats sous la forme d’une fraction irréductible sauf dans la question 4.b) où une valeur arrondie à 10−2 suffit.

1. Calculer P J1 (B), probabilité de l’évènement B sachant que l’évènement J1 est réalisé.

Calculer de même la probabilité P J2 (B).

On admet dans la suite les résultats suivants :

P J3(B)= 1

30 et P J4(B)=

1

210

2. Montrer que P (B), probabilité de l’évènement B , vaut 1

7 . On pourra s’aider d’un arbre de probabi-

lités.

3. On dit à un joueur que toutes les boules qu’il a tirées sont blanches. Quelle est la probabilité que le jeton tiré porte le numéro 3 ?

4. On joue 10 fois de suite à ce jeu. Chacune des parties est indépendante des précédentes. On note N la variable aléatoire prenant comme valeur le nombre de partie où toutes les boules tirées sont blanches.

a. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoireN ?

b. Calculer la probabilité de l’évènement (N = 3).

Exercices de probabilités 10

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

7 Amérique du Nordmai 2012

Dans une association sportive, un quart des femmes et un tiers des hommes adhère à la section tennis. On sait également que 30 % des membres de cette association adhèrent à la section tennis. On choisit au hasard unmembre de cette association et on note : – F l’événement « le membre choisi est une femme », – T l’événement « le membre choisi adhère à la section tennis ».

1. Montrer que la probabilité de l’événement F est égale à 25 .

2. On choisit un membre parmi les adhérents à la section tennis.

Quelle est la probabilité que ce membre soit une femme ?

Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent une loterie.

1. Chaque semaine, unmembre de l’association est choisi au hasard demanière indépendante pour tenir la loterie.

a. Déterminer la probabilité pour qu’en quatre semaines consécutives, il y ait exactement deux fois unmembre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.

b. Pour tout entier natureln non nul, on note pn la probabilité pour qu’en n semaines consécu- tives, il y ait au moins unmembre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.

Montrer que pour tout entier n non nul, pn = 1− ( 7 10

)n .

c. Déterminer le nombre minimal de semaines pour que pn > 0,99.

2. Pour cette loterie, on utilise une urne contenant 100 jetons ; 10 jetons exactement sont gagnants et rapportent 20 euros chacun, les autres ne rapportent rien.

Pour jouer à cette loterie, un joueur doit payer 5( puis tire au hasard et de façon simultanée deux jetons de l’urne : il reçoit alors 20 euros par jeton gagnant. Les deux jetons sont ensuite remis dans l’urne.

On note X la variable aléatoire associant le gain algébrique (déduction faite des 5() réalisé par un joueur lors d’une partie de cette loterie.

a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X .

b. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X et interpréter le résultat ob- tenu.

Exercices de probabilités 11

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

8 Pondichéry avril 2012

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n’est constaté. À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage. Ces désignations de 5 coureurs à l’issue de chacune des étapes sont indépendantes. Un même coureur peut donc être contrôlé à l’issue de plusieurs étapes.

1. À l’issue de chaque étape, combien peut-on former de groupes différents de 5 coureurs ?

2. On considère l’algorithme ci-dessous dans lequel :

– « rand(1, 50) » permet d’obtenir un nombre entier aléatoire appartenant à l’intervalle [1 ; 50] – l’écriture « x := y » désigne l’affectation d’une valeur y à une variable x.

Variables a,b,c,d ,e sont des variables du type entier Initialisation a := 0 ; b := 0 ; c := 0 ; d := 0 ; e := 0 Traitement Tant que (a = b) ou (a = c) ou (a = d) ou (a = e) ou (b = c) ou (b = d) ou (b = e)

ou (c = d) ou (c = e) ou (d = e) Début du tant que

a := rand(1, 50) ; b := rand(1, 50) ; c := rand(1, 50) ; d := rand(1, 50) ; e := rand(1, 50)

Fin du tant que Sortie Afficher a,b,c,d ,e

a. Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme :

L1 = {2 ; 11 ; 44 ; 2 ; 15};L2 = {8,17,41,34,6}; L3 = {12,17,23,17,50};L4= {45,19,43,21,18} ?

b. Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste ?

3. À l’issue d’une étape, on choisit au hasard un coureur parmi les 50 participants. Établir que la probabilité pour qu’il subisse le contrôle prévu pour cette étape est égale à 0,1.

4. On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par un coureur sur l’ensemble des 10 étapes de la course.

a. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ? Préciser ses paramètres.

b. On choisit au hasard un coureur à l’arrivée de la course. Calculer, sous forme décimale ar- rondie au dix-millième, les probabilités des évènements suivants :

– il a été contrôlé 5 fois exactement ; – il n’a pas été contrôlé ; – il a été contrôlé au moins une fois.

Partie B

Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera

prise en compte dans l’évaluation.

On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

Pour un coureur choisi au hasard dans l’ensemble des 50 coureurs, on appelle T l’évènement : « le contrôle est positif », et d’après des statistiques, on admet que P (T )= 0,05. On appelleD l’évènement : « le coureur est dopé ». Le contrôle anti-dopage n’étant pas fiable à 100%, on sait que :

Exercices de probabilités 12

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

– si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97% des cas ; – si un coureur n’est pas dopé, le contrôle est positif dans 1% des cas.

1. Calculer P (D).

2. Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilité qu’il ne soit pas dopé ?

Exercices de probabilités 13

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

9 Nouvelle-Calédoniemars 2012

On dispose de deux urnes et d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. L’urneU1 contient trois boules rouges et une boule noire. L’urneU2 contient trois boules rouges et deux boules noires. Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1, il tire au hasard une boule dans l’urneU1, sinon il tire au hasard une boule dans l’urneU2. On considère les évènements suivants : A : « obtenir 1 en lançant le dé » B : « obtenir une boule noire ».

1. a. Construire un arbre pondéré traduisant cette expérience aléatoire.

b. Montrer que la probabilité d’obtenir une boule noire est 3

8 .

c. Sachant que l’on a tiré une boule noire, calculer la probabilité d’avoir obtenu 1 en lançant le dé.

2. On convient qu’une partie est gagnée lorsque la boule obtenue est noire. Une personne joue dix parties indépendantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l’urne d’où elle provient. On note X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.

a. Calculer la probabilité de gagner exactement trois parties. On donnera le résultat arrondi au millième.

b. Calculer la probabilité de gagner aumoins une partie. On donnera le résultat arrondi aumil- lième.

c. On donne le tableau suivant :

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P (X < k) 0,0091 0,0637 0,2110 0,4467 0,6943 0,8725 0,9616 0,9922 0,9990 0,9999

Soit N un entier compris entre 1 et 10. On considère l’évènement : « la personne gagne au moins N parties ».

À partir de quelle valeur de N la probabilité de cet évènement est-elle inférieure à 1

10 ?

Exercices de probabilités 14

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

10 Amérique du Sud novembre 2011

Une urne contient trois dés équilibrés. Deux d’entre eux sont verts et possèdent six faces numérotées de 1 à 6. Le troisième est rouge et possède deux faces numérotées 1 et quatre faces numérotées 6. On prend un dé au hasard dans l’urne et on le lance. On note :

V l’évènement : « le dé tiré est vert » – R l’évènement : « le dé tiré est rouge » – S1 l’évènement : « on obtient 6 au lancer du dé ».

1. On tire au hasard un dé et on effectue un lancer de celui-ci.

a. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous.

V. . .

S1. . .

S1. . .

R . . .

S1. . .

S1. . .

b. Calculer la probabilité P (S1).

2. On tire au hasard un dé de l’urne. On lance ensuite ce dé n fois de suite. On note Sn l’évènement : « on obtient 6 à chacun des n lancers ».

a. Démontrer que :

P (Sn)= 2

3 × (

1

6

)n

+ 1

3 × (

2

3

)n

.

b. Pour tout entier naturel n non nul, on note pn la probabilité d’avoir tiré le dé rouge, sachant qu’on a obtenu le numéro 6 à chacun des n lancers.

Démontrer que :

pn = 1

2× (1 4

)n+1 .

c. Déterminer le plus petit entier n0 tel que pn > 0,999 pour tout n>n0.

Exercices de probabilités 15

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

11 Nouvelle-Calédonie novembre 2011

Une grande entreprise dispose d’un vaste réseau informatique. On observe le temps de fonctionnement normal séparant deux pannes informatiques. Ce temps sera appelé « temps de fonctionnement ». Soit X la variable aléatoire égale au temps de fonctionnement, exprimé en heures.

On admet que X suit une loi exponentiellede paramètreλ. Le paramètreλ est un réel strictementpositif.

On rappelle que, pour tout réel t > 0, P (X 6 t )= ∫t

0 λe−λx dx.

1. On sait que la probabilité que le temps de fonctionnement soit inférieur à 7 heures est égale à 0,6.

Montrer qu’une valeur approchée de λ à 10−3 près est 0,131.

Dans les questions suivantes, on prendra 0,131 pour valeur approchée de λ et les résultats se- ront donnés à 102 près .

2. Montrer qu’une valeur approchée de la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 5 heures est égale à 0,52.

3. Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 9 heures sachant qu’il n’y a pas eu de panne au cours des quatre premières heures.

4. Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit compris entre 6 et 10 heures.

5. On relève aléatoirement huit temps de fonctionnement, qu’on suppose indépendants. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de relevés correspondant à des temps de fonctionnement su- périeurs ou égaux à 5 heures.

a. Quelle est la loi suivie par Y ?

b. Calculer la probabilité que trois temps parmi ces huit soient supérieurs ou égaux à 5 heures

c. Calculer l’espérance mathématique de Y (on arrondira à l’entier le plus proche).

Exercices de probabilités 16

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

12 Polynésie septembre 2011

Les 300 personnes travaillant dans un immeuble de bureaux de trois niveaux ont répondu aux deux questions suivantes :

• « À quel niveau est votre bureau ? » • « Empruntez-vous l’ascenseur ou l’escalier pour vous y rendre ? »

Voici les réponses : • 225 personnes utilisent l’ascenseur et, parmi celles-ci, 50 vont au 1er niveau, 75 vont au 2e niveau

et 100 vont au 3e niveau. • Les autres personnes utilisent l’escalier et, parmi celles-ci, un tiers va au 2e niveau, les autres vont

au 1er niveau. On choisit au hasard une personne de cette population. On pourra considérer les évènements suivants :

– N1 : « La personne va au premier niveau. » – N2 : « La personne va au deuxième niveau. » – N3 : « La personne va au troisième niveau. » – E : « La personne emprunte l’escalier. »

1. Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.

2. a. Montrer que la probabilité que la personne aille au 2e niveau par l’escalier est égale à 1

12 .

b. Montrer que les évènements N1, N2 et N3 sont équiprobables.

c. Déterminer la probabilité que la personne emprunte l’escalier sachant qu’elle va au 2e ni- veau.

3. On interroge désormais 20 personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres.

On appelle X la variable aléatoire qui, aux 20 personnes interrogées, associe le nombre de per- sonnes allant au 2e niveau.

a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X .

b. Déterminer, à 10−4 près, la probabilité que 5 personnes exactement aillent au 2e niveau.

c. Enmoyenne sur les 20 personnes, combien vont au 2e niveau ?

4. Soit n un entier inférieur ou égal à 300. On interroge désormais n personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres.

Déterminer le plus petit entier n strictement positif tel que la probabilité de l’évènement « au moins un personne va au 2e niveau »soit supérieure ou égale à 0,99.

Exercices de probabilités 17

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

13 Métropole septembre 2011

Unmagasin vend desmoteurs électriques tous identiques. Une étude statistique du service après-vente a permis d’établir que la probabilité qu’un moteur tombe en panne pendant la première année d’utili- sation est égale à 0,12. Tous les résultats seront arrondis à 10−3

Partie A

Une entreprise achète 20moteurs électriques dans ce magasin. On admet que le nombre de moteurs vendus dans ce magasin est suffisamment important pour que l’achat de 20 moteurs soit assimilé à 20 tirages indépendants avec remise.

1. Quelle est la probabilité que deux moteurs exactement tombent en panne durant la première an- née d’utilisation ?

2. Quelle est la probabilité qu’au moins un des moteurs tombe en panne au cours de la première année d’utilisation ?

Partie B

On admet que la durée de vie sans panne, exprimée en années, de chaque moteur est une variable aléatoire Y qui suit une loi exponentielle de paramètre λ λ, est un réel strictement positif.

On rappelle que pour tout réel positif t , p(Y 6 t )= ∫t

0 λe−λx dx.

Dans les questions 1, 2, 3, les résultats seront arrondis à 10−3.

1. Exprimer p(Y 6 1) en fonction de λ. En déduire la valeur de λ.

Pour la suite de l’exercice, on prendra λ= 0,128 . 2. Quelle est la probabilité qu’unmoteur dure plus de 3 ans ?

3. Quelle est la probabilité qu’unmoteur dure plus de 4 ans sachant qu’il a duré plus d’un an ?

4. Onadmet que la durée de viemoyennedm de cesmoteurs est égale à lim t→+∞

F (t ) où F est la fonction

définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par F (t )= ∫t

0 λxe−λx dx.

a. Calculer F (t ) en fonction de t .

b. En déduire la valeur de dm . On arrondira à 10−1.

Exercices de probabilités 18

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

14 Antilles-Guyane septembre 2011

Les parties A et B sont indépendantes

Un site internet propose des jeux en ligne. Partie A :

Pour un premier jeu :

• si l’internaute gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est égale à 2

5 .

• si l’internaute perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est égale à 4

5 .

Pour tout entier naturel non nul n, on désigne parGn l’évènement « l’internaute gagne la n-ième partie » et on note pn la probabilité de l’évènementGn . L’internaute gagne toujours la première partie et donc p1 = 1.

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :

Gnpn

Gn+1. . .

Gn+1. . .

Gn1−pn

Gn+1. . .

Gn+1. . .

2. Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, pn+1 = 1

5 pn +

1

5 .

3. Pour tout n entier naturel non nul, on pose un = pn − 1

4 .

a. Montrer que (un)n∈N est une suite géométrique de raison 1

5 et de premier termeu1 à préciser.

b. Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, pn = 3

4 × (

1

5

)n−1 + 1

4 .

c. Déterminer la limite de pn .

Partie B :

Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10 parties. On suppose que toutes les parties sont indépendantes.

La probabilité de gagner chaque partie est égale à 1

4 .

Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur.

1. a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier.

b. Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le résultat sera arrondi à 10−2 près.

c. Déterminer l’espérance de X.

2. Le joueur doit payer 30( pour jouer les 10 parties. Chaque partie gagnée lui rapporte 8 (.

a. Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur.

b. Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40 ( ? Le résultat sera arrondi à 10−5 près.

Exercices de probabilités 19

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

15 Polynésie juin 2011

Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. On admet que :

• la probabilité qu’il gagne la première partie est de 0,1 ; • s’il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,8 ; • s’il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,6.

On note, pour tout entier naturel n non nul : • Gn l’évènement « le joueur gagne la n-ième partie » ; • pn la probabilité de l’évènement Gn ·

On a donc p1 = 0,1.

1. Montrer que p2 = 0,62. On pourra s’aider d’un arbre pondéré. 2. Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu’il ait perdu la première.

3. Calculer la probabilité que le joueur gagne aumoins une partie sur les trois premières parties.

4. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, pn+1 = 1

5 pn+

3

5 .

5. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul,

pn = 3

4 − 13

4

(

1

5

)n

.

6. Déterminer la limite de la suite (

pn )

quand n tend vers +∞.

7. Pour quelles valeurs de l’entier naturel n a-t-on : 3

4 −pn < 10−7 ?

Exercices de probabilités 20

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

16 Métropole juin 2011

Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10−4. Dans un pays, il y a 2% de la population contaminée par un virus.

PARTIE A

On dispose d’un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes : – La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du test). – La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécificité du

test). On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population. On noteV l’évènement « la personne est contaminée par le virus » et T l’évènement « le test est positif ». V et T désignent respectivement les évènements contraires de V et T .

1. a. Préciser les valeurs des probabilités P (V ), PV (T ), PV (T ).

Traduire la situation à l’aide d’un arbre de probabilités.

b. En déduire la probabilité de l’évènement V T . 2. Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,049 2.

3. a. Justifier par un calcul la phrase :

« Si le test est positif, il n’y a qu’environ 40%de « chances » que la personne soit contaminée ».

b. Déterminer la probabilité qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.

PARTIE B

On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes.

1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

2. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.

Exercices de probabilités 21

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

17 La Réunion juin 2011

En vue de sa prochaine brochure d’information sur les dangers d’internet un lycée a fait remplir un questionnaire à chacun des 2 000 élèves, répartis dans les sections de seconde, première et terminale. On obtient la répartition suivante :

• un quart des élèves est en terminale ; • 35% des élèves sont en première ; • tous les autres sont en seconde ; • parmi les élèves de terminale, 70% utilisent régulièrement internet ; • 630 élèves sont des élèves de première qui utilisent régulièrement internet. • 1 740 élèves utilisent régulièrement internet.

Cette enquête permet demodéliser le choix d’un élève du lycée. On choisit au hasard un questionnaire d’élève en supposant que ce choix se fait en situation d’équipro- babilité. On note :

S l’évènement « le questionnaire est celui d’un élève en classe de seconde » • E l’évènement « le questionnaire est celui d’un élève en classe de première » • T l’évènement « le questionnaire est celui d’un élève en classe de terminale » • I l’évènement « le questionnaire est celui d’un élève qui utilise régulièrement internet »

1. Compléter le tableau d’effectifs donné en annexe.

2. Déterminer la probabilité d’obtenir le questionnaire d’un élève de seconde qui utilise régulière- ment internet.

3. Calculer la probabilité de I sachant T , notée PT (I ), et interpréter ce résultat à l’aide d’une phrase.

4. Calculer la probabilité que le questionnaire choisi soit celui d’un élève qui n’utilise pas internet.

5. Le questionnaire est celui d’un élève qui utilise régulièrement internet.

Montrer que la probabilité que ce soit le questionnaire d’un élève de première est égale à 21

58 .

6. On choisit au hasard, successivement et avec remise, trois questionnaires.

Quelle est la probabilité que, parmi les trois questionnaires, un exactement soit celui d’un élève utilisateur régulier d’internet ?

On en donnera la valeur arrondie au millième.

Exercices de probabilités 22

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

18 Centres étrangers juin 2011

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la

réponse. Une réponse qui n’est pas justifiée ne sera pas prise en compte.

Toute justification incomplète sera valorisée.

Question 4 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètreλ, oùλ est un nombre strictement positif. On rappelle que, pour tout réel t strictement positif, la probabilité de l’évènement (X 6 t ) s’exprime par P (X 6 t )= 1−e−λt . Affirmation

Sachant que X > 2, la probabilité que X appartienne à l’intervalle [2 ; 3] est égale à 1−e−λ.

Question 5 Une urne contient au total n boules dont cinq sont blanches et les autres noires. On effectue 10 tirages successifs indépendants en remettant la boule dans l’urne après chaque tirage. Affirmation

La plus petite valeur de l’entier n, pour laquelle la probabilité d’obtenir au moins une boule noire sur les 10 tirages est supérieure ou égale à 0,9999, est égale à 13.

Exercices de probabilités 23

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

19 Asie juin 2011

On admet que la durée de vie (exprimée en années) d’un certain type de capteur de lumière peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ (λ strictement po- sitif), c’est-à-dire que la probabilité que ce capteur tombe en panne avant l’année t (t positif) s’exprime par :

F (t )= p(X 6 t )= p([0 ; t ])= ∫t

0 λe−λx dx.

1. Restitution organisée de connaissances

Pré-requis :

a. pB (A)= p(AB) p(B)

(où A et B sont deux évènements tels que p(B) 6= 0) ;

b. p (

A )

= 1−p(A) (où A est un évènement) ;

c. p([a ; b])= F (b)−F (a) (où a et b sont des nombres réels positifs tels que a6 b).

Démontrer que, pour tout nombre réel positif s, on a :

p[t ; +∞]([t ; t + s])= F (t + s)−F (t )

1−F (t ) ,

et que p[t ; +∞]([t ; t + s]) est indépendant du nombre réel t .

Pour la suite de l’exercice, on prendra λ= 0,2. 2. Démontrer que la probabilité que le capteur ne tombe pas en panne au cours des deux premières

années est égale à e−0,4.

3. Sachant que le capteur n’est pas tombé en panne au cours des deux premières années, quelle est, arrondie au centième, la probabilité qu’il soit encore en état de marche au bout de six ans ?

4. On considère un lot de 10 capteurs, fonctionnant de manière indépendante.

Dans cette question, les probabilités seront arrondies à la sixième décimale.

a. Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait exactement deux capteurs qui ne tombent pas en panne au cours des deux premières années.

b. Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait au moins un capteur qui ne tombe pas en panne au cours des deux premières années.

Exercices de probabilités 24

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

20 Antilles–Guyane juin 2011

Cet exercice est questionnaire à choix multiples constitué de quatre questions indépendantes. Pour cha-

cune d’elles, une seule des quatre propositions est exacte.

Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse

choisie. Aucune justification n’est demandée.

Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.

1. Dans un stand de tir, la probabilité pour un tireur d’atteindre la cible est de 0,3. On effectue n tirs supposés indépendants. On désigne par pn la probabilité d’atteindre la cible au moins une fois sur ces n tirs.

La valeur minimale de n pour que pn soit supérieure ou égale à 0,9 est :

a) 6 b) 7 c) 10 d) 12

2. On observe la durée de fonctionnement, exprimée en heures, d’un moteur Diesel jusqu’à ce que survienne la première panne. Cette durée de fonctionnement est modélisée par une variable aléa- toire X définie sur [0 ; +∞[ et suivant la loi exponentielle de paramètre λ= 0,0002. Ainsi, la pro-

babilité que le moteur tombe en panne avant l’instant t est p(X 6 t )= ∫t

0 λλxdx.

La probabilité que le moteur fonctionne sans panne pendant plus de 10 000 heures est, au mil- lième près :

a) 0,271 b) 0,135 c) 0,865 d) 0,729

3. Un joueur dispose d’un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. À chaque lancer, il gagne s’il obtient 2, 3, 4, 5 ou 6 ; il perd s’il obtient 1.

Une partie est constituée de 5 lancers du dé successifs et indépendants.

La probabilité pour que le joueur perde 3 fois au cours d’une partie est :

a) 125

3888 b)

625

648 c)

25

7776 d)

3

5 4. Soient A et B deux évènements indépendants d’unemême universΩ tels que p(A)= 0,3 et

p(AB)= 0,65. La probabilité de l’évènement B est :

a) 0,5 b) 0,35 c) 0,46 d) 0,7

Exercices de probabilités 25

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

21 Libanmai 2011

Pour chaque question, une seule des réponses est exacte.

Le candidat portera sur sa copie, sans justification, le numéro de la question et la lettre correspondant à

la réponse choisie.

Il sera attribué 0,5 point si la réponse est exacte, 0 sinon.

1. Unmagasin dematériel informatique venddeuxmodèles d’ordinateur aumêmeprix et demarques M1 etM2. Les deux ordinateurs ont lesmêmes caractéristiques et sont proposés en deux couleurs : noir et blanc.

D’après une étude sur les ventes de ces deux modèles, 70% des acheteurs ont choisi l’ordinateur M1 et, parmi eux, 60% ont préféré la couleur noire. Par ailleurs, 20% des clients ayant acheté un ordinateurM2 l’ont choisi de couleur blanche.

On utilise la liste des clients ayant acheté l’un ou l’autre des ordinateurs précédemment cités et on choisit un client au hasard.

a. La probabilité qu’un client choisi au hasard ait acheté un ordinateurM2 de couleur noire est :

Réponse A : 3

5 Réponse B :

4

5 Réponse C :

3

50 Réponse D :

6

25

b. La probabilité qu’un client choisi au hasard ait acheté un ordinateur de couleur noire est :

Réponse A : 21

50 Réponse B :

33

50 Réponse C :

3

5 Réponse D :

12

25

c. Le client a choisi un ordinateur de couleur noire. La probabilité qu’il soit de marqueM2 est :

Réponse A : 4

11 Réponse B :

6

25 Réponse C :

7

11 Réponse D :

33

50

2. Une urne contient 4 boules jaunes, 2 boules rouges et 3 boules bleues.

Les boules sont indiscernables au toucher.

L’expérience consiste à tirer au hasard et simultanément 3 boules de l’urne.

a. La probabilité d’obtenir trois boules de même couleur est :

Réponse A : 11

81 Réponse B :

2

7 Réponse C :

5

84 Réponse D :

4

63

b. La probabilité d’obtenir trois boules de trois couleurs différentes est :

Réponse A : 2

7 Réponse B :

1

7 Réponse C :

1

21 Réponse D :

79

84

c. On répète plusieurs fois l’expérience, de manière indépendante, en remettant à chaque fois les trois boules dans l’urne.

Le nombreminimal d’expériences à réaliser pour que la probabilité de l’évènement « obtenir au moins une fois trois boules jaunes » soit supérieure ou égale à 0,99 est :

Réponse A : 76 Réponse B : 71 Réponse C : 95 Réponse D : 94

Exercices de probabilités 26

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

22 Amérique du Nord 27mai 2011

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Une salle informatique d’un établissement scolaire est équipée de 25 ordinateurs dont 3 sont défec- tueux. Tous les ordinateurs ont la même probabilité d’être choisis. On choisit au hasard deux ordinateurs de cette salle. Quelle est la probabilité que ces deux ordinateurs soient défectueux ?

Partie B

La durée de vie d’un ordinateur (c’est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne), est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ avec λ> 0. Ainsi, pour tout réel t positif, la probabilité qu’un ordinateur ait une durée de vie inférieure à t années,

notée p(X 6 t ), est donnée par : p(X 6 t )= ∫t

0 λe−λx dx.

1. Déterminer λ sachant que p(X > 5)= 0,4. 2. Dans cette question, on prendra λ= 0,18.

Sachant qu’un ordinateur n’a pas eu de panne au cours des 3 premières années, quelle est, à 10−3

près, la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure à 5 ans ?

3. Dans cette question, on admet que la durée de vie d’un ordinateur est indépendante de celle des autres et que p(X > 5)= 0,4. a. On considère un lot de 10 ordinateurs.

Quelle est la probabilité que, dans ce lot, l’un au moins des ordinateurs ait une durée de vie supérieure à 5 ans ? On donnera une valeur arrondie au millième de cette probabilité.

b. Quel nombre minimal d’ordinateurs doit-on choisir pour que la probabilité de l’évènement « l’un aumoins d’entre eux a une durée de vie supérieure à 5 ans » soit supérieure à 0,999 ?

Exercices de probabilités 27

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

23 Pondichéry avril 2011

Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

0 point

5 points

0 point

3 points

On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.

1. Le joueur lance une fléchette.

On note p0 la probabilité d’obtenir 0 point.

On note p3 la probabilité d’obtenir 3 points.

On note p5 la probabilité d’obtenir 5 points.

On a donc p0+p3+p5 = 1. Sachant que p5 = 1

2 p3 et que p5 =

1

3 p0 déterminer les valeurs de p0, p3

et p

2. Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s’il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette.

On noteG2 l’évènement : « le joueur gagne la partie en 2 lancers ».

On noteG3 l’évènement : « le joueur gagne la partie en 3 lancers ».

On note P l’évènement : « le joueur perd la partie ».

On note p(A) la probabilité d’un évènement A.

a. Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que p (G2)= 5

36 .

On admettra dans la suite que p (G3)= 7

36 b. En déduire p(P ).

3. Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2.

Quelle est la probabilité qu’il gagne aumoins une partie ?

4. Pour une partie, la mise est fixée à 2(.

Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5 (. S’il gagne en trois lancers, il reçoit 3 (. S’il perd, il ne reçoit rien.

On note X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour X sont donc : −2, 1 et 3. a. Donner la loi de probabilité de X .

b. Déterminer l’espérance mathématique de X . Le jeu est-il favorable au joueur ?

Exercices de probabilités 28

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

24 Nouvelle-Calédoniemars 2011

Chaque année, deux villages A et B organisent un concours sportif. Les concurrents tirent au sort un moyen de transport puis doivent relier le village A au village B le plus rapidement possible en utilisant ce moyen de transport et un parcours adapté. Pour le tirage, on utilise une urne contenant 4 jetons indiscernables au toucher. Sur unpremier jeton figure la lettre V , sur le second la lettre R, sur le troisième la lettre P et sur le dernier la lettre L.

Un concurrent tire au hasard un jeton : – s’il tire le jeton sur lequel figure la lettre V, il effectuera le trajet à vélo, – s’il tire le jeton sur lequel figure la lettre R, Il effectuera le trajet en roller, – s’il tire le jeton sur lequel figure la lettre P, il effectuera le trajet à pied, – s’il tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisira librement son mode de transport parmi les

trois précédents. On observe que lorsqu’un concurrent tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisit le vélo dans 70% des cas, il choisit le roller dans 20% des cas el il décide de faire le parcours à pied dans 10% des cas.

1. Construire un arbre pondéré correspondant à la situation.

Pour les questions suivantes, on donnera les résultats arrondis au millième.

2. Calculer la probabilité qu’un concurrent effectue le trajet à vélo.

3. Sachant qu’un concurrent a effectué le trajet à vélo, quelle est la probabilité qu’il ait tiré le jeton sur lequel figure la lettre L ?

4. On admet que les résultats des différentes années sont indépendants les uns des autres.

L’expérience des années précédentes permet de considérer que la probabilité, pour le vainqueur,

d’avoir effectué le trajet à vélo est 2

3 .

Calculer la probabilité qu’au cours des six prochaines années l’épreuve soit remportée au moins une fois par un concurrent « non cycliste ».

Exercices de probabilités 29

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

25 Amérique du Sud novembre 2010

Un internaute souhaite faire un achat par l’intermédiaire d’internet. Quatre sites de vente, un français, un allemand, un canadien et un indien présentent le matériel qu’il souhaite acquérir. L’expérience a montré que la probabilité qu’il utilise chacun de ces sites vérifie les conditions suivantes (les initiales des pays désignent les évènements « l’achat s’effectue dans le pays ») :

P (F )= P (A), P (F )= 1

2 P (C ) et P (C )= P (I ).

1. Calculer les quatre probabilités P (F ), P (A), P (C ) et P (I ).

2. Sur chacun des quatre sites, l’internaute peut acheter un supplément pour son matériel. Ses ex- périences précédentes conduisent à formuler ainsi les probabilités conditionnelles de cet évène- ment, noté S :

PF (S)= 0,2 ; PA(S)= 0,5 ; PC (S)= 0,1 ; PI (S)= 0,4

a. Déterminer P (SA).

b. Montrer que p(S)= 17

60 .

c. L’internaute a finalement acheté un supplément. Déterminer la probabilité qu’il l’ait acheté sur le site canadien.

3. Sur 1 000 internautes ayant acheté ce matériel, on a établi la statistique suivante :

Sites européens

Site canadien Site indien

Effectif d’acheteurs

335 310 355

a. On note respectivement f1, f2 et f3 les fréquences associées aux effectifs précédents. On pose :

d2 = k=3 ∑

k=1

(

fk − 1

3

)2

. Calculer d2 puis 1000d2.

b. On simule 3 000 fois l’expérience consistant à tirer un nombre au hasard parmi {1 ; 2 ; 3} avec équiprobabilité. Pour chacune de ces simulations on obtient une valeur de 1000d2. Voici les résultats :

Minimum Premier décile

Premier quartile

Médiane Troisième quartile

Neuvième décile

Maximum

0,0005 0,0763 0,2111 0,48845 0,9401 1,5104 5,9256

Au risque 10%, peut-on considérer que le choix d’un site européen, nord-américain ou asia- tique se fait de manière équiprobable ?

Exercices de probabilités 30

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

26 Nouvelle-Calédonie novembre 2010

Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher : deux vertes et trois rouges.

Les questions 1. et 2. sont indépendantes

1. On extrait simultanément et au hasard deux boules de l’urne.

On note X la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes figurant dans le tirage.

a. Vérifier que P (X = 0)= 3

10 puis déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X .

b. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X .

c. Calculer la probabilité de l’évènement suivant :

A : « les deux boules tirées sont de même couleur ».

2. On effectue deux tirages successifs d’une boule en respectant la règle suivante :

si la boule tirée est rouge, on la remet dans l’urne ; si elle est verte, on ne la remet pas.

a. En utilisant un arbre pondéré, calculer la probabilité des évènements suivants :

B : « seule la première boule tirée est verte »,

C : « une seule des deux boules tirées est verte ».

b. Sachant que l’on a tiré exactement une boule verte, quelle est la probabilité que cette boule verte soit la première tirée ?

Exercices de probabilités 31

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

27 Polynésie septembre 2010

Un jeu consiste à tirer simultanément 4 boules indiscernables au toucher d’un sac contenant une boule noire et 9 boules blanches, puis à lancer un dé bien équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. Si la boule noire est tirée, il faut obtenir un nombre pair avec le dé pour gagner. Si la boule noire n’est pas tirée, il faut obtenir un six avec le dé pour gagner. On appelle N l’évènement « la boule noire figure parmi les boules tirées » et G l’évènement « le joueur gagne ».

1. a. Déterminer la probabilité de l’évènement N.

b. Démontrer que la probabilité de l’évènement G est égale à 3

10 . On pourra s’aider d’un arbre

pondéré.

c. Le joueur ne gagne pas. Quelle est la probabilité qu’il ait tiré la boule noire ?

2. Pour jouer à ce jeu, une mise de départ de m euros est demandée, où m est un réel strictement positif.

Si le joueur gagne, il reçoit 4 euros.

S’il ne gagne pas mais qu’il a tiré la boule noire, le joueur récupère sa mise.

S’il ne gagne pas et qu’il n’a pas tiré la boule noire, le joueur perd sa mise.

On appelle X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.

a. Déterminer la loi de probabilité de X .

b. Exprimer l’espérance mathématique de X en fonction dem.

c. On dit que le jeu est équitable si l’espérance mathématique de X est nulle.

Déterminerm pour que le jeu soit équitable.

3. Soit n un entier naturel non nul.

On joue n fois à ce jeu sachant qu’après chaque partie les boules sont remises dans le sac.

Déterminer la valeur minimale de n pour laquelle la probabilité de gagner au moins une fois est supérieure à 0,999.

Exercices de probabilités 32

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

28 Antilles septembre 2010

Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à 0,0001 près.

Lors d’une épidémie chez des bovins, on s’est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle. Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d’animaux dont 1 % est porteur de la maladie. On obtient les résultats suivants :

• si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85 % des cas ; • si un animal est sain, le test est négatif dans 95% des cas.

On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d’uti- liser le test pour un dépistage préventif de la maladie. On note :

M l’évènement : « l’animal est porteur de la maladie » ;

T l’évènement : « le test est positif ».

1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée.

2. Un animal est choisi au hasard.

a. Quelle est la probabilité qu’il soit porteur de la maladie et que son test soit positif ?

b. Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est 0,058.

3. Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour qu’il soit porteur de la maladie ?

4. On choisit cinq animaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d’assimiler les tirages à des tirages avec remise. On note X la variable aléatoire qui, aux cinq animaux choisis, associe le nombre d’animaux ayant un test positif.

a. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ?

b. Quelle est la probabilité pour qu’au moins un des cinq animaux ait un test positif ?

5. Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi positivement au test est de 100 euros et le coût de l’abattage d’un animal non dépisté par le test et ayant développé la maladie est de 1 000 euros. On suppose que le test est gratuit.

D’après les données précédentes, la loi de probabilité du coût à engager par animal subissant le test est donnée par le tableau suivant :

Coût 0 100 1 000 Probabilité 0,940 5 0,058 0 0,001 5

a. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire associant à un animal le coût à engager.

b. Un éleveur possède un troupeau de 200 bêtes. Si tout le troupeau est soumis au test, quelle somme doit-il prévoir d’engager ?

Exercices de probabilités 33

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

29 Polynésie juin 2010 Retour au tableau Des robots se trouvent au centre de gravité O d’un triangle de sommets S, I et X. Chacun se déplace en trois étapes successives de la manière suivante :

– à chaque étape, il passe par l’un des trois sommets S, I et X puis il rejoint le point O ; – les robots sont programmés de telle sorte que, lors d’une étape, la probabilité de passer par le

sommet S est égale à celle de passer par le sommet X et la probabilité de passer par le sommet S est le double de celle de passer par le sommet I ;

– les différentes étapes sont indépendantes les unes des autres ; – on ne tient pas compte des passages par O.

Partie A - Un seul robot

Un seul robot se trouve au point O.

1. Démontrer qu’à chaque étape, la probabilité que le robot passe par le sommet I est égale à 1

5 .

2. On note E l’évènement : « au cours des trois étapes, le robot passe successivement par les 3 som- mets S, I et X dans cet ordre ».

Démontrer que la probabilité de E est égale à 4

125 .

3. On note F l’évènement : « au cours des trois étapes, le robot passe exactement par les 3 sommets S, I et X dans un ordre quelconque ».

Déterminer la probabilité de F.

Partie B - Plusieurs robots

Des robots se trouvent au point O, leurs déplacements étant indépendants les uns des autres. Quel nombre minimal n de robots doit-il y avoir pour que la probabilité de l’évènement : « au moins l’un des robots passe successivement par les sommets S, I et X dans cet ordre » soit supérieure ou égale à 0,99 ?

Exercices de probabilités 34

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

30 Métropole 22 juin 2010 Retour au tableau Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie,

sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse

est exacte, aucun point n’est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.

1. Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 7 sont blanches et 3 sont noires. On tire simultanément 3 boules de l’urne. La probabilité de tirer 2 boules blanches et 1 boule noire est égale à :

• 21

40 •

7

10 × 6

9 × 1

3 •

7

10 ×

7

10 × 1

3

2. De lamêmeurne, on tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l’urne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs avec remise. La probabilité d’avoir obtenu 3 boules noires et 2 boules blanches est égale à :

• 33×72

105 • (5 2

)

× (

3

10

)2

× (

7

10

)3

• (5 2

)

× (

3

10

)3

× (

7

10

)2

3. De lamêmeurne, on tire une seule boule. Si elle est blanche, on lance undé cubique (dont les faces sont numérotées de 1 à 6). Si la boule est noire, on lance un dé tétraédrique (dont les faces sont numérotées de 1 à 4). On suppose les dés bien équilibrés. Le joueur gagne s’il obtient le numéro 1.

Sachant que le joueur a gagné, la probabilité qu’il ait tiré une boule blanche est égale à :

• 7

60 •

14

23 •

7

10 × 1

6 1

2 × 1

6 + 1

2 × 1

4

4. Onnote X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètreλ. (λ étant un nombre réel strictement positif). La probabilité de l’évènement [16 X 6 3] est égale à :

• e−λ−e−3λ • e−3λ−e−λ • e−λ

e−3λ

Exercices de probabilités 35

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

31 La Réunion 22 juin 2010 Retour au tableau Dans cet exercice, tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

Partie I :

Ondispose d’un dé cubique A parfaitement équilibré possédant une face verte, deux faces noires et trois faces rouges. Un jeu consiste à lancer deux fois de suite et de manière indépendante ce dé. On note à chaque lancer la couleur de la face obtenue.

1. Calculer la probabilité pour qu’à l’issue d’un jeu, les deux faces obtenues soient noires.

2. Soit l’évènement C : « à l’issue d’un jeu, les deux faces obtenues sont de la même couleur ».

Démontrer que la probabilité de l’évènement C est égale à 7

18 .

3. Calculer la probabilité pour qu’à l’issue d’un jeu, les deux faces obtenues soient de couleurs diffé- rentes.

4. À l’issue d’un jeu, sachant que les deux faces obtenues sont de la même couleur, quelle est la probabilité pour que les deux faces obtenues soient vertes ?

Partie II :

On dispose d’un second dé cubique B équilibré présentant quatre faces vertes et deux faces noires. Le nouveau jeu se déroule de la manière suivante : on lance le dé B ;

• si la face obtenue est verte, on lance à nouveau le dé B et on note la couleur de la face obtenue ; • si la face obtenue est noire, on lance le dé A et on note la couleur de la face obtenue.

1. a. Construire un arbre de probabilités traduisant cette situation.

b. Quelle est la probabilité d’obtenir une face verte au deuxième lancer, sachant que l’on a ob- tenu une face verte au premier lancer ?

2. Montrer que la probabilité d’obtenir deux faces vertes est égale à 4

9 .

3. Quelle est la probabilité d’obtenir une face verte au deuxième lancer ?

Exercices de probabilités 36

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

32 Centres étrangers 14 juin 2010 Retour au tableau Question 3

La durée de vie, exprimée en heures, d’un jeu électronique, est une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre λ= 0,0003.

On rappelle que, pour tout t > 0, p(X 6 t )= ∫t

0 λe−λx dx.

Affirmation : La probabilité pour que la durée de vie de ce jeu soit strictement supérieure à 2 000 heures est inférieure à 0,5.

Question 4

A et B sont deux évènements liés à unemême épreuve aléatoire qui vérifient :

p(A)= 0,4,pA(B)= 0,7 et pA (

B )

= 0,1.

Affirmation :

La probabilité de l’évènement A sachant que l’évènement B est réalisé est égale à 14

41 .

Exercices de probabilités 37

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

33 Asie 21 juin 2010 Retour au tableau Avant le début des travaux de construction d’une autoroute, une équipe d’archéologie préventive pro- cède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain. Lorsque le n-ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif. L’évènement : « le n-ième sondage est positif » est noté Vn , on note pn la probabilité de l’évènement Vn .

L’expérience acquise au cours de ce type d’investigation permet de prévoir que : • si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à 0,6 d’être aussi positif ; • si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à 0,9 d’être aussi négatif.

On suppose que le premier sondage est positif, c’est-à-dire : p1 = 1.

1. Calculer les probabilités des évènements suivants :

a. A : « les 2e et 3e sondages sont positifs » ;

b. B : « les 2e et 3e sondages sont négatifs ».

2. Calculer la probabilité p3 pour que le 3e sondage soit positif.

3. n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Recopier et compléter l’arbre ci-dessous en fonction des données de l’énoncé :

bpn

b Vn+1

b Vn+1

b1−pn

b Vn+1

b Vn+1

4. Pour tout entier naturel n non nul, établir que : pn+1 = 0,5pn+0,1. 5. On note u la suite définie, pour tout entier naturel n non nul par : un = pn−0,2.

a. Démontrer que u est une suite géométrique, en préciser le premier terme et la raison.

b. Exprimer pn en fonction de n.

c. Calculer la limite, quand n tend vers +∞, de la probabilité pn .

Exercices de probabilités 38

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

34 Antilles-Guyane 18 juin 2010 Retour au tableau Pour chacune des questions suivantes, une ou deux des réponses proposées sont correctes.

Un point est attribué à chacune des questions. Toute réponse inexacte est pénalisée de 0,25 point.

Il n’y a pas de pénalité en cas d’absence de réponse. Aucune justification n’est attendue.

Si le total des points obtenus est négatif, le note attribuée à l’exercice est 0.

Recopier le numéro de la question et la ou les réponses correctes (deux aumaximum).

1. On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes.

La probabilité de n’obtenir ni un as, ni un pique, est égale à :

A : 5

8 B :

21

32 C :

11

32 D :

3

8 2. On tire au hasard et simultanément deux cartes d’un jeu de 32 cartes.

La probabilité de n’obtenir ni un as, ni un pique, est égale à :

A : 105

248 B :

(21 2

)

(32 2

) C :

212

322 D :

52

82

3. On suppose que la durée d’attente à un guichet de service, exprimée en heure, suit la loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 1].

La probabilité que la durée d’attente d’une personne prise au hasard soit comprise entre 15 min et 20 min est :

A : 1

3 B :

1

5 C :

1

12 D :

1

4 4. On considère 10 appareils identiques, de même garantie, fonctionnant indépendamment les uns

des autres. La probabilité pour chaque appareil de tomber en panne durant la période de garantie est égale à 0,15.

La probabilité pour qu’exactement 9 appareils soient en parfait état de marche à l’issue de la pé- riode de garantie est égale à :

A : 0,35 à 10−2

près B : 0,859 C : 0,859×0,15 D : 0,859 × 0,15 ×

10

Exercices de probabilités 39

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

35 Amérique du Nord 3 juin 2010 Retour au tableau Une urne contient des boules indiscernables au toucher. 20 % des boules portent le numéro 1 et sont rouges. Les autres portent le numéro 2 et parmi elles, 10 % sont rouges et les autres sont vertes.

1. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu’elle soit rouge ?

2. On a tiré une boule au hasard. Elle est rouge.

Montrer que la probabilité qu’elle porte le numéro 2 est égale à 2

7 .

3. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.

On effectue n tirages successifs d’une boule avec remise (après chaque tirage la boule est remise dans l’urne).

a. Exprimer en fonction de n la probabilité d’obtenir au moins une boule rouge portant le nu- méro 1 au cours des n tirages.

b. Déterminer l’entier n à partir duquel la probabilité d’obtenir au moins une boule rouge por- tant le numéro 1 au cours des n tirages est supérieure ou égale à 0,99.

Exercices de probabilités 40

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

36 Liban 3 juin 2010 Retour au tableau Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de

la réponse choisie.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète,

ou d’initiative, même nonfructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

1. Une urne contient une boule blanche et deux boules noires. On effectue 10 tirages successifs d’une boule avec remise (on tire une boule au hasard, on note sa couleur, on la remet dans l’urne et on recommence).

Proposition 1 : « La probabilité de tirer exactement 3 boules blanches est

3× (

1

3

)3

× (

2

3

)7

. »

2. Une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ(λ> 0).

On rappelle que pour tout réel a > 0 : p(X 6 a)= ∫a

0 λe−λt dt .

Proposition 2 : « Le réel a tel que p(X > a)= p(X 6 a) est égal à ln2

λ . »

3. Soit le nombre complexe z = 1− i p 3.

Exercices de probabilités 41

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

37 Pondichéry avril 2010 Retour au tableau Une urne contient 10 boules blanches et n boules rouges,n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2. On fait tirer à un joueur des boules de l’urne. À chaque tirage, toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées. Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2 euros et pour chaque boule rouge tirée, il perd 3 euros. On désigne par X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu par le joueur.

Les trois questions de l’exercice sont indépendantes.

1. Le joueur tire deux fois successivement et sans remise une boule de l’urne.

a. Démontrer que : P (X =−1)= 20n

(n+10)(n+9) .

b. Calculer, en fonction de n la probabilité correspondant aux deux autres valeurs prises par la variable X .

c. Vérifier que l’espérance mathématique de la variable aléatoire X vaut :

E(X )= −6n2−14n+360 (n+10)(n+9)

.

d. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles l’espérance mathématique est strictement posi- tive.

2. Le joueur tire 20 fois successivement et avec remise une boule de l’urne. Les tirages sont indépen- dants. Déterminer la valeur minimale de l’entier n afin que la probabilité d’obtenir au moins une boule rouge au cours de ces 20 tirages soit strictement supérieure à 0,999.

3. On suppose que n = 1000. L’urne contient donc 10 boules blanches et 1 000 boules rouges. Le joueur ne sait pas que le jeu lui est complètement défavorable et décide d’ effectuer plusieurs tirages sans remise jusqu’à obtenir une boule blanche.

Le nombre de boules blanches étant faible devant celui des boules rouges, on admet que l’on peut modéliser le nombre de tirages nécessaires pour obtenir une boule blanche par une variable aléatoire Z suivant la loi :

pour tout k ∈N, p(Z 6 k)= ∫k

0 0,01e−0,01x dx.

On répondra donc aux questions suivantes à l’aide de ce modèle.

a. Calculer la probabilité que le joueur ait besoin de tirer au plus 50 boules pour avoir une boule blanche, soit P (Z 6 50).

b. Calculer la probabilité conditionnelle de l’évènement : « le joueur a tiré aumaximum60boules pour tirer une boule blanche » sachant l’évènement « le joueur a tiré plus de 50 boules pour tirer une boule blanche ».

Exercices de probabilités 42

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

38 Nouvelle-Calédonie novembre 2009 Retour au tableau Dans un zoo, l’unique activité d’un manchot est l’utilisation d’un bassin aquatique équipé d’un tobog- gan et d’un plongeoir. On a observé que si unmanchot choisit le toboggan, la probabilité qu’il le reprenne est 0,3. Si unmanchot choisit le plongeoir, la probabilité qu’il le reprenne est 0,8. Lors du premier passage les deux équipements ont la même probabilité d’être choisis. Pour tout entier naturel n non nul, on considère l’évènement :

Tn : « le manchot utilise le toboggan lors de son n-ième passage. » – Pn : « le manchot utilise le plongeoir lors de son n-ième passage. »

On considère alors la suite (un) définie pour tout entier naturel n> 1 par :

un = p (Tn)

p (Tn) est la probabilité de l’évènement Tn .

1. a. Donner les valeurs des probabilités p (T1) , p (P1) et des probabilités conditionnelles pT1 (T2) , pP1 (T2).

b. Montrer que p (T2)= 1

4 .

c. Recopier et compléter l’arbre suivant :

b

Tnun

Tn+1. . .

Pn+1. . .

Pn . . .

Tn+1. . .

Pn+1. . .

d. Démontrer que pour tout entier n> 1, un+1 = 0,1un+0,2. e. À l’aide de la calculatrice, émettre une conjecture concernant la limite de la suite (un).

2. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n> 1 par :

vn = un− 2

9 .

a. Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison 1

10 . Préciser son premier terme.

b. Exprimer vn en fonction de n. En déduire l’expression de un en fonction de n.

c. Calculer la limite de la suite (un). Ce résultat permet-il de valider la conjecture émise en 1. e. ?

Exercices de probabilités 43

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

39 Amérique du Sud novembre 2009 Retour au tableau On considère un questionnaire comportant cinq questions.

Pour chacune des cinq questions posées, trois propositions de réponses sont faites (A, B etC ), une seule d’entre elles étant exacte.

Un candidat répond à toutes les questions posées en écrivant unmot réponse de cinq lettres.

Par exemple, lemot «BBAAC » signifie que le candidat a réponduB aux première et deuxièmequestions, A aux troisième et quatrième questions etC à la cinquième question.

1. a. Combien y-a-t’il de mots-réponses possible à ce questionnaire ?

b. On suppose que le candidat répond au hasard à chacune des cinq questions de ce question- naire.

Calculer la probabilité des évènements suivants :

E : « le candidat a exactement une réponse exacte ».

F : « le candidat n’a aucune réponse exacte ».

G : « le mot-réponse du candidat est un palindrome ». (On précise qu’un palindrome est un mot pouvant se lire indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche : par exemple, «BAC AB » est un palindrome).

2. Un professeur décide de soumettre ce questionnaire à ses 28 élèves en leur demandant de ré- pondre au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire.

On désigne par X le nombre d’élèves dont le mot-réponse ne comporte aucune réponse exacte.

a. Justifier que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 28 et p = 32

243 .

b. Calculer la probabilité, arrondie à 10−2, qu’au plus un élève n’ait fourni que des réponses fausses.

Exercices de probabilités 44

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

40 Polynésie septembre 2009 Retour au tableau Pour chaque question, deux propositions sont énoncées.

Il s’agit de dire, sans le justifier, si chacune d’elles est vraie ou fausse. Le candidat indiquera sur sa copie

le numéro de la proposition et la mention VRAIE ou FAUSSE.

Pour chaque question, il est compté 1 point si les deux réponses sont exactes, 0,5 point pour une réponse exacte et une absence de réponse et 0 point sinon.

Question A Proposition 1 Proposition 2 Une urne contient 4 boules noires et 3 boules rouges indiscernables au toucher. On tire deux boules au hasard simultanément. On considère les évènements : A : « les deux boules tirées sont de la même couleur » ; B : « une seule des deux boules ti- rées est rouge ».

La probabilité de A est égale à 3

7 .

La probabilité de B est égale à 1

7 .

Question B Proposition 3 Proposition 4

Soient A, B et C trois évènements d’un même universΩ muni d’une probabilité P . On sait que :

• A et B sont indépendants ; • P (A)=

2

5 ; P (A∪B)=

3

4 ;

P (C)= 1

2 ; P (A∩C)=

1

10 ·

P (B)= 7

12 P (

A∪C )

= 2

5 .

A∪C désigne l’évènement contraire de A∪C.

Question C Proposition 5 Proposition 6

Une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p n est égal à 4 et p appartient à ]0 ; 1[.

Si P (X = 1)= 8P (X = 0) alors p =

2

3 .

Si p = 1

5 alors

P (X = 1)= P (X = 0).

Question D Proposition 7 Proposition 8 La durée de vie, exprimée en an- nées, d’un appareil est modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de para- mètre λ= 0,07 sur [0 ; +∞[. On rappelle que pour tout t > 0, la probabilité de l’évènement (X 6 t ) est donnée par :

P (X 6 t ) = ∫t

0 λe−λx dx (avec λ =

0,07).

La probabilité que l’appareil ait une durée de vie

supérieure à 10 ans est égale à 0,5 à 10−2 près.

Sachant que l’appareil a fonctionné 10 ans, la

probabilité qu’il fonctionne encore 10 ans est égale à 0,5 à

10−2 près.

Exercices de probabilités 45

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

41 Antilles-Guyane septembre 2009 Retour au tableau VRAI OU FAUX Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée. PARTIE B

1. Si A et B sont deux évènements indépendants avec P (B) 6= 0 et P (B) 6= 1, alors P (AB)= PB (A).

2. Si X est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0 ; 1], alors

P (X ∈ [0,1 ; 0,6])= 0,6.

3. Si X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres 100 et 1

3 , alors P (X > 1) =

1− (

2

3

)100

.

Exercices de probabilités 46

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

42 Métropole septembre 2009 Retour au tableau Un réparateur de vélos a acheté 30%de son stock de pneus àunpremier fournisseur, 40%àundeuxième et le reste à un troisième. Le premier fournisseur produit 80 % de pneus sans défaut, le deuxième 95 % et le troisième 85 %.

1. Le réparateur prend au hasard un pneu de son stock.

a. Construire un arbre de probabilité traduisant la situation, et montrer que la probabilité que ce pneu soit sans défaut est égale à 0,875.

b. Sachant que le pneu choisi est sans défaut, quelle est la probabilité qu’il provienne du deuxième fournisseur ? On donnera la valeur arrondie du résultat à 10−3.

2. Le réparateur choisit dix pneus au hasard dans son stock. On suppose que le stock de pneus est suffisamment importantpour assimiler ce choix de dix pneus à un tirage avec remise de dix pneus. Quelle est alors la probabilité qu’au plus un des pneus choisis présente un défaut ? On donnera la valeur arrondie à 10−3.

3. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de kilomètres parcourus par un pneu, sans crevaison. On fait l’hypothèse que X suit une loi exponentielle de paramètre λ.

On rappelle que, pour tout nombre réel k positif : P (X 6 k)= ∫k 0 λe

λx dx

a. Montrer que P (5006 X 6 1000)= e−500λ−e−1000λ . b. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiativemêmenon fruc-

tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

La probabilité que le pneu parcoure entre 500 et 1 000 kilomètres sans crevaison étant égale

à 1

4 , déterminer la valeur arrondie à 10−4 du paramètre λ.

Exercices de probabilités 47

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

43 La Réunion juin 2009 Retour au tableau Une usine produit des sacs. Chaque sac fabriqué peut présenter deux défauts : le défaut a et le défaut b. Un sac est dit défectueux s’il présente au moins l’un des deux défauts.

1. Dans cette question les probabilités demandées seront données avec leurs valeurs décimales exactes.

On prélève un sac au hasard dans la production d’une journée.

On note A l’ évènement « le sac présente le défaut a » et B l’évènement « le sac présente le défaut b ». Les probabilités des évènements A et B sont respectivement P (A) = 0,02 et P (B) = 0,01 ; on suppose que ces deux évènements sont indépendants.

a. Calculer la probabilité de l’évènement C « le sac prélevé présente le défaut a et le défaut b ».

b. Calculer la probabilité de l’évènement D « le sac est défectueux ».

c. Calculer la probabilité de l’évènement E « le sac ne présente aucun défaut ».

d. Sachant que le sac présente le défaut a, quelle est la probabilité qu’il présente aussi le défaut b ?

2. On suppose que la probabilité (arrondie au centième) qu’un sac soit défectueux est égale à 0,03.

On prélève au hasard un échantillon de 100 sacs dans la production d’une journée. La produc- tion est suffisamment importante pour que l’on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 sacs. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 100 sacs, associe le nombre de sacs défectueux.

a. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

b. Quelle est la probabilité de l’évènement « au moins un sac est défectueux » ? On arrondira cette probabilité au centième. Interpréter ce résultat.

c. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X .

Interpréter ce résultat dans le cadre de l’énoncé.

Exercices de probabilités 48

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

44 Métropole 23 juin 2009 Retour au tableau I. Cette question est une restitution organisée de connaissances.

On rappelle que si n et p sont deux nombres entiers naturels tels que p 6 n alors

(

n

p

)

= n!

p !(np)! .

Démontrer que pour tout nombre entier naturel n et pour tout nombre entier naturel p tels que 16 p 6

n on a :

(

n

p

)

=

(

n−1 p−1

)

+

(

n−1 p

)

.

II.Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher : 7 jetons blancs numérotés de 1 à 7 et 3 jetons noirs numérotés de 1 à 3. On tire simultanément deux jetons de ce sac.

1. a. On note A l’évènement « obtenir deux jetons blancs ».

Démontrer que la probabilité de l’évènement A est égale à 7

15 .

b. On note B l’évènement « obtenir deux jetons portant des numéros impairs ».

Calculer la probabilité de B.

c. Les évènements A et B sont-ils indépendants ?

2. Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané.

a. Déterminer la loi de probabilité de X .

b. Calculer l’espérance mathématique de X .

Exercices de probabilités 49

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

45 Polynésie 23 juin 2009 Retour au tableau Une entreprise fabrique des lecteurs MP3, dont 6 % sont défectueux. Chaque lecteur MP3 est soumis à une unité de contrôle dont la fiabilité n’est pas parfaite. Cette unité de contrôle rejette 98 % des lecteurs MP3 défectueux et 5 % des lecteurs MP3 fonctionnant correctement. On note :

D l’évènement : « le lecteur MP3 est défectueux » ; • R l’évènement : « l’unité de contrôle rejette le lecteur MP3 ».

1. Faire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.

2. a. Calculer la probabilité que le lecteur soit défectueux et ne soit pas rejeté.

b. On dit qu’il y a une erreur de contrôle lorsque le lecteur MP3 est rejeté alors qu’il n’est pas défectueux, ou qu’il n’est pas rejeté alors qu’il est défectueux.

Calculer la probabilité qu’il y ait une erreur de contrôle.

3. Montrer que la probabilité qu’un lecteur MP3 ne soit pas rejeté est égale à 0,894 2.

4. Quatre contrôles successifs indépendants sont maintenant réalisés pour savoir si un lecteur MP3 peut être commercialisé.

Un lecteur MP3 est :

• commercialisé avec le logo de l’entreprise s’il subit avec succès les quatre contrôles succes- sifs,

• détruit s’il est rejeté au moins deux fois, • commercialisé sans le logo sinon.

Le coût de fabrication d’un lecteur MP3 s’élève à 50(.

Son prix de vente est de 120( pour un lecteur avec logo et 60( pour un lecteur sans logo.

On désigne par G la variable aléatoire qui, à chaque lecteur MP3 fabriqué, associe le gain algé- brique en euros (éventuellement négatif) réalisé par l’entreprise.

a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoireG .

b. Calculer à 10−2 près l’espérancemathématique deG . Donner une interprétation de ce résul- tat.

Exercices de probabilités 50

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

46 Asie juin 2009 Retour au tableau Une entreprise fait fabriquer des paires de chaussette auprès de trois fournisseursF1, F2, F3. Dans l’entreprise, toutes ces paires de chaussettes sont regroupées dans un stock unique. La moitié des paires de chaussettes est fabriquée par le fournisseur F1, le tiers par le fournisseur F2 et le reste par le fournisseurF3.

Une étude statistique a montré que • 5 % des paires de chaussette fabriquées par le fournisseur F1 ont un défaut ; • 1,5 % des paires de chaussette fabriquées par le fournisseurF2 ont un défaut ; • sur l’ensemble du stock, 3,5 % des paires de chaussette ont un défaut.

1. On prélève au hasard une paire de chaussettes dans le stock de l’entreprise.

On considère les évènements F1, F2, F3 et D suivants :

• F1 : « La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseurF1 » ; • F2 : « La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseurF2 » ; • F3 : « La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseurF3 » ; • D : « La paire de chaussettes prélevée présente un défaut ».

a. Traduire en termes de probabilités les données de l’énoncé en utilisant les évènements pré- cédents.

Dans la suite, on pourra utiliser un arbre pondéré associé à cet expérience.

b. Calculer la probabilité qu’une paire de chaussettes prélevée soit fabriquée par le fournisseur F1 et présente un défaut.

c. Calculer la probabilité de l’évènement F2∩D. d. En déduire la probabilité de l’évènement F3∩D. e. Sachant que la paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseurF3, quelle est la

probabilité qu’elle présente un défaut ?

2. L’entreprise conditionne les paires de chaussettes par lots de six paires.

On considère que le stock est suffisamment grand pour assimiler le choix des six paires de chaus- settes à des tirages indépendants, succesifs avec remise.

a. Calculer la probabilité que deux paires de chaussettes exactement d’un lot présentent un défaut ; on donnera un résultat arrondi au millième.

b. Démontrer que la probabilité, arrondie aumillième, qu’au plus une paire de chaussettes d’un lot présente un défaut est égale à 0,983.

Exercices de probabilités 51

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

47 Centres étrangers juin 2009 Retour au tableau

1. Restitution organisée de connaissances :

Prérequis :On rappelle que deux évènements A et B sont indépendants pour la probabilité p si et seulement si : p(AB)= p(Ap(B).

Soient A et B deux évènements associés à une expérience aléatoire

a. Démontrer que p(B)= p(B A)+p (

B A )

.

b. Démontrer que, si les évènements A et B sont indépendants pour la probabilité p, alors les évènements A et B le sont également.

2. Application : Chaque matin de classe, Stéphane peut être victime de deux évènements indépen- dants :

R : « il n’entend pas son réveil sonner » ; • S : « Son scooter, mal entretenu, tombe en panne ».

II a observé que chaque jour de classe, la probabilité de R est égale 0,1 et que celle de S est égale à 0,05. Lorsque qu’au moins l’un des deux évènements se produit, Stéphane est en retard au lycée sinon il est à l’heure.

a. Calculer la probabilité qu’un jour de classe donné, Stéphane entende son réveil sonner et que son scooter tombe en panne.

b. Calculer la probabilité que Stéphane soit à l’heure au lycée un jour de classe donné.

c. Au cours d’une semaine, Stéphane se rend cinq fois au lycée. On admet que le fait qu’il en- tende son réveil sonner un jour de classe donné n’influe pas sur le fait qu’il l’entende ou non les jours suivants.

Quelle est la probabilité que Stéphane entende le réveil au moins quatre fois au cours d’une semaine ? Arrondir le résultat à la quatrième décimale.

Exercices de probabilités 52

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

48 Antilles-Guyane juin 2009 Retour au tableau Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme de fractions.

On dispose de deux dés tétraédriques identiques : les quatre faces sont numérotées A, B, C et D.

1. On lance les deux dés simultanément et on note la lettre de la face sur laquelle repose chacun des dés.

Déterminer la probabilité des évènements suivants :

E0 : « ne pas obtenir la lettre A », – E1 : « obtenir une fois la lettre A », – E2 : « obtenir deux fois la lettre A ».

2. On organise un jeu de la façon suivante :

– Le joueur lance les deux dés simultanément. – Si les deux dés reposent sur les faces « A », le jeu s’arrête. – Si un seul dé repose sur la face « A », le joueur relance l’autre dé et le jeu s’arrête. – Si aucun dé ne repose sur la face « A », le joueur relance les deux dés et le jeu s’arrête.

a. Recopier et compléter l’arbre suivant en indiquant sur chaque branche la probabilité corres- pondante.

Nombre de Nombre de faces « A » faces « A »

0

0

1

2

1

0

1

2

1er lancer 2e lancer

b. Le joueur gagne si, lorsque le jeu s’arrête, les deux dés reposent sur les faces « A ».

Montrer que, pour le joueur, la probabilité de gagner est de 49

256 .

c. Pour participer, le joueur doit payer 5 euros. S’il gagne, on lui donne 10 euros. Si, lorsque le jeu s’arrête, un seul dé repose sur la face « A », il est remboursé. Sinon, il perd sa mise.

Le jeu est-il favorable au joueur ?

Exercices de probabilités 53

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

49 Libanmai 2009 Retour au tableau Pour chacune des trois questions, une seule des quatre propositions est exacte.

Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie,

sans justification.

Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.

1. On désigne par A et B deux évènements indépendants d’un univers muni d’une loi de probabilité p.

On sait que p(AB)= 4

5 et p

(

A )

= 3

5 .

La probabilité de l’évènement B est égale à :

a. 2

5 b.

2

3 c.

3

5 d.

1

2

2. On note X une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre λ= 0,04. On rappelle que pour tout réel t positif, la probabilité de l’évènement (X 6 t ), notée p(X 6 t ), est

donnée par p(X 6 t )= ∫t

0 λe−λx dx.

La valeur approchée de p(X > 5) à 10−2 près par excès est égale à :

a. 0,91 b. 0,18 c. 0,19 d. 0,82

3. Dans ma rue, il pleut un soir sur quatre.

S’il pleut, je sors mon chien avec une probabilité égale à 1

10 ; s’il ne pleut pas, je sors mon chien

avec une probabilité égale à 9

10 .

Je sors mon chien ; la probabilité qu’il ne pleuve pas est égale à :

a. 9

10 b.

27

40 c.

3

4 d.

27

28

Exercices de probabilités 54

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

50 Amérique du Nordmai 2009 Retour au tableau Dans cet exercice on étudie une épidémie dans une population.

Partie A : Étude de la progression de l’épidémie pendant 30 jours

Au début de l’épidémie on constate que 0,01 % de la population est contaminé. Pour t appartenant à [0 ; 30], on note y(t ) le pourcentage de personnes touchées par la maladie après t jours. On a donc y(0)= 0,01. On admet que la fonction y ainsi définie sur [0 ; 30] est dérivable, strictement positive et vérifie :

y ′ = 0,05y(10− y).

1. On considère la fonction z définie sur l’intervalle [0 ; 30] par z = 1

y .

Démontrer que la fonction y satisfait aux conditions {

y(0) = 0,01 y ′ = 0,05y(10− y) si et seulement si la fonction z satisfait aux conditions

{

z(0) = 100 z ′ = −0,5z+0,05

2. a. En déduire une expression de la fonction z puis celle de la fonction y .

b. Calculer le pourcentage de la population infectée après 30 jours. On donnera la valeur arron- die à l’entier le plus proche.

Partie B : Étude sur l’efficacité d’un vaccin

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera

prise en compte dans l’évaluation.

Le quart de la population est vacciné contre cette maladie contagieuse. De plus, on estime que sur la population vaccinée, 92 % des individus ne tombent pas malades. Sur la population totale, on estime aussi que 10% des individus sont malades. On choisit au hasard un individu dans cette population.

1. Montrer que la probabilité de l’évènement « l’individu n’est pas vacciné et tombe malade » est égale à 0,08.

2. Quelle est la probabilité de tomber malade pour un individu qui n’est pas vacciné ?

Exercices de probabilités 55

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

51 Pondichéry avril 2009 Retour au tableau On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ces dés sont en apparence identiques mais l’un est bien équilibré et l’autre truqué. Avec le dé truqué la probabilité d’obtenir 6 lors

d’un lancer est égale à 1

3 .

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1. On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de 6 obtenus.

a. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X ?

b. Quelle est son espérance ?

c. Calculer P (X = 2). 2. On choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le dé choisi trois

fois de suite.

On considère les évènements D et A suivants :

D « le dé choisi est le dé bien équilibré » ; • A : « obtenir exactement deux 6 ».

a. Calculer la probabilité des évènements suivants : • « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » ; • « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 ».

(On pourra construire un arbre de probabilité).

b. En déduire que : p(A)= 7

48 .

c. Ayant choisi au hasard l’un des deux dés et l’ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exac- tement deux 6. Quelle est la probabilité d’avoir choisi le dé truqué ?

3. On choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dé n fois de suite (n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2).

On note Bn l’évènement « obtenir au moins un 6 parmi ces n lancers successifs ».

a. Déterminer, en fonction de n, la probabilité pn de l’évènement Bn .

b. Calculer la limite de la suite (

pn )

. Commenter ce résultat.

Exercices de probabilités 56

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

52 Nouvelle-Calédoniemars 2009 Retour au tableau Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles.

La probabilité que la première cible soit atteinte est 1

2 .

Lorsqu’une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit est 3

4 .

Lorsqu’une cible n’est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est 1

2 .

On note, pour tout entier naturel n non nul : • An l’évènement : « la n-ième cible est atteinte ». • An l’évènement : « la n-ième cible n’est pas atteinte. • an la probabilité de l’évènement An bn la probabilité de l’évènement An .

1. Donner a1 et b1.

Calculer a2 et b2. On pourra utiliser un arbre pondéré.

2. Montrer que, pour tout n ∈N, n> 1 : an+1 = 3

4 an +

1

2 bn ,

puis : an+1 = 1

4 an +

1

2

3. Soit (Un) la suite définie pour tout entier naturel n non nul, parUn = an − 2

3 .

a. Montrer que la suite (Un) est une suite géométrique.

On précisera la raison et le premier termeU1.

b. En déduire l’expression deUn en fonction de n, puis l’expression de an en fonction de n.

c. Déterminer la limite de la suite (an).

d. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que : an > 0,6665.

Exercices de probabilités 57

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

53 Nouvelle-Calédonie novembre 2008 Retour au tableau Un joueur lance une bille qui part de A puis emprunte obligatoirement une des branches indiquées sur l’arbre ci-dessous pour arriver à l’un des points D, E, F et G.

A

B (0 pt)

8

9

D (0 pt)

8

9

E (10 pts)

1

9

C (10 pts)

1

9

F (0 pt)

8

9

G (10 pts)

1

9

On a marqué sur chaque branche de l’arbre la probabilité pour que la bille l’emprunte après être passé par un nœud. Les nombres entre parenthèses indiquent les points gagnés par le joueur lors du passage de la bille. On note X la variable aléatoire qui correspond au nombre total de points gagnés à l’issue d’une partie c’est-à-dire une fois la bille arrivée en D, E, F ou G.

1. Dans cette question, les résultats sont attendus sous forme fractionnaire.

a. Déterminer la loi de probabilité de X.

b. Calculer l’espérance de X.

c. Calculer la probabilité que la bille ait suivi la branche AC sachant que le joueur a obtenu exactement 10 points.

2. Le joueur effectue 8 parties et on suppose que ces huit parties sont indépendantes. On considère qu’une partie est gagnée si le joueur obtient 20 points à cette partie.

a. Calculer la probabilité qu’il gagne exactement 2 parties. On donnera le résultat arrondi au millième

b. Calculer la probabilité qu’il gagne au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième.

Exercices de probabilités 58

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

54 Polynésie septembre 2008 Retour au tableau On rappelle que la probabilité d’un évènement A sachant que l’évènement B est réalisé se note pB (A). Une urne contient au départ 30 boules blanches et 10 boules noires indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule de l’urne :

• si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et on ajoute n boules blanches supplémen- taires.

• si la boule tirée est noire, on la remet dans l’urne et on ajoute n boules noires supplémentaires. On tire ensuite au hasard une seconde boule de l’urne. On note :

B1 l’évènement : « on obtient une boule blanche au premier tirage » • B2 l’évènement : « on obtient une boule blanche au second tirage » • A l’évènement : « les deux boules tirées sont de couleurs différentes ».

1. Dans cette question, on prend n = 10.

a. Calculer la probabilité p (B1∩B2) et montrer que p (B2)= 3

4 .

b. Calculer pB2 (B1).

c. Montrer que p(A)= 3

10 .

2. On prend toujours n = 10. Huit joueurs réalisent l’épreuve décrite précédemment de manière identique et indépendante.

On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de réalisations de l’évènement A.

a. Déterminer p(X = 3). (On donnera la réponse à 10−2 près). b. Déterminer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X .

3. Dans cette question n est un entier supérieur ou égal à 1.

Existe-t-il une valeur de n pour laquelle p(A)= 1

4 .

Exercices de probabilités 59

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

55 Métropole et La Réunion sept. 2008 Retour au tableau Dans une kermesse un organisateur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases chacune. La roue A comporte 18 cases noires et 2 cases rouges. La roue B comporte 16 cases noires et 4 cases rouges. Lors du lancer d’une roue toutes les cases ont la même probabilité d’être obtenues. La règle du jeu est la suivante :

• Le joueur mise 1( et lance la roue A. • S’il obtient une case rouge, alors il lance la roue B, note la couleur de la case obtenue et la partie

s’arrête. • S’il obtient une case noire, alors il relance la roue A, note la couleur de la case obtenue et la partie

s’arrête.

1. Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.

2. Soient E et F les évènements :

E : « à l’issue de la partie, les 2 cases obtenues sont rouges » F : « à l’issue de la partie, une seule des deux cases est rouge ».

Montrer que p(E)= 0,02 et p(F)= 0,17. 3. Si les 2 cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10( ; si une seule des cases est rouge le joueur

reçoit 2 ( ; sinon il ne reçoit rien.

X désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur (rappel le joueur mise 1().

a. Déterminer la loi de probabilité de X .

b. Calculer l’espérance mathématique de X et en donner une interprétation.

4. Le joueur décide de jouer n parties consécutives et indépendantes (n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2)

a. Démontrer que la probabilité pn qu’il lance au moins une fois la roue B est telle que pn = 1− (0,9)n .

b. Justifier que la suite de terme général pn est convergente et préciser sa limite.

c. Quelle est la plus petite valeur de l’entier n pour laquelle pn > 0,9 ?

Exercices de probabilités 60

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

56 Antilles–Guyane sept. 2008 Retour au tableau On dispose de deux urnesU1 etU2. L’urneU1 contient 2 billes vertes et 8 billes rouges toutes indiscernables au toucher. L’urneU2 contient 3 billes vertes et 7 billes rouges toutes indiscernables au toucher.

Une partie consiste, pour un joueur, à tirer au hasard une bille de l’urneU1, noter sa couleur et remettre la bille dans l’urneU1 puis de tirer au hasard une bille de l’umeU2, noter sa couleur et remettre la bille dans l’urneU2. À la fin de la partie, si le joueur a tiré deux billes vertes il gagne un lecteur MP3. S’il a tiré une bille verte, il gagne un ours en peluche. Sinon il ne gagne rien. On note

V1 l’évènement : « le joueur tire une boule verte dansU1 » V2 l’évènement : « le joueur tire une boule verte dansU2 ».

Les évènements V1 et V2 sont indépendants.

1. Montrer, à l’aide d’un arbre pondéré, que la probabilité de gagner un lecteur MP3 est p = 0,06. 2. Quelle est la probabilité de gagner un ours en peluche ?

3. Vingt personnes jouent chacune une partie. Déterminer la probabilité que deux d’entre elles exac- tement gagnent un lecteur MP3.

On justifiera la réponse et on donnera une valeur approchée du résultat à 10−4 près.

4. On appelle n le nombre de personnes participant à la loterie un jour donné et jouant une seule fois.

On note pn la probabilité que l’une aumoins de ces personnes gagne un lecteur MP3.

Déterminer la plus petite valeur de n vérifiant pn > 0,99.

Exercices de probabilités 61

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

57 La Réunion juin 2008 Retour au tableau Tous les résultats seront arrondis à102près. Une entreprise produit en grande quantité des stylos. La probabilité qu’un stylo présente un défaut est égale à 0,1.

1. Onprélève dans cette production, successivement et avec remise huit stylos. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit stylos prélevés.

a. On admet que X suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi.

b. Calculer la probabilité des évènements suivants :

A : « il n’y a aucun stylo avec un défaut » ; B : « il y a au moins un stylo avec un défaut » ; C : « il y a exactement deux stylos avec un défaut ».

2. En vue d’améliorer la qualité du produit vendu, on décide de mettre en place un contrôle qui accepte tous les stylos sans défaut et 20 % des stylos avec défaut.

On prend au hasard un stylo dans la production. On note D l’évènement « le stylo présente un défaut », et E l’évènement « le stylo est accepté ».

a. Construire un arbre traduisant les données de l’énoncé.

b. Calculer la probabilité qu’un stylo soit accepté au contrôle.

c. Justifier que la probabilité qu’un stylo ait un défaut sachant qu’il a été accepté au contrôle est égale à 0,022 à 10−3 près.

3. Après le contrôle, on prélève, successivement et avec remise, huit stylos parmi les stylos acceptés.

Calculer la probabilité qu’il n’y ait aucun stylo avec un défaut dans ce prélèvement de huit stylos.

Comparer ce résultat avec la probabilité de l’évènement A calculée à la question 1. b.. Quel com- mentaire peut-on faire ?

Exercices de probabilités 62

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

58 Centres étrangers juin 2008 Retour au tableau Le secteur de production d’une entreprise est composé de 3 catégories de personnel :

• les ingénieurs ; • les opérateurs de production ; • les agents de maintenance.

Il y a 8 %d’ingénieurs et 82%d’opérateurs de production. Les femmes représentent 50%des ingénieurs, 25 % des agents de maintenance et 60 % des opérateurs de production.

I. Partie A Dans cette partie, on interroge au hasard unmembre du personnel dc cette entreprise. On note :

• M l’évènement : « le personnel interrogé est un agent de maintenance » ; • O l’évènement : « le personnel interrogé est un opérateur de production » ; • I l’évènement : « le personnel interrogé est un ingénieur » ; • F l’évènement : « le personnel interrogé est une femme ».

1. Construire un arbre pondéré correspondant aux données.

2. Calculer la probabilité d’interroger :

a. un agent de maintenance ;

b. une femme agent de maintenance ;

c. une femme,

II. Partie B Le service de maintenance effectue l’entretien des machines, mais il est appelé aussi à intervenir en cas de panne. Pour cela une alarme est prévue ; des études ont montré que sur une journée :

• la probabilité qu’il n’y ait pas de panne et que l’alarme se déclenche est égale à 0,002 ; • la probabilité qu’une panne survienne et que l’alarme ne se déclenche pas est égale à 0,003 ; • la probabilité qu’une panne se produise est égale à 0,04.

On note : • A l’évènement : « l’alarme se déclenche » ; • B l’évènement : « une panne se produit » ;

1. Démontrer que la probabilité qu’une panne survienne et que l’alarme se déclenche est égale à 0,037.

2. Calculer la probabilité que l’alarme se déclenche.

3. Calculer la probabilité qu’il y ait une panne sachant que l’alarme se déclenche.

Exercices de probabilités 63

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

59 Asie juin 2008 Retour au tableau On considère plusieurs sacs de billes S1, S2, . . . , Sn , . . . tels que :

– le premier, S1, contient 3 billes jaunes et 2 vertes ; – chacun des suivants, S2, S3, . . . , Sn , . . . contient 2 billes jaunes et 2 vertes.

Le but de cet exercice est d’étudier l’évolution des tirages successifs d’une bille de ces sacs, effectués de la manière suivante :

– on tire au hasard une bille dans S1 ; – on place la bille tirée de S1 dans S2, puis on tire au hasard une bille dans S2 ; – on place la bille tirée de S2 dans S3, puis on tire au hasard une bille dans S3 ; – etc.

Pour tout entier n > 1, on note En l’évènement : « la bille tirée dans Sn est verte » et on note p (En) sa probabilité.

1. Mise en évidence d’une relation de récurrence

a. D’après l’énoncé, donner les valeurs de p (E1) , pE1 (E2) , pE1 (E2).

En déduire la valeur de p (E2).

b. À l’aide d’un arbre pondéré, exprimer p (En+1) en fonction de p (En).

2. Étude d’une suite

On considère la suite (un) définie par :

u1 = 2

5

un+1 = 1

5 un+

2

5 pour tout n> 1.

a. Démontrer que la suite (un) est majorée par 1.

b. Démontrer que (un) est croissante.

c. Justifier que la suite (un) est convergente et préciser sa limite.

3. Évolution des probabilités p (En)

a. À l’aide des résultats précédents, déterminer l’évolution des probabilités p (En).

b. Pour quelles valeurs de l’entier n a-t-on : 0,499996 p (En)6 0,5 ?

Exercices de probabilités 64

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

60 Antilles-Guyane juin 2008 Retour au tableau On dispose de deux urnesU1 etU2 contenant des boules indiscernables au toucher.

U1 contient k boules blanches (k entier naturel supérieur ou égal à 1) et 3 boules noires. U2 contient 2 boules blanches et une boule noire.

On tire une boule au hasard dansU1 et on la place dansU2. On tire ensuite, au hasard, une boule dans U2. L’ensemble de ces opérations constitue une épreuve.

On note B1 (respectivementN1) l’évènement « on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l’urneU1 ». On note B2 (respectivementN2) l’évènement « on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l’urneU2 ».

1. a. Recopier et compléter par les probabilitésmanquantes l’arbre ci-dessous :

B1. . .

B2 . . .

N2. . .

N1 . . .

B2. . .

N2. . .

Montrer que la probabilité de l’évènement B2 est égale à 3k+6 4k+12

.

Dans la suite on considère que k = 12. Les questions 2 et 3 sont indépendantes l’une de l’autre et peuvent être traitées dans n’importe quel ordre.

2. Un joueur mise 8 euros et effectue une épreuve.

Si, à la fin de l’épreuve, le joueur tire une boule blanche de la deuxième urne, le joueur reçoit 12 euros.

Sinon, il ne reçoit rien et perd sa mise. Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur, c’est-à- dire la différence entre la somme reçue et la mise.

a. Montrer que les valeurs possibles de X sont 4 et −8. b. Déterminer la loi de probabilité de la variable X .

c. Calculer l’espérance mathématique de X .

d. Le jeu est-il favorable au joueur ?

3. Un joueur participe n fois de suite à ce jeu.

Au début de chaque épreuve, l’urneU1 contient 12 boules blanches et 3 noires, et l’urneU2contient 2 boules blanches et 1 noire.

Ainsi, les épreuves successives sont indépendantes.

Déterminer le plus petit entier n pour que la probabilité de réaliser aumoins une fois l’évènement B2 soit supérieure ou égale à 0,99.

Exercices de probabilités 65

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

61 Libanmai 2008 Retour au tableau Une urne A contient quatre boules rouges et six boules noires. Une urne B contient une boule rouge et neuf boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher.

Partie A Un joueur dispose d’un dé à six faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. Il le lance une fois : s’il obtient 1, il tire au hasard une boule de l’urne A, sinon il tire au hasard une boule de l’urne B.

1. Soit R l’évènement « le joueur obtient une boule rouge ».

Montrer que p(R)= 0,15. 2. Si le joueur obtient une boule rouge, la probabilité qu’elle provienne de A est-elle supérieure ou

égale à la probabilité qu’elle provienne de B ?

Partie B Le joueur répète deux fois l’épreuve décrite dans la partie A, dans des conditions identiques et indépen- dantes (c’est-à-dire qu’à l’issue de la première épreuve, les urnes retrouvent leur composition initiale). Soit x un entier naturel non nul. Lors de chacune des deux épreuves, le joueur gagne x euros s’il obtient une boule rouge et perd deux euros s’il obtient une boule noire. On désigne par G la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur en euros au terme des deux épreuves. La variable aléatoire G prend donc les valeurs 2x,x−2 et −4.

1. Déterminer la loi de probabilité de G.

2. Exprimer l’espérance E(G) de la variable aléatoire G en fonction de x.

3. Pour quelles valeurs de x a-t-on E(G)> 0 ?

Exercices de probabilités 66

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

62 Nouvelle-Calédoniemars 2008 Retour au tableau Deux éleveurs produisent une race de poissons d’ornement qui ne prennent leur couleur définitive qu’à l’âge de trois mois :

• pour les alevins du premier élevage, entre l’âge de deux mois et l’âge de trois mois, 10 % n’ont pas survécu, 75 % deviennent rouges et les 15 % restant deviennent gris.

• pour les alevins du deuxième élevage, entre l’âge de deuxmois et l’âge de trois mois, 5 % n’ont pas survécu, 65 % deviennent rouges et les 30 % restant deviennent gris.

Une animalerie achète les alevins, à l’âge de deux mois : 60 % au premier éleveur, 40 % au second.

1. Un enfant achète un poisson le lendemain de son arrivée à l’animalerie, c’est-à-dire à l’âge de deux mois.

a. Montrer que la probabilité que le poisson soit toujours vivant unmois plus tard est de 0,92.

b. Déterminer la probabilité qu’un mois plus tard le poisson soit rouge.

c. Sachant que le poisson est gris à l’âge de trois mois, quelle est la probabilité qu’il provienne du premier élevage ?

2. Une personne choisit au hasard et de façon indépendante 5 alevins de deux mois. Quelle est la probabilité qu’unmois plus tard, seulement trois soient en vie ? On donnera une valeur approchée à 10−2 près.

3. L’animalerie décide de garder les alevins jusqu’à l’âge de trois mois, afin qu’ils soient vendus avec leur couleur définitive. Elle gagne 1 euro si le poisson est rouge, 0,25 euro s’il est gris et perd 0,10 euro s’il ne survit pas.

Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique de l’animalerie par poisson acheté. Détermi- ner la loi de probabilité de X et son espérance mathématique, arrondie au centime.

Exercices de probabilités 67

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

63 Nouvelle-Calédonie décembre 2007 Retour au tableau

Un responsable de magasin achète des composants électroniques auprès de deux fournisseurs dans les proportions suivantes : 25 % au premier fournisseur et 75 % au second. La proportion de composants défectueux est de 3% chez le premier fournisseur et de 2% chez le second. On note :

– D l’évènement « le composant est défectueux » ; – F1 l’évènement « le composanrt provient du premier fournisseur » ; – F2 l’évènement « le composant provient du second fournisseur ».

1. a. Dessiner un arbre pondéré.

b. Calculer p (D∩T1), puis démontrer que p(D)= 0,0225. c. Sachant qu’un composant est défectueux, quelle est la probabilité qu’il provienne dupremier

fournisseur ?

Dans toute la suite de l’exercice, on donnera une valeur approchée des résultats à 10−3 près.

2. Le responsable commande 20 composants. Quelle est la probabilité qu’aumoins deux d’entre eux soient défectueux ?

3. La durée de vie de l’un de ces composants est une variable aléatoire notée X qui suit une loi de durée de vie sans vieillissem̀ent ou loi exponentielle de paramètre λ, avec λ réel strictement posi- tif.

a. Sachant que p(X > 5) = 0,325, déterminer λ. Pour les questions suivantes, on prendra λ = 0,225.

b. Quelle est la probabilité qu’un composant dure moins de 8 ans ? plus de 8 ans ?

c. Quelle est la probabilité qu’un composant dure plus de 8 ans sachant qu’il a déjà duré plus de 3 ans ?

Exercices de probabilités 68

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

64 Polynésie septembre décembre 2007 Retour au tableau La végétation d’un pays imaginaire est composée initialement de trois types de plantes : 40 % sont de type A, 41 % de type B et 19 % de type C. On admet qu’au début de chaque année :

• chaque plante de type A disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type A, B ou C.

• chaque plante de type B disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type A, B ou C.

• chaque plante de type C disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type C.

La probabilité qu’une plante de typeA soit remplacée par une plante demême type est 0,6 et celle qu’elle le soit par une plante de type B est 0,3. La probabilité qu’une plante de typeB soit remplacée par une plante demême type est 0,6 et celle qu’elle le soit par une plante de type A est 0,3. Au début de chaque année, on choisit au hasard une plante dans la végétation et on relève son type. Pour tout entier naturel n non nul, on note :

• An l’évènement « la plante choisie la n-ième année est de type A », • Bn l’èvénement « la plante choisie la n-ième année est de type B », • Cn l’èvénement « la plante choisie la n-ième année est de type C ».

On désigne par pn , qn et rn les probabilités respectives des évènements An , Bn et Cn . Compte tenu de la composition initiale de la végétation (début de l’année n◦0) on pose : p0 = 0,40, q0 = 0,41 et r0 = 0,19.

1. Recopier sur la copie et compléter l’arbre pondéré ci-contre, en remplaçant chaque point d’interroga- tion par la probabilité correspondante. Aucune jus- tification n’est demandée pour cette question.

2. a. Montrer que p1 = 0,363 puis calculer q1 et r1. b. Montrer que, pour tout entier naturel n non

nul, {

pn+1 = 0,6pn+0,3qn qn+1 = 0,3pn+0,6qn

3. Ondéfinit les suites (Sn) et (Dn) surN par Sn = qn+ pn et Dn = qn pn . a. Montrer que (Sn) est une suite géométrique

dont on précisera la raison. On admet que (Dn) est une suite géométrique de raison 0,3.

b. Déterminer les limites des suites (Sn) et (Dn).

c. En déduire les limites des suites (

pn )

, (

qn )

et (rn). Interpréter le résultat.

début de

l’année n◦0

début de

l’année n◦1

A

?

A?

B ?

C

?

B

? A?

B ?

C

?

C

?

C ?

Exercices de probabilités 69

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

65 Antilles-Guyane septembre 2007 Retour au tableau Une urne contient 15 boules identiques indiscernables au toucher de couleur noire, blanche, ou rouge. On sait de plus qu’il y a au moins deux boules de chaque couleur dans l’urne. On tire au hasard simultanément 2 boules dans l’urne et on note leur couleur. Soit l’évènement G : « obtenir deux boules de même couleur ».

Partie A

On suppose que l’urne contient 3 boules noires et 7 boules banches. Calculer la probabilité de l’évènement G.

Partie B

On note n, b et r le nombre de boules respectivement noires, blanches et rouges figurant dans l’urne.

1. On note g (n, b, r ) la probabilité en fonction de n, b et r de l’évènement G. Démontrer que

g (n, b, r )= 1

210 [n(n−1)+b(b−1)+ r (r −1)].

2. Le but de cette question est de déterminern, b et r afin que la probabilité g (n, b, r ) soitminimale.

L’espace est muni d’un repère (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

orthonormal. Soient les points N, B et R de coordon-

nées respectives (15 ; 0 ; 0), (0 ; 15 ; 0) et (0 ; 0 ; 15) et soit M le point dc coordonnées (n, b, r ). On pourra se rapporter à la figure ci-dessous.

a. Justifier qu’une équation cartésienne du plan (NBR) est x+ y + z−15= 0. b. En déduire que le pointM est un point du plan (NBR).

c. Démontrer que g (n, b, r )= 1

210

(

OM2−15 )

.

d. Soit H le projeté orthogonal du point O sur le plan (NBR). Déterminer les coordonnées du point H.

e. En déduire tes valeurs de n, b et r afin que la probabilité g (n, b, r ) soit minimale. Justifier

que cette probabilitéminimale est égale à 2

7 .

Partie C

On suppose que les nombres de boules de chaque couleur ont été choisis par l’organisateur d’un jeu, de

telle sorte que la probabilité de l’évènement G soit 2

7 .

Un joueur mise x euros, avec x entier naturel non nul, puis tire simultanément au hasard deux boules de l’urne. Dans tous les cas, il perd sa mise de départ. S’il obtient deux boules de lamême couleur, il reçoit k fois lemontant de samise, avec k nombre décimal strictement supérieur à 1. Sinon, il ne reçoit rien. On note X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.

1. Calculer l’espérance E(X ) de la variable X en fonction de x et de k.

2. Déterminer la valeur de k pour laquelle le jeu est équitable.

Exercices de probabilités 70

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

x

y

z

N

R

BO−→ı

−→

−→ k

Exercices de probabilités 71

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

66 Polynésie juin 2007 Retour au tableau Pour réaliser une loterie, un organisateur dispose d’une part d’un sac contenant exactement un jeton blanc et 9 jetons noirs indiscernables au toucher et d’autre part d’un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Il décide des règles suivantes pour le déroulement d’une partie. Le joueur doit tirer un jeton puis jeter le dé :

• si le jeton est blanc, le joueur perd lorsque le jet du dé donne 6 ; • si le jeton est noir, le joueur gagne lorsque le jet du dé donne 6. À la fin de la partie, le jeton est

remis dans le sac. On note B l’évènement « le jeton tiré est blanc » et G l’évènement « le joueur gagne le jeu ». L’évènement contraire d’un évènement E sera noté E. La probabilité d’un évènement E sera notée p(E).

Partie A

1. Montrer que p(G)= 7

30 . On pourra s’aider d’un arbre pondéré.

2. Quelle est la probabilité que le joueur ait tiré le jeton blanc sachant qu’il a perdu ?

3. Un joueur fait quatre parties de façon indépendante. Calculer la probabilité qu’il en gagne exacte- ment deux et en donner une valeur approchée à 10−3 près.

4. Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité d’en gagner au moins une soit supérieure à 0,99 ?

Partie B

L’organisateur décide de faire de sa loterie un jeu d’argent : • chaque joueur paie 1( par partie ; • si le joueur gagne la partie, il reçoit 5( ; • si le joueur perd la partie, il ne reçoit rien.

1. On note X la variable aléatoire égale au gain algébrique (positif ou négatif) du joueur à l’issue d’une partie.

a. Donner la loi de probabilité de X et son espérance E(X ).

b. On dit que le jeu est favorable à l’organisateur si E(X )< 0. Le jeu est-il favorable à l’organisa- teur ?

2. L’organisateur décide de modifier le nombre n de jetons noirs (n entier naturel non nul) tout en gardant un seul jeton blanc. Pour quelles valeurs de l’entier n le jeu est-il défavorable à l’organisa- teur ?

Exercices de probabilités 72

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

67 Métropole juin 2007 Retour au tableau Cet exercice est un questionnaire à choixmultiples.

Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. On donnera sur la feuille la réponse choisie

sans justification. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon. Dans certaines questions,

les résultats proposés ont été arrondis à 10−3 près.

1. Un représentant de commerce propose unproduit à la vente. Une étude statistique a permis d’éta- blir que, chaque fois qu’il rencontre un client, la probabilité qu’il vende son produit est égale à 0,2. Il voit cinq clients par matinée en moyenne. La probabilité qu’il ait vendu exactement deux pro- duits dans unematinée est égale à :

a. 0,4 b. 0,04 c. 0,1024 d. 0,2048

2. Dans une classe, les garçons représentent le quart de l’effectif. Une fille sur trois a eu son permis du premier coup, alors que seulement un garçon sur dix l’a eu du premier coup. On interroge un élève (garçon ou fille) au hasard. La probabilité qu’il ait eu son permis du premier coup est égale à :

a. 0,043 b. 0,275 c. 0,217 d. 0,033

3. Dans la classe de la question 2, on interroge un élève au hasard parmi ceux ayant eu leur permis du premier coup. La probabilité que cet élève soit un garçon est égale à :

a. 0,100 b. 0,091 c. 0,111 d. 0,25

4. Un tireur sur cible s’entraîne sur une cible circulaire comportant trois zones délimitées par des cercles concentriques, de rayons respectifs 10, 20 et 30 centimètres. On admet que la probabilité d’atteindre une zone est proportionnelle à l’aire de cette zone et que le tireur atteint toujours la cible. La probabilité d’atteindre la zone la plus éloignée du centre est égale à :

a. 5

9 b.

9

14 c.

4

7 d.

1

3

Exercices de probabilités 73

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

68 Centres étrangers juin 2007 Retour au tableau Pour chacune des questions de ce QCM une seule, des trois propositions A, B ou C est exacte. Le candidat

indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune

justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 0,5 point . (Une réponse inexacte enlève 0,25 point. L’absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point. Si le total est négatif la note de l’exercice est

ramenée à 0.

Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher, 5 sont rouges et 3 sont noires.

1. On tire au hasard simultanément 3 boules de l’urne.

a. La probabilité de tirer 3 boules noires est :

A 1

56 B

1

120 C

1

3 b. La probabilité de tirer 3 boules de la même couleur est :

A. 11

56 B.

11

120 C.

16

24 2. On tire au hasard une boule dans l’urne, on note sa couleur, on la remet dans l’urne ; on procède

ainsi à 5 tirages successifs et deux à deux indépendants.

a. La probabilité d’obtenir 5 fois une boule noire est :

A.

(

3

8

)3

× (

3

8

)3

B.

(

3

8

)5

C.

(

1

5

)5

b. La probabilité d’obtenir 2 boules noires et 3 boules rouges est :

A.

(

5

8

)3

× (

3

8

)2

B. 2× 5

8 +3×

3

8 C. 10×

(

5

8

)3

× (

3

8

)2

3. On tire successivement et sans remise deux boules dans cette urne. On note :

– R1 l’évènement : « La première boule tirée est rouge » ; – N1 l’évènement : « La première boule tirée est noire » ; – R2 l’évènement : « La deuxième boule tirée est rouge » ; – N2 l’évènement : « La deuxième boule tirée est noire ».

a. La probabilité conditionnelle PR1 (R2) est :

A. 5

8 B.

4

7 C.

5

14 b. La probabilité de l’évènement R1∩N2 est :

A. 16

49 B.

15

64 C.

15

56 c. La probabilité de tirer une boule rouge au deuxième tirage est :

A. 5

8 B.

5

7 C.

3

28 d. La probabilité de tirer une boule rouge au premier tirage sachant qu’on a obtenu une boule

noire au second tirage est :

A. 15

56 B.

3

8 C.

5

7

Exercices de probabilités 74

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

69 Asie juin 2007 Retour au tableau Une fabrique artisanale de jouets en bois vérifie la qualité de sa production avant sa commercialisa- tion. Chaque jouet produit par l’entreprise est soumis à deux contrôles : d’une part l’aspect du jouet est examiné afin de vérifier qu’il ne présente pas de défaut de finition, d’autre part sa solidité est testée. Il s’avère, à la suite d’un grand nombre de vérifications, que :

• 92% des jouets sont sans défaut de finition ; • parmi les jouets qui sont sans défaut de finition, 95 % réussissent le test de solidité ; • 2 % des jouets ne satisfont à aucun des deux contrôles.

On prend au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note : • F l’évènement : « le jouet est sans défaut de finition » ; • S l’évènement : « le jouet réussit le test de solidité ».

1. Construction d’un arbre pondéré associé à cette situation.

a. Traduire les données de l’énoncé en utilisant les notations des probabilités.

b. Démontrer que pF

(

S )

= 1

4 .

c. Construire l’arbre pondéré correspondant à cette situation.

2. Calcul de probabilités.

a. Démontrer que p(S)= 0,934. b. Un jouet a réussi le test de solidité. Calculer la probabilité qu’il soit sans défaut de finition.

(On donnera le résultat arrondi au millième,)

3. Étude d’une variable aléatoire B . Les jouets ayant satisfait aux deux contrôles rapportent un bé- néfice de 10 (, ceux qui n’ont pas satisfait au test de solidité sont mis au rebut, les autres jouets rapportent un bénéfice de 5(.

On désigne par B la variable aléatoire qui associe à chaque jouet le bénéfice rapporté.

a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire B .

b. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire B .

4. Étude d’une nouvelle variable aléatoire. On prélève au hasard dans la production de l’entreprise un lot de 10 jouets. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de jouets de ce lot subissant avec succès le test de solidité. On suppose que la quantité fabriquée est suffisamment importante pour que la constitutionde ce lot puisse être assimilée à un tirage avec remise. Calculer la probabilité qu’au moins 8 jouets de ce lot subissent avec succès le test de solidité.

Exercices de probabilités 75

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

70 Antilles-Guyane juin 2007 Retour au tableau Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro

et la lettre de la question ainsi que la valeur correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est

demandée.

Une réponse exacte aux questions 1 et 2 rapporte 0,5 point et à la question 3 rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.[2ex]

On s’intéresse à deux types de pièces électroniques, P1 et P2, qui entrent dans la fabrication d’une boïte de vitesses automatique. Une seule pièce de type P1 et une seule pièce de type P2 sont nécessaires par boîte. L’usine se fournit auprès de deux sous-traitants et deux seulement S1 et S2. Le sous-traitant S1 produit 80 % des pièces de type P1 et 40 % de pièces de type P2. Le sous-traitant S2 produit 20 % des pièces de type P1 et 60 % de pièces de type P2.

1. Unemployé de l’usine réunit toutes les pièces P1 et P2 destinées à être incorporées dans un certain nombre de boîtes de vitesses. Il y a donc autant de pièces de chaque type. Il tire une pièce au hasard.

a. La probabilité que ce soit une pièce P1 est

0,8 0,5 0,2 0,4 0,6

b. La probabilité que ce soit une pièce P1 et qu’elle vienne de S1 est

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

c. La probabilité qu’elle vienne de S1 est

0,2 0,4 0,5 0,6 0,8

2. Il y a 200 pièces au total. Cette fois l’employé tire deux pièces simultanément. On suppose tous les tirages équiprobables.

a. Une valeur approchée à 10−4 près de la probabilité que ce soit deux pièces P1 est :

0,1588 0,2487 0,1683 0,0095

b. Une valeur approchée à 10−4 près de la probabilité que ce soit deux pièces P1 et P2 est :

0,5000 0,2513 0,5025

c. La probabilité que ce soient deux pièces fabriquées par le même fournisseur est :

357

995

103

199

158

995

3. La durée de vie exprimée en années des pièces P1 et P2 suit une loi exponentielle dont le paramètre λ est donné dans le tableau suivant :

λ P1 P2 S1 0,2 0,25 S2 0,1 0,125

Exercices de probabilités 76

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

On rappelle que si X , durée de vie d’une pièce exprimée en années, suit une loi exponentielle de paramètre λ, alors

p(X 6 t )= ∫t

0 λe−λxdx.

Une valeur approchée à 10−4 près de la probabilité qu’une pièce P1 fabriquée par S1 dure moins de 5 ans est :

0,3679 0,6321

Exercices de probabilités 77

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

71 Amérique du Nord juin 2007 Retour au tableau Un joueur débute un jeu au cours duquel il est amené à faire successivement plusieurs parties. La probabilité que le joueur perde la première partie est de 0,2. Le jeu se déroule ensuite de la manière suivante :

• s’il gagne une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,05 ; • s’il perd une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,1.

1. On appelle : E1 l’évènement « le joueur perd la première partie » ;

E2 l’évènement « le joueur perd la deuxième partie » ;

E3 l’évènement « le joueur perd la troisième partie ».

On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur perd lors des trois premières parties.

On pourra s’aider d’un arbre pondéré.

a. Quelles sont les valeurs prises par X ?

b. Montrer que la probabilité de l’évènement (X = 2) est égale à 0,031 et que celle de l’évène- ment (X = 3) est égale à 0,002.

c. Déterminer la loi de probabilité de X .

d. Calculer l’espérance de X .

2. Pour tout entier naturel n non nul, on note En l’évènement : « le joueur perd la n-ième partie », En l’évènement contraire, et on note pn la probabilité de l’évènement En .

a. Exprimer, pour tout entier naturel n non nul, les probabilités des évènements En En+1 et EnEn+1 en fonction de pn .

b. En déduire que pn+1 = 0,05pn+0,05 pour tout entier naturel n non nul.

3. On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul par : un = pn − 1

19 .

a. Montrer que (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, un puis pn en fonction de n.

c. Calculer la limite de pn quand n tend vers +∞.

Exercices de probabilités 78

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

72 Libanmai 2007 Retour au tableau On considère deux urnesU1 etU2. L’urneU1 contient 17 boules blanches et 3 boules noires indiscernables au toucher. L’urneU2 contient 1 boule blanche et 19 boules noires indiscernables au toucher. On réalise des tirages en procédant de la manière suivante :

Étape 1 : On tire au hasard une boule dansU1, on note sa couleur et on la remet dansU1.

Étape n (n> 2) : • Si la boule tirée à l’étape (n−1) est blanche, on tire au hasardune boule dansU1, on note sa couleur

et on la remet dansU1. • Si la boule tirée à l’étape (n−1) est noire, on tire au hasard une boule dansU2, on note sa couleur

et on la remet dansU2. On note A l’évènement « le tirage a lieu dans l’urneU1 à l’étape n » et pn sa probabilité. On a donc p1 = 1.

1. Calculer p2.

2. Montrer que pour tout n entier naturel non nul, pn+1 = 0,8pn+0,05. On pourra s’aider d’un arbre pondéré.

3. Calculer p3.

4. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier n entier naturel non nul, pn > 0,25. b. Démontrer que la suite

(

pn )

est décroissante.

c. En déduire que la suite (

pn )

est convergente vers un réel noté .

d. Justifier que vérifie l’équation : = 0,8+0,05. En déduire la valeur de .

Exercices de probabilités 79

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

73 Nouvelle-Calédoniemars 2007 Retour au tableau Pour chaque question une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le

numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte les points attribués à la question, une réponse inexacte enlève la moitié des

points attribués à la question, l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif la note est ramenée à 0.

A. Un sac contient 3 boules blanches, 4 boules noires et 1 boule rouge, indiscernables au toucher. On tire, au hasard, successivement, trois boules du sac, en remettant chaque boule tirée dans le sac avant le tirage suivant. Question 1 : La probabilité de tirer trois boules noires est :

a.

(4 3

)

(8 3

) b.

9

8 c.

(

1

2

)3

d. 4×3×2 8×7×6

Question 2 : Sachant que Jean a tiré 3 boules de la même couleur, la probabilité qu’il ait tiré 3 boules rouges est :

a. 0 b.

(

1

8

)3

c. 23

128 d.

1

92 B. Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par f (x)= x+m m est une constante réelle. Question 3 : f est une densité de probabilité sur l’intervalle [0 ; 1] lorsque

a. m =−1 b. m = 1

2 c. m = e

1 2 d. m = e−1

C. La durée de vie en années d’un composant électronique suit une loi exponentielle de paramètre 0,2. Question 4 : La probabilité que ce composant électronique ait une durée de vie strictement supérieure à 5 ans est

a. 1− 1

e b.

1

e c.

1

5e d.

1

0,2 (e−1)

Exercices de probabilités 80

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

74 Nouvelle-Calédonie novembre 2006 Retour au tableau Une maladie est apparue dans le cheptel bovin d’un pays. Elle touche 0,5 % de ce cheptel (ou 5 pour mille).

1. On choisit au hasard un animal dans le cheptel. Quelle est la probabilité qu’il soit malade ?

2. a. On choisit successivement et au hasard 10 animaux. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre d’animaux malades parmi eux. Montrer que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer son espérance mathématique.

b. On désigne par A l’évènement « aucun animal n’est malade parmi les 10 ».

On désigne par B l’évènement « au moins un animal est malade parmi les 10 ».

Calculer les probabilités de A et de B

3. On sait que la probabilité qu’un animal ait un test positif à cette maladie sachant qu’il est malade est 0,8. Lorsqu’un animal n’est pas malade, la probabilité d’avoir un test négatif est 0,9.

On note T l’évènement « avoir un test positif à cette maladie » et M l’évènement « être atteint de cette maladie ».

a. Représenter par un arbre pondéré les données de l’énoncé.

b. Calculer la probabilité de l’évènement T.

c. Quelle est la probabilité qu’un animal soit malade sachant que le test est positif ?

Exercices de probabilités 81

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

75 Amérique du Sud novembre 2006 Retour au tableau Un jardinier dispose de deux lots 1 et 2 contenant chacun de très nombreux bulbes donnant des tulipes de couleurs variées.

La probabilité pour qu’un bulbe du lot 1 donne une tulipe jaune est égale à 1

4 .

La probabilité pour qu’un bulbe du lot 2 donne une tulipe jaune est égale à 1

2 .

Ce jardinier choisit au hasard un lot et plante 50 bulbes de tulipes. Soit n un entier naturel vérifiant 06n6 50. On définit les évènements suivants :

– A : « le jardinier a choisi le lot 1 » – B : « le jardinier a choisi le lot 2 » – Jn : « le jardinier obtient n tulipes jaunes ».

1. Dans cette question, on suppose que le jardinier choisit le lot 1.

a. Quelle loi de probabilité suit le nombre de tulipes jaunes obtenues à partir de 50 bulbes du lot 1 ?

b. Quelle est l’espérance mathématique de cette loi ?

c. Donner une expression de la probabilité que le jardinier obtienne n tulipes jaunes,

d. Calculer la probabilité que le jardinier obtienne 15 tulipes jaunes. On donnera l’arrondi au millième du résultat.

2. Probabilités conditionnelles

a. Montrer que : PB (Jn)= (50 n

)

2−50.

b. En déduire la probabilité que le jardinier obtienne n tulipes jaunes.

c. On note pn la probabilité conditionnelle de l’évènement A sachant que Jn est réalisé. établir que :

pn = 350−n

350−n +250 .

d. Pour quelles valeurs de n a-t-on pn > 0,9 ? Comment peut-on interpréter ce résultat ?

Exercices de probabilités 82

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

76 Polynésie septembre 2006 Retour au tableau Une urne contient 4 houles blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher.

1. On effectue trois tirages successifs au hasard d’une boule selon la procédure suivante : après chaque tirage si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans l’urne. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de boules noires obtenues à l’issue des trois tirages. On pourra s’aider d’un arbre pondéré.

a. Quelles sont les valeurs prises par X ?

b. Calculer P (X = 0). c. On se propose de déterminermaintenant P (X = 1).

– Montrer que la probabilité que la seule boule noire tirée soit obtenue au second tirage

est égale à 8

45 .

– En remarquant que la seule boule noire peut être tirée soit au premier, soit au deuxième, soit au troisième tirage, calculer P (X = 1).

2. On reprend l’urne dans sa composition initiale : 4 boules blanches et 2 boules noires indiscer- nables au toucher. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. On effectue maintenantn tirages successifs au hasard d’une boule dans l’urne selon la même procédure : après chaque tirage, si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans l’urne. Soit k un entier compris entre 1 et n. Soit N l’évènement : « la k-ième boule tirée est noire et toutes les autres sont blanches ». Soit A l’évènement : « on obtient une boule blanche dans chacun des k −1 premiers tirages et une boule noire au k-ième ». Soit B l’évènement : « on obtient une boule blanche dans chacun des (nk) derniers tirages ». Calculer P (A), PA(B) et P (N).

Exercices de probabilités 83

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

77 Métropole septembre 2006 Retour au tableau La scène se passe en haut d’une falaise au bord de la mer. Pour trouver une plage et aller se baigner, les

touristes ne peuvent choisir qu’entre deux plages, l’une à l’Est et l’autre à l’Ouest.

A -Un touriste se retrouve deux jours consécutifs en haut de la falaise. Le premier jour, il choisit au hasard l’une des deux directions. Le second jour, on admet que la probabilité qu’il choisisse une direction opposée à celle prise la veille vaut 0,8. Pour i = 1 ou i = 2, on note Ei l’évènement : « Le touriste se dirige vers l’Est le i-ème jour » et Oi l’évè- nement : « Le touriste se dirige vers l’Ouest le i-ème jour ».

1. Dresser un arbre de probabilités décrivant la situation.

2. Déterminer les probabilités suivantes : p(E1) ; pE1(O2) ; p(E1∩E2) . 3. Calculer la probabilité que ce touriste se rende sur la même plage les deux jours consécutifs.

B - On suppose maintenant que n touristes (n > 3) se retrouvent un jour en haut de la falaise. Ces n touristes veulent tous se baigner et chacun d’eux choisit au hasard et indépendamment des autres l’une des deux directions. On note X la variable aléatoire donnant le nombre de ces touristes qui choisissent la plage à l’Est.

1. Déterminer la probabilité que k touristes (06 k 6 n) partent en direction de l’Est.

2. On suppose ici que les deux plages considérées sont désertes au départ. On dit qu’un touriste est heureux s’il se retrouve seul sur une plage.

a. Peut-il y avoir deux touristes heureux ?

b. Démontrer que la probabilité (notée p) qu’il y ait un touriste heureux parmi ces n touristes

vaut : p = n

2n−1 .

c. Application numérique : Lorsque le groupe comprend 10 personnes, exprimer la probabi- lité, arrondie au centième, qu’il y ait un touriste heureux parmi les 10.

Exercices de probabilités 84

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

78 Polynésie juin 2006 Retour au tableau On a posé à 1 000 personnes la question suivante : « Combien de fois êtes-vous arrivé en retard au travail au cours des deux derniers mois ? ». Les réponses ont été regroupées dans le tableau suivant :

Retards le 2e moisRetards le 1er mois 0 1 2 ou plus Total 0 262 212 73 547 1 250 73 23 346 2 ou plus 60 33 14 107 Total 572 318 110 1 000

1. On choisit au hasard un individu de cette population.

a. Déterminer la probabilité que l’individu ait eu aumoins un retard le premier mois,

b. Déterminer la probabilité que l’individu ait eu aumoins un retard le deuxièmemois sachant qu’il n’en a pas eu le premier mois.

2. On souhaite faire une étude de l’évolution du nombre de retards sur un grand nombre n de mois (n entier naturel non nul). On fait les hypothèses suivantes :

– si l’individu n’a pas eu de retard le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n+1 est 0,46.

– si l’individu a eu exactement un retard le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n+1 est 0,66.

– si l’individu a eu deux retards ou plus le mois n, la probabilité de ne pas en avoir lemois n+1 est encore 0,66.

On note An , l’évènement « l’individu n’a eu aucun retard lemois n », Bn , l’évènement « l’individu a eu exactement un retard lemois n »,Cn , l’évènement « l’individu a eu deux retards ou plus le mois n ». Les probabilités des évènements An , Bn , Cn sont notées respectivement pn , qn et rn .

a. Pour le premier mois (n = 1), les probabilités p1, q1 et r1 sont obtenues à l’aide du tableau précédent. Déterminer les probabilités p1, q1 et r1.

b. Exprimer pn+1 en fonction de pn , qn , et rn . On pourra s’aider d’un arbre.

c. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, pn+1 =−0,2pn+0,66. d. Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul par un = pn − 0,55. Démontrer

que (un) est une suite géométrique dont on donnera la raison.

e. Déterminer lim n→+∞

un . En déduire lim n→+∞

pn .

Exercices de probabilités 85

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

79 La Réunion juin 2006 Retour au tableau Première partie

Calculer l’intégrale ∫1

0 xex dx.

Deuxième partie

La figure ci-dessous représente une cible rectangulaire OIMN telle que, dans le repère orthonormal (

O ; −→ OI ,

−→ OJ

)

, la ligne courbe C reliant le point O au point M est une partie de la courbe représentative

de la fonction f définie sur R par f (x)= xex . Cette courbe partage la cible OIMN en deux parties A et B comme l’indique la figure ci-dessous. Un jeu consiste à lancer une fléchette qui atteint soit l’extérieur de la cible, soit l’une des parties A ou B. On admet que la fléchette ne peut atteindre aucune des frontières de la cible, ni la courbe C .

O I

J

N M

partie A

partie B

Une étude statistique a montré que la fléchette tombe à l’extérieur de la cible avec une probabilité de 1

2 et que les probabilités d’atteindre les parties A et B sont proportionnelles à leurs aires respectives.

1. Démontrer que la probabilité d’atteindre la partie A est égale à 1

2e . Quelle est la probabilité d’at-

teindre la partie B ?

2. On lance de manière indépendante trois fléchettes.

a. Soit X la variable aléatoire qui est égale au nombre de fléchettes ayant atteint la partie A. Dé- finir la loi de probabilité de X . En déduire la valeur exacte de son espérance mathématique.

Exercices de probabilités 86

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

b. Soit E l’évènement : « Exactement deux fléchettes atteignent la partie A ». Calculer une valeur approchée aumillième de la probabilité de E.

c. Soit F l’évènement : « les trois fléchettes atteignent la partie B ». Calculer la probabilité de F (on donnera la valeur exacte). Sachant qu’aucune fléchette n’a atteint l’extérieur de la cible, quelle est la probabilité que toutes les trois se trouvent dans la partie B ?

3. On lance cette fois de manière indépendante n fléchettes.

a. Déterminer en fonction de n la probabilité pn pour qu’au moins une des fléchettes atteigne la partie A.

b. Déterminer le plus petit naturel n tel que pn > 0,99.

Exercices de probabilités 87

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

80 Métropole juin 2006 Retour au tableau

1. Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre un ballon afin de le crever. À chacun de ces tirs, il a la probabilité 0,2 de crever le ballon. Le tireur s’arrête quand le ballon est crevé. Les tirs successifs sont supposés indépendants.

a. Quelle est la probabilité qu’au bout de deux tirs le ballon soit intact ?

b. Quelle est la probabilité que deux tirs suffisent pour crever le ballon ?

c. Quelle est la probabilité pn que n tirs suffisent pour crever le ballon ?

d. Pour quelles valeurs de n a-t-on pn > 0,99 ? 2. Ce tireur participe au jeu suivant :

Dans un premier temps il lance un dé tétraédrique régulier dont les faces sont numérotées de 1 à 4 (la face obtenue avec un tel dé est la face cachée) ; soit k le numéro de la face obtenue. Le tireur se rend alors au stand de tir et il a droit à k tirs pour crever le ballon.

Démontrer que, si le dé est bien équilibré, la probabilité de crever le ballon est égale à 0,409 6 (on pourra utiliser un arbre pondéré).

3. Le tireur décide de tester le dé tétraédrique afin de savoir s’il est bien équilibré ou s’il est pipé. Pour cela il lance 200 fois ce dé et il obtient le tableau suivant :

Face k 1 2 3 4 Nombre de sorties de la face k 58 49 52 41

a. Calculer les fréquences de sorties fk observées pour chacune des faces.

b. On pose d2 =Σ4 k=1

(

fk − 1

4

)2

. Calculer d2.

c. On effectuemaintenant 1 000 simulations des 200 lancers d’un dé tétraédrique bien équilibré et on calcule pour chaque simulation le nombre d2. On obtient pour la série statistique des 1 000 valeurs de d2 les résultats suivants :

Minimum D1 Q1 Médiane Q3 D9 Maximum 0,001 24 0,001 92 0,002 35 0,002 81 0,003 45 0,004 52 0,010 15

Au risque de 10%, peut-on considérer que ce dé est pipé 7

Exercices de probabilités 88

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

81 Centres étrangers juin 2006 Retour au tableau On lance un dé tétraédrique dont les quatre faces portent les nombres 1, 2, 3 et 4. On lit le nombre sur la face cachée. Pour k ∈ {1 ; 2 ; 3 ; 4), on note pi la probabilité d’obtenir le nombre k sur laface cachée. Le dé est déséquilibré de telle sorte que les nombres p1, p2, p3 et p4 dans cet ordre, forment une pro- gression arithmétique.

1. Sachant que p4 = 0,4 démontrer que p1 = 0,1, p2 = 0,2 et p3 = 0,3. 2. On lance le dé trois lois de suite. On suppose que les lancers sont deux à deux indépendants.

a. Quelle est la probabilité d’obtenir dans l’ordre les nombres 1, 2, 4 ?

b. Quelle est la probabilité d’obtenir trois nombres distincts rangés dans l’ordre croissant ?

3. On lance 10 fois de suite le dé. On suppose les lancers deux à deux indépendants. On note X la variable aléatoire qui décompte le nombre de fois où le chiffre 4 est obtenu.

a. Pour 16 i 6 10, exprimer en fonction de i la probabilité de l’évènement (X = i ). b. Calculer l’espérance mathématique de X . Interpréter le résultat obtenu.

c. Calculer la probabilité de l’évènement (X > 1). On donnera une valeur arrondie aumillième.

4. Soit n un entier naturel non nul. On lance n fois le dé, les lancers étant encore supposés indé- pendants deux à deux. On noteUn la probabilité d’obtenir pour la première fois le nombre 4 au n-ième lancer.

a. Montrer que (Un) est une suite géométrique et qu’elle est convergente.

b. Calculer Sn = n

i=1 Ui puis étudier la convergence de la suite (Sn).

c. Déterminer le plus petit entier n tel que Sn > 0,999.

Exercices de probabilités 89

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

82 Asie juin 2006 Retour au tableau Pierre et Claude jouent au tennis. Les deux joueurs ont la même chance de gagner la première partie. Par la suite, lorsque Pierre gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la suivante est 0,7. Et s’il perd une partie, la probabilité qu’il perde la suivante est 0,8. Dans tout l’exercice, n est un entier naturel non nul. On considère les évènements :

• Gn : « Pierre gagne la n-ième partie ». • Pn : « Pierre perd la n-ième partie ».

On pose : pn = p(Gn) et qn = p(Pn). 1. Recherche d’une relation de récurrence.

a. Déterminer p1 puis les probabilités conditionnelles pG1(G2) et pP1(G2).

b. Justifier l’égalité pn +qn = 1. c. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, pn+1 = 0,5pn+0,2.

2. Étude de la suite (

pn )

. On pose, pour tout entier naturel n non nul, vn = pn − 2

5 .

a. Prouver que la suite (vn) est une suite géométrique et exprimer vn en fonction de n.

b. En déduire l’expression de pn en fonction de n.

c. Déterminer la limite de la suite (

pn )

quand n tend vers +∞.

Exercices de probabilités 90

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

83 Amérique du Nord juin 2006 Retour au tableau Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte.

Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.

Une urne contient 10 bulletins indiscernables au toucher de 3 sortes : 4 sont marqués « oui », 3 sont marqués « non » et 3 sont marqués « blanc ». Lors d’un premier jeu, le joueur commence par miser 30 centimes d’euro. Il tire ensuite un bulletin de l’urne et l’y remet après l’avoir lu. Si le bulletin tiré est marqué « oui », le joueur reçoit 60 centimes d’euro, s’il est marqué « non », il ne reçoit rien. Si le bulletin tiré est marqué « blanc », il reçoit 20 centimes d’euro.

Question 1 Le jeu est :

A : favorable au joueur B : défavorable au joueur C : équitable

Question 2 Le joueur joue 4 parties indépendamment les unes des autres.

La probabilité qu’il tire au moins une fois un bulletinmarqué « oui » est égale à

A : 216

625 B :

544

625 C.

2

5

Lors d’un second jeu, le joueur tire simultanément deux bulletins de l’urne.

Question 3 : la probabilité qu’il obtienne un tirage de deux bulletins de sortes différentes est égale à :

A : 4

15 B :

11

30 C.

11

15

Exercices de probabilités 91

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

84 Libanmai 2006 Retour au tableau La durée de vie d’un robot, exprimée en années, jusqu’à ce que survienne la première panne est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ, avec λ> 0. Ainsi, la probabilité qu’un robot tombe en panne avant l’instant t est égale à

p(X 6 t )= ∫t

0 λe−λx dx.

1. Déterminer λ, arrondi à 10−1 près, pour que la probabilité p(X > 6) soit égale à 0,3. Pour la suite de l’exercice, on prendra λ= 0,2 .

2. À quel instant t , à un mois près, la probabilité qu’un robot tombe en panne pour la première fois est-elle de 0,5 ?

3. Montrer que la probabilité qu’un robot n’ait pas eu de panne au cours des deux premières années est e−0,4.

4. Sachant qu’un robot n’a pas eu de panne au cours des deux premières années, quelle est, à 10−2

près, la probabilité qu’il soit encore en état de marche au bout de six ans ?

5. On considère un lot de 10 robots fonctionnant de manière indépendante. Déterminer la proba- bilité que, dans ce lot, il y ait au moins un robot qui n’ait pas eu de panne au cours des deux premières années.

Exercices de probabilités 92

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

85 Pondichéry avril 2006 Retour au tableau En 2005, ce laboratoire de recherchemet au point un test de dépistage de lamaladie responsable de cette disparition et fournit les renseignements suivants : « La population testée comporte 50 % d’animaux malades. Si un animal est malade, le test est positif dans 99% des cas ; si un animal n’est pas malade, le test est positif dans 0,1 % des cas ».

On note M l’évènement « l’animal est malade », M l’évènement contraire et T l’évènement « le test est positif ».

1. Déterminer P (M), PM (T ), PM (T ).

2. En déduire P (T ).

3. Le laboratoire estime qu’un test est fiable, si sa valeur prédictive, c’est-à-dire la probabilité qu’un animal soit malade sachant que le test est positif, est supérieure à 0,999. Ce test est-il fiable ?

Exercices de probabilités 93

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

86 Amérique du sud novembre 2005 Retour au tableau Les parties A et B sont indépendantes Alain fabrique, en amateur, des appareils électroniques. Il achète pour cela, dans unmagasin, des com- posants en apparence tous identiquesmais dont certains présentent un défaut. On estime que la probabilité qu’un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02. Partie A

On admet que le nombre de composants présentés dans le magasin est suffisamment important pour que l’achat de 50 composants soit assimilé à 50 tirages indépendants avec remise, et on appelle X le nombre de composants défectueux achetés. Alain achète 50 composants.

1. Quelle est la probabilité qu’exactement deux des composants achetés soient défectueux ? Donner une valeur approchée de cette probabilité à 10−1 près.

2. Quelle est la probabilité qu’au moins un des composants achetés soit défectueux ? Donner une valeur approchée de cette probabilité à 10−2 près.

3. Quel est, par lot de 50 composants achetés, le nombremoyen de composants défectueux ?

Partie B

On suppose que la durée de vie T1 (en heures) de chaque composant défectueux suit une loi expo- nentielle de paramètre λ1 = 5× 10−4 et que la durée de vie T2 (en heures) de chaque composant non défectueux suit une loi exponentielle de paramètre λ2 = 10−4 (on pourra se reporter au formulaire ci- dessous).

1. Calculer la probabilité que la durée de vie d’un composant soit supérieure à 1 000 heures :

a. si ce composant est défectueux ;

b. si ce composant n’est pas défectueux. Donner une valeur approchée de ces probabilités 10−2

près.

2. Soit T la durée de vie (en heures) d’un composant acheté au hasard. Démontrer que la probabilité que ce composant soit encore en état de marche après t heures de fonctionnement est :

P (T > t )= 0,02e−5×10 −4 t +0,98e−10

−4t .

(on rappelle que la probabilité qu’un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02).

3. Sachant que le composant acheté est encore en état de fonctionner 1 000 heures après son instal- lation, quelle est la probabilité que ce composant soit défectueux ? Donner une valeur approchée de cette probabilité à 10−2 près.

Formulaire Loi exponentielle (ou de durée de vie sans vieillissement) de paramètreλ sur [0 ; +∞[ : Pour

06 a6 b, P ([a ; b])= ∫b

a λe−λx dx. Pour c > 0, P ([c ; +∞[)= 1−

c

0 λe−λx dx.

Exercices de probabilités 94

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

87 Nouvelle–Calédonie novembre 2005 Retour au tableau Cet exercice comporte deux parties indépendantes.

La partie I est la démonstration d’un résultat de cours. La partie II est un Q.C.M.

Partie I Question de cours

Soient A et B deux évènements indépendants. Démontrer que A et B sont indépendants.

Partie II

Pour chacune des questions suivantes, une et une seule des quatre propositions est exacte.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse enlève 0,5 point. L’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total de cette partie est négatif, la note correspondant à la partie II est ramenée à zéro.

1. Une urne comporte cinq boules noires et trois boules rouges indiscernables au toucher.

On extrait simultanément trois boules de l’urne. Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules noires et une boule rouge ?

A 75

512 B

13

56 C

15

64 D

15

28

2. Au cours d’une épidémie de grippe, on vaccine le tiers d’une population.

Parmi les grippés, un sur dix est vacciné. La probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la population soit grippée est 0,25.

Quelle est la probabilité pour un individu vacciné de cette population de contracter la grippe ?

A 1

120 B

3

40 C

1

12 D

4

40

3. Un joueur lance une fois un dé bien équilibré.

Il gagne 10( si le dé marque 1. Il gagne 1 ( si le dé marque 2 ou 4. Il ne gagne rien dans les autres cas. Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur.

Quelle est la variance de X ?

A 2 B 13 C 16 D 17

4. La durée d’attente T , en minutes, à un péage d’autoroute avant le passage en caisse est une va-

riable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ= 1

6 . On a donc pour tout réel t > 0 :

P (T < t )= ∫t

0 λe−λxdx ( avec λ=

1

6 )

t désigne le temps exprimé en minutes.

Sachant qu’un automobiliste a déjà attendu 2 minutes, quelle est la probabilité (arrondie à 10−4

près) que son temps total soit inférieur à 5 minutes ?

A 0,2819 B 0,3935 C 0,5654 D 0,6065

Exercices de probabilités 95

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

88 Polynésie septembre 2005 Retour au tableau On étudie le mouvement aléatoire d’une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées A, B et C. À l’instant 0, la puce est en A. Pour tout entier naturel n : • si à l’instant n la puce est en A, alors à l’instant (n+1), elle est :

soit en B avec une probabilité égale à 1

3 ;

soit en C avec une probabilité égale à 2

3 .

• si à l’instant n la puce est en B, alors à l’instant (n+1), elle est : soit en C, soit en A de façon équiprobable • si à l’instant n la puce est en C, alors elle y reste. On note An (respectivement Bn , Cn) l’évènement « à l’instant n la puce est en A » (respectivement en B, en C). On note an (respectivement bn , cn) la probabilité de l’évènement An , (respectivement Bn , Cn). On a donc : a0 = 1, b0 = c0 = 0. Pour traiter l’exercice, on pourra s’aider d’arbres pondérés.

1. Calculer ak , bk et ck pour k entier naturel tel que 16 k 6 3.

2. a. Montrer que, pour tout entier naturel n, an +bn +cn = 1 et 

an+1 = 1

2 bn

bn+1 = = 1

3 an

b. Montrer que, pour tout entier naturel n, an+2 = 1

6 an .

c. En déduire que, pour tout entier naturel p,

a2p = (

1

6

)p

et a2p+1 = 0

b2p = 0 et b2p+1 = 1

3

(

1

6

)p

3. Montrer que lim n→+∞

an = 0. On admet que lim n→+∞

bn = 0. Quelle est la limite de cn lorsquen tend vers +∞ ?

Exercices de probabilités 96

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

89 Antilles-Guyane septembre 2005 Retour au tableau Onmodélise le temps d’attente entre deux clients à un guichet comme une variable aléatoire X suivant une loi exponentiellede paramètreλ. La probabilité pour un client d’attendremoins de t min est définie par :

p(X 6 t )= ∫t

0 λe−λt dx.

Le tempsmoyen d’attente est donné par :

lim t→+∞

t

0 λe−λx dx.

1. a. à l’aide d’une intégration par parties, calculer ∫t

0 λe−λx dx en fonction de t .

b. En déduire que le tempsmoyen est 1

λ .

2. Le tempsmoyen d’attente étant de 5 min, quelle est la probabilité d’attendre plus de 10min ? plus de 5 min ?

3. Quelle est la probabilité d’attendre encore au moins 5 min, sachant qu’on a déjà attendu 10 min ? Comment expliquez-vous ce résultat ?

Exercices de probabilités 97

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

90 Amérique du Nord juin 2005 Retour au tableau On dispose d’un dé cubique équilibré dont une face porte le numéro 1, deux faces portent le numéro 2 et trois faces portent le numéro 3. On dispose également d’une urne contenant dix boules indiscernables au toucher, portant les lettres L, O, G, A, R, I, T, H, M, E (soit quatre voyelles et six consonnes). Un joueur fait une partie en deux étapes : Première étape : il jette le dé et note le numéro obtenu. Deuxième étape :

• si le dé indique 1, il tire au hasard une boule de l’urne. Il gagne la partie si cette boule porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.

• si le dé indique 2, il tire au hasard et simultanément deux boules de l’urne. Il gagne la partie si chacune de ces deux boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.

• si le dé indique 3, il tire au hasard et simultanément trois boules de l’urne. Il gagne la partie si chacune de ces trois boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.

À la fin de chaquepartie, il remet dans l’urne la ou les boules tirée(s). On définit les évènements suivants : D1 : « le dé indique 1 » D2 : « le dé indique 2 » D3 : « le dé indique 3 » G : « la partie est gagnée ». A et B étant deux évènements tels que p(A) 6= 0, on note pA(B) la probabilité de B sachant que A est réalisé.

1. a. Déterminer les probabilités pD1(G), pD2(G), et pD3(G)

b. Montrer alors que p(G) = 23

180 .

2. Un joueur a gagné la partie. Calculer la probabilité qu’il ait obtenu le numéro 1 avec le dé.

3. Un joueur fait six parties. Calculer la probabilité qu’il en gagne exactement deux et en donner une valeur arrondie à 10−2 près.

Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité d’en gagner au moins une soit supérieure à 0,9 ?

Exercices de probabilités 98

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

91 Antilles–Guyane juin 2005 Retour au tableau Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de six questions ; chacune comporte trois réponses, une seule est exacte. On notera sur la copie uniquement la lettre correspondant â la réponse choisie. Un lecteur d’une bibliothèque est passionné de romans policiers et de biographies. Cette bibliothèque lui propose 150 romans policiers et 50 biographies. 40 % des écrivains de romans policiers sont français et 70 % des écrivains de biographies sont français. Le lecteur choisit un livre au hasard parmi les 200 ouvrages.

1. La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est :

a. 0,4 b. 0,75 c. 1

150

2. Le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilité que l’auteur soit français est :

a. 0,3 b. 0,8 c. 0,4

3. La probabilité que Ie lecteur choisisse un roman policier français est

a. 1,15 b. 0,4 c. 0,3

4. La probabilité que le lecteur choisisse un livre d’un écrivain français est :

a. 0,9 b. 0,7 c. 0,475

5. La probabilité que le lecteur ait choisi un roman policier sachant que l’écrivain est français est :

a. 4

150 b.

12

19 c. 0,3

6. Le lecteur est venu 20 fois à la bibliothèque ; la probabilité qu’il ait choisi au moins un roman policier est :

a. 1− (0,25)20 b. 20×0,75 c. 0,75× (0,25)20

Exercices de probabilités 99

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

92 Asie juin 2005 Retour au tableau Une association organise une loterie pour laquelle une participationm exprimée en euros est deman- dée. Un joueur doit tirer simultanémentau hasard, deux boules dans uneurne contenant 2 boules vertes et 3 boules jaunes. Si le joueur obtient deux boules de couleurs différentes, il a perdu. Si le joueur obtient deux boules jaunes, il est remboursé de sa participationm. Si le joueur obtient 2 boules vertes, il peut continuer le jeu qui consiste à faire tourner une roue où sont inscrits des gains répartis comme suit :

• sur 1

8 de la roue le gain est de 100(,

• sur 1

4 de la roue le gain est de 20(,

• sur le reste le joueur est remboursé de sa participationm. On appelle V l’évènement « le joueur a obtenu 2 boules vertes ». On appelle J l’évènement « le joueur a obtenu 2 boules jaunes ». On appelle R l’évènement « le joueur est remboursé de sa participation et ne gagne rien ».

1. Quelques calculs.

a. Calculer les probabilités P (V) et P (J) des évènements respectifs V et J.

b. On note PV(R) la probabilité pour le joueur d’être remboursé sachant qu’il a obtenu deux boules vertes. Déterminer PV(R) puis P (R∩V).

c. Calculer P (R).

d. Calculer la probabilité de gagner les 100(, puis la probabilité de gagner les 20( de la roue.

2. On appelle X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur c’est-à-dire la différence entre les sommes éventuellement perçues et la participation initialem.

a. Donner les valeurs prises par la variable aléatoire X .

b. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X et vérifier que p(X =−m) est 0,6.

c. Démontrer que l’espérance mathématique de la variable aléatoire X est E(X )= 140−51m

80 .

d. L’organisateur veut fixer la participationm à une valeur entière en euro. Quelle valeur mini- male faut-il donner àm pour que l’organisateur puisse espérer ne pas perdre d’argent ?

3. Un joueur se présente et décide de jouer 4 fois, quels que soient les résultats obtenus.

Calculer la probabilité qu’il perde au moins une fois sa mise.

4. Onvoudrait qu’un joueur ait plus d’une chance sur deux d’être remboursé de samise ou de gagner quand il joue une seule fois.

On note G cet évènement. Pour cela on garde deux boules vertes dans l’urne mais on modifie le nombre de boules jaunes. On appelle n le nombre de boules jaunes, on suppose n> 1. Calculer la valeur minimale de n pour que la condition précédente soit vérifiée.

Exercices de probabilités 100

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