Exercices de spécialité sur le nombre complexe, Exercices de Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Exercices de spécialité sur le nombre complexe, Exercices de Mathématiques

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Exercices de spécialité le nombre complexe. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Écrire le nombre complexe, Construire les points C et D, puis calculer l’affixe du point D.
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[ Baccalauréat S Nombres complexes\ Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012

Tapuscrit : DENIS VERGÈS

No Lieu et date Q.C.M. Algébri- que

Géomé- trie

z′ = f (z)

1 Asie juin 2012 × × 2 Métropole juin 2012 × × × 3 Antilles-Guyane juin 2012 × × × 4 Centres étrangers juin 2012 × × × 5 Polynésie juin 2012 × × 6 Amérique du Nord mai 2012 × × × 7 Libanmai 2012 × × × 8 Pondichéry avril 2012 × × × 9 Nouvelle-Calédoniemars 2012 × × 10 Amérique du Sud novembre 2011 × × 11 Nouvelle-Calédonie novembre 2011 × × 12 Polynésie septembre 2011 × × × 13 Métropole septembre 2011 × × × 14 Antilles-Guyane septembre 2011 × × 15 Polynésie juin 2011 × × × 16 Métropole juin 2011 × × × 17 La Réunion juin 2011 × × × 18 Centres étrangers juin 2011 × × × 19 Asie juin 2011 × × × 20 Antilles–Guyane juin 2011 × × × 21 Libanmai 2011 × × × 22 Amérique du Nord mai 2011 × × 23 Amérique du Sud novembre 2010 × × × 24 Nouvelle-Calédonie novembre 2010 × × × 25 Polynésie septembre 2010

26 Métropole septembre 2010 × × × 27 Polynésie juin 2010 × × 28 Métropole juin 2010 × 29 La Réunion juin 2010 × 30 Centres étrangers juin 2010 × 31 Asie juin 2010 × 32 Antilles-Guyane juin 2010 × 33 Amérique du Nord juin 2010 × × 34 Nouvelle-Calédonie nov. 2009 × × 35 Amérique du Sud nov. 2009 × × 36 Polynésie septembre 2009 × ×

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

No Lieu et date Q.C.M. Algébri- que

Géomé- trie

z′ = f (z)

37 Antilles-Guyane septembre 2009 × × 38 Polynésie juin 2009 × × 39 Métropole juin 2009 × × 40 La Réunion juin 2009 × × 41 Asie juin 2009 × × × 42 Antilles-Guyane juin 2009 × × 43 Liban juin 2009 × × × 44 Amérique du Nord juin 2009 × × × 45 Nouvelle–Calédoniemars 2009 × × × 46 Amérique du Sud décembre 2008 × × 47 Nouvelle-Calédonie novembre 2008 × × 48 Métropole La Réunion sept. 2008 × × × 49 Antilles-Guyane septembre 2008 × × 50 Polynésie juin 2008 × × × 51 Liban juin 2008 × × 52 Centres étrangers juin 2008 × × × 53 Métropole juin 2008 × × 54 La Réunion juin 2008 × × 55 Asie juin 2008 × × × 56 Antilles–Guyane juin 2008 × × × 57 Amérique du Nord juin 2008 × × × 58 Pondichéry avril 2008 × × × 59 Nlle-Calédonie décembre 2007 × × × 60 Amérique du Sud novembre 2007 × × 61 Métropole-La Réunion sept. 2007 × × 62 Antilles-Guyane septembre 2007 × × 63 Polynésie juin 2007 × × 64 La Réunion juin 2007 × × 65 Métropole juin 2007 × × 66 Centres étrangers juin 2007 × × 67 Asie juin 2007 × × 68 Liban juin 2007 × × 69 Nouvelle-Calédonie déc. 2006 × × 70 Amérique du Sud novembre 2006 × × 71 Polynésie septembre 2006 × × 72 Métropole septembre 2006 × × × 73 Polynésie juin 2006 × × 74 La Réunion juin 2006 × × × 75 Métropole juin 2006 × ×

Exercices sur les complexes 2

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

No Lieu et date Q.C.M. Algébri- que

Géomé- trie

z′ = f (z)

76 Centres étrangers juin 2006 × 77 Asie juin 2006 × × 78 Antilles-Guyane juin 2006 × × × 79 Libanmai 2006 × × 80 Pondichéry avril 2006 × × 81 Amérique du Sud novembre 2005 × × 82 Nouvelle–Calédonie nov. 2005 × × 83 Métropole septembre 2005 × × 84 Antilles septembre 2005 × × × 85 Polynésie septembre 2005 × × 86 Amérique du Nord juin 2005 × × 87 Antilles juin 2005 × 88 Asie juin 2005 × × × 89 Centres étrangers juin 2005 × × No Lieu et date Q.C.M. Algébri-

que Géomé- trie

z′ = f (z)

90 Métropole juin 2005 × 91 Liban juin 2005 × 92 La Réunion septembre 2004 × × 93 Nouvelle-Calédonie nov. 2004 × × 94 Polynésie septembre 2004 × × 95 Antilles-Guyane septembre 2004 × × 96 Amérique du Nord mai 2004 × × × 97 Antilles-Guyane juin 2004 × × 98 Asie juin 2004 × × 99 Centres étrangers juin 2004 × × 100 Métropole juin 2004 × × 101 Liban juin 2004 × × 102 Polynésie juin 2004 × 103 La Réunion juin 2004 × × 104 Nouvelle-Calédoniemars 2004 × 105 Pondichéry avril 2004 × × 106 Amérique du Sud nov. 2003 × 107 Antilles septembre 2003 × × 108 Métropole septembre 2003 × 109 Amérique du Nord juin 2003 × × 110 Antilles juin 2003 × 111 Asie juin 2003 × × 112 Métropole juin 2003 × 113 Liban juin 2003 ×

Exercices sur les complexes 3

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

No Lieu et date Q.C.M. Algébri- que

Géomé- trie

z′ = f (z)

114 Nouvelle-Calédoniemars 2003 × × 115 Polynésie juin 2003 × 116 Pondichéry mars 2003 × × 117 Amérique du Sud déc. 2002 × × 118 Antilles septembre 2002 × 119 Métropole septembre 2002 × × 120 Nouvelle-Calédonie nov. 2002 × × 121 Polynésie septembre 2002 × × × 122 Amérique du Nord juin 2002 × × 123 Antilles juin 2002 × 124 Asie juin 2002 × × 125 Centres étrangers juin 2002 × 126 Métropole juin 2002 × × 127 La Réunion juin 2002 × × × 128 Polynésie juin 2002 × × 129 Pondichéry avril 2002 × × 130 Antilles septembre 2001 × 131 Métropole septembre 2001 × × 132 Polynésie septembre 2001 × 133 Amérique du Nord juin 2001 × × 134 Antilles juin 2001 × × 135 Asie juin 2001 × × 136 Métropole juin 2001 × × 137 Liban juin 2001 × 138 Polynésie juin 2001 × × 139 Pondichéry avril 2001 × × 140 Amérique du Sud nov. 2000 × 141 Nouvelle–Calédonie déc. 2000 × × 142 Antilles–Guyane sept. 2000 × × 143 Amérique du Nord juin 2000 × × 144 Antilles juin 2000 × × 145 Asie juin 2000 × 146 Métropole juin 2000 × 147 La Réunion juin 2000 × × 148 Liban juin 2000 × × 149 Polynésie juin 2000 × × 150 Pondichéry avril 2000 × × 151 Métropole septembre 1999 × 152 Nouvelle–Calédonie déc. 1999 ×

Exercices sur les complexes 4

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

153 Sportifs haut-niveau sept. 1999 × ×

Exercices sur les complexes 5

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1 Asie juin 2012

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

On note r la rotation de centre O et d’angle π

6 .

On considère le point A, d’affixe zA =− p 3+ i, le point A1 d’affixe zA1 = zA où zA

désigne le conjugué de zA. On note enfin B image du point A1 par la rotation r et zB l’affixe du point 8.

1. a. Écrire le nombre complexe zA sous forme exponentielle, puis placer les points A et A1, dans le repère. On prendra 2 cm comme unité graphique.

b. Vérifier que zB= 2e− 2iπ 3 sous forme exponentielle, puis écrire le nombre

complexe zB sous forme algébrique.

Placer alors le point B dans le même repère.

2. On considère le vecteur unitaire −→ w , tel que

(−→ u ,

−→ w

) =

π

12 , et la droite ∆

passant par O et de vecteur directeur −→ w .

a. Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle en O.

b. Tracer la droite ∆, puis démontrer que ∆ est la bissectrice de l’angle(−−→ OA ,

−−→ OB

) .

En déduire que les points A et B sont symétriques par rapport à la droite ∆.

3. On note B1 le symétrique de B par rapport à l’axe ( O ;

−→ u

) et B′ l’image de

B1 par la rotation r . Démontrer que B′ = A.

4. Dans cette question, toute trace de recherche ou d’initiative, même non aboutie, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soit C le point d’affixe p 2(1+ i) et D le symétrique de C par rapport à la

droite ∆.

Construire les points C et D, puis calculer l’affixe du point D

Exercices sur les complexes 6

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2 Métropole juin 2012

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

On appelle f l’application qui à tout point M d’affixe z différente de −1, fait correspondre le pointM ′ d’affixe

1

z+1 .

Le but de l’exercice est de déterminer l’image par f de la droite D d’équation

x =− 1

2 .

1. Soient A, B et C les points d’affixes respectives

zA =− 1

2 , zB =−

1

2 + i et zC =−

1

2 − 1

2 i.

a. Placer les trois points A, B et C sur une figure que l’on fera sur la copie en prenant 2 cm pour unité graphique.

b. Calculer les affixes des points A′ = f (A),B′ = f (B) et C′ = f (C) et pla- cer les points A’, B’et C’ sur la figure.

c. Démontrer que les points A′, B′ et C′ ne sont pas alignés.

2. Soit g la transformation du plan qui, à tout pointM d’affixe z, fait corres- pondre le pointM1 d’affixe z+1. a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transfor-

mation g .

b. Sans donner d’explication, placer les points A1, B1 et C1, images res- pectives par g de A, B et C et tracer la droiteD1, image de la droiteD par g .

c. Démontrer que D1 est l’ensemble des points M d’affixe z telle que |z−1| = |z|.

3. Soit h l’application qui, à tout point M d’affixe z non nulle, associe le

pointM2 d’affixe 1

z .

a. Justifier que h (A1)=A′,h (B1)=B′ et h (C1)=C′. b. Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul z, on a :

∣∣∣∣ 1

z −1

∣∣∣∣= 1 ⇐⇒ |z−1| = |z|.

c. En déduire que l’image par h de la droite D1 est incluse dans un cercle C dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.

On admet que l’image par h de la droite D1 est le cercle C privé de O.

4. Déterminer l’image par l’application f de la droite D.

Exercices sur les complexes 7

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3 Antilles-Guyane 21 juin 2012

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

On réalisera sur une feuille de papier millimétré une figure en prenant pour unité 2 cm. On complètera cette figure au fur et à mesure des questions.

On considère les points A, B etC du plan complexe d’affixes respectives :

a =−1+2i ; b =−2− i ; c =−3+ i

1. Placer les points A, B et C sur le graphique.

2. Calculer b

a , en déduire la nature du triangleOAB .

3. On considère l’application f qui à tout point M d’affixe z 6= b , associe le pointM ′ d’affixe z ′ définie par :

z ′ = z+1−2i z+2+ i

.

a. Calculer l’affixe c ′ du pointC ′, image deC par f et placer le pointC

sur la figure.

b. Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z avec z?b tels que∣∣z ′ ∣∣= 1.

c. Justifier que E contient les pointsO et C . Tracer E .

4. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l’évaluation.

On appelle J l’image du point A par la rotation r de centre O et d’angle −π2 . On appelle K l’image du point C par la rotation r ′ de centre O et d’angle π 2 . On note L le milieu de [JK ].

Démontrer que la médiane issue de O du triangleOJK est la hauteur is- sue deO du triangleOAC .

Exercices sur les complexes 8

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

4 Centres étrangers juin 2012

1. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal ( O ; −→u ; −→v

) , on

considère la transformation t d’écriture complexe

z ′ =−iz+5+ i.

Affirmation : la transformation t est la rotation de centre A d’affixe 3−2i et d’angle −

π

2 .

2. Dans l’ensemble des nombres complexes, on considère l’équation (E) d’in- connue z :

z2− zz−1= 0.

Affirmation : l’équation (E) admet au moins une solution.

3. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal ( O ; −→u ; −→v

) , on

considère les points A, B et C d’affixes respectives a = −1, b = i et c =p 3+ i(1−

p 3).

Affirmation : le triangleABC possède un angle dont unemesure est égale à 60˚.

Exercices sur les complexes 9

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

5 Polynésie juin 2012

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct ( O ; −→u ; −→v

) , on

considère les points A, B et C d’affixes respectives a =−2+2i, b =−3−6i et c = 1.

La figure de l’exercice est donnée en annexe. Elle peut servir à émettre des conjectures, à vérifier des résultats.

1. Quelle est la nature du triangle ABC ?

2. a. Donner l’écriture complexe de la rotation r de centre B et d’angle π

2 .

b. En déduire l’affixe du point A’ image de A par r .

c. Vérifier que l’affixe s du point S milieu de [AA’] est s =− 13

2 − 3

2 i.

d. Démontrer que le point S appartient au cercle circonscrit au triangle ABC.

3. Onconstruit de lamêmemanière C’ l’image de C par la rotationde centre

A et d’angle π

2 , Q le milieu de [CC’], B’ l’image de B par la rotation de

centre C et d’angle π

2 et P le milieu de [BB’].

On admet que les affixes respectives de Q et de P sont q = 1

2 + 5

2 i et p =

2−5i. a. Démontrer que

sq pa

=−i.

b. En déduire que les droites (AP) et (QS) sont perpendiculaires et que les segments [AP] et [QS] sont de même longueur.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CS) sont concourantes.

Exercices sur les complexes 10

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

6 Amérique du Nord juin 2012

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

On considère l’application f du plan dans luimême qui, à tout pointM d’affixe z, associe le pointM ′ d’affixe z ′ telle que : z ′ = z2. On noteΩ le point d’affixe 1.

1. Déterminer l’ensemble Γ1 des pointsM du plan tels que f (M)=M . 2. Soit A le point d’affixe a =

p 2− i

p 2.

a. Exprimer a sous forme exponentielle.

b. En déduire les affixes des deux antécédents de A par f .

3. Déterminer l’ensemble Γ2 des points M d’affixe z tels que l’affixe z ′ du pointM ′ soit un nombre imaginaire pur.

4. Dans cette question, on souhaite déterminer l’ensemble Γ3 des pointsM distincts deΩ pour lesquels le triangleΩMM ′ est rectangle isocèle direct enΩ.

a. À l’aide de la rotation de centre Ω et d’angle π2 , montrer que M est un point de Γ3 si et seulement si z2− iz−1+ i= 0 et z 6= 1.

b. Montrer que z2− iz−1+ i= (z−1)(z+1− i). c. En déduire l’ensemble Γ3.

5. SoitM un point d’affixe z différente de 0 et de 1.

a. Exprimer (−−−→ OM ,

−−−→ OM

) en fonction d’un argument de z.

b. En déduire l’ensemble Γ4 des points M distincts de O et de Ω tels que O, M etM ′ soient alignés.

Exercices sur les complexes 11

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

7 Libanmai 2012

On se place dans le plan complexemuni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

1. Un triangle

a. On considère les points A, B etC d’affixes respectives a = 2, b = 3+ i

p 3 et c = 2i

p 3.

Déterminer unemesure de l’angle ABC . b. En déduire que l’affixe ω du centre Ω du cercle circonscrit au tri-

angle ABC est 1+ i p 3.

2. Une transformation du plan

On note (zn) la suite de nombres complexes, de terme initiale zO = 0, et telle que :

zn+1 = 1+ i

p 3

2 zn +2, pour tout entier naturel n.

Pour tout entier naturel n, on note An le point d’affixe zn .

a. Montrer que les points A2, A3 et A4 ont pour affixes respectives :

3+ i p 3, 2+2i

p 3 et 2i

p 3

On remarquera que : A1 = 1, A2 =B et A4 =C . b. Comparer les longueurs des segments [A1A2], [A2A3] et [A3A4].

c. établir que pour tout entier naturel n, on a :

zn+1−ω= 1+ i

p 3

2 (znω),

ω désigne le nombre complexe défini à la question 1. b).

d. En déduire que le point An+1 est l’image du point An par une trans- formation dont on précisera les éléments caractéristiques.

e. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : An+6 = An . Détermi- ner l’affixe du point A2012.

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer, pour tout entier natureln, la longueur du segment [AnAn+1].

Exercices sur les complexes 12

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

8 Pondichéry avril 2012

Partie A Restitution organisée de connaissances

Soit z un nombre complexe. On rappelle que z est le conjugué de z et que |z| est le module de z. On admet l’égalité : |z|2 = zz. Montrer que, si z1 et z2 sont deux nombres complexes, alors |z1z2| = |z1| |z2|.

Partie B : Étude d’une transformation particulière

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) , on

désigne par A et B les points d’affixes respectives 1 et −1. Soit f la transformation du plan qui à tout point M d’affixe z 6= 1, associe le pointM ′ d’affixe z ′ tel que :

z ′ = 1− z z−1

1. Soit C le point d’affixe zC =−2+ i. a. Calculer l’affixe zC′ du point C

′ image de C par la transformation f , et placer les points C et C′ dans le repère donné en annexe.

b. Montrer que le point C′ appartient au cercle C de centre O et de rayon 1.

c. Montrer que les points A, C et C′ sont alignés.

2. Déterminer et représenter sur la figure donnée en annexe l’ensemble ∆ des points du plan qui ont le point A pour image par la transformation f .

3. Montrer que, pour tout point M distinct de A, le point M ′ appartient au cercle C .

4. Montrer que, pour tout nombre complexe z 6= 1, z ′−1 z−1

est réel.

Que peut-on en déduire pour les points A,M etM ′ ?

5. On a placé un point D sur la figure donnée en annexe. Construire son image D′ par la transformation f .

Exercices sur les complexes 13

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Annexe à rendre avec la copie

EXERCICE 4

−→ u

−→ v

Ob D

Exercices sur les complexes 14

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

9 Nouvelle-Calédoniemars 2012

Partie A :

On considère le polynôme P défini sur C par

P (z)= z3− ( 2+ i

p 2 ) z2+2

( 1+ i

p 2 ) z−2i

p 2.

1. Montrer que le nombre complexe z0 = i p 2 est solution de l’équation

P (z)= 0. 2. a. Déterminer les réels a et b tels que P (z)=

( z− i

p 2 )( z2+az+b

) .

b. En déduire les solutions dans C de l’équation P (z)= 0.

Partie B :

Le plan complexe estmuni d’un repère orthonormédirect ( O,

−→ u ,

−→ v

) . On pren-

dra 2 cm pour unité graphique. On considère les points A, B, J et K d’affixes respectives :

zA = 1+ i, zB = 1− i, zJ = i p 2 et zK = e

3iπ 4 .

1. Placer les points A, B, J, K sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.

2. Soit L le symétriquedu point J par rapport au point K.Montrer que l’affixe de L est égale à −

p 2.

3. Montrer que les points A, B, J et L appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

4. Soit D le point d’affixe zD =−1+ i. On considère !a rotation r de centre O qui transforme J en D.

a. Déterminer unemesure de l’angle de la rotation r .

b. Soit C l’image du point L par la rotation r . Déterminer l’affixe du point C.

5. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Justifier la réponse.

Exercices sur les complexes 15

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

10 Amérique du Sud novembre 2011

1. Résoudre dans C l’équation

z2−2z+5= 0.

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

)

d’unité graphique 2 cm.

On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives zA,zB,zC et zD où :

zA = 1+2i, zB = zA, zC = 1+ p 3+ i, zD = zC.

a. Placer les points A et B dans le repère ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

b. Calculer zB− zC zA− zC

et donner le résultat sous forme algébrique.

c. En déduire la nature du triangle ABC.

3. Démontrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle Γ dont on précisera le centre et le rayon.

4. Construire les points C etDdans le repère ( O,

−→ u ,

−→ v

) . Expliquer la construc-

tion proposée.

Exercices sur les complexes 16

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

11 Nouvelle-Calédonie novembre 2011

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

On prendra 1 cm pour unité graphique.

1. Résoudre dans C l’équation z2−2z+2= 0. 2. Soit A, B, C et D les points d’affixes respectives :

zA = 1+ i ; zB = zA ; zC = 2zB ; zD = 3.

Construire une figure et la compléter tout au long de l’exercice.

3. Montrer que les trois points A, B et C appartiennent à unmême cercle de centre D dont on précisera le rayon.

4. Calculer zC−3 zA−3

. En déduire la nature du triangle DAC.

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On note h l’homothétie de centre D et de rapport 2. On note r la rotation

de centre D et d’angle π

2 . On appelle C′ l’image de C par h et C′′ l’image

de C′ par r .

Montrer que les droites (AC) et (C′C′′) sont perpendiculaires.

Exercices sur les complexes 17

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

12 Polynésie septembre 2011

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) . L’unité

graphique est 1 cm. On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives zA = 2− 3i, zB = i et zC = 6− i. On réalisera une figure que l’on complétera au fur et à mesure des questions. Partie A

1. Calculer zB− zA zC− zA

.

2. En déduire la nature du triangle ABC.

Partie B

On considère l’application f qui, à tout pointM d’affixe z distincte de i, associe le pointM ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = i(z−2+3i)

z− i 1. Soit D le point d’affixe zD = 1− i. Déterminer l’affixe du point D′ image du

point D par f .

2. a. Montrer qu’il existe un unique point, noté E, dont l’image par l’ap- plication f est le point d’affixe 2i.

b. Démontrer que E est un point de la droite (AB).

3. Démontrer que, pour tout pointM distinct du point B, OM ′ = AM

BM .

4. Démontrer que, pour tout pointM distinct du point A et du point B, on a l’égalité :

(−→ u ,

−−−→ OM

) =

(−−→ BM ,

−−→ AM

) + π

2 à2πprès.

5. Démontrer que si le point M appartient à la médiatrice du segment [AB] alors le point M ′ appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

6. Démontrer que si le point M ′ appartient à l’axe des imaginaires purs, privé du point B, alors le pointM appartient à la droite (AB).

Exercices sur les complexes 18

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

13 Métropole septembre 2011

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

On désigne par A le point d’affixe i et par f l’application du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z, distincte de i, associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = z− i z+ i

.

1. Calculer l’affixe du point B′, image du point B d’affixe 2− i par l’applica- tion f .

Placer les points B et B′ sur une figure que l’on fera sur la copie.

2. Démontrer que l’application f n’admet pas de point invariant. On rap- pelle qu’un point invariant est un point confondu avec son image.

3. a. Vérifier que, pour tout nombre complexe z, z− i= z+ i. b. Démontrer queOM ′ = 1 et interpréter géométriquement ce résultat. c. Démontrer que pour tout pointM distinct de A,

(−→ u ;

−−−→ OM

) = 2

(−→ u ;

−−→ AM

) +2k est un entier relatif.

d. En déduire une méthode de construction de l’image M ′ d’un point quelconqueM distinct de A.

4. Soit (d) la droite passant par le point A et dont un vecteur directeur est le

vecteur −→ w d’affixe ei

π 6 .

a. Dessiner la droite (d).

b. Déterminer l’image par l’application f de la droite (d) privée du point A.

Exercices sur les complexes 19

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

14 Antilles-Guyane septembre 2011

Le plan est rapporté à un repère orthonormédirect ( O,

−→ u ,

−→ v

) d’unité graphique

4 cm.

Partie A :

On note P le point d’affixe p =− 1

2 + i

p 3

2 , Q le point d’affixe q =−

1

2 − i

p 3

2 , et K

le point d’affixe −1. 1. a. Montrer que les points P et Q appartiennent au cercle Γ de centre O

et de rayon 1.

b. Faire une figure et construire les points P et Q.

2. a. Déterminer l’ensembleD des pointsM d’affixe z tels que |z| = |z+1|. Représenter cet ensemble sur la figure.

b. Montrer que P et Q sont les points d’intersection de l’ensembleD et du cercle Γ.

Partie B :

On considère trois nombres complexes non nuls a, b et c. On note A, B et C les points d’affixes respectives a, b et c.

On suppose que l’origineO du repère ( O,

−→ u ,

−→ v

) est à la fois le centre de gravité

et le centre du cercle circonscrit du triangle ABC.

1. a. Montrer que |a| = |b| = |c|. En déduire que ∣∣∣∣ b

a

∣∣∣∣= ∣∣∣ c a

∣∣∣= 1.

b. Montrer que a+b+c = 0.

c. Montrer que

∣∣∣∣ b

a

∣∣∣∣= ∣∣∣∣ b

a +1

∣∣∣∣= 1.

d. En utilisant la partie A, en déduire que b

a = p ou

b

a = q .

2. Dans cette question, on admet que b

a = p et

c

a = q .

a. Montrer que q −1 p−1

= ei π 3 .

b. Montrer que q −1 p−1

= ca ba

.

c. Déduire des deux questions précédentes la nature du triangle ABC.

Exercices sur les complexes 20

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

15 Polynésie 10 juin 2011

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et

donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne

rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou

d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

1. Soient A le point d’affixe 2−5i et B le point d’affixe 7−3i. Proposition 1 : Le triangle OAB est rectangle isocèle.

2. Soit (∆) l’ensemble des pointsM d’affixe z telle que |z− i| = |z+2i|. Proposition 2 : (∆) est une droite parallèle à l’axe des réels.

3. Soit z = 3+ i p 3.

Proposition 3 : Pour tout entier naturel n non nul, z3n est imaginaire pur.

4. Soit z un nombre complexe non nul.

Proposition 4 : Si π

2 est un argument de z alors |i+ z| = 1+|z|.

5. Soit z un nombre complexe non nul.

Proposition 5 : Si le module de z est égal à 1 alors z2+ 1

z2 est un nombre

réel.

Exercices sur les complexes 21

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

16 Métropole 22 juin 2011

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le

candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n’est demandée.

Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse fausse.

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

On désigne par A, B, C, D les points d’affixes respectives zA = 1, zB = i, zC = −1, zD =−i.

1. L’image E dupointD par la rotationde centre A et d’angle π

3 a pour affixe :

z = 1+

p 3

2 (1+ i),

z = 1+

p 3

2 (1− i),

z = 1−

p 3

2 (1− i),

z = 1−

p 3

2 (1+ i),

2. L’ensemble des points d’affixe z telle que |z+ i| = |z−1| est : • la médiatrice du segment [BC], • le milieu du segment [BC], • le cercle de centre O et de rayon 1, • la médiatrice du segment [AD].

3. L’ensemble des points d’affixe z telle que z+ i z+1

soit un imaginaire pur est :

• la droite (CD) privée du point C, • le cercle de diamètre [CD] privé du point C, • le cercle de diamètre [BD] privé du point C, • la médiatrice du segment [AB].

4. L’ensemble des points d’affixe z telle que arg(zi ) = − π

2 +2k ∈ Z

est :

• le demi-cercle de diamètre [BD] passant par A, • la droite (BD), • la demi-droite ]BD) d’origine B passant par D privée de B, • le cercle de diamètre [BD] privé de B et D.

Exercices sur les complexes 22

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

17 La Réunion 22 juin 2011

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

Partie A - Restitution organisée de connaissances

Soient A,B deux points du plan d’affixes respectives a et b. On rappelle que :

* (−→ u ,

−−→ AB

) = arg(ba)+2k ∈Z.

* L’image du point B par la rotation de centre A et d’angle θ est le point C défini par :

AC = AB et si A 6=B , (−−→ AB ,

−−→ AC

) = θ+2k ∈Z.

Exprimer l’affixe c du pointC en fonction de a, b et θ.

Partie B

1. Résoudre dans C l’équation 2z2−6z+9= 0. Dans la suite de l’exercice, on désigne par P, Q et R les points d’affixes respectives

zP = 3

2 (1+ i), zQ =

3

2 (1− i) et zR =−2i

p 3.

2. Placer les points P, Q, R sur une figure que l’on complètera au fur et à mesure de la résolution de l’exercice.

3. On note S le symétrique du point R par rapport au point Q.

Vérifier que l’affixe zS du point S est 3+ i ( 2 p 3−3

) .

4. Soit r la rotation de centre O et d’angle π

2 .

Déterminer les affixes zA et zC des points A et C, images respectives des points R et S par la rotation r .

5. Ondésigne par B et D les images respectives des points S et R par la trans-

lation de vecteur 3 −→ v .

Calculer les affixes zB et zD des points B et D.

6. a. Démontrer que zC− zP zB− zP

= i.

b. En déduire la nature du quadrilatère ABCD.

Exercices sur les complexes 23

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

18 Centres étrangers 16 juin 2011

Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou

fausse, en justifiant la réponse. Une réponse qui n’est pas justifiée ne sera pas

prise en compte.

Toute justification incomplète sera valorisée.

Question 1

Onconsidère, dans le plan complexemuni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ ı ,

−→

) ,

les points A, B et C d’affixes respectives :

a = 1+ i, b = 3i, c = (p

3+ 1

2

) + i

(p 3

2 +2

) .

Affirmation

Le triangle ABC est un triangle équilatéral.

Question 2

Onconsidère, dans le plan complexemuni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) ,

la transformation f dont une écriture complexe est : z ′ = (

2i p 3+ i

) z.

Affirmation

La transformation f est la rotation de centre O et d’angle π

3 .

Question 3 On considère le nombre complexe a =

( − p 3+ i

)2011 .

Affirmation

Le nombre complexe a est un nombre imaginaire pur.

Question 4 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ, où λ est un nombre strictement positif. On rappelle que, pour tout réel t strictement positif, la probabilité de l’évène- ment (X 6 t ) s’exprime par P (X 6 t )= 1−e−λt . Affirmation

Sachant que X > 2, la probabilité que X appartienne à l’intervalle [2 ; 3] est égale à 1−e−λ.

Question 5 Uneurne contient au totaln boules dont cinq sont blanches et les autres noires. On effectue 10 tirages successifs indépendants en remettant la boule dans l’urne après chaque tirage. Affirmation

La plus petite valeur de l’entier n, pour laquelle la probabilité d’obtenir au moins une boule noire sur les 10 tirages est supérieure ou égale à 0,9999, est égale à 13.

Exercices sur les complexes 24

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

19 Asie 21 juin 2011

Dans le plan complexe on considère les points A, B et C d’affixes respectives a = −2, b = 5i et c = 4 ainsi que les carrés ABIJ, AKLC et BCMN, extérieurs au triangle ABC, de centres respectifs S, T et U. La figure est donnée en annexe 2.

1. Donner l’écriture complexe de la rotation r de centre A et d’angle π

2 .En

déduire que le point J a pour affixe −7+2i. On admettra que l’affixe du point K est - 2 - 6i.

2. Justifier que les droites (BK) et (JC) sont perpendiculaires et que les seg- ments [BK] et [JC] ont la même longueur. Calculer cette longueur.

3. a. Calculer les affixes des points S et T.

b. Déterminer l’affixe du point U.

c. Démontrer que la droite (AU) est une hauteur du triangle STU.

4. Déterminer unemesure de l’angle (−→ JC ,

−−→ AU

) .

5. On admet que les droites (BK) et (JC) se coupent au point V d’affixe

v =−0,752+0,864i. a. Établir que les points A, V et U sont alignés.

b. Que représente la droite (AU) pour l’angle BVC ?

Exercices sur les complexes 25

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

20 Antilles–Guyane 20 juin 2011

Le plan complexe estmuni d’un repère orthonormédirect ( O,

−→ u ,

−→ v

) . On pren-

dra 2 cm pour unité graphique. On appelle J le point d’affixe i .

1. On considère les points A, B , C , H d’affixes respectives a = −3− i, b = −2+4i, c = 3− i et h =−2. Placer ces points sur une figure, qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.

2. Montrer que J est le centre du cercle C circonscrit au triangle ABC . Pré- ciser le rayon du cercle C .

3. Calculer, sous forme algébrique, le nombre complexe bc ha

. En déduire

ques les droites (AH) et (BC ) sont perpendiculaires.

Dans la suite de l’exercice, on admet que H est l’orthocentre du triangle ABC , c’est-à-dire le point d’intersection des hauteurs du triangle ABC .

4. On noteG le centre de gravité du triangle ABC . Déterminer l’affixe g du pointG . PlacerG sur la figure.

5. Montrer que le centre de gravité G , le centre du cercle cironcscrit J et l’orthocentre H du triangle ABC sont alignés. Le vérifier sur la figure.

6. On note A′ le milieu de [BC ] et K celui de [AH]. Le point A′ a pour affixe

a′ = 1

2 + 3

2 i.

a. Déterminer l’affixe du point K .

b. Démontrer que le quadrilatère KHAJ est un parallélogramme.

Exercices sur les complexes 26

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

21 Liban 30mai 2011

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) , on

considère les points A et B d’affixes respectives :

zA = 1− i et zB = 2+ p 3+ i.

1. Déterminer le module et un argument de zA.

2. a. Écrire zB

zA sous forme algébrique.

b. Montrer que zB

zA =

( 1+

p 3 ) ei

π 3 .

c. En déduire la forme exponentielle de zB.

3. On note B1 l’image du point B par la rotation r de centre O et d’angle− π

6 .

a. Déterminer l’affixe du point B1.

b. En déduire que le point B1 est le symétrique du point B par rapport

à l’axe ( O ;

−→ u

) .

Soit M un point du plan. On note M1 l’image du point M par la rotation

r etM ′ le symétrique du pointM1 par rapport à l’axe ( O ;

−→ u

) .

On désigne par (E) l’ensemble des pointsM du plan tels queM ′ =M . a. Montrer que les points O et B appartiennent à l’ensemble (E).

b. SoitM un point distinct du point O.

Son affixe z est égale à ρeiθ ρ est un réel strictement positif et θ un nombre réel.

Montrer que l’affixe z ′ du point M ′ est égale à ρei ( π 6−θ

) puis déter-

miner l’ensemble des valeurs du réel θ telles que M appartienne à l’ensemble (E).

c. Déterminer l’ensemble (E).

Exercices sur les complexes 27

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

22 Amérique du Nordmai 2011

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

On considère les points A et B d’affixes respectives : a = i et b = 1+ i. On note : rA la rotation de centre A, d’angle

π

2 , rB la rotation de centre B, d’angle

π

2 et rO la rotation de centre O, d’angle −

π

2 .

Partie A

On considère le point C d’affixe c = 3i. On appelle D l’image de C par rA, G l’image de D par rB et H l’image de C par rO. On note d ,g et h les affixes respectives des points D, G et H.

1. Démontrer que d =−2+ i. 2. Déterminer g et h.

3. Démontrer que le quadrilatère CDGH est un rectangle.

Partie B

Onconsidère unpointM , distinct deO et de A, d’affixem. On appelleN l’image deM par rA, P l’image de N par rB etQ l’image deM par rO. On note n,p et q les affixes respectives des points N , P etQ.

1. Montrer que n = im+1+ i. On admettra que p =−m+1+ i et q =−im. 2. Montrer que le quadrilatèreMNPQ est un parallélogramme.

3. a. Montrer l’égalité : mn pn

= i+ 1

m .

b. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’éva-

luation.

Déterminer l’ensemble (Γ) des pointsM tels que le quadrilatèreMNPQ soit un rectangle.

Exercices sur les complexes 28

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

23 Amérique du Sud novembre 2010

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

Soit A, B et P les points d’affixes respectives a = 5+5i, b = 5−5i et p = 10. On considère un pointM , distinct de O, d’affixe z. On noteU le point d’affixe u, image du point M par la rotation RA de centre A

et d’angle de mesure − π

2 .

On note T le point d’affixe t , image du pointM par la rotationRB de centre B et

d’angle de mesure π

2 .

SoitD le symétrique du pointM par rapport à O.

1. Démontrer que l’affixe du pointU est u = i(10− z) ; exprimer en fonction de z l’affixe du point T puis justifier que le quadrilatère MUDT est un parallélogramme de centre O.

2. Déterminer l’ensemble Γ des pointsM d’affixe z tels que : zz−5z−5z = 0. Justifier que le quadrilatère OAPB est inscrit dans Γ.

3. On suppose que le point M est distinct de O, A et P. Les points O, M etU sont donc distincts deux à deux.

a. Démontrer que les points O, M etU sont alignés si et seulement si u

z =

u

z .

b. Démontrer que les points O, M etU sont alignés si et seulement si M appartient à Γ.

4. Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que OMU soit un tri- angle isocèle enO.Quelle est dans ce cas la nature duquadrilatèreMUDT ?

5. Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que u

z soit un ima-

ginaire pur. En déduire la nature du quadrilatère MUDT dans le cas où M est un point de la droite (OP) privée de O et P.

Prouver finalement qu’il existe une unique position du point M tel que MUDT soit un carré.

Exercices sur les complexes 29

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

24 Nouvelle-Calédonie novembre 2010

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) d’unité

graphique 2 cm. On considère les points A, B et C d’affixes respectives

zA =−2i, zB =− p 3+ i et zC =

p 3+ i.

1. a. Écrire zA, zB et zC sous forme exponentielle.

b. En déduire le centre et le rayon du cercle Γ passant par les points A, B et C.

c. Faire une figure et placer le point A, tracer le cercle Γ puis placer les points B et C.

2. a. Écrire le quotient zB− zA zC− zA

sous forme algébrique puis sous forme ex-

ponentielle.

b. En déduire la nature du triangle ABC .

3. On note r la rotation de centre A et d’angle mesurant π

3 radians.

a. Montrer que le point O′, image de O par r , a pour affixe − p 3− i.

b. Démontrer que les points C et O′ sont diamétralement opposés sur le cercle Γ.

c. Tracer l’image Γ′ du cercle Γ par la rotation r .

d. Justifier que les cercles Γ et Γ′ se coupent en A et B.

4. a. Déterminer l’ensemble (E ) des pointsM d’affixe z tels que

|z| = ∣∣∣z+

p 3+ i

∣∣∣ .

b. Montrer que les points A et B appartiennent à (E ).

Exercices sur les complexes 30

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

25 Polynésie septembre 2010

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) (unité :

1 cm). On fera une figure que l’on complétera au fur et à mesure des questions.

On considère les points A, B, S etΩ d’affixes respectives a =−2+4i, b =−4+2i, s =−5+5i et ω=−2+2i.

Soit h l’homothétie de centre S et de rapport 3. On appelle C l’image du point A par h et D l’image du point B par h.

1. a. Déterminer l’écriture complexe de h.

b. Démontrer que le point C a pour affixe c = 4+2i et que le point D a pour affixe d =−2−4i.

2. Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

3. Démontrer que la droite (SΩ) est la médiatrice du segment [AB].

4. Soit P le milieu du segment [AC].

a. Déterminer l’affixe p du point P.

b. Démontrer que ωp d b

=− 1

2 i. En déduire unemesure de l’angle

(−−→ BD ;

−−→ PΩ

) .

5. Soit Q le milieu du segment [BD].

Que représente le pointΩ pour le triangle PQS ?

Exercices sur les complexes 31

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

26 Métropole septembre 2010

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

1. On considère le point I d’affixe i et le point A d’affixe zA = p 3+2i.

a. Montrer que le point A appartient au cercle Γ de centre le point I et de rayon 2.

Sur une figure (unité graphique 1 cm), qu’on complètera au fur et à mesure de l’exercice, placer le point I, tracer le cercleΓ, puis construire le point A.

b. On considère la rotation r de centre le point I et d’angle π

2 .

Démontrer que le point B image du point A par la rotation r a pour affixe zB =−1+ i

(p 3+1

) .

Justifier que le point B appartient au cercle Γ.

c. Calculer l’affixe du point C symétrique du point A par rapport au point I.

d. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On considère les points E et F tels que : −→ AE =−→IB et −→AF =−→BI .

Que peut-on conjecturer pour les droites (BF) et (CE) ?

Valider cette conjecture à l’aide d’une démonstration.

Exercices sur les complexes 32

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

27 Polynésie juin 2010 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormaldirect

( O,

−→ u ,

−→ v

) .

Partie A - Restitution organisée de connaissances

Prérequis

Soit z un nombre complexe tel que z = a+bi où a et b sont deux nombre réels.

On note z, le nombre complexe défini par z = abi.

Questions

a. Démontrer que, pour tous nombres complexes z et z ′, z× z ′ = z×z ′. b. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, et tout nombre

complexe z, zn = ( z )n .

Partie B

On considère l’équation (E) : z4 =−4 où z est un nombre complexe.

a. Montrer que si le nombre complexe z est solution de l’équation (E) alors les nombres complexes −z et z sont aussi solutions de l’équa- tion (E).

b. On considère le nombre complexe z0 = 1+ i. a. Écrire le nombre complexe z0 sous forme exponentielle.

b. Vérifier que z0 est solution de l’équation (E).

c. Déduire des deux questions précédentes trois autres solutions de l’équation (E).

Partie C

Soient A, B, C et D les points d’affixes respectives :

zA = 1+ i ; zB =−1+ i ; zC =−1− i et zD = 1− i.

Soit r la rotation du plan de centre C et d’angle de mesure − π

3 .

On appelle E l’image du point B par r et F celle du point D par r .

a. Déterminer l’écriture complexe de la rotation r .

b. a. Démontrer que l’affixe du point E, notée zE, est égale à −1+ p 3

b. Déterminer l’affixe zF du point F.

c. Démontrer que le quotient zA− zE zA− zF

est un nombre réel.

d. Que peut-on en déduire pour les points A, E et F ?

Exercices sur les complexes 33

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

28 Métropole 22 juin 2010 Retour au tableau Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v

) ,

on considère le point A d’affixe 2 et le cercle C de centre O passant par A.

Dans tout l’exercice on note α le nombre complexe α = 1+ i p 3 et α le

nombre complexe conjugué du nombre complexe α.

a. a. Démontrer que α2−4α= 2α−8. b. Démontrer que les points B et C d’affixes respectives α et α ap-

partiennent au cercle C .

b. Soit D un point du cercle C d’affixe 2eiθ θ est un nombre réel de l’intervalle ]−π ; π]. a. Construire sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la

copie) le point E image du point D par la rotation r de centre O

et d’angle π

3 .

b. Justifier que le point E a pour affixe zE =αeiθ. c. Soient F et G les milieux respectifs des segments [BD] et [CE].

a. Justifier que le point F a pour affixe zF = α

2 +eiθ.

b. On admet que le point G a pour affixe zG = αeiθ+α

2 .

Démontrer que zG−2 zF−2

= α

2 . On pourra utiliser la question 1. a.

En déduire que le triangle AFG est équilatéral.

d. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’éva-

luation.

À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, on conjecture qu’il existe une position du point D, défini à la question 2, pour laquelle la longueur du coté AF du triangle AFG est minimale.

On admet que AF2 = 4−3cosθ+ p 3sinθ.

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [−π ; +π] par f (x)= 4−3cosx+

p 3sinx.

Le tableau ci-dessous donne les variations de la fonction f sur l’in- tervalle [−π ; +π]. Compléter ce tableau de variations. Permet-il de valider la conjecture ? Justifier.

x π 5π

6 − π

6 π

f

Exercices sur les complexes 34

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

29 La Réunion 22 juin 2010 Retour au tableau Partie I : Restitution organisée de connaissances

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormaldirect ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

Soient A, B et C trois points du plan d’affixes respectives a, b, c.

On suppose que A et B sont distincts, ainsi que A et C.

On rappelle que (−→ u ,

−−→ AB

) = arg(ba) [2π].

Montrer que (−−→ AB ,

−−→ AC

) = arg

( ca ba

) [2π].

Partie II :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormaldirect ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

On considère le point A d’affixe 1+ i. On associe, à tout pointM duplan d’affixe z nonnulle, le pointM ′ d’affixe

z ′ = z−1− i

z .

Le pointM ′ est appelé le point image du pointM .

a. a. Déterminer, sous forme algébrique, l’affixe du point B′, image du point B d’affixe i.

b. Montrer que, pour tout point M du plan d’affixe z non nulle, l’affixe z ′ du pointM ′ est telle que z ′ 6= 1.

b. Déterminer l’ensemble des points M du plan d’affixe z non nulle pour lesquels l’affixe du pointM ′ est telle que

∣∣z ′ ∣∣= 1.

c. Quel est l’ensemble des points M du plan d’affixe z non nulle pour lesquels l’affixe du pointM ′ est un nombre réel ?

Exercices sur les complexes 35

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

30 Centres étrangers 14 juin 2010 Retour au tableau Dans le plan complexe (P )muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v

)

d’unité graphique 4 cm, on considère le point A d’affixe a =−1 et l’appli- cation f , du plan (P ) dans lui·même, qui au point M d’affixe z, distinct de A, associe le pointM ′ = f (M) d’affixe z ′ tel que :

z ′ = iz

z+1 .

a. Déterminer l’affixe des pointsM tels queM ′ =M . b. Démontrer que pour tout pointM distinct de A et de O, on a :

OM ′ = OM

AM et

(−→ u ,

−−−→ OM

) =

(−−→ MA ,

−−−→ MO

) + π

2 à 2π près.

c. a. Soit B le point d’affixe b =− 1

2 + i.

Placer dans le repère le point B et la médiatrice (∆) du segment [OA].

b. Calculer sous forme algébrique l’affixe b′ du point B′ image du point B par f .

Établir que B′ appartient au cercle (C ) de centre O et de rayon 1.

Placer le point B′ et tracer le cercle (C ) dans le repère.

c. En utilisant la question 2, démontrer que, si un point M ap- partient à la médiatrice (∆), son image M ′ par f appartient au cercle (C ).

d. Soit C le point tel que le triangle AOC soit équilatéral direct.

En s’aidant des résultats de la question 2, construire, à la règle et au compas, l’image du point C par f (On laissera apparents les traits de construction.)

d. Dans cette question, on se propose de déterminer, par deux mé- thodes différentes, l’ensemble (Γ) des points M distincts de A et de O dont l’imageM ′ par f appartient à l’axe des abscisses.

Les questions a. et b. peuvent être traitées de façon indépendante.

a. On pose z = x + iy avec x et y réels tels que (x, y) 6= (−1, 0) et (x, y) 6= (0, 0). Démontrer que la partie imaginaire de z ′ est égale à :

Im ( z

) =

x2+ y2+x (x+1)2+ y2

En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l’en- semble (Γ) et le tracer dans le repère.

b. À l’aide de la question 2, retrouver géométriquement la nature de l’ensemble (Γ).

Exercices sur les complexes 36

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

31 Asie 21 juin 2010 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormaldirect

( O,

−→ u ,

−→ v

) .

L’unité graphique est 1 cm. On note i le nombre complexe demodule 1 et

d’argument π

2 .

On considère les points A, B, C et P d’affixes respectives :

a =−2, b = 2−2i p 3, c = 3+3i

p 3 et p = 10.

PARTIE A Étude de la configuration

a. Construction de la figure.

a. Placer les points A et P dans le repère ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

b. Déterminer les modules des nombres complexes b et c.

c. Utiliser les cercles de centreO et de rayons respectifs 4 et 6 pour construire les points B et C.

b. Démontrer que le triangle BCP est équilatéral.

c. On note rA la rotation de centre A et d’angle π

3 .

a. Vérifier que l’image Q du point C par rA a pour affixe : q =−4+ 4i p 3.

b. Vérifier l’égalité : q = −2b. Que peut-on en déduire pour les points B, O et Q ?

d. Soit R le symétrique de C par rapport à O.

a. Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CR) sont concourantes en O.

b. Établir que : AP = BQ = CR.

PARTIE B

On note f l’application qui, à tout point M du plan, associe le réel f (M) défini par :

f (M)=MA+MB+MC.

a. Calculer f (O).

b. SoientM un point quelconque et N son image par la rotation rA.

Démontrer que :MA=MN puis queMC=NQ. c. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou

d’initiatives,même infructueuses, sera prise en compte dans l’évalua-

tion.

En utilisant l’inégalité triangulaire, démontrer que pour tout point M du plan,

f (M)> 12.

Exercices sur les complexes 37

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

32 Antilles-Guyane 18 juin 2010 Retour au tableau Le plan est muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v

) d’unité 1 cm.

a. Restitution organisée de connaissances

PourM 6=Ω, on rappelle que le pointM ′ est l’image du pointM par la rotation r de centreΩ et d’angle de mesure θ si et seulement si :

{ ΩM ′ = ΩM (1)(−−−→

M ; −−−→ ΩM

) = θ à 2près (k ∈Z) (2)

a. Soient z, z ′ et ω les affixes respectives des pointsM ,M ′ etΩ.

Traduire le relations (1) et (2) en termes de modules et d’argu- ments.

b. En déduire l’expression de z ′ en fonction de z, θ et ω

b. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation :

z2−4 p 3z+16= 0.

On donnera les solutions sous forme algébrique.

c. Soient A etB les points d’affixes respectives a = 2 p 3−2ı et b = 2

p 3+

2ı.

a. Écrire a et b sous forme exponentielle.

b. Faire une figure et placer les points A et B .

c. Montrer que OAB est un triangle équilatéral.

d. Soit C le point d’affixe c = −8ı et D son image par la rotation de centre O et d’angle

2π

3 .

Placer les pointsC etD.

Montrer que l’affixe du pointD est d = 4 p 3+4ı.

e. Montrer queD est l’image du point B par une homothétie de centre O dont on déterminera le rapport.

f. Montrer que OAD est un triangle rectangle.

Exercices sur les complexes 38

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

33 Amérique du Nord 3 juin 2010 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct

( O,

−→ u ,

−→ v

)

d’unité graphique 2 cm.

On réalisera une figure que l’on complétera tout au long de l’exercice.

On considère les points A d’affixe i, B d’affixe −2i et D d’affixe 1. On appelle E le point tel que le triangle ADE soit équilatéral direct.

Soit f l’application qui à tout pointM d’affixe z(z 6= i) associe le pointM ′ d’affixe z ′ définie par :

z ′ = 2z− i iz+1

.

a. Démontrer que le point E a pour affixe

( 1

2 + p 3

2

) (1+ i).

b. Exprimer sous forme algébrique l’affixe du pointD′ associé au point D par l’application f .

c. a. Démontrer que, pour tout nombre complexe zdifférent de i, ( z ′+2i

) (z

i)= 1. b. En déduire que pour tout pointM d’affixe z(z 6= i) :

BM′×AM= 1 et

(−→ u ,

−−−→ BM

) =−

(−→ u ,

−−→ AM

) +k×2π k est un entier relatif.

d. a. Démontrer que les points D et E appartiennent au cercle (C) de centre A et de rayon

p 2.

b. En utilisant les résultats de la question 3. b., placer le point E′

associé au point E par l’application f . On laissera apparents les traits de construction.

e. Quelle est la nature du triangle BD′ E′ ?

Exercices sur les complexes 39

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

34 Nouvelle-Calédonie novembre 2009Retour au tableau Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v

)

d’unité graphique 2 cm. On considère les points A et B d’ affixes respec- tives

zA = 1+ i p 3, zB = 2i.

a. a. Écrire zA et zB sous forme exponentielle.

b. Placer les points A et B sur une figure que l’on complètera au cours de l’exercice.

c. Déterminer la nature du triangle OAB.

b. On note r la rotation de centre O qui transforme A en B. Pour tout point M d’ affixe z, on note M ′ l’image de M par r et z ′ l’affixe du pointM ′.

a. Calculer un argument du quotient zB

zA . Interpréter géométrique-

ment ce résultat.

b. En déduire l’écriture complexe de la rotation r .

c. Soient Γ le cercle de centre A passant par O et Γ′ le cercle de centre B passant par O.

Soit C le deuxième point d’intersection de Γ et Γ′ (autre que O). On note zC son affixe.

a. Justifier que le cercle Γ′ est l’image du cercle Γ par la rotation r .

b. Calculer l’affixe zI dumilieu I de [AB].

c. Déterminer la nature du quadrilatère OACB.

d. En déduire que I est le milieu de [OC] puis montrer que l’affixe de C est :

zC = 1+ ( 2+

p 3 ) i.

d. Soit D le point d’affixe zD = 2i p 3.

a. Justifier que le point D appartient au cercle Γ. Placer D sur la figure.

b. Placer D′ image de D par la rotation r définie à la question 2.

On note zD′ l’affixe de D ′.

Montrer que zD′ =− p 3+3i.

e. Montrer que les vecteurs −−→ DC et

−−−→ DD′ sont colinéaires. Que peut-on

en déduire ?

Exercices sur les complexes 40

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

35 Amérique du Sud novembre 2009Retour au tableau Dans le plan muni d’un repère orthonormé

( O,

−→ u ,

−→ v

) , on considère les

points A et B d’affixes respectives 2 et (−2) et on définit l’application f qui à tout pointM d’affixe z et différent de A associe le pointM ′ d’affixe

z ′ = z(z−2) z−2

.

a. a. Déterminer l’affixe du point P′ image par f du point P d’affixe (1+ i).

b. Montrer que les droites (AP) et (BP′) sont parallèles.

c. Établir que les droites (AP) et (PP′) sont perpendiculaires.

b. Déterminer l’ensemble des points invariants par f (c’est-à-dire l’en- semble des points tels queM ′ =M).

On cherche à généraliser les propriétés 1.b et 1.c pour obtenir une construction de l’imageM ′ d’un pointM quelconque du plan.

c. a. Montrer que pour tout nombre complexe z, le nombre (z−2) ( z−2

)

est réel.

b. En déduire que pour tout nombre complexe distinct de 2, z ′+2 z−2

est réel.

c. Montrer que les droites (AM) et (BM ′) sont parallèles.

d. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, sera prise en compte dans l’évaluation.

SoitM un point quelconque non situé sur la droite (AB). Généraliser les résultats de la question 1.c.

e. Soit M un point distinct de A. Déduire des questions précédentes une construction du pointM ′ image deM par f . Réaliser une figure pour le point Q d’affixe 3−2i.

Exercices sur les complexes 41

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

36 Polynésie septembre 2009 Retour au tableau Le plan complexe P est muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v

) ,

unité graphique : 2 cm.

On appelle (Γ) le cercle de centre O et de rayon 1.

On fera une figure que l’on complétera tout au long de l’exercice.

On appelle F l’application du plan P privé du point O dans P qui, à tout point M différent de O, d’affixe z, associe le point M ′ = F (M) d’affixe z ′ définie par :

z ′ = z+ i− 1

z .

a. On considère les points A et B d’affixes respectives a = i et b = ei π 6 et

leurs images A′ et B′ par F d’affixes respectives a′ et b′.

a. Calculer a′ et b′.

b. Placer les points A, A′ B et B′.

c. Démontrer que −b

b′−b =

p 3

3 i.

d. En déduire la nature du triangle OBB′.

b. On recherche l’ensemble (E) des points du plan P privé du point O qui ont pour image par F , le point O.

a. Démontrer que, pour tout nombre complexe z,

z2+ iz−1= ( z+

p 3

2 + 1

2 i

)( z

p 3

2 + 1

2 i

) .

b. En déduire les affixes des points de l’ensemble (E).

c. Démontrer que les points de (E) appartiennent à (Γ).

c. Soit θ un réel.

a. Démontrer que si z = eiθ alors z ′ = (2sinθ+1)i. b. Endéduire que siM appartient au cercle (Γ) alorsM ′ appartient

au segment [A′C] où C a pour affixe −i.

Exercices sur les complexes 42

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

37 Antilles-Guyane septembre 2009Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v

)

d’unité graphique 1 cm.

Faire une figure que l’on complètera au fur et à mesure des questions.

a. Placer les points A, B et C d’affixes respectives

zA =−11+4i, zB =−3−4i et zC = 5+4i.

b. Calculer le module et un argument du quotient zA− zB zC− zB

et en dé-

duire la nature du triangle ABC.

c. Soit E l’image du point C par la rotation R de centre B et d’angle π

4 .

Montrer que l’affixe de E vérifie zE =−3+ ( 8 p 2−4

) i.

Placer le point E.

d. Soit D l’image du point E par l’homothétieH de centre B et de rap-

port

p 2

2 .

Montrer que D est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Placer le point D .

e. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soit D la droite parallèle à la droite (EC) passant par le point D. On note F le point d’intersection de la droite D et de la droite (BC), I le milieu du segment [EC] et J le milieu du segment [DF].

Montrer que B, I et J sont alignés.

Exercices sur les complexes 43

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

38 Polynésie juin 2009 Retour au tableau Partie A : Restitution organisée de connaissances

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct.

On supposera connus les résultats suivants :

• Pour tous points A, B et C du plan d’affixes respectives a, b et c, avec A 6= C et A 6= B :∣∣∣∣ ba ca

∣∣∣∣= AB

AC et arg

( ba ca

) =

(−−→ AC ,

−−→ AB

) +k×2π k est un entier relatif ;

• Soit z un nombre complexe et soit θ un nombre réel : z = eiθ si et seulement si |z| = 1 et arg(z) = θ+ k × 2π k est un entier relatif.

Démontrer que la rotation r d’angle α et de centre Ω d’ affixe ω est la transformation du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M

d’affixe z ′ telle que : z ′−ω= eiθ(zω).

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormaldirect ( O,

−→ u ,

−→ v

) ,

unité graphique 1 cm.

Soit f l’application qui, à tout pointM d’affixe z associe le pointM ′ d’af- fixe z ′ telle que :

z ′ = iz+4+4i.

a. a. Déterminer l’affixe ω du pointΩ tel que f (Ω)=Ω b. Montrer que, pour tout nombre complexe z on a : z ′−4i= i(z

4i).

c. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de f .

b. Onnote A et B les points d’affixes respectives a = 4−2i et b =−4+6i. a. Placer les points A, B etΩ sur une figure que l’on completera au

fur et à mesure des questions.

b. Déterminer les affixes des points A′ et B′ images respectives des points A et B par f .

c. On appelle m, n, p et q les affixes des points M N, P et Q, milieux respectifs des segments [AA′], [A′B], [BB′] et [B′A].

a. Déterminerm. On admettra quen= 1+7i, p =−3+3i et q = 1−i. b. Démontrer queMNPQ est un parallélogramme.

c. Déterminer la forme algëbrique du nombre complexe qm nm

.

En déduire la nature du quadrilatèreMNPQ.

d. Démontrer que les droites (B′A) et (ΩN) sont perpendiculaires.

Exercices sur les complexes 44

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

39 Métropole juin 2009 Retour au tableau Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v

) ,

on associe à tout pointM d’affixe z non nulle, le pointM ′ milieu du seg-

ment [MM1] oùM1 est le point d’affixe 1

z .

Le pointM ′ est appelé l’image du pointM .

a. a. Montrer que les distances OM et OM1 vérifient la relationOM× OM1 = 1 et que les angles

(−→ u ;

−−−→ OM1

) et

(−→ u ;

−−−→ OM

) vérifient l’éga-

lité des mesures suivantes (−→ u ;

−−−→ OM1

) =−

(−→ u ;

−−−→ OM

) à 2π près.

b. Sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point A appartient au cercle de centre O et de rayon 2.

Construire le point A′ image du point A. (On laissera apparents les traits de construction).

b. a. Justifier que pour tout nombre complexe z non nul, le pointM

a pour affixe z ′ = 1

2

( z+

1

z

) .

b. Soient B et C les points d’affixes respectives 2i et −2i. Calculer les affixes des points B′ et C′ images respectives des points B et C.

c. Placer les points B, C, B′ et C′ sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie).

c. Déterminer l’ensemble des pointsM tels queM ′ =M . d. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou

d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’éva-

luation.

Montrer que si le point M appartient au cercle de centre O et de rayon 1 alors son image M ′ appartient au segment [KL] où K et L sont les points d’affixes respectives −1 et 1.

Exercices sur les complexes 45

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

40 La Réunion juin 2009 Retour au tableau Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Le candidat

portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse

choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n’est

enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormaldirect ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

a. Soit (E) l’ensemble des pointsM d’affixe z vérifiant : z = 1−2i+eiθ, θ étant un nombre réel.

a. (E) est une droite passant par le point d’affixe 2−2i. b. (E) est le cercle de centre d’affixe −1+2i et de rayon 1. c. (E) est le cercle de centre d’affixe 1−2i et de rayon 1. d. (E) est le cercle de centre d’affixe 1−2i et de rayon

p 5.

b. Soit f l’application du plan qui, à tout point M d’affixe z associe le pointM ′ d’affixe z ′ tel que z ′ =−iz−2i. a. f est une homothétie.

b. Le point d’affixe −1−2i est un antécédent du point d’affixe i.

c. f est la rotation de centre le point d’affixe 1+ i et d’angle − π

2 .

d. f est la rotation de centre le point d’affixe −1− i et d’angle − π

2 .

c. Soit (F) l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant |z −1+ i| = |z + 1+2i|. Soient les points A, B et C d’ affixes respectives 1−i, −1+2i et−1−2i. a. C est un point de (F).

b. (F) est la médiatrice du segment [AB].

c. (F) est la médiatrice du segment [AC].

d. (F) est le cercle de diamètre [AB].

d. On considère dans l’ensemble des nombres complexes l’équation z+|z|2 = 7+ i. Cette équation admet : a. Deux solutions distinctes qui ont pour partie imaginaire 1.

b. Une solution réelle.

c. Deux solutions dont une seule a pour partie imaginaire 1.

d. Une solution qui a pour partie imaginaire 2.

Exercices sur les complexes 46

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

41 Asie juin 2009 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v

) .

On place dans ce repère, les points A d’affixe 1, B d’affixe b b est un nombre complexe dont la partie imaginaire est strictement positive.

On construit à l’extérieur du triangle OAB , les carrés directs ODCA et OBEF comme indiqué sur la figure ci-dessous.

a. Déterminer les affixes c et d des points C et D.

b. On note r la rotation de centre O et d’angle+π2 .

a. Déterminer l’écriture complexe de r .

b. En déduire que l’affixe f du point F est ib.

c. Déterminer l’affixe e du point E .

c. On appelleG le point tel que le quadrilatère OFGD soit un pa- rallélogramme.

Démontrer que l’affixe g du pointG est égal à i(b−1).

d. Démontrer que eg cg

= i et en

déduire que le triangle EGC est rectangle et isocèle.

−→ u

−→ v

O A

B

CD

E

F

G

Exercices sur les complexes 47

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

42 Antilles–Guyane juin 2009 Retour au tableau Dans chacun des cas suivants, indiquer si l’affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse.

a. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

Soit le point A d’affixe 3, le point B d’affixe −4i et l’ensemble E des pointsM d’affixe z tels que |z−3| = |z+4i|.

Affirmation : E est la médiatrice du segment [AB].

b. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

On considère trois points A, B et C deux à deux distincts, d’affixes

respectives a, b et c, tels que ca ba

= 2i.

Affirmation : A appartient au cercle de diamètre [BC ].

c. On considère le nombre z = 2ei π 7 .

Affirmation : z2009 est un nombre réel positif.

d. On considère trois points A, B etC non alignés de l’espace. Le point G est le centre de gravité du triangle ABC .

On note F l’ensemble des pointsM vérifiant ∣∣∣ ∣∣∣−−−→MA +−−−→MB +−−−→MC

∣∣∣ ∣∣∣=

6.

Affirmation : F est la sphère de centre deG et de rayon 2.

e. L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k

) .

S est la sphère d’équation x2+ y2+ z2 = 5. P est le plan d’équation x+ y −5= 0.

Affirmation : Le plan P coupe la sphère S suivant un cercle.

Exercices sur les complexes 48

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

43 Liban juin 2009 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v

)

(unité graphique : 2 cm).

On considère les points A, B et C d’ affixes respectives :

zA =− 3

2 + i

p 3

2 , zB = zA et zC =−3.

Partie A

a. Écrire les nombres complexes zA et zB sous forme exponentielle.

b. Placer les points A, B et C.

c. Démontrer que le triangle ABC est équilatéral.

Partie B

Soit f l’application qui, à tout pointM du plan d’affixe z, associe le point

M ′ d’affixe z ′ = 1

3 iz2.

OnnoteO′, A′, B′ et C′ les points respectivement associés par f aux points O, A, B et C.

a. a. Déterminer la forme exponentielle des affixes des points A′, B′

et C′.

b. Placer les points A′, B′ et C′ .

c. Démontrer l’alignement des points O, A et B′ ainsi que celui des points O, B et A′.

b. Soit G l’isobarycentre des points O, A, B et C. On note G′ le point associé à G par f .

a. Déterminer les affixes des points G et G′.

b. Le point G′ est-il l’isobarycentre des points O′ A′, B′ et C′ ?

c. Démontrer que siM appartient à la droite (AB) alorsM ′ appartient à

la parabole d’équation y =− 1

3 x2+

3

4 . (On ne demande pas de tracer

cette parabole)

Exercices sur les complexes 49

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

44 Amérique du Nordmai 2009 Retour au tableau Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v

) .

Soit A le point d’affixe a= 1+i p 3 et B le point d’affixe b= 1−

p 3+

( 1+

p 3 ) i.

Partie A : étude d’un cas particulier

On considère la rotation r de centre O et d’angle 2π

3 .

On note C le point d’affixe c image du point A par la rotation r et D le point d’affixe d image du point B par la rotation r .

La figure est donnée en annexe (figure 1).

a. a. Exprimer −a ba

sous forme algébrique.

b. En déduire que OAB est un triangle rectangle isocèle en A.

b. Démontrer que c =−2. On admet que d =−2−2i.

a. Montrer que la droite (AC) a pour équation y = p 3

3 (x+2).

b. Démontrer que lemilieu du segment [BD] appartient à la droite (AC).

Partie B : étude du cas général

Soit θ un réel appartenant à l’intervalle ]0 ; 2π[. On considère la rotation de centre O et d’angle θ.

On note A′ le point d’affixe a′, image du point A par la rotation r , et B′ le point d’affixe b′, image du point B par la rotation r .

La figure est donnée en annexe (figure 2).

L’objectif est de démontrer que la droite (AA′) coupe le segment [BB′] en sonmilieu.

a. Exprimer a′ en fonction de a et θ et b′ en fonction de b et θ.

b. Soit P le point d’affixe p milieu de [AA′] et Q le point d’affixe q milieu de [BB′].

a. Exprimer p en fonction de a et θ puis q en fonction de b et θ.

b. Démontrer que −p qp

= −a ba

.

c. En déduire que la droite (OP) est perpendiculaire à la droite (PQ).

d. Démontrer que le point Q appartient à la droite (AA′).

Exercices sur les complexes 50

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

45 Nouvelle–Calédoniemars 2009 Retour au tableau Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v

) d’unité

graphique 1 cm.On considère les points A et B d’ affixes respectives zA = 1 et zB = 3+4i. Soit C et D les points d’affixes respectives zC = 2

p 3+ i(−2−

p 3) et

zD =−2 p 3+ i(−2+

p 3).

L’ objet de l’exercice est de proposer une construction géométrique des points D et C.

a. a. Montrer que l’image du point B par la rotation de centre A et

d’angle 2π

3 est le point D.

b. En déduire que les points B et D sont sur un cercle C de centre A dont on déterminera le rayon.

b. Soit F, l’image du point A par l’homothétie de centre B et de rapport 3

2 .

a. Montrer que l’affixe zF du point F est −2i. b. Montrer que le point F est le milieu du segment [CD].

c. Montrer que zC− zF zA− zF

=−i p 3. En déduire la forme exponentielle

de zC− zF zA− zF

.

Déduire des questions précédentes que la droite (AF) est la mé- diatrice du segment [CD].

c. Proposer un programme de construction pour les points D et C à partir des points A, B et F et réaliser la figure.

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera

prise en compte dans l ’évaluation.

Exercices sur les complexes 51

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

46 Amérique du Sud décembre 2008Retour au tableau Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé

( O,

−→ u ,

−→ v

) , on

considère les points A, B, C d’affixes respectives a =−1+2i, b = 1+3i, c = 4i.

a. Montrer que le triangle ABC est isocèle en A.

b. Soit I le milieu de [BC] et zI son affixe.

a. Quel est l’ensemble des points M du plan distincts de A dont

l’affixe z est telle que zzI za

soit un réel ?

b. Déterminer l’unique réel x tel que xzI xa

soit un réel.

c. Soit z−→ AI

l’affixe du vecteur −→ AI , donner une forme trigonomé-

trique de z−→ AI .

c. a. Soit G le point d’affixe−3.Montrer qu’il existe deux rotations de centre G, dont on déterminera les angles, telles que les images de A et I par ces rotations soient toutes deux sur l’axe des réels.

b. Soit r1 la rotation de centre G et d’angle de mesure − π

4 .

Déterminer l’écriture complexe de r1.

d. Soit A′, B′ et C′ les images respectives de A, B, et C par la rotation r1 ; soient a′, b′ et c ′ leurs affixes.

Quelle est l’image par r1 de l’axe de symétrie du triangle ABC ?

En déduire que b′ = c ′.

Exercices sur les complexes 52

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

47 Nouvelle–Calédonie novembre 2008Retour au tableau Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal

( O,

−→ u ,

−→ v

) .

a. Onconsidère les points A, B et C d’affixes respectives zA = 2+2i, zB = 2i et zC = 2 ainsi que le cercle Γ de centre A et de rayon 2. La droite (OA) coupe le cercle Γ en deux points H et K tels que OH < OK. On note zH et zK les affixes respectives des points H et K,

a. Faire une figure en prenant 1 cm comme unité graphique.

b. Calculer la longueur OA. En déduire les longueurs OK et OH.

c. Justifier, à l’aide des notions demodule et d’argument d’unnombre complexe, que

zK = ( 2 p 2+2

) ei

π 4 zH =

( 2 p 2−2

) ei

π 4 .

Dans toute la suite, on considère l’application f du plan qui à tout pointM d’affixe z 6= 0 associe le pointM ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = −4 z .

b. a. Déterminer et placer les points images de B et C par f .

b. On dit qu’un point est invariant par f s’il est confondu avec son image.

Déterminer les points invariants par f .

c. a. Montrer que pour tout pointM distinct de O, on a :

OM ×OM ′ = 4.

b. Déterminer arg ( z

) en fonction de arg(z).

d. Soient K′ et H′ les images respectives de K et H par f .

a. Calculer OK′ et OH′.

b. Démontrer que zK′ = ( 2 p 2−2

) ei

3π 4 et zH′ =

( 2 p 2+2

) ei

3π 4 .

c. Expliquer comment construire les points K′ et H′ en utilisant uniquement la règle et le compas à partir des points K etH. Réa- liser la construction.

Exercices sur les complexes 53

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

48 Métropole La Réunion septembre 2008Retour au tableau Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v

) .

On réalisera unefigure en prenant 2 cmcommeunité graphique sur chaque axe.

On considère les points A, B et I d’affixes respectives zA = 1, zB = 5 et zI = 3+ i. On note (C ) le cercle de centre O et de rayon 1, (∆) la médiatrice de [AB] et (T) la tangente au cercle (C ) en A.

À tout pointM d’affixe z, différent de A, on associe le pointM ′ d’affixe z

telle que :

z ′ = z−5 z−1

.

Le pointM ′ est appelé l’image deM .

Partie A

a. Déterminer sous forme algébrique l’affixe du point I′ image de I.

Vérifier que I′ appartient à (C ).

b. a. Justifier que pour tout point M distinct de A et B, on a : OM ′ = MB

MA .

b. Justifier que pour tout pointM distinct de A et B, on a :(−−→ OA ,

−−−→ OM

) =

(−−→ MA ,

−−→ MB

) .

Partie B

Dans cette partie, toute trace de recherche,même incomplète, sera prise en

compte dans l’évaluation.

Dans la suite de l’exercice, M désigne un point quelconque de (∆). On cherche à construire géométriquement son imageM ′.

a. Démontrer queM ′ appartient à (C ).

b. On note (d) la droite symétrique de la droite (AM) par rapport à la tangente (T). (d) recoupe (C ) en N .

a. Justifier que les triangles AMB et AON sont isocèles.

Après avoir justifié que (−−→ AO ,

−−→ AN

) =

(−−→ AM ,

−−→ AB

) démontrer que

(−−→ OA ,

−−→ ON

) =

(−−→ MA ,

−−→ MB

) .

b. En déduire une construction deM ′.

Exercices sur les complexes 54

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

49 Antilles-Guyane septembre 2008Retour au tableau Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v

) .

a. Résoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes, l’équation díin- connue z :

z2−2 p 3z+4= 0.

b. On considère les points A d’affixe zA = p 3− i, B d’affixe zB =

p 3+ i

et C le milieu de [OB] d’affixe zC.

a. Déterminer la forme exponentielle de zA, zB et zC.

b. Sur une figure, placer les points A, B et C, en prenant 2 cm pour unité.

c. Montrer que le triangle OAB est équilatéral.

c. Soit D l’image de C par la rotation r de centre O, d’angle − π

2 et E

l’image de D par la translation t de vecteur 2 −→ v .

a. Placer les points D et E sur une figure.

b. Montrer que l’affixe zE du point E vérifie : zE = 1

2

[ 1+ i

( 4−

p 3 )] .

c. Montrer que OE = BE = √

5−2 p 3.

d. Montrer que les points A, C et E sont alignés.

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou

d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’éva-

luation.

Exercices sur les complexes 55

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

50 Polynésie juin 2008 Retour au tableau

a. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation

z2−6z+13= 0.

Le plan complexe est rapporté àun repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

)

d’unité graphique 1 cm. On considère les points A, B, C d’affixes res- pectives

a = 3−2i,b = 3+2i,c = 4i. b. Faire une figure et placer les points A, B, C.

c. Montrer que OABC est un parallélogramme.

d. Déterminer l’affïxe du pointΩ, centre du parallélogrammeOABC.

e. Déterminer et tracer l’ensemble des pointsM du plan tels que∥∥∥−−−→MO +−−→MA +−−→MB +−−→MC ∥∥∥= 12.

f. Soit M un point de la droite (AB). On désigne par β la partie ima- ginaire de l’affixe du point M . On note N l’image du point M par la

rotation de centreΩ et d’angle π

2 .

a. Montrer que N a pour affixe 5

2 −β+

5

2 i.

b. Comment choisir β pour que N appartienne à la droite (BC) ?

Exercices sur les complexes 56

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

51 Liban juin 2008 Retour au tableau Partie A

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormaldirect ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

a. Soit z un nombre complexe d’argument π

3 .

Proposition 1 : « z100 est un nombre réel ».

b. Soit (E) l’ensemble des points M d’affixe z différente de 1 du plan

telle que ∣∣∣ z 1− z

∣∣∣= 1. Proposition 2 : « l’ensemble (E) est une droite parallèle à l’axe des réels ».

c. Soit r la rotation d’angle− π

2 et dont le centre K a pour affixe 1+ i

p 3.

Proposition 3 : « l’image du point O par la rotation r a pour affixe( 1−

p 3 ) + i

( 1+

p 3 ) ».

d. On considère l’équation (E) suivante : z2+2cos (π 5

) z+1= 0.

Proposition 4 : « l’équation (E) a deux solutions complexes de mo- dules égaux à 1 ».

Exercices sur les complexes 57

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

52 Centres étrangers juin 2008 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté au repère orthonornial direct

( O,

−→ u ,

−→ v

) ;

l’unité graphique est 1 cm.

a. Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation :

z2+4z+8= 0.

On donnera les solutions sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.

b. On note A et B les points du plan d’affixes respectives : a = 2−2i et b = −a. Placer ces points sur un graphique qui sera complété au fil de l’exercice.

a. Déterminer l’affixe c du point C, image du point B par la rota-

tion de centre O et d’angle π

2 .

b. On note D l’image de C par la rotation de centre A et d’angle π

2 ;

démontrer que l’affixe d du point D est d = 2−6i. c. Placer les points C et D sur le graphique Quelle est la nature du

quadrilatère ABCD?

c. α étant un nombre réel non nul, on désigne par, le barycentre du système :

{(A ; 1) ; (B ; −1) ; (C ; α)} .

a. Exprimer le vecteur −−−→ Cen fonction du vecteur

−−→ BA .

b. Endéduire l’ensemble des pointslorsqueαdécrit l’ensemble des réels non nuls. Construire cet ensemble.

c. Pour quelle valeur de α a-t-on=D? d. On suppose dans cette question que α= 2.

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou

d’initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer et construire l’ensemble des pointsM du plan tels que : ∥∥∥−−→MA −−−→MB +2−−→MC

∥∥∥= 4 p 2.

Exercices sur les complexes 58

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

53 Métropole juin 2008 Retour au tableau Le plan est muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v

) (unité gra-

phique : 1 cm).

Soient A, B et I les points d’affixes respectives 1 + i, 3− i et 2. À tout pointM d’affixe z, on associe le pointM ′ d’affixe z ′ telle que

z ′ = z2−4z. Le pointM ′ est appelé l’image deM .

a. Faire une figure sur une feuille de papier millimétré et compléter cette figure tout au long de l’exercice.

b. Calculer les affixes des points A′ et B′, images respectives des points A et B. Que remarque-t-on ?

c. Déterminer les points qui ont pour image le point d’affixe −5. d. a. Vérifier que pour tout nombre complexe z, on a : z ′+4= (z−2)2.

b. En déduire une relation entre ∣∣z ′+4

∣∣ et |z −2| et, lorsque z est différent de 2, une relation entre arg

( z ′+4

) et arg (z−2),

c. Que peut-on dire du point M ′ lorsque M décrit le cercle C de centre I et de rayon 2 ?

e. Soient E le point d’affixe 2+2ei π 3 , J le point d’affixe −4 et E′ l’image

de E.

a. Calculer la distance IE et unemesure en radians de l’angle (−→ u ;

−→ IE

) .

b. Calculer la distance JE′ et unemesure en radians de l’angle (−→ u ;

−→ JE′

) .

c. Construire à la règle et au compas le point E′ ; on laissera appa- rents les traits de construction.

Exercices sur les complexes 59

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

54 La Réunion juin 2008 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal

( O,

−→ u ,

−→ v

) .

Soit (C ) le cercle de centre O et de rayon 1.

On considère le point A de (C ) d’affixe zA = ei π 3 .

a. Déterminer l’affixe zB dupoint B image deApar la rotation de centre

O et d’angle 2π

3 .

Déterminer l’affixe zC dupoint C image deBpar la rotationde centre

O et d’angle 2π

3 .

b. a. Justifier que (C ) est le cercle circonscrit au triangle ABC. Construire les points A, B et C sur la feuille de papier millimétré.

b. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.

c. Soit h l’homothétie de centre O et de rapport−2.

a. Compléter la figure en plaçant les points P, Q et R images res- pectives des points A, B et C par h.

b. Quelle est la nature du triangle PQR ? Justifier.

d. Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n’aboutit pas.

a. Donner l’écriture complexe de h.

b. Calculer zA+zB+zC. En déduire que A est le milieu du segment [QR].

c. Que peut-on dire de la droite (QR) par rapport au cercle (C ) ?

Exercices sur les complexes 60

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

55 Asie juin 2008 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v

) .

On prendra pour le dessin : ∥∥∥−→u

∥∥∥= 4 cm. M est un point d’affixe z non nul. On désigne par M ′ le point d’affixe z

telle que

z ′ =− 1

z .

z désigne le conjugué du nombre complexe z.

A - Quelques propriétés

a. Soit z un nombre complexe non nul. Déterminer une relation entre les modules de z et z ′ puis une relation entre les arguments de z et z ′.

b. Démontrer que les points O,M etM ′ sont alignés.

c. Démontrer que pour tout nombre complexe z nonnul on a l’égalité :

z ′+1= 1

z (z−1).

B - Construction de l’image d’un point

On désigne par A et B les deux points d’affixes respectives 1 et −1. OnnoteC l’ensemble des pointsM duplandont l’affixe z vérifie : |z−1| = 1.

a. Quelle est la nature de l’ensemble C ?

b. SoitM un point de C d’affixe z, distinct du point O.

a. Démontrer que ∣∣z ′+1

∣∣= ∣∣z

∣∣. Interpréter géométriquement cette égalité.

b. Est-il vrai que si z ′ vérifie l’égalité : ∣∣z ′+1

∣∣ = ∣∣z

∣∣, alors z vérifie l’égalité :

|z−1| = 1 ? c. Tracer l’ensemble C sur une figure. Si M est un point de C , décrire

et réaliser la construction du pointM ′.

Exercices sur les complexes 61

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

56 Antilles–Guyane juin 2008 Retour au tableau La feuille annexe donnée portera les constructions demandées au cours de l’exercice.

Cette feuille est à rendre avec la copie.

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) ,

le point A a pour affixe i.

On nomme f l’application qui, à tout pointM d’affixe z avec z 6= i associe le pointM ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = −z2

z− i

Le but de l’exercice est de construire géométriquement le pointM ′ connais- sant le pointM .

a. Un exemple

On considère le point K d’affixe 1+ i. a. Placer le point K.

b. Déterminer l’affixe du point K′ image de K par f .

c. Placer le point K′.

b. Des points pour lesquels le problème ne se pose pas

a. On considère le point L d’affixe i

2 . Déterminer son image L′ par

f . Que remarque-t- on ?

b. Unpoint est dit invariant par f s’il est confondu avec son image.

Démontrer qu’il existe deux points invariants par f dont on dé- terminera les affixes.

c. Un procédé de construction

On nommeG l’isobarycentre des points A, M , et M ′, et g l’affixe de G .

a. Vérifier l’égalité g = 1

3(z− i) .

b. Endéduire que : siM est un point du cercle de centre A de rayon

r , alors G est un point du cercle de centre O de rayon 1

3r .

c. Démontrer que arg g =− (−→ u ;

−−→ AM

) .

d. Sur la feuille annexe, on a marqué un point D sur le cercle de

centre A et de rayon 1

2 .

On nomme D′ l’image de D par f . Déduire des questions pré- cédentes la construction du point D′ et la réaliser sur la figure annexe à rendre avec la copie.

Exercices sur les complexes 62

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

57 Amérique du Nord juin 2008 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v

) unité

graphique : 4 cm.

On considère le point A d’affixe zA = 2+ i et le cercle (Γ) de centre A et de rayon

p 2.

a. Faire une figure qui sera complétée tout au long de l’exercice.

b. a. Déterminer les affixes des points d’intersection de (Γ) et de l’axe( O ;

−→ u

) .

b. On désigne par B et C les points d’affixes respectives zB = 1 et zC = 3. Déterminer l’affixe zD du point D diamétralement opposé au point B sur le cercle (Γ).

c. Soit M le point d’affixe 3

5 + 6

5 i.

a. Calculer le nombre complexe zD− zM zB− zM

.

b. Interpréter géométriquement un argument dunombre zD− zM zB− zM

;

en déduire que le point M appartient au cercle (Γ).

d. On note (Γ′) le cercle de diamètre [AB].

La droite (BM) recoupe le cercle (Γ′) en un point N.

a. Montrer que les droites (DM) et (AN) sont parallèles.

b. Déterminer l’affixe du point N.

e. On désigne par M′ l’image du point M par la rotation de centre B et

d’angle − π

2 .

a. Déterminer l’affixe du point M′.

b. Montrer que le point M′ appartient au cercle (Γ′).

Exercices sur les complexes 63

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

58 Pondichéry avril 2008 Retour au tableau Partie A

On suppose connus les résultats suivants :

a. Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes zA , zB et zC trois points A, B etC .

Alors

∣∣∣∣ zB zC zA zC

∣∣∣∣= CB

C A et arg

( zB zC zA zC

) =

(−−→ C A ,

−−→ CB

) (2π).

b. Soit z un nombre complexe et soit θ un réel :

z = eiθ si et seulement si |z| = 1 et arg(z)= θ+2, où k est un entier relatif.

Démonstration de cours : démontrer que la rotation r d’angle α et de centreΩ d’affixe ω est la transformation du plan qui à tout point M d’af- fixe z associe le pointM ′ d’affixe z ′ tel que

z ′−ω= eiα(zω).

Partie B

Dans un repère orthonormal direct du plan complexe ( O,

−→ u ,

−→ v

) d’unité

graphique 2 cm, on considère les points A, B , C etD d’affixes respectives

zA =− p 3− i, zB = 1− i

p 3, zC =

p 3+ i et zD =−1+ i

p 3.

a. a. Donner lemodule et un argument pour, chacundes quatre nombres complexes zA, zB , zC et zD .

b. Comment construire à la règle et au compas les points A, B , C

etD dans le repère ( O,

−→ u ,

−→ v

) ?

c. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

b. On considère la rotation r de centre B et d’angle − π

3 . Soient E et F

les points du plan définis par : E = r (A) et F = r (C ). a. Comment construire à la règle et au compas les points F et E

dans le repère précédent ?

b. Donner l’écriture complexe de r .

c. Déterminer l’affixe du point E .

Exercices sur les complexes 64

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

59 Nouvelle–Calédonie novembre 2007Retour au tableau Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le can- didat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre corres- pondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct d’origine O.

a. Une solution de l’équation 2z+ z = 9+ i est : a. 3 b. i c. 3+ i

b. Soit z un nombre complexe ; |z+ i| est égal à : a. |z|+1 b. |z−1| c. |iz+1|

c. Soit z un nombre complexe non nul d’argument θ. Un argument de −1+ i

p 3

z est :

a. π

3 +θ b.

2π

3 +θ c.

2π

3 −θ

d. Soitn un entier naturel. Le complexe (p

3+ i )n

est un imaginaire pur si et seulement si : a. n = 3 b.n = 6k + 3, avec k

relatif c. n = 6k avec k re- latif

e. Soient A et B deux points d’affixe respective i et −1. l’ensemble des pointsM d’affixe z vérifiant |z− i| = |z+1| est : a. la droite (AB) b. le cercle de dia-

mètre [AB] c. la droite perpen- diculaire à (AB) pas- sant par O

f. Soit Ω le point d’affixe 1− i. L’ensemble des points M d’affixe z = x+ iy vérifiant |z−1+ i| = |3−4i| a pour équation : a. y =−x+1 b. (x−1)2+ y2 =

p 5 c. z = 1−i+5eiθ avec

θ réel

g. Soient A et B les points d’affixes respectives 4 et 3i. L’affixe du point

C tel que le triangle ABC soit isocèle avec (−−→ AB ,

−−→ AC

) =

π

2 est :

a. 1−4i b. −3i c. 7+4i

h. L’ensemble des solutions dans C de l’équation z−2 z−1

= z est :

a. {1− i} b. L’ensemble vide c. {1− i ; 1+ i}

Exercices sur les complexes 65

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

60 Amérique du Sud novembre 2007Retour au tableau Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v

) .

On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure.

Soit f l’application qui à tout pointM de P d’affixe non nulle z associe le pointM ′ d’affixe :

z ′ = 1

2

( z+

1

z

) .

a. Soit E le point d’affixe zE =−i. Déterminer l’affixe du point E′, image de E par f

b. Déterminer l’ensemble des pointsM tels queM ′ =M . c. On note A et B les points d’affixes respectives 1 et −1. Soit M un

point distinct des points O, A et B.

a. Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de 0, 1 et −1, on a :

z ′+1 z ′−1

= ( z+1 z−1

)2 .

b. En déduire une expression de M ′B

M ′A en fonction de

MB

MA puis

une expression de l’angle (−−−→ M ′A ,

−−−→ M ′B

) en fonction de l’angle(−−→

MA , −−→ MB

)

d. Soit∆ lamédiatrice du segment [A, B].Montrer que siM est un point de ∆ distinct du point O, alorsM ′ est un point de ∆.

e. Soit Γ le cercle de diamètre [A, B].

a. Montrer que si le point M appartient à Γ alors le point M ′ ap- partient à la droite (AB).

b. Tout point de la droite (AB) a-t-il un antécédent par f ?

Exercices sur les complexes 66

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

61 Métropole–La Réunion septembre 2007Retour au tableau Soit les nombres complexes :

z1 = p 2+ i

p 6, ,z2 = 2+2i et Z =

z1

z2 .

a. Écrire Z sous forme algébrique.

b. Donner les modules et arguments de z1, z2 et Z .

c. En déduire cos π

12 et sin

π

12 .

d. Le plan estmuni d’un repère orthonormal ; on prendra 2 cm comme unité graphique.

On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives z1, z2 et Z . Placer le point B, puis placer les points A et C en utilisant la règle et le compas (on laissera les traits de construction apparents).

e. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe Z 2007.

Exercices sur les complexes 67

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

62 Antilles-Guyane septembre 2007Retour au tableau Partie A

a. Déterminer le nombre complexeα tel que

{ α(1+ i) = 1+3i iα2 = −4+3i

b. Pour tout nombre complexe z, on pose f (z)= z2−(1+3i)z+(−4+3i). Montrer que f (z) s’écrit sous la forme (zα)(z− iα). En déduire les solutions sous forme algébrique de l’équation f (z)= 0.

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé ( O,

−→ u ,

−→ v

) , unité

graphique : 5 cm.

a. On considère les points A et B d’affixes respectives a = 2+ i et b = −1+2i. Placer A et B dans le repère et compléter la figure au fur et àmesure.

Montrer que b = iα, en déduire que le triangle OAB est un triangle isocèle rectangle tel que

(−−→ OA ,

−−→ OB

) =

π

2 .

b. On considère le point C d’affixe c = −1+ 1

2 i. Déterminer l’affixe du

point D tel que le triangle OCD soit un triangle isocèle rectangle tel

que (−−→ OC ,

−−→ OD

) =

π

2 .

On pourra conjecturer l’affixe de D à l’aide de la figure pour traiter la question suivante.

c. Soit M le milieu de [CB]. On appelle z−−→ OM

et z−−→ DA

les affixes respec-

tives des vecteurs −−→ OM et

−−→ DA . Prouver que :

z−−→ OM

z−−→ DA

= 1

2 i.

d. Donner unemesure en radians de l’angle (−−→ DA ,

−−→ OM

) .

e. Prouver que OM= 1

2 DA.

f. On appelle J, K et L les milieux respectifs des segments [CD], [DA] et [AB].

On admet que le quadrilatère JKLM est un parallélogramme. Dé- montrer que c’est un carré.

Exercices sur les complexes 68

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

63 Polynésie juin 2007 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormaldirect

( O,

−→ u ,

−→ v

) .

On prendra 1 cm pour unité graphique. Les questions suivantes sont in- dépendantes.

a. Résoudre, dans l’ensemble C des nombres complexes, l’équation :

z−3iz−3+6i= 0, z étant le conjugué de z.

b. On considère le point A d’affixe 4−2i. Déterminer la forme algébrique de l’affixe du point B tel que OAB soit un triangle équilatéral de sens direct.

c. Soit D le point d’affixe 2i.

a. Représenter l’ensemble (E) des pointsM d’affixe z différente de 2i tels que :

arg(z−2i)= π

4 +k×2π(k ∈Z).

b. Représenter l’ensemble (F) des points M d’affixe z tels que z = 2i+2eiθ, θ appartenant à R.

d. À tout pointM d’affixe z 6= −2, on associe le pointM ′ d’affixe z ′ telle que : z ′ =

z−1 z+2

. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z dif-

férente de −2 tels que ∣∣z

∣∣= 1.

Exercices sur les complexes 69

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

64 La Réunion juin 2007 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v

) .

A, B, C désignent les points d’affixes respectives a =−2 p 3, b =

p 3−3i et

c = 2i. a. a. Écrire b sous forme exponentielle.

b. Les points A et C sont représentés sur la figure jointe en annexe 2. Construire à la règle et au compas le point B sur ce dessin (laisser les traces de construction apparentes).

b. On désigne par E le barycentre du système {(A ; 1) ; (C ; 3)} et par F le barycentre du système {(A ; 2) ; (B ; 1)}.

a. Établir que l’affixe e du point E est égale à − p 3

2 + 3

2 i.

b. Déterminer l’affixe f du point F.

c. a. Démontrer que le quotient ec eb

peut s’écrire ki où k est un

nombre réel à déterminer. En déduire que, dans le triangleABC, le point E est le pied de la hauteur issue de B. Placer le point E sur le dessin.

b. Démontrer que le point F possède une propriété analogue. Pla- cer F sur le dessin.

d. On désigne par H le barycentre du système {(A ; 2) ; (B ; 1) ; (C ; 6)}. Démontrer que le pointH est le point d’intersectiondes droites (BE) et (CF).

Qu’en déduit-on pour le point H ?

Exercices sur les complexes 70

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

65 Métropole juin 2007 Retour au tableau Partie A

On considère l’équation :

(E) z3− (4+ i)z2+ (13+4i)z−13i= 0

z est un nombre complexe.

a. Démontrer que le nombre complexe i est solutionde cette équation.

b. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z on ait :

z3− (4+ i)z2+ (13+4i)z−13i= (z− i) ( az2+bz+c

) .

c. En déduire les solutions de l’équation (E).

Partie B

Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) ,

on désigne par A, B et C les points d’affixes respectives i, 2+3i et 2−3i.

a. Soit r la rotation de centre B et d’angle π

4 .

Déterminer l’affixe du point A′, image du point A par la rotation r .

b. Démontrer que les points A′, B et C sont alignés et déterminer l’écri- ture complexe de l’homothétie de centre B qui transforme C en A′.

Exercices sur les complexes 71

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

66 Centres étrangers juin 2007 Retour au tableau I. Restitution organisée de connaissances

a. Démontrer qu’ un nombre complexe z est imaginaire pur si et seule- ment si z =−z.

b. Démontrer qu’un nombre complexe z est réel si et seulement si z = z.

c. Démontrer que pour tout nombre complexe z, on a l’égalité : zz = |z|2.

Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormaldirect ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

On se propose de démontrer, à l’aide des nombres complexes, que tout triangle de sommets A, B, C, deux à deux distincts, d’affixes respective a, b, c, et dont le centre du cercle circonscrit est situé à l’origine O, a pour orthocentre le point H d’affixe a+b+c.

II. Étude d’un cas particulier

On pose : a = 3+ i, b =−1+3i, c =− p 5− i

p 5.

a. Vérifier que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

b. Placer les points A, B, C et le point H d’aflixe a+b+ c, puis vérifier graphiquement que le point H est l’orthocentre du triangle ABC.

III. Étude du cas général.

ABC est un triangle dont O est le centre du cercle circonscrit, et a, b, c sont les affixes respectives des points A, B, C.

a. Justifier le fait que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC si et seulement si :

aa = bb = cc . b. On pose w = bcbc .

a. En utilisant la caractérisation d’un nombre imaginaire pur éta- blie dans le I., démontrer que w est imaginaire pur.

b. Verifier l’égalité : (b+c) ( bc

) =w et justifier que :

b+c bc

= w

|bc|2 .

c. En déduire que le nombre complexe b+c bc

est imaginaire pur.

c. Soit H le point d’affixe a+b+c. a. Exprimer en fonction de a, b et c les affixes des vecteurs

−−→ AH et

−−→ CB .

b. Prouver que (−−→ CB ,

−−→ AH

) =

π

2 +, où k est un entier relatif quel-

conque.

(On admet demême que (−−→ CA ,

−−→ BH

) =

π

2 +).

c. Que représente le point H pour le triangle ABC ?

Exercices sur les complexes 72

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

67 Asie juin 2007 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormaldirect

( O,

−→ u ,

−→ v

) .

L’unité graphique est 4 cm.

Soit λ un nombre complexe non nul et différent de 1.

On définit, pour tout entier natureln, la suite (zn) de nombres complexes par : {

z0 = 0 zn+1 = λ · zn + i

On noteMn le point d’affixe zn .

a. Calcul de zn en fonction de n et de λ.

a. Vérifier les égalités : z1 = i ; z2 = (λ+1)i ; z3 = (λ2+λ+1)i.

b. Démontrer que, pour tout entier n positif ou nul : zn = λn −1 λ−1

·i.

b. Étude du cas λ= i. a. Montrer que z4 = 0. b. Pour tout entier naturel n, exprimer zn+1 en fonction de zn .

c. Montrer que Mn+1 est l’image de Mn par une rotation dont on précisera le centre et l’angle.

d. Représenter les points M0 ,M1, M2, M3 et M4 dans le repère( O,

−→ u ,

−→ v

) .

c. Caractérisation de certaines suites (zn).

a. On suppose qu’il existe un entier naturel k tel que λk = 1. Démontrer que, pour tout entier natureln, on a l’égalité : zn+k = zn .

b. Réciproquement, monter que s’il existe un entier naturel k tel que, pour tout entier naturel n on ait l’égalité zn+k = zn alors : λk = 1.

Exercices sur les complexes 73

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

68 Liban juin 2007 Retour au tableau 3.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

On considère l’application f qui à tout pointM d’affixe z non nulle asso- cie le pointM ′ = f (M) d’affixe z ′ tel que :

z ′ = z

|z| (2−|z|) .

Le cercleC1, de centreO et de rayon 1, est représenté sur la figure, donnée en annexe, que l’on complétera au fur et à mesure des questions. Pour z complexe non nul, on note z = reiα, r étant le module de z et α un argument de z.

a. Montrer que z ′ = (2− r )eiα. b. Déterminer l’affixe a′ du point A′, image par f du point A d’affixe

a = 3. c. Soit B le point d’affixe b =−

p 3+ i.

a. Écrire b sous forme exponentielle.

b. Déterminer l’affixe b′ du point B′, image du point B par f .

d. Placer A, B, A′ et B′ sur la figure..

e. a. Déterminer l’ensemble E des points M du plan privé du point O dont l’image par f est O.

b. Représenter E sur la figure.

f. Montrer que le cercle C1 est l’ensemble des points M du plan dis- tincts de O tels que f (M)=M .

g. Pour cette question,M est un point du plan, distinct de O, n’ appar- tenant pas au cercle C1. On appelle I le milieu du segment [MM ′] oùM ′ est l’image deM par f .

a. Montrer que I appartient à C1.

b. Montrer que I appartient à la demi-droite [OM).

c. Sur la figure donnée en annexe est placé un point nommé M1. Construire le pointM ′1, image par f du pointM1.

Exercices sur les complexes 74

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

~u

~v

O

C1

b M1

Exercices sur les complexes 75

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

69 Nouvelle-Calédonie décembre 2006Retour au tableau Les parties A et B sont indépendantes On considère l’équation (E)

z3− (4+ i)z2+ (7+ i)z−4= 0

z désigne un nombre complexe.

Partie A

a. a. Montrer que (E) admet une solution réelle, note z1.

b. Déterminer les deux nombres complexes a et b tels que, pour tout nombre complexe z on ait :

z3− (4+ i)z2+ (7+ i)z−4= (zz1) (z−2−2i)(az+b)

b. Résoudre (E).

Partie B

Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) , on consi-

dère les trois points A, B et C d’affixes respectives 1, 2+2i et 1− i. a. Représenter A, B et C.

b. Déterminer le module et un argument de 2+2i 1− i

. En déduire la na-

ture du triangle OBC.

c. Que représente la droite (OA) pour le triangle OBC ? Justifier votre affirmation.

d. Soit D l’image de O par la rotation d’angle − π

2 et de centre C. Déter-

miner l’affixe de D.

e. Quelle est. la nature de OCDB ?

Exercices sur les complexes 76

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

70 Amérique du Sud novembre 2006Retour au tableau Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal

( O,

−→ u ,

−→ v

) . On pren-

dra pour unité graphique 1 cm.

a. Question de cours

On rappelle que : « Pour tout vecteur −→ w non nul, d’affixe z on a :

|z| = ‖−→w ‖ et arg (z) = (−→ u ,

−→ w

) ». Soient M , N et P trois points du

plan, d’affixes respectivesm, n et p tels quem 6= n etm 6= p.

a. Démontrer que : arg (pm nm

) =

(−−−→ MN ,

−−→ MP

) .

b. Interpréter géométriquement le nombre ∣∣∣pm nm

∣∣∣

b. On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives

zA = 4+ i, zB = 1+ i, zC = 5i et zD =−3− i.

Placer ces points sur une figure.

c. Soit f l’application du plan dans lui-même qui, à tout pointM d’af- fixe z associe le pointM ′ d’affixe z ′ tel que :

z ′ = (1+2i)z−2−4i.

a. Préciser les images des points A et B par f .

b. Montrer que f admet ununique point invariantΩ, dont on pré- cisera l’affixeω.

d. a. Montrer que pour tout nombre complexe z, on a :

z ′− z =−2i(2− i− z).

b. En déduire, pour tout pointM différent du pointΩ, la valeur de MM

M et unemesure en radians de l’angle

(−−−→ MΩ ,

−−−−→ MM

)

c. Quelle est la nature du triangleΩMM ′ ?

d. Soit E le point d’affixe zE =−1− i p 3. Écrire zE sous forme expo-

nentielle puis placer le point E sur la figure. Réaliser ensuite la construction du point E′ associé au point E.

Exercices sur les complexes 77

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

71 Polynésie septembre 2006 Retour au tableau

a. Le plan complexe est rapporté àun repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

On pose a = 3, b = 5− 2i et c = 5+ 2i. On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives a, b et c. Soit M un point d’affixe z du plan, distinct des points A et B.

a. Montrer que ABC est un triangle rectangle isocèle.

b. Donner une interprétation géométrique de l’argument dunombre

complexe z−3

z−5+2i .

c. Déterminer alors l’ensemble des points M d’affixe z tels que z−3

z−5+2i soit un nombre réel strictement négatif.

b. Soit Γ le cercle circonscrit au triangle ABC etΩ le point d’affixe 2− i. a. Donner l’écriture complexe de la rotation r de centreΩ et d’angle

π

2 .

b. Déterminer l’image Γ′ de Γ par la rotation r . Déterminer une équation paramétrique de Γ′.

Exercices sur les complexes 78

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

72 Métropole septembre 2006 Retour au tableau Dans le plan complexemuni du repère orthonormal

( O,

−→ u ,

−→ v

) , on consi-

dère les points M et M ′ d’affixes respectives z et z ′. On pose z = x+ iy et z ′ = x′ + iy ′, où x, x′, y, y ′ sont des. nombres réels. On rappelle que z désigne le conjugué de z et que |z| désigne le module de z.

a. Montrer que les vecteurs −−−→ OM et

−−−→ OM ′ sont orthogonaux si et seule-

ment si Re(z z)= 0 . b. Montrer que les points O, M et M ′ sont alignés si et seulement si

lm(z z)= 0. Applications

c. N est le point d’affixe z2−1. Quel est l’ensemble des points M tels que les vecteurs

−−−→ OM et

−−→ ON soient orthogonaux ?

d. On suppose z non nul. P est le point d’ affixe 1

z2 −1. On recherche

l’ensemble des pointsM d’affixe z tels que les pointsO,N etP soient alignés.

a. Montrer que

( 1

z2 −1

)( z2−1

) =−z2

∣∣∣∣ 1

z2 −1

∣∣∣∣ 2

.

b. Enutilisant l’équivalence démontrée audébut de l’exercice, conclure sur l’ensemble recherché.

Exercices sur les complexes 79

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

73 Polynésie juin 2006 Retour au tableau Le plan complexe estmuni du repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v

) ; unité

graphique 2 cm. On appelle A et B les points du plan d’affixes respectives a = 1 et b =−1. On considère l’application f qui, à tout pointM différent du point B, d’affixe z, fait correspondre le pointM ′ d’affixe z ′ définie par

z ′ = z−1 z+1

On fera une figure qui sera complétée tout au long de cet exercice.

a. Déterminer les points invariants de f c’est-à-dire les points M tels queM = f (M).

b. a. Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de −1,( z ′−1

) (z+1)=−2.

b. Endéduire une relation entre ∣∣z ′−1

∣∣ et |z+1| , puis entre arg(z ′− 1) et arg(z + 1), pour tout nombre complexe z différent de −1. Traduire ces deux relations en termes de distances et d’angles.

c. Montrer que siM appartient au cercle (C) de centre B et de rayon 2, alorsM ′ appartient au cercle (C′) de centre A et de rayon 1.

d. Soit le point P d’affixe p =−2+ i p 3.

a. Déterminer la forme exponentielle de (p+1). b. Montrer que le point P appartient au cercle (C).

c. SoitQ le point d’affixe q =−p p est le conjugué de p. Mon- trer que les points A, P′ et Q sont alignés.

d. En utilisant les questions précédentes, proposer une construc- tion de l’image P′ du point P par l’application f .

Exercices sur les complexes 80

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

74 La Réunion juin 2006 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormaldirect

( O,

−→ u ,

−→ v

) .

L’unité graphique est 2 cm.

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument+ π

2 .

On réalisera une figure que l’on complétera au fur et à mesure des ques- tions.

a. Résoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes l’équation z−4 z

= i. Écrire la solution sous forme algébrique.

b. Résoudre dans C l’équation z2−2z+4= 0. Écrire les solutions sous forme exponentielle.

c. Soient A, B, A′ etD les points du plan complexe d’affixes respectives :

a = 2, b = 4, a′ = 2i et d = 2+2i.

Quelle est la nature du triangle ODB ?

d. Soient E et F les points d’affixes respectives e = 1−i p 3 et f = 1+i

p 3.

Quelle est la nature du quadrilatère OEAF ?

e. Soit C le cercle de centre A et de rayon 2. Soit C ′ le cercle de centre

A′ et de rayon 2. Soit r la rotation de centre O et d’angle + π

2 a. On désigne par E′ l’image par la rotation r du point E. Calculer

l’affixe e ′ du point E′.

b. Démontrer que le point E′ est un point du cercle C ′.

c. Vérifier que : ed = (p

3+2 )( e ′−d

) . En déduire que les points

E, E′ et D sont alignés.

f. Soit D′ l’image du point D par la rotation r . Démontrer que le tri- angle EE′D′ est rectangle.

Exercices sur les complexes 81

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

75 Métropole juin 2006 Retour au tableau On considère le plan complexe P rapporté à un repère orthonormal di-

rect ( O,

−→ u ,

−→ v

) . Dans tout l’exercice, P \{O} désigne le plan P privé du

point origine O.

a. Question de cours On prend comme pré-requis les résultats sui- vants : – Si z et z ′ sont deux nombres complexes non nuls, alors :

arg(zz ′)= arg(z)+arg(z ′) à 2près, avec k entier relatif – Pour tout vecteur

−→ w non nul d’affixe z on a : arg(z) =

(−→ u ;

−→ w

) à

2près, avec k entier relatif

a. Soit z et z ′ des nombres complexes non nuls, démontrer que

arg ( z z

) = arg(z)−arg(z ′) à 2près, avec k entier relatif.

b. Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux à deux

distincts, d’affixes respectives a, b, c, on a : arg ( ca ba

) =

(−−→ AB ,

−−→ AC

)

à 2près, avec k entier relatif.

b. On considère l’application f de P \{O} dansP \{O} qui, au pointM

du plan d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par : z ′ = 1

z .

On appelle U et V les points du plan d’affixes respectives 1 et i.

a. Démontrer que pour z 6= 0, on a arg ( z

) = arg(z) à 2près, avec

k entier relatif. En déduire que, pour tout pointM deP \{O} les pointsM etM ′ = f (M) appartiennent à unemême demi-droite d’origine O.

b. Déterminer l’ensemble des pointsM deP \{O} tels que f (M)= M .

c. M est un point du plan P distinct de O, U et V, on admet que M ′ est aussi distinct de O, U et V.

Établir l’égalité z ′−1 z ′− i

= 1

i

( z−1 z+ i

) =−i

( z−1 z− i

) .

En déduire une relation entre arg

( z ′−1 z ′− i

) et arg

( z−1 z− i

)

c. a. Soit z un nombre complexe tel que z 6= 1 et z 6= i et soit M le point d’affixe z. Démontrer que M est sur la droite (UV) privée

de U et de V si et seulement si z−1 z− i

est un nombre réel non nul.

b. Déterminer l’image par f de la droite (UV) privée de U et de V.

Exercices sur les complexes 82

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

76 Centres étrangers juin 2006 Retour au tableau Partie A. Restitution organisée de connaissances

Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants : i. Si z est un nombre complexe non nul, on a l’équivalence suivante :

{ |z| = r arg z = θ à 2π près ⇐⇒

{ z = r (cosθ+ isinθ) r > 0

ii. Pour tous nombres réels a et b : {

cos(a+b) = cosa cosb− sina sinb sin(a+b) = sina cosb+ sinb cosa

Soient z1 et z2 deux nombres complexes non nuls. Démontrer les rela- tions :

|z1z2| = |z1| |z2| et arg(z1z2)= arg ( z1)+arg(z2

) à 2π près

Partie B.

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d’une propo- sition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple. Une réponse sans démonstration ne rapporte pas de point. On rappelle que si z est un nombre complexe, z désigne le conjugué de z et |z| désigne le module de z.

a. Si z =− 1

2 + 1

2 i, alors z4 est un nombre réel.

b. Si z+ z = 0, alors z = 0.

c. Si z+ 1

z = 0, alors z = i ou z =−i.

d. Si |z| = 1 et si |z+ z ′| = 1, alors z ′ = 0.

Exercices sur les complexes 83

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

77 Asie juin 2006 Retour au tableau 4.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

)

(unité graphique : 2 cm). On rappelle que pour tout vecteur −→ w non nul,

d’affixe z, on a : |z| = ‖−→w ‖ et arg(z)= (−→ u ,

−→ w

) à 2π près.

Partie A. Restitution organisée de connaissances

Prérequis : On sait que si z et z ′ sont deux nombres complexes non nuls, alors :

arg(zz ′)= arg(z)+arg(z ′).

Soient z et z ′ deux nombres complexes non nuls. Démontrer que :

arg ( z z

) = arg(z)−arg(z ′)

Partie B

Onnote A et B les points d’affixes respectives−i et 3i. On note f l’applica- tion qui, à tout point M du plan, d’affixe z, distinct de A, associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = iz+3 z+ i

a. étude de quelques cas particuliers.

a. Démontrer que f admet deux points invariants J et K apparte- nant au cercle de diamètre [AB]. Placer ces points sur le dessin.

b. On note C le point d’affixe c =−2+i. Démontrer que le point C′, image de C par f , appartient à l’axe des abscisses.

b. Pour tout pointM du plan distinct de A et B, démontrer que

arg ( z

) =

(−−→ MA ,

−−→ MB

) + π

2 à 2π près.

c. Étude de deux ensembles de points.

a. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z ′ soit un nombre complexe imaginaire pur.

b. Soit M d’affixe z un point du cercie de diamètre [AB] privé des points A et B. À quel ensemble appartient le pointM ′ ?

Exercices sur les complexes 84

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

78 Antilles-Guyane juin 2006 Retour au tableau

a. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v

) ,

on considère les points – A d’affixe a, a ∈R – B d’affixe b+ i, b ∈R – C image de B dans la rotation de centre A et d’angle

π

3 .

a. Déterminer une relation entre a et b pour que le pointC appar-

tienne à l’axe ( O ;

−→ v

) .

b. Exprimer alors l’affixe du pointC en fonction de a.

b. Dans cette question, on pose a= p 3 et b = 0.On considère les points

C d’affixe c =−i etD d’affixe d = 2+ p 3−2i

p 3.

a. Quelle est la nature du triangle ABC ?

b. Calculer le quotient d a ca

; que peut-on en déduire pour le tri-

angle ACD ?

c. Déterminer l’affixe du point E image de D dans la rotation de

centre A et d’angle π

3 .

d. Déterminer l’affixe du point F image de D dans la translation

de vecteur −−→ AC .

e. Déterminer la nature du triangle BEF .

Exercices sur les complexes 85

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

79 Libanmai 2006 Retour au tableau Le plan complexe estmuni d’un repère orthonormédirect

( O,

−→ u ,

−→ v

) . On

prendra 2 cm pour unité graphique.

Soit A le point d’affixe i et B le point d’affixe 2.

a. a. Déterminer l’affixe du point B1 image de B par l’homothétie de centre A et de rapport

p 2.

b. Déterminer l’affixe du point B′ image de B1 par la rotation de

centre A et d’angle π

4 . Placer les points A, B et B′.

b. On appelle f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout pointM d’affixe z, associe le pointM ′ d’affixe z ′ tel que

z ′ = (1+ i)z+1.

a. Montrer que B a pour image B′ par f .

b. Montrer que A est le seul point invariant par f .

c. Établir que pour tout nombre complexe z distinct de i, z ′− z i− z

=−i. Interpréter ce résultat en termes de distances puis en termes d’angles. En déduire uneméthode de construction deM ′ à par- tir deM , pourM distinct de A.

c. a. Donner la nature et préciser les éléments caractéristiques de l’ensemble Σ1 des pointsM du plan dont l’affixe z vérifie

|z−2| = p 2.

b. Démontrer que z ′− 3− 2i = (1+ i)(z − 2). En déduire que si le pointM appartient à Σ1, alors son imageM ′ par f appartient à un cercle Σ2, dont on précisera le centre et le rayon.

c. Tracer Σ1 et Σ2 sur la même figure que A, B et B′.

Exercices sur les complexes 86

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

80 Pondichéry avril 2006 Retour au tableau Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v

) .

On prendra pour unité graphique 5 cm.Onpose z0= 2 et, pour tout entier naturel n, zn+1 =

1+ i 2

zn . On note An le point du plan d’affixe zn .

a. Calculer z1, z2, z3, z4 et vérifier que z4 est un nombre réel. Placer les points A0, A1, A2, A3 et A4 sur une figure.

b. Pour tout entier naturel n, on pose un = |zn|. Justifier que la suite (un) est une suite géométrique puis établir que, pour tout enfler na- turel n,

un = 2 ( 1 p 2

)n .

c. Àpartir de quel rangn0 tous les points An appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ?

d. a. Établir que, pour tout entier natureln, zn+1− zn

zn+1 = i. En déduire

la nature du triangle OAnAn+1.

b. Pour tout entier naturel n, on note ℓn la longueur de la ligne brisée A0A1A2 . . .An−1An . On a ainsi : ℓn = A0A1+ A1A2+ . . .+ An−1An . Exprimer ℓn , en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (ℓn) ?

Exercices sur les complexes 87

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

81 Amérique du Sud novembre 2005Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormaldirect

( O,

−→ u ,

−→ v

) .

On prendra pour unité graphique 2 cm. Soit f l’application qui à tout point M du plan d’affixe z non nulle associe le point M ′ d’affixe z ′ telle

que z ′ = 4

z , où z désigne le nombre complexe conjugué de z.

a. Déterminer l’ensemble des points invariants par f .

b. Déterminer l’ensemble des points dont l’image par l’application f est le point J d’affixe 1.

c. Soitα un nombre complexe nonnul. Démontrer que le point A d’af- fixeα admet un antécédent unique par f , dont on précisera l’affixe.

d. a. Donner unemesure de l’angle (−−−→ OM ,

−−−→ OM

) . Interpréter géomé-

triquement ce résultat.

b. Exprimer ∣∣z

∣∣ en fonction de |z|. Si r désigne un réel strictement positif, en déduire l’image par f du cercle de centre O et de rayon r .

c. Choisir un point P du plan complexe non situé sur les axes de coordonnées et tel que OP = 3, et construire géométriquement son image P ′ par f .

e. On considère le cercle C1, de centre J et de rayon 1. Montrer que l’image par f de tout point deC1 ,distinct deO, appartient à la droite D d’équation x = 2.

Exercices sur les complexes 88

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

82 Nouvelle–Calédonie novembre 2005Retour au tableau Le plan est rapporté au repère orthonormal

( O,

−→ u ,

−→ v

) . Unité graphique :

3 cm

À tout point M d’affixe z du plan, on associe le point M ′ d’affixe z ′ par l’application f qui admet pour écriture complexe :

z ′ = (3+4i)z+5z

6 .

a. On considère les points A, B, C d’affixes respectives zA = 1+2i,zB= 1 et zC = 3i. Déterminer les affixes des points A′, B′, C′ images respectives de A, B, C par f .

Placer les points A, B, C, A′, B′, C′.

b. On pose z = x+ iy (avec x et y réels). Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z ′ en fonction de x et y .

c. Montrer que l’ensemble des points M invariants par f est la droite

(D) d’équation y = 1

2 x.

Tracer (D). Quelle remarque peut-on faire ?

d. SoitM un point quelconque du plan etM ′ son image par f . Montrer queM ′ appartient à la droite (D).

e. a. Montrer que, pour tout nombre complexe z :

z ′− z zA

= z+ z 6

+ i zz 3

.

En déduire que le nombre z ′− z zA

est réel.

b. En déduire que, siM ′ 6=M , les droites (OA) et (MM ′) sont paral- lèles.

f. Unpoint quelconqueN étant donné, comment construire son image N ′ ? (on étudiera deux cas suivant que N appartient ou non à (D)).

Effectuer la construction sur la figure.

Exercices sur les complexes 89

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

83 Métropole septembre 2005 Retour au tableau Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre cor-

respondant à la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte 1 point, chaque réponse fausse enlève 0,5 point. Une absence de réponse est comp- tée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Aucune justifi- cation n’est demandée.

a. Soit z le nombre complexe de module p 2 et d’argument

π

3 . On a

alors :

A : z14 =−128 p 3−128i. C : z14 =−64+64i

p 3.

B : z14 = 64−64i. D : z14 =−128+128i p 3

b. Onconsidère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonor- mal, le point S d’affixe 3 et le point T d’affixe 4i. Soit (E) l’ensemble des points M d’affixe z tels que |z−3| = |3−4i|. A : (E) est la média- trice du segment [ST] ; B : (E) est la droite (ST) ; C : (E) est le cercle de centreΩ d’affixe 3−4i, et de rayon 3 ; D : (E) est le cercle de centre S et de rayon 5.

c. On considère un hexagone régulier ABCDEF, dont les côtés sont de

longueur 1. Le produit scalaire −−→ AC ·−→CF est égal à :

A : p 3 B : −3 C : −

p 3 D ;

3

2 .

Exercices sur les complexes 90

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

84 Antilles-Guyane septembre 2005Retour au tableau SoitP le plan complexe rapporté au repère

( O,

−→ u ,

−→ v

) (unité graphique :

4 cm). Soit A le point d’affixe 1. On note f l’application de P privé de A dans P qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que

z ′ = 1

z−1 .

a. a. Sois B le point d’affixe b = 4+ i p 3. Déterminer la forme algé-

brique et la forme exponentielle de l’affixe b′ de B′.

b. Déterminer les affixes des points ayant pour image par f leur symétrique par rapport à O.

b. a. Exprimer ∣∣z

∣∣ et arg ( z

) en fonction de |z−1| et arg (z−1).

b. SoitC le cercle de centre A et de rayon r . On suppose queM est un point deC . Déterminer

∣∣z ′ ∣∣. En déduire queM ′ appartient à

un cercle C ′ dont on précisera le centre et le rayon.

c. Placer un point M quelconque sur le cercle de centre A et de

rayon 1

2 et construìre son image M ′. (On laissera les traits de

construction,)

Exercices sur les complexes 91

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

85 Polynésie septembre 2005 Retour au tableau Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre cor-

respondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une

réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Dans tout l’exercice, le plan complexe est rapporté à un

repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

a. Le point M est situé sur le cercle de centre A(−2 ; 5) et de rayon p 3.

Son affixe z vérifie :

a. |z−2+5i|2 = 3 ; b. |z+2−5i|2 = 3 ; c. |z−2+5i| = 3.

b. On considère trois points A, B et C d’affixes respectives a, b et c, deux à deux distincts et tels que le triangle ABC n’est pas équilaté- ral. Le point M est un point dont l’affixe z est telle que les nombres

complexes zb ca

et zc ba

sont imaginaires purs.

a. M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ;

b. M appartient aux cercles de diamètres respectifs [AC] et [AB] ;

c. M est l’orthocentre du triangle ABC.

c. Soit A et B les points d’affixes respectives 1 + i et 5 + 4i, et C un point du cercle de diamètre [AB]. On appelleG l’isobarycentre des points A, B et C et on note zG son affixe.

a. |zG −3−2,5i| = 5

6 ;

b. zG − (1+ i)= 1

3 (4+3i) ;

c. zG − (3+2,5i)= 1

3 (4+3i).

Exercices sur les complexes 92

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

86 Amérique du Nord juin 2005 Retour au tableau Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule des quatre pro- positions est exacte.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est deman- dée.

Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L’absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à 0.

a. Dans le plan complexe, on donne les points A, B et C d’affixes res- pectives −2+3i, −3− i et 2,08+1,98i. Le triangle ABC est : (a) : isocèle et non rectangle (b) : rectangle et non isocèle (c) : rectangle et isocèle (d) : ni rectangle ni isocèle

b. à tout nombre complexe z 6= −2, on associe le nombre complexe z

défini par : z ′ = z−4i z+2

.

L’ensemble des pointsM d’affixe z tels que |z ′| = 1 est : (a) : un cercle de rayon 1 (b) : une droite (c) : une droite privée d’un point (d) : un cercle privé d’un point

c. Les notations sont les mêmes qu’à la question 2.

L’ensemble des pointsM d’affixe z tels que z ′ est un réel est : (a) : un cercle (b) : une droite (c) : une droite privée d’un point (d) : un cercle privé d’un point

d. Dans le plan complexe, on donne le point D d’affixe i. L’écriture

complexe de la rotation de centre D et d’angle − π

3 est :

(a) : z ′ = ( 1

2 − i

p 3

2

) z

p 3

2 + 1

2 i (b) : z ′ =

( − 1

2 + i

p 3

2

) z

p 3

2 + 1

2 i

(c) : z ′ = ( 1

2 − i

p 3

2

) z

p 3

2 − 1

2 i z ′ =

( 1

2 − i

p 3

2

) z+

p 3

2 + 1

2 i

Exercices sur les complexes 93

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

87 Antilles–Guyane juin 2005 Retour au tableau ( O,

−→ u ,

−→ v

) est un repère orthonormal du plan P .

Soit A le point d’affixe 1 ; soit B le point d’affixe −1. Soit F l’application de P privé de O dans P qui à tout pointM d’affixe z

distinct de O associe le pointM ′ = F (M) d’affixe z ′ = −1 z .

a. a. Soit E le point d’affixe ei π 3 ; on appelleE ′ son image par F . Déter-

miner l’affixe de E ′ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.

b. OnnoteC1 le cercle de centreO et de rayon 1.Déterminer l’image de C1 par l’application F .

b. a. Soit K le point d’affixe 2ei 5π 6 et K ′ l’image de K par F .

Calculer l’affixe de K ′.

b. Soit C2 le cercle de centre O et de rayon 2. Déterminer l’image de C2 par l’application F .

c. Ondésigne parR unpoint d’affixe 1+eiθ θ ∈]−π ; π[.R appartient au cercle C3 de centre A et de rayon 1.

a. Montrer que z ′+1= z−1 z

.

En déduire que : ∣∣z ′+1

∣∣= ∣∣z

∣∣. b. Si on considère maintenant les points d’affixe 1+eiθ

θ ∈]− π ; π[, montrer que leurs images sont situées sur une droite. On pourra utiliser le résultat du a..

Exercices sur les complexes 94

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

88 Asie juin 2005 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v

)

(unité graphique 1 cm).

On considère dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation (E) d’in- connue z suivante :

z3+ (−8+ i)z2+ (17−8i)z+17i= 0.

I. Résolution de l’équation (E).

a. Montrer que −i est solution de (E). b. Déterminer les nombres réels a, b, c tels que :

z3+ (−8+ i)z2+ (17−8i)z+17i= (z+ i) ( az2+bz+c

) .

c. Résoudre l’équation (E) dans l’ensemble des nombres complexes.

Il. On appelle A, B et C les points d’affixes respectives 4+ i, 4− i,−i.

a. Placer les points sur une figure que l’on complétera dans la suite de l’exercice.

b. Le point Ω est le point d’affixe 2. On appelle S l’image de A par la

rotation de centreΩ et d’angle de mesure π

2 . Calculer l’affixe de S.

c. Démontrer que les points B, A, S, C appartiennent à unmême cercle C dont on déterminera le centre et le rayon. Tracer C .

d. à tout point M d’affixe z 6= 2, on associe le point M ′ d’affixe z ′ = iz+10−2i

z−2 .

a. Déterminer les affixes des points A′, B ′, C ′ associés respective- ment aux points A, B et C.

b. Vérifier que A′, B ′, C ′ appartiennent à un cercle C ′ de centre P, d’affixe i. Déterminer son rayon et tracer C ′.

c. Pour tout nombre complexe z 6= 2, exprimer |z ′− i| en fonction de z.

d. Soit M un point d’affixe z appartenant au cercle C . Démontrer que |z ′− i| = 2

p 5.

e. En déduire à quel ensemble appartiennent les points M ′ asso- ciés aux pointsM du cercle C .

Exercices sur les complexes 95

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

89 Centres étrangers juin 2005 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v

)

unité graphique 8 cm.

On appelle A le point d’affixe −1 et B le point d’affixe 1. On appelle E l’ensemble des points du plan distincts de A, O et B.

À tout pointM d’affixe z appartenant à l’ensemble E , on associe le point N d’affixe z2 et le point P d’affixe z3.

a. Prouver que les pointsM , N et P sont deux à deux distincts.

b. On se propose dans cette question de déterminer l’ensemble C des pointsM appartenant à E tels que le triangleMNP soit rectangle en P .

a. En utilisant le théorème de Pythagore, démontrer queMNP est rectangle en P si et seulement si |z+1|2+|z|2 = 1.

b. Démontrer que |z+1|2+|z|2 = 1 équivaut à ( z+

1

2

)( z+

1

2

) =

1

4 .

c. En déduire l’ensemble C cherché.

c. Soit M un point de E et z son affixe, On désigne par r le module de z et α l’argument de z, α ∈]−π ; π].

a. Démontrer que l’ensembleF des pointsM de E tels que l’affixe de P soit un réel strictement positif est la réunionde trois demi- droites (éventuellement privées de points).

b. Représenter les ensembles C et F dans le repère ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

c. Déterminer les affixes des points M de E tels que le triangle MNP soit rectangle en P , l’affixe de P étant un réel strictement positif.

Exercices sur les complexes 96

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

90 Métropole juin 2005 Retour au tableau

O A

K

L

M

N

P

Dans le plan orienté, on considère les points O et A fixés et distincts, le cercle C de diamètre [OA], un pointM variable appartenant au cercle C , et distinct des points O et A, ainsi que les carrés de sens direct MAPN et MKLO. La figure est représentée ci-dessus.

Le but de l’exercice est de mettre en évidence quelques éléments inva- riants de la figure et de montrer que le point N appartient à un cercle à déterminer.

On munit le plan complexe d’un repère orthonormal direct de sorte que les affixes des points O et A soient respectivement 0 et 1.

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument π

2 . On

note k, l , m, n et p les affixes respectives des points K , L, M , N et P .

a. Démontrer que, quel que soit le pointM choisi sur le cercle C , on a∣∣∣∣m− 1

2

∣∣∣∣= 1

2 .

b. établir les relations suivantes : l = im et p =−im+1+ i. On admettra que l’on a également n = (1− i)m+ i et k = (1+ i)m.

c. a. Démontrer que le milieu Ω du segment [PL] est un point indé- pendant de la position du pointM sur le cercle C .

b. Démontrer que le pointΩ appartient au cercle C et préciser sa position sur ce cercle.

d. a. Calculer la distance KN et démontrer que cette distance est constante.

b. Quelle est la nature du triangleΩNK ?

e. Démontrer que le point N appartient à un cercle fixe, indépendant du pointM , dont on déterminera le centre et le rayon.

Exercices sur les complexes 97

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

91 Liban juin 2005 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormaldirect

( O,

−→ u ,

−→ v

) .

Unité graphique : 0,5 cm.

On note j le nombre complexe ei 2π 3 .

On considère les points A, B et C d’affixes respectives a = 8, b = 6j et c = 8j2. Soit A′ l’image de B par la rotation de centre C et d’angle

π

3 .

Soit B ′ l’image de C par la rotation de centre A et d’angle π

3 .

SoitC ′ l’image de A par la rotation de centre B et d’angle π

3 .

a. Placer les points A, B, C, A′, B ′ et C ′ dans le repère donné.

b. On appelle a′, b′ et c ′ les affixes respectives des points A′, B ′ etC ′.

a. Calculera′. On vérifiera que a′ est un nombre réel.

b. Montrer que b′ = 16e−i Π

3 .

En déduire que O est un point de la droite (BB ′).

c. On admet que c ′ = 7+7i p 3.

Montrer que les droites (AA′), (BB ′) et (CC ′) sont concourantes en O.

c. On se propose désormais demontrer que la distanceMA+MB+MC est minimale lorsqueM = O.

a. Calculer la distance OA + OB + OC.

b. Montrer que j3 = 1 et que 1+ j+ j2 = 0. c. On considère un point M quelconque d’affixe z du plan com-

plexe.

On rappelle que a = 8, b = 6j et c = 8j2. Déduire des questions précédentes les égalités suivantes :

∣∣(az)+ (bz)j2+ (cz)j ∣∣=

∣∣a+bj2+cj ∣∣= 22.

d. On admet que, quels que soient les nombres complexes z, z ′ et z ′′ :

∣∣z+ z ′+ z ′′ ∣∣6 |z|+

∣∣z ′ ∣∣+

∣∣z ′′ ∣∣ .

Montrer queMA+MB+MC est minimale lorsqueM = O.

Exercices sur les complexes 98

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

92 La Réunion septembre 2004 Retour au tableau Partie A

a. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation :

z2−2z+4= 0.

Les solutions seront notées z ′ et z ′′, z ′ désignant la solution dont la partie imaginaire est positive.

Donner les solutions sous forme algébrique puis sous forme expo- nentielle.

b. Donner la valeur exacte (z ′)2004 sous forme exponentielle puis sous forme algébrique.

Partie B

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v

) ; (unité

graphique : 2 cm).

a. Montrer que les points A d’affixe 1+ i p 3 et B d’affixe 1− i

p 3 sont sur

unmême cercle de centre O dont on précisera le rayon.

Tracer ce cercle puis construire les points A et B.

b. OnnoteO′ l’image du pointOpar la rotation r1de centre A et d’angle

π

2 , et B′ l’image du point B par la rotation r2 de centre A et d’angle

+ π

2 .

Calculer les affixes des points O′ B′ et construire ces points.

c. Soit I le milieu du segment [OB].

a. Quepeut-on conjecturer pour la droite (AI) dans le triangleAO′B′ ?

b. Calculer l’affixe du vecteur −→ AI .

Montrer que l’affixe du vecteur −−−→ O′B′ est égale à 3

p 3− i.

c. La conjecture émise à la question b. est-elle vraie ?

Exercices sur les complexes 99

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

93 Nouvelle–Calédonie novembre 2004Retour au tableau Dans le plan complexe rapport un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v

) ,

on considèrel’application f du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le pointM ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = z2−4z.

a. Soient A et B les points d’affixes zA = 1− i et zB = 3+ i.

a. Calculer les affixes des points A′ et B′ images des points A et B par f .

b. On suppose que deux points ont lamême image par f . Démon- trer qu’ils sont confondus ou que l’un est l’image de l’autre par une symétrie centrale que l’on précisera.

b. Soit I le point d’affixe −3.

a. Démontrer queOMIM ′ est un parallélogrammesi et seulement si z2−3z+3= 0.

b. Résoudre l’équation z2−3z+3= 0.

c. a. Exprimer (z ′+4) en fonction de (z−2). En déduire une relation entre |z ′+4| et |z−2| puis entre arg(z ′+4) et arg(z−2).

b. On considre les points J et K d’affixes respectives zJ = 2 et zK = −4. Démontrer que tous les pointsM du cercle (C ) de centre J et de rayon 2 ont leur image M ′ sur un même cercle que l’on déter- minera.

c. Soit E le point d’affixe zE =−4−3i. Donner la forme trigonométrique de (zE + 4) et l’aide du 3. a. démontrer qu’il existe deux points dont l’image par f est le point E.

Préciser sous forme algébrique l’affixe de ces deux points.

Exercices sur les complexes 100

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